আত্মবিশ্বাসের ব্যবধান এবং টি-পরীক্ষার জন্য পরিসংখ্যান অনুমানের মধ্যে সম্পর্ক

31

এটি সুপরিচিত যে আত্মবিশ্বাসের অন্তর এবং পরীক্ষার পরিসংখ্যান অনুমানের দৃ strongly়ভাবে সম্পর্কিত। আমার প্রশ্নগুলি একটি সংখ্যাগত ভেরিয়েবলের উপর ভিত্তি করে দুটি গ্রুপের মাধ্যমের তুলনা করার দিকে দৃষ্টি নিবদ্ধ করে। আসুন ধরে নেওয়া যাক টি-পরীক্ষা ব্যবহার করে এই জাতীয় অনুমান পরীক্ষা করা হয়। অন্যদিকে, উভয় দলের জন্য আত্মবিশ্বাসের ব্যবধানগুলি গণনা করতে পারে। আত্মবিশ্বাসের ব্যবস্থাগুলির ওভারল্যাপিং এবং নাল অনুমানের প্রত্যাখ্যানের মধ্যে কি কোনও সম্পর্ক আছে যার অর্থ সমান (বিকল্পটির পক্ষে পৃথক - দ্বিমুখী পরীক্ষা) এর পক্ষে? উদাহরণস্বরূপ, যদি একটি আত্মবিশ্বাসের অন্তরগুলি ওভারল্যাপ না হয়ে থাকে তবে কোনও পরীক্ষা নাল অনুমানকে প্রত্যাখ্যান করতে পারে।

hypothesis-testing confidence-interval

— ল্যান
সূত্র

31

হ্যাঁ, বিস্তৃত ব্যবহারিক সেটিংসে আত্মবিশ্বাসের ব্যবধানের তুলনা এবং অনুমানের পরীক্ষার মধ্যে কিছু সহজ সম্পর্ক রয়েছে। তবে, সিআই পদ্ধতিগুলি যাচাই করা ছাড়াও এবং টি-পরীক্ষাটি আমাদের ডেটার জন্য উপযুক্ত, আমাদের অবশ্যই পরীক্ষা করে দেখতে হবে যে নমুনার আকারগুলি খুব বেশি আলাদা নয় এবং দুটি সেটের ক্ষেত্রেও একই রকম মানক বিচ্যুতি রয়েছে। দুটি আত্মবিশ্বাসের ব্যবধানের তুলনা করে আমাদের অত্যন্ত সুনির্দিষ্ট পি-মানগুলি অর্জন করার চেষ্টা করা উচিত নয়, তবে কার্যকর আনুমানিকতা বিকাশ করে আনন্দিত হওয়া উচিত।

ইতিমধ্যে প্রদত্ত দুটি উত্তর (@ জন এবং @ ব্রেট দ্বারা) মিলনের চেষ্টা করার জন্য, এটি গাণিতিকভাবে সুস্পষ্ট হতে সহায়তা করে। এই প্রশ্নের সেটিংয়ের জন্য উপযুক্ত প্রতিসাম্য দ্বি-পক্ষীয় আত্মবিশ্বাসের জন্য একটি সূত্র

CI = m \pm \frac{t_{α} (n) s}{\sqrt{n}}

$\text{CI} = m \pm \frac{t_\alpha(n) s}{\sqrt{n}}$

যেখানে নমুনা গড় স্বাধীন পর্যবেক্ষণ, নমুনা স্ট্যানডার্ড ডেভিয়েশন, তাই আকাঙ্ক্ষিত পরীক্ষা আকার (সর্বোচ্চ মিথ্যা ইতিবাচক রেট), এবং আপার শতকরা এর স্বাধীনতার ডিগ্রি সহ শিক্ষার্থীদের বিতরণ । (প্রচলিত স্বরলিপি থেকে এই সামান্য বিচ্যুতি, বনাম পার্থক্য নিয়ে কোনও ঝগড়া করার কোনও প্রয়োজন বাধা দেওয়ার মাধ্যমে এক্সপোশনকে সহজতর করে , যা যাইহোক অসংলগ্ন হবে be) $m$ $n$ $s$ $2\alpha$ $t_\alpha(n)$ $1-\alpha$ $n-1$ $n$ $n-1$

