নির্ভরশীল র্যান্ডম ভেরিয়েবলের একটি পণ্যের প্রত্যাশা যখন

18

যাক এবং , । হিসাবে প্রত্যাশা কী ? $X_1 \sim U[0,1]$ $X_i \sim U[X_{i - 1}, 1]$ $i = 2, 3,...$ $X_1 X_2 \cdots X_n$ $n \rightarrow \infty$

mathematical-statistics random-variable expected-value

— usedbywho
সূত্র

7

পেডেন্টিক মন্তব্য:

X_{i} \sim U [X_{i - 1}, 1]

$X_i \sim U[X_{i - 1}, 1]$ অর্থ

X_{i} ∣ X_{1}, \dots, X_{i - 1} \sim U [X_{i - 1}, 1]

$X_i \mid X_1,\ldots,X_{i-1} \sim U[X_{i-1},1]$ ? বিকল্পভাবে এর অর্থ কেবল

on

X_{i - 1}

$X_{i-1}$ , অর্থাৎ

কন্ডিশনার হতে পারে

X_{i} ∣ X_{i - 1} \sim U [X_{i - 1}, 1]

$X_i \mid X_{i-1} \sim U[X_{i-1},1]$ । তবে পরবর্তীকৃত

X_{i}

$X_i$ s এর যৌথ বন্টন সম্পূর্ণরূপে নির্দিষ্ট করে না বলে প্রত্যাশাটি অনন্যভাবে নির্ধারিত কিনা তা তাত্ক্ষণিকভাবে পরিষ্কার নয় clear

— জুহো কোক্কালা

আমি মনে করি তাত্ত্বিক এটা সমস্ত পূর্ববর্তী উপর নিয়ন্ত্রিত হবে

X_{i}

$X_i$ আপ পর্যন্ত

X_{i - 1}

$X_{i - 1}$ । তবে,

given প্রদত্ত

X_{i - 1}

$X_{i - 1}$ আমরা

এর বিতরণ পেতে পারি

X_{i}

$X_i$ । সুতরাং আমি এই সম্পর্কে যথেষ্ট নিশ্চিত নই।

— ব্যবহৃত হয়েছে

@ জুহোকোকালা যেমন বলেছিলেন যে আপনি

before এর আগে ভেরিয়েবলের উপর শর্ত রেখেছিলেন তাতে কিছু যায় আসে না

X_{i - 1}

$X_{i-1}$ কারণ তারা

X_{i}

$X_i$ অভিন্ন

পরিবর্তন করে না

[X_{i - 1}, 1]

$[X_{i-1}, 1]$ ।

এর বিতরণ

(X_{1}, \dots, X_{n})

$(X_1, \ldots , X_n)$ আমার কাছে পুরোপুরি সুসংজ্ঞায়িত বলে মনে হচ্ছে।

— dsaxton

@ ডিএসএক্সটন যদি আমরা কেবল এক্স_1

X_{1} \sim U (0, 1)

$X_1\sim U(0,1)$ এবং

এক্স_ X আই

X_{i} ∣ X_{i - 1} \sim U (X_{i - 1}, 1), i = 2, 3, . . .

$X_i\mid X_{i-1} \sim U(X_{i-1},1), i=2,3,...$ , ধরে নিই

X_{1}

$X_1$ এবং

X_{3}

$X_3$ শর্তাধীন স্বাধীন শর্তসাপেক্ষ নয়

সম্ভব রয়েছে । সুতরাং

সঠিকভাবে সংজ্ঞায়িত হয়নি।

X_{2}

$X_2$

(X_{1}, X_{2}, X_{3})

$(X_1,X_2,X_3)$

— জুহো কোক্কালা

@ জুহোকোকালা যদি আমি আপনাকে বলি যে

X_{2} = t

$X_2=t$ ,

এর বিতরণ

X_{3}

$X_3$ ? আপনি যদি

সম্পর্কে চিন্তা না করেই প্রশ্নের উত্তর দিতে

X_{1}

$X_1$ পারেন, তবে

X_{1}

$X_1$ এবং

কীভাবে

X_{3}

$X_3$ দেওয়া যায় ? এছাড়াও অন্যান্য পোস্টারগুলিকে কীভাবে এই ক্রমটি অনুকরণ করতে কোনও সমস্যা হয়নি তা লক্ষ্য করুন।

