আপনি কীভাবে দেখতে পাচ্ছেন যে একটি মার্কভ চেইন অপরিবর্তনীয়?

12

মার্কোভ চেইনের সম্পত্তি অপরিশোধনযোগ্য বুঝতে আমার কিছুটা সমস্যা হচ্ছে ।

অপ্রয়োজনীয় বলতে বলা হয় যে স্টোকাস্টিক প্রক্রিয়া "যে কোনও রাজ্য থেকে যে কোনও রাজ্যে যেতে পারে"।

তবে এটি রাষ্ট্র থেকে যেতে পারে কিনা তা নির্ধারণ করে $i$ রাষ্ট্র $j$ , না যেতে পারে না?

রাষ্ট্র $j$ হয় প্রবেশযোগ্য (লিখিত $i\rightarrow j$ ) রাষ্ট্র থেকে $i$ , যদি পূর্ণসংখ্যার উপস্থিতি থাকে $n_{ij}>0$ St

P (X_{n_{i j}} = j | X_{0} = i) = p_{i j}^{(n_{i j})} > 0

$P(X_{n_{ij}}=j\space |\space X_0=i)=p_{ij}^{(n_{ij})} >0$

তাহলে যোগাযোগ করা হয় $i\rightarrow j$ এবং $j \rightarrow i$ ।

এই অদম্যতা থেকে একরকম অনুসরণ।

stochastic-processes markov-process

— mavavilj
সূত্র

"অ্যাক্সেসযোগ্যতা" সম্পর্কে স্বজ্ঞাততা কী? আমি বুঝতে পারছি না শর্তাধীন সম্ভাবনা কেন কিছু "অ্যাক্সেসযোগ্য" করে তোলে?

— mavavilj

আপনি অ্যাক্সেসিবিলিটি পয়েন্ট থেকে দেখতে পারেন । রাষ্ট্র

j

$j$ এর থেকে অ্যাক্সেসযোগ্য বলে বলা হয়

i

$i$ যদি সেখানে থেকে যাওয়ার কোনও সুযোগ না থাকে

i

$i$ এটি কোনও পদক্ষেপের জন্য

n

$n$ এই ইভেন্টের সম্ভাবনা রয়ে গেছে

0

$0$ । অ্যাক্সেসিবিলিটির সংজ্ঞা তৈরি করার জন্য একটিকে পরিমাণগুলি পরিবর্তন করা উচিত, অর্থাত্‍

\forall

$\forall$ প্রতি

\exists

$\exists$ এবং

= 0

$=0$ প্রতি

\neq 0

$\neq 0$ (যা একই রকম

> 0

$>0$ , যেহেতু সম্ভাবনাটি ইতিবাচক)।

— nmerci

12

ট্রানজিশন ম্যাট্রিক্সের জন্য এখানে তিনটি উদাহরণ রয়েছে, হ্রাসযোগ্য কেসের জন্য প্রথম দুটি, অপরিবর্তনীয় একের জন্য শেষ।

\begin{array}{rcl} P_{1} & = & (\begin{array}{cccc} 0.5 & 0.5 & 0 & 0 \\ 0.9 & 0.1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0.2 & 0.8 \\ 0 & 0 & 0.7 & 0.3 \end{array}) \\ P_{2} & = & (\begin{array}{cccc} 0.1 & 0.1 & 0.4 & 0.4 \\ 0.5 & 0.1 & 0.1 & 0.3 \\ 0.2 & 0.4 & 0.2 & 0.2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}) \end{array}

$\begin{eqnarray*} P_1 &=& \left( \begin{array}{cccc} 0.5 & 0.5 & 0 & 0 \\ 0.9 & 0.1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0.2 & 0.8 \\ 0 & 0 & 0.7 & 0.3 \end{array} \right) \\\\ P_2 &=& \left( \begin{array}{cccc} 0.1 & 0.1 & 0.4 & 0.4 \\ 0.5 & 0.1 & 0.1 & 0.3 \\ 0.2 & 0.4 & 0.2 & 0.2 \\ 0 & 0 & 0 & 1% \end{array} \right) \end{eqnarray*}$ জন্য

P_{1}

$P_1$ , আপনি যখন 3 বা 4 রাজ্যে থাকবেন তখন আপনি সেখানেই থাকবেন এবং 1 এবং 2 রাজ্যের ক্ষেত্রেও একই থাকবে example উদাহরণস্বরূপ, রাজ্য 1 থেকে রাজ্য 3 বা 4 এ যাওয়ার কোনও উপায় নেই।