সাবস্ক্রিপ্ট ব্যবহার এবং সঙ্গে, তুলনা জন্য তথ্য দুটি স্বাধীন সেট পার্থক্য দুই উপায়ে বৃহত্তর সংশ্লিষ্ট, একটি অ আস্থা অন্তর এর -overlap বৈষম্য (নিম্ন আস্থা সীমা 1) দ্বারা প্রকাশ করা হয় (উপরের আস্থা সীমা 2); উদাহরণস্বরূপ , $1$ $2$ $1$ $\gt$

m_{1} - \frac{t_{α} (n_{1}) s_{1}}{\sqrt{n_{1}}} > m_{2} + \frac{t_{α} (n_{2}) s_{2}}{\sqrt{n_{2}}} .

$m_1 - \frac{t_\alpha(n_1) s_1}{\sqrt{n_1}} \gt m_2 + \frac{t_\alpha(n_2) s_2}{\sqrt{n_2}}.$

এটিকে সাধারণ বীজগণিত ম্যানিপুলেশনের সাথে সম্পর্কিত হাইপোথিসিস পরীক্ষার টি-স্ট্যাটিস্টিকের মতো দেখানো যেতে পারে (দুটি উপায়ের তুলনা করতে)

\frac{m_{1} - m_{2}}{\sqrt{s_{1}^{2} / n_{1} + s_{2}^{2} / n_{2}}} > \frac{s_{1} \sqrt{n_{2}} t_{α} (n_{1}) + s_{2} \sqrt{n_{1}} t_{α} (n_{2})}{\sqrt{n_{1} s_{2}^{2} + n_{2} s_{1}^{2}}} .

$\frac{m_1-m_2}{\sqrt{s_1^2/n_1 + s_2^2/n_2}} \gt \frac{s_1\sqrt{n_2}t_\alpha(n_1) + s_2\sqrt{n_1}t_\alpha(n_2)}{\sqrt{n_1 s_2^2 + n_2 s_1^2}}.$

বাম হাতটি হাইপোথিসিস টেস্টে ব্যবহৃত পরিসংখ্যান; এটি সাধারণত শিক্ষার্থীদের টি ডিস্ট্রিবিউশনের পার্সেন্টাইলের সাথে ডিগ্রি স্বাধীনতার সাথে তুলনা করা হয় : যা । ডান হাতটি মূল টি বিতরণের শতকরা ভাগের একটি পক্ষপাতিত ওজনযুক্ত গড়। $n_1+n_2$ $t_\alpha(n_1+n_2)$

বিশ্লেষণ এখনও পর্যন্ত @ ব্রেটের উত্তরটিকে ন্যায়সঙ্গত করেছে: এমন কোনও সহজ সম্পর্ক উপলভ্য বলে মনে হচ্ছে না। যাইহোক, আরও তদন্ত করা যাক। আমি তাই কারণ কি অনুপ্রাণিত করছি, intuitively, আত্মবিশ্বাস অন্তর একটি অ ওভারল্যাপ কর্তব্য কিছু বলে কথা!

প্রথমত, যে বিজ্ঞপ্তি হাইপোথিসিস পরীক্ষা এই ফর্মটি শুধুমাত্র যখন আমরা আশা বৈধ এবং অন্তত প্রায় সমান হতে হবে। (অন্যথায় আমরা কুখ্যাত বেহরেন্স-ফিশার সমস্যা এবং এর জটিলতার মুখোমুখি হয়েছি ।) এর আনুমানিক সমতাটি পরীক্ষা করে , আমরা তখন একটি আনুমানিক তৈরি করতে পারি $s_1$ $s_2$ $s_i$

\frac{m_{1} - m_{2}}{s \sqrt{1 / n_{1} + 1 / n_{2}}} > \frac{\sqrt{n_{2}} t_{α} (n_{1}) + \sqrt{n_{1}} t_{α} (n_{2})}{\sqrt{n_{1} + n_{2}}} .