X_{2}

$X_2$

— dsaxton

12

উত্তর প্রকৃতপক্ষে , $1/e$ যেমন এর আগে সিমিউলেশন এবং সসীম অনুমান উপর ভিত্তি করে উত্তরগুলিতে যে অনুমিত।

ক্রম চালু করে সমাধানটি সহজেই পৌঁছে যায় । যদিও আমরা তাত্ক্ষণিকভাবে এই পদক্ষেপে এগিয়ে যেতে পারলাম, এটি রহস্যজনক হিসাবে প্রদর্শিত হতে পারে। এই সমাধানের প্রথম অংশটি ব্যাখ্যা করে যে কীভাবে কেউ এই রান্না করতে পারে । দ্বিতীয় অংশটি দেখায় যে তারা কীভাবে মধ্যে সীমাবদ্ধ একটি কার্যকরী সমীকরণ খুঁজে পেতে শোষণ করা হয় । তৃতীয় অংশটি এই কার্যকরী সমীকরণটি সমাধান করার জন্য প্রয়োজনীয় (রুটিন) গণনাগুলি প্রদর্শন করে। $f_n:[0,1]\to[0,1]$ $f_n(t)$ $f(t) = \lim_{n\to\infty}f_n(t)$

1. প্রেরণা

আমরা কিছু মানিক গাণিতিক সমস্যা সমাধানের কৌশল প্রয়োগ করে এটি পৌঁছাতে পারি। এই ক্ষেত্রে, যেখানে কোনও ধরণের অপারেশন পুনরায় বিজ্ঞাপনের পুনরাবৃত্তি হয় , সীমাটি সেই অপারেশনের একটি নির্দিষ্ট পয়েন্ট হিসাবে উপস্থিত থাকবে will মূল কীটি হ'ল অপারেশনটি চিহ্নিত করা।

অসুবিধা থেকে পদক্ষেপ থেকে সৌন্দর্য জটিল। সাথে ভেরিয়েবল সংযুক্ত করার পরিবর্তে সংলগ্ন থেকে ভেরিয়েবল থেকে উদ্ভূত হিসাবে এই পদক্ষেপটি দেখতে সহজ । আমরা বিবেচনা হলে প্রশ্নে বর্ণিত হিসাবে নির্মাণ হচ্ছে - সঙ্গে অবিশেষে বিতরণ , শর্তসাপেক্ষে অবিশেষে বিতরণ , এবং তাই on-- তারপরে প্রবর্তন করা হচ্ছে $E[X_1X_2\cdots X_{n-1}]$ $E[X_1X_2\cdots X_{n-1}X_n]$ $X_1$ $(X_2, \ldots, X_n)$ $X_n$ $(X_1, X_2, \ldots, X_{n-1})$ $(X_2, \ldots, X_n)$ $X_2$ $[0,1]$ $X_3$ $[X_2, 1]$ $X_1$ পরবর্তী প্রতি এক কারণ হবে করার একটি গুণক দ্বারা সঙ্কুচিত সর্বোচ্চ সীমা প্রতি । এই যুক্তিটি স্বাভাবিকভাবেই নিম্নলিখিত নির্মাণের দিকে নিয়ে যায়। $X_i$ $1-X_1$ $1$

একটি প্রাথমিক বিষয় হিসাবে, যেহেতু এটা একটু সহজ এর প্রতি সংখ্যার সঙ্কুচিত দিকে চেয়ে যাক । সুতরাং, অবিশেষে মধ্যে বিতরণ করা হয় এবং অবিশেষে মধ্যে বিতরণ করা হয় শর্তসাপেক্ষ উপর সবার জন্য আমরা দুটি বিষয়ে আগ্রহী: $0$ $1$ $Y_i = 1-X_i$ $Y_1$ $[0,1]$ $Y_{i+1}$ $[0, Y_i]$ $(Y_1, Y_2, \ldots, Y_i)$ $i=1, 2, 3, \ldots.$

এর সীমাবদ্ধকরণের মান । $E[X_1X_2\cdots X_n]=E[(1-Y_1)(1-Y_2)\cdots(1-Y_n)]$
সমস্ত সমানভাবে দিকে সঙ্কুচিত করার সময় এই মানগুলি কীভাবে আচরণ করে তা হ'ল, কিছু সাধারণ ফ্যাক্টর , দ্বারা স্কেল করে । $Y_i$ $0$ $t$ $0 \le t \le 1$

এই শেষ পর্যন্ত, সংজ্ঞা দিন

f_{n} (t) = E [(1 - t Y_{1}) (1 - t Y_{2}) \dots (1 - t Y_{n})] .