জন্য $P_2$ , আপনি 1 থেকে 3 রাজ্য থেকে যে কোনও রাজ্যে যেতে পারেন, তবে একবার আপনি রাজ্যে 4 এ গেলে আপনি সেখানেই থাকবেন।

P_{3} = (\begin{array}{cccccc} 0.5 & 0.5 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0.9 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0.1 \\ 0 & 0 & 0 & 0.8 & 0 & 0.2 \\ 0.7 & 0 & 0.1 & 0 & 0.2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0.1 & 0.9 & 0 \\ 0.9 & 0 & 0 & 0 & 0.1 & 0 \end{array})

$P_3=\left( \begin{array}{cccccc} 0.5 & 0.5 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0.9 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0.1 \\ 0 & 0 & 0 & 0.8 & 0 & 0.2 \\ 0.7 & 0 & 0.1 & 0 & 0.2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0.1 & 0.9 & 0 \\ 0.9 & 0 & 0 & 0 & 0.1 & 0% \end{array} \right)$ এই উদাহরণস্বরূপ, আপনি যে কোনও রাজ্যেই শুরু করতে পারেন এবং এখনও অন্য যে কোনও রাজ্যে পৌঁছে যেতে পারেন, যদিও এক ধাপে অগত্যা নয়।

— ক্রিস্টোফ হ্যাঙ্ক
সূত্র

5

রাষ্ট্র $j$ বলা হয় যে এটি একটি রাষ্ট্র থেকে অ্যাক্সেসযোগ্য $i$ (সাধারণত দ্বারা চিহ্নিত $i \to j$ ) যদি কিছু উপস্থিত থাকে $n\geq 0$ যেমন যে:

p_{i j}^{n} = P (X_{n} = j ∣ X_{0} = i) > 0

$p^n_{ij}=\mathbb P(X_n=j\mid X_0=i) > 0$ অর্থাত্, রাজ্য থেকে কেউ পেতে পারেন

i

$i$ রাজ্যে

j

$j$ ভিতরে

n

$n$ সম্ভাবনা সহ পদক্ষেপ

p_{i j}^{n}

$p^n_{ij}$ ।

যদি উভয় $i\to j$ এবং $j\to i$ সত্য তারপর রাজ্য রাখা $i$ এবং $j$ যোগাযোগ (সাধারণত দ্বারা চিহ্নিত $i\leftrightarrow j$ )। অতএব, মার্কভ চেইন হয় সরলীকরণযোগ্য যদি প্রতিটি দুই রাজ্যের যোগাযোগ।

— nmerci
সূত্র

হয়

n

$n$ ভিতরে

p_{i j}^{n}

$p_{ij}^n$ একটি শক্তি বা একটি সূচক?

— mavavilj

এটি একটি সূচক। তবে এর একটি ব্যাখ্যা আছে: যদি

P = (p_{i j})

$\mathbf P=(p_{ij})$ একটি রূপান্তর সম্ভাবনা ম্যাট্রিক্স হতে পারে, তারপর

p_{i j}^{n}

$p_{ij}^n$ হয়

i j

$ij$ - তম উপাদান

P^{n}

$\mathbf P^n$ (এখানে

n

$n$ একটি শক্তি)।

— nmerci

2

দিন $i$ এবং $j$ একটি মার্কভ চেইন দুটি স্বতন্ত্র রাষ্ট্র হতে। প্রক্রিয়াটি রাষ্ট্র থেকে যাওয়ার জন্য যদি কিছু ইতিবাচক সম্ভাবনা থাকে $i$ রাষ্ট্র $j$ , পদক্ষেপের সংখ্যা যাই হোক না কেন (1, 2, 3 বলুন) $\cdots$ ), তারপরে আমরা সেই রাষ্ট্রটি বলি $j$ রাষ্ট্র থেকে অ্যাক্সেসযোগ্য $i$ ।

উল্লেখযোগ্যভাবে, আমরা এটি হিসাবে প্রকাশ করি $i\rightarrow j$ । সম্ভাবনার শর্তাবলী, এটি নিম্নলিখিত হিসাবে প্রকাশ করা হয়: একটি রাষ্ট্র $j$ রাষ্ট্র থেকে অ্যাক্সেসযোগ্য $i$ , যদি কোনও পূর্ণসংখ্যা থাকে $m>0$ যেমন যে $p_{ij}^{(m)}>0$ ।

একইভাবে, আমরা এটি বলি যে, $j\rightarrow i$ , যদি কোনও পূর্ণসংখ্যা থাকে $n>0$ যেমন যে $p_{ji}^{(n)}>0$ ।

