গাউসিয়ান প্রক্রিয়াটির ডেরাইভেটিভ

Question

আমি বিশ্বাস করি যে একটি গাউসিয়া প্রক্রিয়া (জিপি) এর ডেরাইভেটিভ অন্য একটি জিপি, এবং তাই আমি জানতে চাই যে কোনও জিপি এর ডেরিভেটিভের পূর্বাভাস সমীকরণের জন্য বন্ধ ফর্ম সমীকরণ আছে কিনা? বিশেষত, আমি স্কোয়ার্ড এক্সফোনেনিয়াল (যাকে গাউসীয়ও বলা হয়) কোভারিয়েন্স কার্নেলটি ব্যবহার করছি এবং গাউসিয়ান প্রক্রিয়াটির ডেরাইভেটিভ সম্পর্কে ভবিষ্যদ্বাণী করা সম্পর্কে জানতে চাই।

Comments

জিপি এর ব্যুৎপন্ন বলতে কী বোঝ? আপনি কি এলোমেলোভাবে বিপি, থেকে একটি বক্ররেখা তৈরি করেন এবং তারপরে ডেরিভেটিভ নেন? $x(t)$

— প্লাসিডিয়া

@ প্লাসিডিয়া, না আমার অর্থ হ'ল rac$\frac{\partial x(t)}{\partial t}$

ভাল প্রশ্ন. তবে আমি মনে করি যে ব্রাউনিয়ান গতি একটি জিপি এবং কোথাও পার্থক্যযোগ্য নয়। সুতরাং আমি নিশ্চিত নই যে এখানে জেনেরিক প্রকাশ হতে পারে। অবশ্যই x (t) -x (th) এ গাউসিয়ান হওয়া উচিত তাই কোনও প্রদত্ত এইচয়ের জন্য এটি সম্পর্কে সম্ভাবনাগুলি ভাবতে কোভেরিয়েন্স ফাংশন দেওয়া উচিত।

— অনুমান

@ অনুমানগুলি, সে কারণেই আমি স্পষ্টভাবে বলেছি যে আমার একটি জিপি রয়েছে যেখানে কার্নেল ফাংশনটি স্কোয়ার্ড এক্সফেনশিয়াল (যেহেতু আমি জানি যে এটি একরকম স্বতন্ত্রভাবে পার্থক্যযোগ্য) এবং সত্যই কেবল আমার উদাহরণে ডাইরিভেটিভ কেসটি খুঁজছিলেন। তবে গুড পয়েন্ট আর কম নয়!

Answer 1

সংক্ষিপ্ত উত্তর: হ্যাঁ, যদি আপনার গাউসিয়ান প্রক্রিয়া (জিপি) স্বতন্ত্র হয় তবে এর উত্সটি আবার জিপি। এটি অন্য কোনও জিপির মতো পরিচালনা করা যায় এবং আপনি ভবিষ্যদ্বাণীমূলক বিতরণ গণনা করতে পারেন।

তবে যেহেতু একটি জিপি এবং এর ডেরাইভেটিভ খুব ঘনিষ্ঠ সম্পর্ক রয়েছে আপনি একে অপরের থেকে যে কোনওটির বৈশিষ্ট্য নির্ধারণ করতে পারেন।জি $G$$G'$

1. অস্তিত্ব$G'$

GP GP উপস্থিত থাকলে কোভেরিয়েন্স ফাংশন সহ একটি শূন্য-গড় জিপি পৃথকযোগ্য (গড় বর্গক্ষেত্র) is সেক্ষেত্রে সমবায় কার্যকারিতা কে সমান । প্রক্রিয়াটি যদি শূন্য-গড় না হয় তবে তারপরে গড়ের ফাংশনটিও পৃথক হওয়া দরকার। যে ক্ষেত্রে গড় ফাংশন গড় ফাংশনের ব্যুৎপন্ন হয় ।কে ′ ( x 1 , এক্স 2 ) = ∂ 2$K$জি′কে′জি′$K'(x_1, x_2)=\frac{\partial^2 K}{\partial x_1 \partial x_2}(x_1,x_2)$$G'$$K'$$G'$$G$