$f_n(t) = E[(1-tY_1)(1-tY_2)\cdots(1-tY_n)].$

স্পষ্টত প্রতিটি সংজ্ঞায়িত করা হয় এবং ক্রমাগত (অসীম differentiable, আসলে) সমস্ত বাস্তব জন্য করা হয় । তে জন্য আমরা তাদের আচরণে মনোনিবেশ করব । $f_n$ $t$ $t\in[0,1]$

2. কী পদক্ষেপ

নিম্নলিখিত সুস্পষ্ট:

প্রতিটি থেকে একটি monotonically কমে ফাংশন থেকে । $f_n(t)$ $[0,1]$ $[0,1]$
$f_n(t) \gt f_{n+1}(t)$ সকল । $n$
$f_n(0) = 1$ জন্য সমস্ত । $n$
$E(X_1X_2\cdots X_n) = f_n(1).$

এগুলি বোঝায় যে সমস্ত এবং । $f(t) = \lim_{n\to\infty} f_n(t)$ $t\in[0,1]$ $f(0)=1$

মান্য যে, উপর শর্তাধীন পরিবর্তনশীল মধ্যে অভিন্ন হয় এবং ভেরিয়েবল (সমস্ত পূর্ববর্তী ভেরিয়েবল উপর শর্তাধীন) হয় অভিন্ন : যে , সন্তুষ্ট হওয়া শর্তগুলি দ্বারা সন্তুষ্ট করে । অতএব $Y_1$ $Y_2/Y_1$ $[0,1]$ $Y_{i+1}/Y_1$ $[0, Y_i/Y_1]$ $(Y_2/Y_1, Y_3/Y_1, \ldots, Y_n/Y_1)$ $(Y_1, \ldots, Y_{n-1})$

\begin{aligned} f_{n} (t) & = E [(1 - t Y_{1}) E [(1 - t Y_{2}) \dots (1 - t Y_{n}) | Y_{1}]] \\ = E [(1 - t Y_{1}) E [(1 - t Y_{1} \frac{Y_{2}}{Y_{1}}) \dots (1 - t Y_{1} \frac{Y_{n}}{Y_{1}}) | Y_{1}]] \\ = E [(1 - t Y_{1}) f_{n - 1} (t Y_{1})] . \end{aligned}

$\eqalign{ f_n(t) &= E[(1-tY_1) E[(1-tY_2)\cdots(1-tY_n)\,|\, Y_1]] \\ &= E\left[(1-tY_1) E\left[\left(1 - tY_1 \frac{Y_2}{Y_1}\right)\cdots \left(1 - tY_1 \frac{Y_n}{Y_1}\right)\,|\, Y_1\right]\right] \\ &= E\left[(1-tY_1) f_{n-1}(tY_1)\right]. }$

এটি আমরা পুনরাবৃত্তির সম্পর্কটি খুঁজছিলাম।

হিসাবে সীমাতে অবশ্যই তাই হবে যে জন্য সমস্ত স্বাধীনভাবে এ সমানভাবে বিতরণ করা , $n\to \infty$ $Y$ $[0,1]$ $Y_i$

f (t) = E [(1 - t Y) f (t Y)] = \int_{0}^{1} (1 - t y) f (t y) d y = \frac{1}{t} \int_{0}^{t} (1 - x) f (x) d x .

$f(t) = E[(1 - tY)f(tY)]=\int_0^1 (1 - ty) f(ty) dy = \frac{1}{t}\int_0^t (1-x)f(x)dx.$

অর্থাৎ কার্মিক একটি নির্দিষ্ট বিন্দু হতে হবে , যার জন্য $f$ $\mathcal{L}$

L [g] (t) = \frac{1}{t} \int_{0}^{t} (1 - x) g (x) d x .

$\mathcal{L}[g](t) = \frac{1}{t}\int_0^t (1-x)g(x)dx.$

3. সমাধান গণনা

ভগ্নাংশ সাফ দ্বারা উভয় পক্ষের গুন দ্বারা । যেহেতু ডান হাতটি অবিচ্ছেদ্য, আমরা দেওয়ার ক্ষেত্রে এটির সাথে আলাদা করতে পারি $1/t$ $t$ $t$

f (t) + t f^{'} (t) = (1 - t) f (t) .

