দুটি সাধারণ বিতরণের মধ্যে পার্থক্য বিতরণ

21

আমার কাছে সাধারণ বিতরণের দুটি সম্ভাব্য ঘনত্বের কার্য রয়েছে:

f_{1} (x_{1} | μ_{1}, σ_{1}) = \frac{1}{σ_{1} \sqrt{2 π}} e^{- \frac{(x - μ_{1})^{2}}{2 σ_{1}^{2}}}

$f_1(x_1 \; | \; \mu_1, \sigma_1) = \frac{1}{\sigma_1\sqrt{2\pi} } \; e^{ -\frac{(x-\mu_1)^2}{2\sigma_1^2} }$

এবং

f_{2} (x_{2} | μ_{2}, σ_{2}) = \frac{1}{σ_{2} \sqrt{2 π}} e^{- \frac{(x - μ_{2})^{2}}{2 σ_{2}^{2}}}

$f_2(x_2 \; | \; \mu_2, \sigma_2) = \frac{1}{\sigma_2\sqrt{2\pi} } \; e^{ -\frac{(x-\mu_2)^2}{2\sigma_2^2} }$

আমি $x_1$ এবং মধ্যে বিচ্ছিন্নতার সম্ভাবনা ঘনত্ব ফাংশনটি সন্ধান করছি $x_2$ । আমি মনে করি তার মানে আমি সম্ভাব্যতা ঘনত্বের ফাংশনটি সন্ধান করছি $|x_1 - x_2|$ । এটা কি ঠিক? আমি এটি কীভাবে খুঁজে পাব?

distributions normal-distribution distance

— Martijn
সূত্র

এটি যদি হোমওয়ার্ক হয় তবে self-studyট্যাগটি ব্যবহার করুন । আমরা হোমওয়ার্কের প্রশ্নগুলি গ্রহণ করি, তবে আমরা এখানে তাদের সামান্য আলাদাভাবে পরিচালনা করি।

— শ্যাডটলকার

এছাড়াও, আমি "সেই লোক" হতে চাই না তবে আপনি কি গুগল চেষ্টা করেছিলেন? "সাধারণ বিতরণের মধ্যে পার্থক্য" আমাকে এখনই একটি উত্তর খুঁজে পেয়েছে।

— ছায়াছবির

@ এসএসডেকট্রোল না, হোমওয়ার্ক নয়, তবে এটি একটি শখের প্রকল্পের জন্য, তাই যদি আমি সঠিক ট্র্যাকের উপরে রাখি তবে নিজেকে কিছু জিনিস সন্ধান করতে আমার আপত্তি নেই। আমি গুগল চেষ্টা করেছিলাম, তবে বিষয়টি সম্পর্কে আমার উপলব্ধি এতটাই সীমিত যে এটি সম্ভবত আমার সামনে উপস্থিত থাকলে আমি এটি চিনতে পারতাম না। উদ্ধৃতি সহ আমি কিছু এক্স এর জন্য "একটি সাধারণ বন্টন এবং এক্স এর মধ্যে পার্থক্য কী" এর অনুরূপ প্রচুর স্টাফ পেয়েছি।

— মার্টিজন

26

এই বিতরণ দ্বারা পরিচালিত দুটি র্যান্ডম ভেরিয়েবল এবং স্বাধীন বলে ধরে নিয়ে এই প্রশ্নের উত্তর দেওয়া যেতে পারে । $X_1$ $X_2$ এটি তাদের পার্থক্যটিকে সাধারন এবং বৈকল্পিক সহ সাধারণ করে তোলে । (নিম্নলিখিত সমাধান সহজেই যে কোনও দ্বিখণ্ডিত সাধারণ বিতরণে সাধারণী করা যায় $X = X_2-X_1$ $\mu = \mu_2-\mu_1$ $\sigma^2=\sigma_1^2 + \sigma_2^2$ ।) এইভাবে চলক $(X_1, X_2)$