$\frac{m_1-m_2}{s\sqrt{1/n_1 + 1/n_2}} \gt \frac{\sqrt{n_2}t_\alpha(n_1) + \sqrt{n_1}t_\alpha(n_2)}{\sqrt{n_1 + n_2}}.$

এখানে, । বাস্তবতাত্ত্বিকভাবে, আমাদের আত্মবিশ্বাসের সীমাবদ্ধতার এই অনানুষ্ঠানিক তুলনাটি হিসাবে একই আকারের হওয়া উচিত নয় । আমাদের প্রশ্নটি হ'ল এখানে কোনও রয়েছে কিনা যে ডান হাতটি (টি কমপক্ষে প্রায়) সঠিক টি স্ট্যাটিস্টিকের সমান। যথা, জন্য এটিই সেই ঘটনা $s \approx s_1 \approx s_2$ $\alpha$ $\alpha'$ $\alpha'$

t_{α^{'}} (n_{1} + n_{2}) = \frac{\sqrt{n_{2}} t_{α} (n_{1}) + \sqrt{n_{1}} t_{α} (n_{2})}{\sqrt{n_{1} + n_{2}}} ?

$t_{\alpha'}(n_1+n_2) = \frac{\sqrt{n_2}t_\alpha(n_1) + \sqrt{n_1}t_\alpha(n_2)}{\sqrt{n_1 + n_2}}\text{?}$

দেখা যাচ্ছে যে সমান নমুনা আকারের জন্য, একটি পাওয়ার আইন দ্বারা এবং সংযুক্ত (বেশ উচ্চতর নির্ভুলতার সাথে)। $\alpha$ $\alpha'$ উদাহরণস্বরূপ, (সর্বনিম্ন নীল রেখা), (মাঝের লাল রেখা), (সর্বাধিক সোনার লাইন) এর জন্য দুটির জন্য একটি লগ-লগ প্লট রয়েছে । মাঝের সবুজ ড্যাশযুক্ত রেখাটি নীচে বর্ণিত একটি অনুমান। এই বক্ররেখার সরলতা একটি পাওয়ার আইনকে বোঝায়। এটি দিয়ে পরিবর্তিত হয় , তবে বেশি নয়। $n_1=n_2=2$ $n_1=n_2=5$ $n_1=n_2=\infty$ $n=n_1=n_2$

প্লট 1

উত্তরটি সেট on উপর নির্ভর করে , তবে নমুনা আকারের পরিবর্তনের সাথে এটি কতটা পরিবর্তিত হয় তা অবাক করা স্বাভাবিক। বিশেষত, আমরা আশা করতে পারি যে মাঝারি থেকে বড় নমুনা আকারগুলির জন্য (সম্ভবত বা তার আশেপাশে) নমুনার আকারটিতে কিছুটা পার্থক্য রয়েছে। এই ক্ষেত্রে, আমরা থেকে সম্পর্কিত একটি পরিমাণগত উপায় বিকাশ করতে পারি । $\{n_1, n_2\}$ $n_1 \ge 10, n_2 \ge 10$ $\alpha'$ $\alpha$

নমুনার আকারগুলি একে অপরের থেকে খুব আলাদা না হয় তবে এই পদ্ধতির কাজ সক্রিয় হয়। সরলতার চেতনায়, আমি আত্মবিশ্বাসের ব্যবধানের মধ্যবর্তী আকার সাথে পরীক্ষার আকার গণনা করার জন্য একটি সর্বজনীন সূত্রটি প্রতিবেদন করব । এটাই $\alpha'$ $\alpha$

α^{'} \approx e α^{1.91};

$\alpha' \approx e \alpha^{1.91};$

এটাই,

α^{'} \approx \exp (1 + 1.91 \log (α)) .