$f(t) + tf'(t) = (1-t)f(t).$

সমানভাবে, বিয়োগ করে এবং উভয় পক্ষকে দ্বারা ভাগ করার পরে , $f(t)$ $t$

f^{'} (t) = - f (t)

$f'(t) = -f(t)$

জন্য । আমরা অন্তর্ভুক্ত করার জন্য ধারাবাহিকতায় এটি প্রসারিত করতে পারি । প্রাথমিক শর্ত (3) , অনন্য সমাধান $0 \lt t \le 1$ $t=0$ $f(0)=1$

f (t) = e^{- t} .

$f(t) = e^{-t}.$

ফলে, (4), এর সীমিত প্রত্যাশা দ্বারা হয় , Qed। $X_1X_2\cdots X_n$ $f(1)=e^{-1} = 1/e$

কারণ ম্যাথামেটিকাল এই সমস্যা অধ্যয়নরত জন্য একটি জনপ্রিয় টুল উপস্থিত হতে পারে, এখানে ম্যাথামেটিকাল গনা কোড এবং চক্রান্ত ছোট । চক্রান্ত প্রদর্শনগুলিকে দ্রুত অভিসৃতি (কালো গ্রাফ হিসাবে দেখানো)। $f_n$ $n$ $f_1, f_2, f_3, f_4$ $e^{-t}$

a = 0 <= t <= 1;
l[g_] := Function[{t}, (1/t) Integrate[(1 - x) g[x], {x, 0, t}, Assumptions -> a]];
f = Evaluate@Through[NestList[l, 1 - #/2 &, 3][t]]
Plot[f, {t,0,1}]

— whuber
সূত্র

3

(+1) সুন্দর বিশ্লেষণ।

— কার্ডিনাল

আমাদের সাথে যে ভাগ করে নেওয়ার জন্য আপনাকে ধন্যবাদ। কিছু সত্যই উজ্জ্বল মানুষ আছে সেখানে!

— ফিলিপ জেরার্ড

4

হালনাগাদ

আমি মনে করি এটি নিরাপদ বাজি যে উত্তরটি । আমি গাণিতিক ব্যবহার করে থেকে এবং আমি প্রত্যাশিত মানটির জন্য ইন্টিগ্রালগুলি চালিয়েছি $1/e$ $n=2$ $n=100$ $n=100$

0.367879441171442321595523770161567628159853507344458757185018968311538556667710938369307469618599737077005261635286940285462842065735614

(100 দশমিক স্থানে)। সেই মানটির পারস্পরিক কাজ

2.718281828459045235360287471351873636852026081893477137766637293458245150821149822195768231483133554

পারস্পরিক ও পার্থক্য $e$

-7.88860905221011806482437200330334265831479532397772375613947042032873*10^-31

আমি মনে করি এটি খুব কাছাকাছি, আমি বলতে সাহস করি, যুক্তিযুক্ত কাকতালীয় হতে হবে to

ম্যাথামেটিকাল কোড অনুসরণ করে:

Do[
 x = Table[ToExpression["x" <> ToString[i]], {i, n}];
 integrand = Expand[Simplify[(x[[n - 1]]/(1 - x[[n - 1]])) Integrate[x[[n]], {x[[n]], x[[n - 1]], 1}]]];
 Do[
   integrand = Expand[Simplify[x[[i - 1]] Integrate[integrand, {x[[i]], x[[i - 1]], 1}]/(1 - x[[i - 1]])]],
   {i, n - 1, 2, -1}]
  Print[{n, N[Integrate[integrand, {x1, 0, 1}], 100]}],
 {n, 2, 100}]

আপডেটের সমাপ্তি

এটি উত্তরের চেয়ে বর্ধিত মন্তব্য comment

আমরা যদি বিভিন্ন মানের জন্য প্রত্যাশিত মানটি নির্ধারণ করে একটি জোরপূর্বক শক্তির পথে চলে যাই , তবে কেউ হয়ত কোনও প্যাটার্নটি সনাক্ত করতে পারে এবং তারপরে একটি সীমা নিতে সক্ষম হয়। $n$

জন্য , আমরা পণ্য হচ্ছে প্রত্যাশিত মান আছে $n=5$

μ_{n} = \int_{0}^{1} \int_{x_{1}}^{1} \int_{x_{2}}^{1} \int_{x_{3}}^{1} \int_{x_{4}}^{1} \frac{x_{1} x_{2} x_{3} x_{4} x_{5}}{(1 - x_{1}) (1 - x_{2}) (1 - x_{3}) (1 - x_{4})} d x_{5} d x_{4} d x_{3} d x_{2} d x_{1}