Z = \frac{X - μ}{σ} = \frac{X_{2} - X_{1} - (μ_{2} - μ_{1})}{\sqrt{σ_{1}^{2} + σ_{2}^{2}}}

$Z = \frac{X-\mu}{\sigma} = \frac{X_2 - X_1 - (\mu_2 - \mu_1)}{\sqrt{\sigma_1^2 + \sigma_2^2}}$

একটি স্ট্যান্ডার্ড নরমাল ডিস্ট্রিবিউশন (এটি শূন্য গড় এবং ইউনিট বৈকল্পিক সহ) এবং has

এক্স = σ (জেড + + \frac{μ}{σ}) ।

$X = \sigma \left(Z + \frac{\mu}{\sigma}\right).$

মুখের ভাব

| {এক্স}_{2} - {এক্স}_{1} | = | এক্স | = \sqrt{{এক্স}^{2}} = σ \sqrt{{(জেড + + \frac{μ}{σ})}^{2}}

$|X_2 - X_1| = |X| = \sqrt{X^2} = \sigma\sqrt{\left(Z + \frac{\mu}{\sigma}\right)^2}$

একটি বর্গমূল একটি ছোটো সংস্করণ হিসেবে পরম পার্থক্য প্রদর্শণ অ কেন্দ্রীয় চি-স্কোয়ারড বন্টন স্বাধীনতা এবং noncentrality প্যারামিটারের এক ডিগ্রী অর্জন । এই পরামিতিগুলির সাথে একটি অ-কেন্দ্রীয় চি-স্কোয়ার বিতরণে সম্ভাবনার উপাদান রয়েছে $\lambda=(\mu/\sigma)^2$

চ (Y) ঘ Y = \frac{\sqrt{Y}}{\sqrt{2 π}} ই^{\frac{1}{2} (- λ - Y)} ক্ষুদ্র ভারী দণ্ড (\sqrt{λ Y}) \frac{ঘ Y}{Y}, Y > 0।

$f(y)dy = \frac{\sqrt{y}}{\sqrt{2 \pi } } e^{\frac{1}{2} (-\lambda -y)} \cosh \left(\sqrt{\lambda y} \right) \frac{dy}{y},\ y \gt 0.$

লিখন জন্য মধ্যে একটি একের সাথে এক সাদৃশ্য স্থাপন করে এবং তার বর্গমূল, যার ফলে $y=x^2$ $x \gt 0$ $y$

f (y) d y = f (x^{2}) d (x^{2}) = \frac{\sqrt{x^{2}}}{\sqrt{2 π}} e^{\frac{1}{2} (- λ - x^{2})} \cosh (\sqrt{λ x^{2}}) \frac{d x^{2}}{x^{2}} .

$f(y)dy = f(x^2) d(x^2) = \frac{\sqrt{x^2}}{\sqrt{2 \pi } } e^{\frac{1}{2} (-\lambda -x^2)} \cosh \left(\sqrt{\lambda x^2} \right) \frac{dx^2}{x^2}.$

এটি সরল করে এবং তারপরে দ্বারা উদ্ধার করে কাঙ্ক্ষিত ঘনত্ব দেয়, $\sigma$

f_{| X |} (x) = \frac{1}{σ} \sqrt{\frac{2}{π}} \cosh (\frac{x μ}{σ^{2}}) \exp (- \frac{x^{2} + μ^{2}}{2 σ^{2}}) .