$\alpha' \approx \exp(1 + 1.91\log(\alpha)).$

এই সূত্রটি এই সাধারণ পরিস্থিতিতে যুক্তিসঙ্গতভাবে ভাল কাজ করে:

উভয় নমুনা আকার একে অপরের কাছাকাছি, , এবং খুব চরম নয় ( বা তাই)। $n_1 \approx n_2$ $\alpha$ $\alpha \gt .001$
একটি নমুনার আকার অন্য তিনগুণের মধ্যে এবং ছোটটি খুব ছোট নয় (মোটামুটি, চেয়ে বেশি ) এবং আবার খুব চরম নয়। $10$ $\alpha$
একটি নমুনার আকার অন্য তিনবারের মধ্যে এবং বা তার বেশি। $\alpha \gt .02$

প্রথম পরিস্থিতিতে আপেক্ষিক ত্রুটি (আনুমানিক দ্বারা ভাগ করা সঠিক মান) এখানে প্লট করা হয়েছে, নিম্ন (নীল) লাইনটি দেখায় , মাঝের (লাল) রেখাটি কেস , এবং উপরের (সোনার) লাইনটি কেস । দ্বিতীয়টির মধ্যবর্তী অংশটি আমরা দেখতে পাচ্ছি যে নমুনা আকারগুলি মাঝারি (প্রায় 5-50 এর কাছাকাছি) থাকে এবং ব্যবহারিক মানগুলির বিস্তৃত পরিসরের জন্য আনুমানিকতাটি দুর্দান্ত is $n_1=n_2=2$ $n_1=n_2=5$ $n_1=n_2=\infty$ $\alpha$

প্লট 2

একগুচ্ছ আত্মবিশ্বাসের বিরতিতে চোখের ছোঁড়ার জন্য এটি যথেষ্ট ভাল।

সংক্ষিপ্তসার হিসাবে, দুটি আকারের আত্মবিশ্বাসের ব্যবধানগুলি ওভারল্যাপ করার ব্যর্থতা equal এর সমান স্তরে অর্থের পার্থক্যের উল্লেখযোগ্য প্রমাণ , যদি দুটি নমুনা প্রায় সমান মানের বিচ্যুতি হয় এবং প্রায় একই আকার। $2\alpha$ $2e \alpha^{1.91}$

আমি সাধারণ মানের জন্য সন্নিবেশের একটি সারণী দিয়ে শেষ করব । $2\alpha$

$2\alpha$ $2\alpha'$
0.1 0.02

0.05 0.005

0.01 0.0002

0.005 0.00006

উদাহরণস্বরূপ, যখন প্রায় সমান আকারের নমুনাগুলির জন্য দ্বিমুখী 95% সিআই ( ) এর একটি জুড়ি ওভারল্যাপ হয় না, তখন আমাদের লক্ষণীয়ভাবে আলাদা হওয়া উচিত, । সঠিক পি-মান (সমান নমুনা মাপের জন্য ) আসলে ( ) এবং ( ) এর মধ্যে রয়েছে। $2\alpha=.05$ $p \lt .005$ $n$ $.0037$ $n=2$ $.0056$ $n=\infty$

এই ফলাফলটি @ জন দ্বারা উত্তরকে ন্যায়সঙ্গত করেছে (এবং আমি আশা করি উন্নতি হবে)। সুতরাং, পূর্ববর্তী উত্তরগুলি বিরোধে উপস্থিত বলে মনে হলেও, উভয়ই (তাদের নিজস্ব পদ্ধতিতে) সঠিক।

— whuber
সূত্র

7

না, কমপক্ষে একটি সহজ না।

তবে, দুটি উপায়ের মধ্যে পার্থক্যটির টি-টেস্ট এবং দুটি মাধ্যমের মধ্যে পার্থক্যের জন্য আত্মবিশ্বাসের ব্যবধানের মধ্যে একটি সঠিক চিঠিপত্র রয়েছে।

যদি দুটি উপায়ের মধ্যে পার্থক্যের জন্য আত্মবিশ্বাসের ব্যবধানে শূন্য থাকে, তবে এই পার্থক্যের জন্য একটি টি-টেস্ট একই আত্মবিশ্বাসের স্তরে নালকে প্রত্যাখ্যান করতে ব্যর্থ হবে। অনুরূপভাবে যদি আত্মবিশ্বাসের ব্যবধানে 0 থাকে না, টি-পরীক্ষাটি নালটিকে প্রত্যাখ্যান করবে।