$\mu_n=\int _0^1\int _{x_1}^1\int _{x_2}^1\int _{x_3}^1\int _{x_4}^1\frac{x_1 x_2 x_3 x_4 x_5}{(1-x_1) (1-x_2) (1-x_3) (1-x_4)}dx_5 dx_4 dx_3 dx_2 dx_1$

যা 96547/259200 বা আনুমানিক 0.3724807098765432।

আমরা যদি 0 থেকে 1 এ অবিচ্ছেদ্যটি ফেলে রাখি, তবে থেকে এর নীচের ফলাফলগুলি সহ আমাদের মধ্যে একটি বহুপদী রয়েছে (এবং বিষয়গুলি পড়ার জন্য কিছুটা সহজ করার জন্য আমি সাবস্ক্রিপ্টটি ফেলেছি): $x_1$ $n=1$ $n=6$

$x$

$(x + x^2)/2$

$(5x + 5x^2 + 2x^3)/12$

$(28x + 28x^2 + 13x^3 + 3x^4)/72$

$(1631x + 1631x^2 + 791x^3 + 231x^4 + 36x^5)/4320$

$(96547x + 96547x^2 + 47617x^3 + 14997x^4 + 3132x^5 + 360x^6)/259200$

যদি কেউ পূর্ণসংখ্যা সহগের ফর্মটি স্বীকৃতি দেয়, তবে সম্ভবত হিসাবে একটি সীমা নির্ধারণ করা যেতে পারে (0 থেকে 1 পর্যন্ত সংহত করার পরে যা অন্তর্নিহিত বহুপদী দেখানোর জন্য সরানো হয়েছিল)) $n\rightarrow\infty$

— JimB
সূত্র

1 / e

$1/e$ সুন্দর মার্জিত! :)

— নেকড়েরা

4

দুর্দান্ত প্রশ্ন। একটি দ্রুত মন্তব্য হিসাবে, আমি নোট করব:

$X_n$ দ্রুত 1 তে রূপান্তরিত হবে, সুতরাং মন্টি কার্লো চেকিংয়ের জন্য, নির্ধারণের কৌশলটি আরও বেশি কাজ করবে। $n = 1000$
যদি , তবে মন্টি কার্লো সিমুলেশন দ্বারা , । $Z_n = X_1 X_2 \dots X_n$ $n \rightarrow \infty$ $E[Z_n] \approx 0.367$
নিম্নলিখিত চিত্রটি এর সিমুলেটেড মন্টি কার্লো একটি পাওয়ার ফাংশন বিতরণ [অর্থাত্ একটি বিটা (a, 1) পিডিএফ) এর সাথে তুলনা করে ] $Z_n$

f (z) = a z^{a - 1}

$f(z) = a z^{a-1}$

... এখানে প্যারামিটার সহ : $a=0.57$

_{(উত্স: tri.org.au )}

কোথায়:

নীল বক্ররেখার মধ্যে এর মন্টি কার্লো 'অভিজ্ঞতামূলক' পিডিএফ $Z_n$
লাল ড্যাশযুক্ত বক্ররেখা একটি পাওয়ারফানশন পিডিএফ।

ফিট বেশ ভাল দেখা যাচ্ছে।

কোড

এখানে পণ্যটির 1 মিলিয়ন অঙ্কন রয়েছে ( দিয়ে বলুন ), এখানে ম্যাথমেটিকাকে ব্যবহার করে : $Z_n$ $n = 1000$

data = Table[Times @@ NestList[RandomReal[{#, 1}] &, RandomReal[], 1000], {10^6}];

নমুনাটির অর্থ হ'ল:

 Mean[data]

0.367657

— wolfies
সূত্র

আপনি কি আপনার পুরো কোডটি ভাগ করতে পারেন? আমার সমাধান আপনার চেয়ে পৃথক।

1

প্রথম বুলেট পয়েন্ট, যা গুরুত্বপূর্ণ, এটি যথেষ্টভাবে ন্যায়সঙ্গত বলে মনে হয় না। আপনি এর পরবর্তী মানগুলির প্রভাবকে কেন খারিজ করতে পারেন ? "দ্রুত" একত্রিত হওয়া সত্ত্বেও, তাদের ক্রমবর্ধমান প্রভাবটি প্রত্যাশাটিকে যথেষ্ট হ্রাস করতে পারে।