$f_{|X|}(x) = \frac{1}{\sigma}\sqrt{\frac{2}{\pi}} \cosh\left(\frac{x\mu}{\sigma^2}\right) \exp\left(-\frac{x^2 + \mu^2}{2 \sigma^2}\right).$

এই ফলাফল সিমিউলেশন দ্বারা সমর্থিত, যেমন 100,000 স্বাধীন এই হিস্টোগ্রাম অঙ্কন হিসাবে (কোডে "X" বলা হয়) পরামিতি সঙ্গে । এটিতে গ্রাফ প্লট করা হয়েছে যা হিস্টগ্রামের মানগুলির সাথে ঝরঝরে। $|X|=|X_2-X_1|$ $\mu_1=-1, \mu_2=5, \sigma_1=4, \sigma_2=1$ $f_{|X|}$

Rএই সিমুলেশন কোড অনুসরণ করে।

#
# Specify parameters
#
mu <- c(-1, 5)
sigma <- c(4, 1)
#
# Simulate data
#
n.sim <- 1e5
set.seed(17)
x.sim <- matrix(rnorm(n.sim*2, mu, sigma), nrow=2)
x <- abs(x.sim[2, ] - x.sim[1, ])
#
# Display the results
#
hist(x, freq=FALSE)
f <- function(x, mu, sigma) {
 sqrt(2 / pi) / sigma * cosh(x * mu / sigma^2) * exp(-(x^2 + mu^2)/(2*sigma^2)) 
}
curve(f(x, abs(diff(mu)), sqrt(sum(sigma^2))), lwd=2, col="Red", add=TRUE)

— whuber
সূত্র

স্কোয়ার পার্থক্য পেতে চাইলে এটি কীভাবে আলাদা হবে? উদাহরণস্বরূপ যদি আমি

?

(f_{1} (.) - f_{2} (.))^{2}

$(f_1(.) -f_2(.))^2$

— ব্যবহারকারী 77005

1

@ user77005 এর উত্তরটি আমার পোস্টে রয়েছে: এটি একটি অ-কেন্দ্রীয় চি-স্কোয়ার বিতরণ। বিস্তারিত জানার জন্য লিঙ্কটি অনুসরণ করুন।

— whuber

22

আমি একটি উত্তর প্রদান করছি যা @ যাহার দ্বারা একটি পরিপূরক হয় এই অর্থে যে কোনও অ-পরিসংখ্যানবিদ (যিনি এমন এক ব্যক্তি যিনি এক-ডিগ্রি স্বাধীনতার সাথে অ-কেন্দ্রীয় চি-বর্গ বিতরণ সম্পর্কে বেশি জানেন না) লিখতে পারেন, এবং যে একটি নিওফাইট তুলনামূলকভাবে সহজে অনুসরণ করতে পারে।

$Z = X_1-X_2 \sim N(\mu, \sigma^2)$ $\mu = \mu_1-\mu_2$ $\sigma^2 = \sigma_1^2+\sigma_2^2$ $x \geq 0$

\begin{aligned} F_{| Z |} (x) & ≜ P {| Z | \leq x} \\ = P {- x \leq Z \leq x} \\ = P {- x < Z \leq x} & since Z is a continuous random variable \\ = F_{Z} (x) - F_{Z} (- x), \end{aligned}

$\begin{align} F_{|Z|}(x) &\triangleq P\{|Z| \leq x\}\\ &= P\{-x \leq Z \leq x\}\\ &= P\{-x < Z \leq x\} &\scriptstyle{\text{since}~Z~\text{is a continuous random variable}}\\ &= F_Z(x) - F_Z(-x), \end{align}$

F_{| Z |} (x) = 0

$F_{|Z|}(x) = 0$

x < 0

$x < 0$

x

$x$

\begin{aligned} f_{| Z |} (x) & ≜ \frac{\partial}{\partial x} F_{| Z |} (x) \\ = [f_{Z} (x) + f_{Z} (- x)] 1_{(0, \infty)} (x) \\ = [\frac{\exp (- \frac{(x - μ)^{2}}{2 σ^{2}})}{σ \sqrt{2 π}} + \frac{\exp (- \frac{(x + μ)^{2}}{2 σ^{2}})}{σ \sqrt{2 π}}] 1_{(0, \infty)} (x) \\ = \frac{\exp (- \frac{x^{2} + μ^{2}}{2 σ^{2}})}{σ \sqrt{2 π}} (\exp (\frac{x μ}{σ^{2}}) + \exp (\frac{x μ}{σ^{2}})) 1_{(0, \infty)} (x) \\ = \frac{1}{σ} \sqrt{\frac{2}{π}} \cosh (\frac{x μ}{σ^{2}}) \exp (- \frac{x^{2} + μ^{2}}{2 σ^{2}}) 1_{(0, \infty)} (x) \end{aligned}