এটি দুটি উপায়ের জন্য আত্মবিশ্বাসের অন্তরগুলির মধ্যে ওভারল্যাপের সমান নয়।

— ব্রেট
সূত্র

@ জোহানের উত্তর, যা বর্তমানে বিশদে সঠিকভাবে সঠিক নয়, সঠিকভাবে উল্লেখ করেছে যে হ্যাঁ, আপনি পি-মানগুলি পরীক্ষা করতে সিআই এর ওভারল্যাপগুলি সম্পর্কিত করতে পারেন । সম্পর্ক টি-টেস্টের চেয়ে বেশি জটিল নয়। এটিতে প্রথম লাইনে বর্ণিত আপনার প্রাথমিক উপসংহারের সাথে বিরোধের উপস্থিতি রয়েছে। আপনি এই পার্থক্যটি কীভাবে সমাধান করবেন?

— শুক্রবার

আমি মনে করি না যে এগুলি পরস্পরবিরোধী। আমি কিছু সতর্কতা যোগ করতে পারেন। তবে, সাধারণ অর্থে, অতিরিক্ত অনুমান এবং ব্যবস্থার উপস্থাপনা (বৈকল্পিকতা, নমুনার আকার) এর বাইরে প্যারামিটারগুলি সম্পর্কে জ্ঞান ছাড়াই প্রতিক্রিয়া যেমন দাঁড়িয়ে আছে তেমন। না, কমপক্ষে একটি সহজ না।

— ব্রেট

5

সমান বৈচিত্রের আদর্শ অনুমানের অধীনে, হ্যাঁ, একটি সম্পর্ক রয়েছে। বারগুলি যদি একটি বার * স্কয়ার্ট (2) এর দৈর্ঘ্যের চেয়ে কম হয়ে যায় তবে একটি টি-পরীক্ষা তাদের আলফা = 0.05 এ উল্লেখযোগ্যভাবে পৃথক হতে পারে। বারগুলির শেষ যদি সবে স্পর্শ করে তবে একটি পার্থক্য 0.01 এ পাওয়া যাবে। গোষ্ঠীগুলির জন্য আস্থা অন্তর সমান না হলে সাধারণত গড় লাগে এবং একই নিয়ম প্রয়োগ করে app

বিকল্পভাবে, যদি কোনও মাধ্যমের একটি আত্মবিশ্বাসের ব্যবধানের প্রস্থ যদি ডাব্লু হয় তবে দুটি মানের মধ্যে সর্বনিম্ন উল্লেখযোগ্য পার্থক্য হ'ল ডাব্লু স্কয়ার্ট (2)। এটি সহজ যখন আপনি স্বতন্ত্র গ্রুপগুলির টি-টেস্ট, স্কয়ার্ট (2 * এমএসই / এন), এবং সিআইটির জন্য ফ্যাক্টর, যা বর্গ (এমএসই / এন) বিবেচনা করে।

(অনুমিত 95% সিআই)

সেখানে স্বাধীন মানে প্রায় আস্থা অন্তর থেকে মতামতে উপনীত তৈরীর একটি সহজ কাগজ এর এখানে । এটি এই প্রশ্নের উত্তর দেবে এবং আপনার কাছে থাকতে পারে এমন আরও অনেকগুলি প্রশ্ন রয়েছে।

কামিং, জি।, এবং ফিঞ্চ, এস। (2005, মার্চ) চোখের দ্বারা অনুমান: আত্মবিশ্বাসের ব্যবধান এবং কীভাবে ডেটার ছবিগুলি পড়তে হয়। আমেরিকান সাইকোলজিস্ট , 60 (2), 170-180।

— জন
সূত্র

2

আমি বিশ্বাস করি যে দুটি গ্রুপের একই আকার রয়েছে বলে ধরে নেওয়াও আপনার দরকার।

— হোবার

মোটামুটি, হ্যাঁ ...

— জন