(আরও তথ্যের জন্য এ। পাপুলিসের "সম্ভাব্যতা, এলোমেলো ভেরিয়েবল এবং স্টোকাস্টিক প্রক্রিয়া" এর পরিশিষ্ট 10A উদাহরণ পরীক্ষা করুন)

যেহেতু গাউসিয়ান এক্সফেনশিয়াল কার্নেল কোনও আদেশের থেকে পৃথক, তাই এটি আপনার পক্ষে কোনও সমস্যা নয়।

2. জন্য ভবিষ্যদ্বাণীমূলক বিতরণ$G'$

এটি কেবল সোজা, যদি আপনি পর্যবেক্ষণের উপর শর্ত রাখতে চান : আপনি যদি বুঝতে পারছেন যে আপনার সম্পর্কিত ডেরাইভেটিভসগুলি বোঝেন তার অর্থ এবং সমবায় ফাংশন যাতে আপনি এটি অন্য কোনও জিপি-র সাথে যেমন করেন তেমনভাবে করতে পারেন। $G'$

কিন্তু আপনাকে একটি ভবিষ্যদ্বাণীপূর্ণ ডিস্ট্রিবিউশন লাভ করতে পারি পর্যবেক্ষণ উপর ভিত্তি করে । আপনি স্ট্যান্ডার্ড উপায়ে আপনার পর্যবেক্ষণগুলি দেওয়া এর পশ্চাতটি গণনা করে এবং তারপরে উত্তর প্রক্রিয়ার কার্যকারিতা এবং গড় ফাংশনটিতে 1 প্রয়োগ করে do জি $G'$$G$$G$

একই পদ্ধতিতে অন্যান্য উপায় কাছাকাছি এই কাজ, তোমাদের মধ্যে পর্যবেক্ষণের উপর শর্ত অর্থাৎ একটি অবর অনুমান করা । সেক্ষেত্রে এর কোভেরিয়েন্স ফাংশন ইন্টিগ্রাল দ্বারা দেওয়া হয়েছে এবং এটি গণনা করা শক্ত হতে পারে তবে যুক্তিটি সত্যই একই। জি জি কে $G'$$G$$G$$K'$

Comments

আমি আপনার প্রশ্নের বুঝতে পারছি না। কোভেরিয়েন্স ফাংশন এবং উপরে প্রদত্ত গড় ফাংশনটির জন্য একটি স্পষ্ট সূত্র রয়েছে (এবং রাসমুসেন / উইলিয়ামসের 9.4 এ)। জিপি সম্পর্কে জানার এবং ব্যবহার করার মতো যা আছে তা আপনি আরও কীসের জন্য জিজ্ঞাসা করতে পারেন?

— জিজি

এই covariance সঙ্গে একটি প্রক্রিয়া পৃথক নয়। উত্তরের ১ নং অনুচ্ছেদে বর্ণিত হিসাবে কার্নেল ফাংশনটি অবশ্যই উভয় এন্ট্রিগুলিকে পৃথক করতে হবে। ব-দ্বীপ ফাংশন না পার্থক্যজনক বা অবিচ্ছিন্ন। সুতরাং এরও অস্তিত্ব নেই। $G'$

— জিজি

আপনি কি কার্যকারিতা এবং প্রক্রিয়াটির পথগুলিকে গুলিয়ে ফেলতে পারবেন? মনে রাখবেন যে গড়ের কাজটি পাথগুলির চেয়ে মসৃণ এবং প্রক্রিয়াটি না হলেও পৃথক হতে পারে। কিন্তু গড় ফাংশন হ'ল একটি প্রক্রিয়া নয়, কোনও প্রক্রিয়া নয়, সুতরাং কোনও বৈচিত্র নেই যা গণনা করা যায়।

— জিজি

Answer 2

এটাই. দেখুন রাসমুসেন উইলিয়ামস অধ্যায় 9.4 । এছাড়াও, কিছু লেখক বর্গক্ষেত্রের ঘেরের ঘেরের বিরুদ্ধে তীব্র যুক্তি দিয়েছিলেন - এটি খুব মসৃণ।

Comments

তাহলে ডেরাইভেটিভের জন্য কি ভবিষ্যদ্বাণীপূর্ণ বিতরণ আছে?