এখন, যদি উভয় $i\rightarrow j$ এবং $j\rightarrow i$ সত্য, তারপরে আমরা বলি যে রাজ্যগুলি $i$ এবং $j$ একে অপরের সাথে যোগাযোগ করুন, এবং উল্লেখযোগ্যভাবে হিসাবে প্রকাশ করা হয় $i \leftrightarrow j$ । সম্ভাবনার শর্তে, এর অর্থ এই যে, দুটি পূর্ণসংখ্যা রয়েছে $m>0,\;\; n>0$ যেমন যে $p_{ij}^{(m)}>0$ এবং $p_{ji}^{(n)}>0$ ।

মার্কভ চেইনের সমস্ত রাজ্য যদি একটি বন্ধ যোগাযোগের শ্রেণীর অন্তর্ভুক্ত হয় , তবে এই শৃঙ্খলাটিকে অপ্রতিয়োগযোগ্য মার্কভ চেইন বলা হয় । অদম্যতা চেইনের একটি সম্পত্তি property

অপ্রত্যাশিত মার্কভ চেইনে প্রক্রিয়াটি যে কোনও রাজ্য থেকে যে কোনও রাজ্যে যেতে পারে, যত ধাপে এটি প্রয়োজন হয়।

— LVRao
সূত্র

1

বিদ্যমান কিছু উত্তর আমার কাছে ভুল বলে মনে হচ্ছে।

জে মেডি (পৃষ্ঠা 79৯, সংস্করণ ৪) দ্বারা স্টোকাস্টিক প্রক্রিয়াগুলিতে উদ্ধৃত হিসাবে , একটি মার্কভ চেইন অপরিবর্তনীয়, যদি এতে রাষ্ট্রের স্থান ব্যতীত অন্য কোনও উপযুক্ত 'বদ্ধ' উপসর্গ না থাকে।

সুতরাং যদি আপনার রূপান্তর সম্ভাবনার ম্যাট্রিক্সে, এমন একটি রাজ্যের উপসেট রয়েছে যেমন আপনি এই রাজ্যগুলি বাদে অন্য কোনও রাজ্যে 'পৌঁছন' (বা অ্যাক্সেস) করতে পারবেন না, তবে মার্কভ চেইন হ্রাসযোগ্য। অন্যথায় মার্কভ চেইন অপরিবর্তনীয়।

— সৃষ্টিসংক্রান্ত
সূত্র

-1

প্রথমে সতর্ক করার একটি শব্দ: আপনার যদি এর কারণ হওয়ার গুরুতর কারণ না থাকে তবে কখনও ম্যাট্রিক্সের দিকে তাকান না: আমি কেবলমাত্র ভুলরূপে টাইপ করা অঙ্কগুলি পরীক্ষা করা, বা পাঠ্যপুস্তকটিতে পড়াটিই ভাবতে পারি।

যদি $P$ আপনার রূপান্তর ম্যাট্রিক্স, গণনা $\exp(P)$ । যদি সমস্ত এন্ট্রি ননজারো হয়, তবে ম্যাট্রিক্সটি অদম্য। অন্যথায়, এটি হ্রাসযোগ্য। যদি $P$ খুব বড়, গণনা $P^n$ সঙ্গে $n$ আপনি পারেন হিসাবে বড়। একই পরীক্ষা, কিছুটা কম নির্ভুল।

অপ্রয়োজনীয়তার অর্থ: সীমাবদ্ধ পদক্ষেপে আপনি যে কোনও রাজ্য থেকে অন্য কোনও রাজ্যে যেতে পারেন।

ক্রিস্টোফ হ্যাঙ্কের উদাহরণে $P_3$ , আপনি রাজ্য 1 থেকে রাজ্য 6 এ সরাসরি যেতে পারবেন না, তবে আপনি 1 -> 2 -> 6 যেতে পারেন

— তিতাস
সূত্র

1

আপনি কীভাবে সংজ্ঞা দেন "রাষ্ট্র থেকে যেতে পারেন

i

$i$ রাষ্ট্র

j

$j$ "?

— mavavilj

1

আপনার সত্যই আপনার শিক্ষককে জিজ্ঞাসা করা উচিত। তিনি আপনাকে খাবেন না, আপনি জানেন।

— শিরোনাম

আপনি যখন এক্সপ (পি) ব্যবহার করেন আপনি ম্যাট্রিক্স এক্সফেনশনিয়াল ওটি উল্লেখ করছেন? অথবা

e^{P_{i j}}

$e^{P_{ij}}$ , যেখানে i, j ম্যাট্রিক্স পি এর আইজ পদ?

— হুনলে

আমি ম্যাট্রিক্স সূচকীয় উল্লেখ করছি

— তিতাস