শূন্য-স্ফীত পোইসন বিতরণের গড় এবং বৈচিত্র

যে কেউ সম্ভাব্য ভর ফাংশন সহ কীভাবে শূন্য স্ফীত পোইসনের প্রত্যাশিত মান এবং তারতম্য দেখাতে পারে

f (y) = {\begin{cases} π + (1 - π) e^{- λ}, & if y = 0 \\ (1 - π) \frac{λ^{y} e^{- λ}}{y!}, & if y = 1, 2.... \end{cases}

$f(y) = \begin{cases} \pi+(1-\pi)e^{-\lambda}, & \text{if }y=0 \\ (1-\pi)\frac{\lambda^{y}e^{-\lambda}}{y!}, & \text{if }y=1,2.... \end{cases}$

যেখানে সম্ভাব্যতা যে পর্যবেক্ষণের শূন্য একটি দ্বিপদ প্রক্রিয়া দ্বারা হয় এবং পইসন গড় করা হয়, প্রাপ্ত করা হয়? $\pi$ $\lambda$

ফলাফলটি প্রত্যাশিত মান এবং $\mu =(1-\pi)\lambda$ । $\mu+ \frac{\pi}{1-\pi}\mu^{2}$

যোগ করুন: আমি একটি প্রক্রিয়া খুঁজছি উদাহরণস্বরূপ, আপনি কি একটি মুহূর্ত উত্পন্ন ফাংশন ব্যবহার করতে পারেন? শেষ পর্যন্ত আমি শূন্য স্ফীত গামা এবং অন্যান্যগুলি আরও ভালভাবে বুঝতে কীভাবে এটি করতে হয় তা দেখতে চাই।

— B_Miner
সূত্র

মনে হয় আপনি কীভাবে এমন সম্ভাবনা বন্টনটি উত্থাপিত হতে পারে তার একটি মডেল জানেন। আপনি কি সাহায্য করতে ব্যবহার করতে পারেন?

— কার্ডিনাল

পদ্ধতি 0 : অলস পরিসংখ্যানবিদ।

নোট করুন যে আমাদের যেখানে এমন সম্ভাবনা যা পয়সন এলোমেলো ভেরিয়েবলের মান নেয় । যেহেতু শব্দটি সংশ্লিষ্ট প্রত্যাশিত মান প্রভাবিত করে না, পইসন আমাদের জ্ঞান এবং প্রত্যাশা রৈখিকতা অবিলম্বে আমাদেরকে বলে যে এবং $y \neq 0$ $f(y) = (1-\pi) p_y$ $p_y$ $y$ $y = 0$

μ = (1 - π) λ

$\mu = (1-\pi) \lambda$

E Y^{2} = (1 - π) (λ^{2} + λ) .

$\mathbb E Y^2 = (1-\pi) (\lambda^2 + \lambda) \> .$

একটু বীজগণিত এবং পরিচয় ফলাফল দেয়। $\mathrm{Var}(Y) = \mathbb E Y^2 - \mu^2$

পদ্ধতি 1 : একটি সম্ভাব্য যুক্তি।

কীভাবে বিতরণ হয় তার জন্য একটি সাধারণ সম্ভাব্য মডেলটি পাওয়া প্রায়শই সহায়ক। আসুন এবং স্বাধীন র্যান্ডম ভেরিয়েবল হও। সংজ্ঞায়িত করুন $Z \sim \mathrm{Ber}(1-\pi)$ $Y \sim \mathrm{Poi}(\lambda)$ এর পরে, এটি দেখতে যে সহজ আকাঙ্ক্ষিত ডিস্ট্রিবিউশন আছে । এই, নোট চেক করার জন্য যে স্বাধীনতা দ্বারা। একইভাবে

X = Z \cdot Y .

$X = Z \cdot Y \>.$

X

$X$

f

$f$

P (X = 0) = P (Z = 0) + P (Z = 1, Y = 0) = π + (1 - π) e^{- λ}

$\renewcommand{\Pr}{\mathbb P}\Pr(X = 0) = \Pr(Z=0) + \Pr(Z=1, Y=0) = \pi + (1-\pi) e^{-\lambda}$

জন্য

।

P (X = k) = P (Z = 1, Y = k)

$\Pr(X = k) = \Pr(Z=1, Y=k)$

k \neq 0

$k \neq 0$

এ থেকে , সহজ, যেহেতু এবং এর স্বাধীনতার দ্বারা , $Z$ $Y$

μ = E X = E Z Y = (E Z) (E Y) = (1 - π) λ,

$\mu = \mathbb E X = \mathbb E Z Y = (\mathbb E Z) (\mathbb E Y) = (1-\pi)\lambda \>,$

V a r (X) = E X^{2} - μ^{2} = (E Z) (E Y^{2}) - μ^{2} = (1 - π) (λ^{2} + λ) - μ^{2} = μ + \frac{π}{1 - π} μ^{2} .