$\begin{align}f_{|Z|}(x) &\triangleq \frac{\partial}{\partial x} F_{|Z|}(x)\\ &= [f_Z(x) + f_Z(-x)]\mathbf 1_{(0,\infty)}(x)\\ &= \left[ \frac{\exp\left(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right)}{\sigma\sqrt{2\pi}} + \frac{\exp\left(-\frac{(x+\mu)^2}{2\sigma^2}\right)}{\sigma\sqrt{2\pi}}\right]\mathbf 1_{(0,\infty)}(x)\\ &= \frac{\displaystyle\exp\left(-\frac{x^2+\mu^2}{2\sigma^2}\right)}{\sigma\sqrt{2\pi}}\left(\exp\left(\frac{x\mu}{\sigma^2}\right) + \exp\left(\frac{x\mu}{\sigma^2}\right)\right)\mathbf 1_{(0,\infty)}(x)\\ & = \frac{1}{\sigma}\sqrt{\frac{2}{\pi}} \cosh\left(\frac{x\mu}{\sigma^2}\right) \exp\left(-\frac{x^2 + \mu^2}{2 \sigma^2}\right)\mathbf 1_{(0,\infty)}(x) \end{align}$

— দিলীপ সরওয়াতে
সূত্র

1

+1 আমি সর্বদা সর্বাধিক প্রাথমিক সম্ভাব্য নীতি এবং অনুমানগুলি থেকে কার্যকর এমন সমাধানগুলি দেখতে চাই।

— হোবার

1

এক্স এবং ওয়াই স্বতন্ত্র বলে ধরে নিলে দুটি সাধারণত বিতরণ করা ভেরিয়েট এক্স এবং ওয়াইয়ের পার্থক্যের বিতরণও একটি সাধারণ বিতরণ ((মন্তব্যের জন্য ধন্যবাদ মার্ক)। এখানে একটি উত্পন্নকরণ: http://mathworld.wolfram.com/NormalDifferencesDist वितरण.html

এখানে আপনি whuber এর উত্তরের উপর ভিত্তি করে পরম পার্থক্য জিজ্ঞাসা করছেন এবং আমরা যদি X এবং Y এর মধ্যকার পার্থক্যটি শূন্য বলে ধরে নিই তবে এটি দ্বিগুণ ঘনত্বের সাথে মাত্র একটি অর্ধ সাধারণ বিতরণ (মন্তব্যের জন্য ধন্যবাদ দিলীপ)।

— yuqian
সূত্র

3

আপনি এবং ওল্ফ্রাম ম্যাথওয়ার্ল্ড সুস্পষ্টভাবে ধরে নিচ্ছেন যে 2 টি সাধারণ বিতরণ (র্যান্ডম ভেরিয়েবল) স্বাধীন independent পার্থক্যটি অগত্যা স্বাভাবিকভাবে বিতরণ করা হয় না যদি 2 সাধারণ র্যান্ডম ভেরিয়েবলগুলি বিভাজনযুক্ত স্বাভাবিক হয় না, যা তারা স্বতন্ত্র না হলে ঘটতে পারে ..

— মার্ক এল স্টোন

4

μ_{1} = μ_{2}

$\mu_1 = \mu_2$

0

$0$

আপনার মন্তব্যের জন্য আপনাকে ধন্যবাদ। এখন আমি আপনার মন্তব্যগুলি এবং whuber এর উত্তরের উপর ভিত্তি করে আমার উত্তরটি সংশোধন করেছি।

— yuqian