10^{100}

$10^{100}$

x_{n}

$x_n$

— শুক্রবার

1

সিমুলেশন এর ভাল ব্যবহার এখানে। আমার মত @ প্রশ্ন হিসাবে একই প্রশ্ন আছে। আমরা কীভাবে নিশ্চিত হতে পারি যে মানটি 0.367 তে রূপান্তরিত হয়েছে তবে কিছু কম নয়, যা বড় হলে সম্ভাব্য সম্ভব ?

n

$n$

— ব্যবহৃত হয়েছে

উপরের ২ টি মন্তব্যের উত্তরে: (ক) সিরিজটি খুব দ্রুত 1 এ রূপান্তরিত হয়েছে এমনকি এমনকি প্রায় 60 টি পুনরাবৃত্তির মধ্যে এর প্রাথমিক মান দিয়ে শুরু করে , a একটি কম্পিউটারে সংখ্যার 1.0 থেকে সংখ্যায় পৃথক হতে পারে । সুতরাং, কে দিয়ে অনুকরণ করা ওভারকিল। (খ) মন্টি কার্লো পরীক্ষার অংশ হিসাবে, আমি একই সিমুলেশনটি পরীক্ষা করেছিলাম (1 মিলিয়ন রান সহ) তবে 1000 এর পরিবর্তে ব্যবহার করেছি , এবং ফলাফলগুলি পৃথক পৃথক। সুতরাং, এটি অসম্ভাব্য যে বড় মান মনে কোনো আপাত পার্থক্য করতে হবে: উপরে , হয় কার্যকরভাবে 1.0।

X_{i}

$X_i$

X_{1} = 0.1

$X_1 = 0.1$

X_{60}

$X_{60}$

X_{n}

$X_n$

n = 1000

$n = 1000$

n = 5000

$n = 5000$

n

$n$

n = 100

$n=100$

X_{n}

$X_n$

— নেকড়েরা

0

নিখুঁত স্বজ্ঞাতভাবে এবং রুস্টির অন্যান্য উত্তরের উপর ভিত্তি করে, আমি মনে করি উত্তরটি এমন কিছু হওয়া উচিত:

n = 1:1000
x = (1 + (n^2 - 1)/(n^2)) / 2
prod(x)

যা আমাদের দেয় 0.3583668। প্রতিটি , আপনি অর্ধেক রেঞ্জটি বিভক্ত করছেন , যেখানে থেকে শুরু হয় । সুতরাং এটি ইত্যাদি $X$ $(a,1)$ $a$ $0$ $1/2, (1 + 3/4)/2, (1 + 8/9)/2$

এটি কেবল স্বজ্ঞাততা।

রুস্টির উত্তরের সমস্যাটি হ'ল প্রতিটি একক সিমুলেশনে ইউ [1] অভিন্ন। সিমুলেশনগুলি স্বতন্ত্র নয়। এই জন্য একটি সমাধান সহজ। U[1] = runif(1,0,1)প্রথম লুপটির ভিতরে দিয়ে লাইনটি সরান । ফলাফল হলো:

set.seed(3)    #Just for reproducibility of my solution

n = 1000    #Number of random variables
S = 1000    #Number of Monte Carlo samples

Z = rep(NA,S)
U = rep(NA,n)

for(j in 1:S){
    U[1] = runif(1,0,1)
    for(i in 2:n){
        U[i] = runif(1,U[i-1],1)
    }
    Z[j] = prod(U)
}

mean(Z)

এই দেয় 0.3545284।

— জেসিকা
সূত্র

1

খুব সাধারণ ফিক্স! আমার ধারণা এটি সত্য, কোডটিতে সবসময় একটি বাগ থাকে! আমি আমার উত্তর নেব।

1

হ্যাঁ, আপনি যখন অপেক্ষাকৃত মানগুলি নিম্ন সীমা হিসাবে প্লাগ করেন তখন ঠিক সেইটাই হচ্ছিল যা আমি প্রত্যাশা করেছিলাম।

1

আমি আপনার কোডটি দিয়ে এবং উত্তর হিসাবে পেয়েছি । এটি কি একটু অদ্ভুত নয় কারণ এটি যদি কোনও মানকে রূপান্তরিত করে তবে আরও বেশি রান আমাদেরকে সেই মানটির কাছাকাছি নিয়ে যায় না?

S = 10000

$S = 10000$

0.3631297

$0.3631297$

— ব্যবহৃত হয়েছে