$\mathrm{Var}(X) = \mathbb E X^2 - \mu^2 = (\mathbb E Z)(\mathbb E Y^2) - \mu^2 = (1-\pi)(\lambda^2 + \lambda) - \mu^2 = \mu + \frac{\pi}{1-\pi}\mu^2 \> .$

পদ্ধতি 2 : প্রত্যক্ষ গণনা।

$\lambda$

μ = \sum_{k = 1}^{\infty} (1 - π) k e^{- λ} \frac{λ^{k}}{k!} = (1 - π) λ e^{- λ} \sum_{j = 0}^{\infty} \frac{λ^{j}}{j!} = (1 - π) λ .

$\mu = \sum_{k=1}^\infty (1-\pi) k e^{-\lambda} \frac{\lambda^k}{k!} = (1-\pi) \lambda e^{-\lambda} \sum_{j=0}^\infty \frac{\lambda^j}{j!} = (1-\pi) \lambda \> .$

E X^{2} = (1 - π) \sum_{k = 1}^{\infty} k^{2} e^{- λ} \frac{λ^{k}}{k!} = (1 - π) λ e^{- λ} \sum_{j = 0}^{\infty} (j + 1) \frac{λ^{j}}{j!} = (1 - π) (λ^{2} + λ),

$\mathbb E X^2 = (1-\pi) \sum_{k=1}^\infty k^2 e^{-\lambda} \frac{\lambda^k}{k!} = (1-\pi)\lambda e^{-\lambda} \sum_{j=0}^\infty (j+1) \frac{\lambda^j}{j!} = (1-\pi)(\lambda^2 + \lambda) \>,$

সংযোজন : এটি উপরের গণিতে কয়েকটি কৌশল ব্যবহার করে details

$\sum_{k=0}^\infty \frac{\lambda^k}{k!} = e^\lambda$

\sum_{k = 0}^{\infty} k \frac{λ^{k}}{k!} = \sum_{k = 1}^{\infty} k \frac{λ^{k}}{k!} = \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{λ^{k}}{(k - 1)!} = \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{λ \cdot λ^{k - 1}}{(k - 1)!} = λ \sum_{j = 0}^{\infty} \frac{λ^{j}}{j!} = λ e^{λ},

$\sum_{k=0}^\infty k \frac{\lambda^k}{k!} = \sum_{k=1}^\infty k \frac{\lambda^k}{k!} = \sum_{k=1}^\infty \frac{\lambda^k}{(k-1)!} = \sum_{k=1}^\infty \frac{\lambda \cdot \lambda^{k-1}}{(k-1)!} = \lambda \sum_{j=0}^\infty \frac{\lambda^j}{j!} = \lambda e^{\lambda} \>,$

j = k - 1

$j = k-1$

$\mathbb E X^{(n)} = \mathbb E X(X-1)(X-2)\cdots(X-n+1)$

e^{λ} E X^{(n)} = \sum_{k = n}^{\infty} k (k - 1) \dots (k - n + 1) \frac{λ^{k}}{k!} = \sum_{k = n}^{\infty} \frac{λ^{n} λ^{k - n}}{(k - n)!} = λ^{n} \sum_{j = 0}^{\infty} \frac{λ^{j}}{j!} = λ^{n} e^{λ},

$e^\lambda \mathbb E X^{(n)} = \sum_{k=n}^\infty k(k-1)\cdots(k-n+1) \frac{\lambda^k}{k!} = \sum_{k=n}^\infty \frac{\lambda^n \lambda^{k-n}}{(k-n)!} = \lambda^n \sum_{j=0}^\infty \frac{\lambda^j}{j!} = \lambda^n e^\lambda \>,$

E X^{(n)} = λ^{n}

$\mathbb E X^{(n)} = \lambda^n$

n

$n$

0 \leq k < n

$0 \leq k < n$

k (k - 1) \dots (k - n + 1) = 0

$k(k-1)\cdots(k-n+1) = 0$

— মৌলিক
সূত্র

λ

$\lambda$

π + (1 - π) e^{- λ}

$\pi+(1-\pi)e^{-\lambda}$

μ

$\mu$

μ = E Y = \sum_{y = 0}^{\infty} y P (Y = y)

$\mu = \mathbb E Y = \sum_{y=0}^\infty y \mathbb P(Y = y)$

y = 0

$y = 0$

0 \cdot (π + (1 - π) e^{- λ}) = 0

$0 \cdot (\pi + (1-\pi)e^{-\lambda}) = 0$