সম্ভাবনা যে সিক্রেট সান্তা বিন্যাসের ফলে নিখুঁত জুটি তৈরি হবে

Question

কাজেই, আমাদের কাজের সিক্রেট সান্তা ছিল।

আমরা 8 জন মানুষ। আমরা প্রত্যেকে টার্ন নিলাম এবং একটি বাটি থেকে একটি নাম রেখে একটি ছোট টুকরো কাগজ টানলাম। একমাত্র নিয়ম: আপনি যদি নিজের নাম টানেন তবে আপনাকে কাগজের টুকরোটি বাটিতে ফিরে রেখে আবার চেষ্টা করতে হবে।

আসুন লোকেদের এ, বি, সি, ডি, ই, এফ, জি, এইচ কল করুন যা তারা তাদের কাগজের টুকরোটি বাছাই করার ক্রমও বটে।

আমরা গত রাতে উপহার এক্সচেঞ্জ করেছি।

এ ছিল এফের গোপন সান্তা।
বি ছিল ই এর গোপন সান্তা।
সি ছিল ডি এর গোপন সান্তা।
ডি ছিল সি-র গোপন সান্তা।
ই ছিল বি এর গোপন সান্তা।
এফ ছিল গোপনে সান্তা।
জি ছিল এইচ এর গোপন সান্তা।
এইচ ছিল জি এর গোপন সান্তা।

দেখুন কি হয়েছে? আমরা দম্পতি তৈরি।

এ এবং এফ ছিল একে অপরের গোপন সান্তা।
বি এবং ই একে অপরের গোপন সান্তা।
সি এবং ডি একে অপরের গোপন সান্তা ছিল।
জি এবং এইচ একে অপরের গোপন সান্তা ছিল।

এটি হওয়ার সম্ভাবনা কী এবং আপনি এটি কীভাবে গণনা করবেন?

Comments

"আপনি যদি নিজের নাম টানেন তবে আপনাকে কাগজের টুকরোটি বাটিতে ফিরে রেখে আবার চেষ্টা করতে হবে।" আপনি নিজের নামটি বাছাই এবং টানতে সর্বশেষ ব্যক্তি হলে কী হবে?

— জুহো কোক্কালা

ব্যক্তি এ যদি সি লেবেল আঁকেন (বলুন), এবং তারপরে ব্যক্তি বি লেবেল আঁকেন, ব্যক্তি এও কি লেবেল সিটিকে টুপিতে ফেলে আবার আঁকবে? উত্তরগুলি এটিকে বোঝায় বলে মনে হয়, তবে আমি শব্দটির অর্থ বুঝতে পেরেছি যে টু লেবেলগুলি (এ, বি, ডি, ই, এফ, জি, এইচ) টুপি থেকে সি এবং বি লেবেলকে রেড করে রেখেছে A

— জুহো কোক্কালা

Answer 1

জন ব্যক্তির মধ্যে মোট অ্যাসাইনমেন্টের সংখ্যা , যেখানে কেউ নিজেরাই নিযুক্ত করা হয় না, তা ডি ( 2 এন ) = ( 2 এন ) ! ( 1 / 2 - 1 / 6 + + ⋯ + + ( - 1 ) ট / ট ! + + ⋯ + + 1 / ( 2 এন ) ! ) । (এগুলিকে ড্রেঞ্জেন্টস বলা হয়)) মানটি খুব কাছাকাছি $2n$

$$d(2n) = (2n)!(1/2 - 1/6 + \cdots + (-1)^k/k! + \cdots + 1/(2n)!).$$ ।$(2n)! / e$

যদি তারা নিখুঁত পেয়ারিং মিলা, তারপর তারা অসংলগ্ন করা একটি পণ্য হয় transpositions । এটি বোঝায় যে তাদের চক্র গঠনটি ফর্মের

$$(a_{11}a_{12})(a_{21}a_{22})\cdots(a_{n1}a_{n2}).$$

$2n$$n!$$2^n n!$

$$p(2n) = \frac{(2n)!}{2^n n!}$$

যেমন জোড়া।

যেহেতু এ জাতীয় সমস্ত নিখুঁত জুটিগুলি ডিজেনমেন্ট এবং সমস্ত বিস্মরণ সমান সম্ভাবনা রয়েছে তাই সুযোগটি সমান

$$\frac{p(2n)}{d(2n)} = \frac{1}{2^n n!(1 - 1/2 + 1/6 - \cdots + (-1)^k/k! + \cdots + 1/(2n)!)} \approx \frac{e}{2^n n!}.$$

$2n=8$$15/2119 \approx 0.00707881$$e/(2^4\, 4!) \approx 0.00707886$

---

পরীক্ষা করার জন্য, এই Rসিমুলেশনটি আটটি অবজেক্টের এক মিলিয়ন এলোমেলো ক্রমাঙ্কনের চিত্র অঙ্কন করে, কেবলমাত্র ডিগ্রিমেটসগুলিই ধরে রাখে এবং নিখুঁত জুটিগুলি গণনা করে। এটি তার প্রাক্কলন, অনুমানের প্রমিত ত্রুটি এবং তাত্ত্বিক মানের সাথে এটির তুলনা করার জন্য একটি জেড-স্কোর আউটপুট করে। এর আউটপুট হয়

       p.hat           se            Z 
 0.006981031  0.000137385 -0.711721705

$0.0066$$0.0073$

paired <- function(x) crossprod(x[x] - 1:length(x))==0
good <- function(x) sum(x==1:length(x)) == 0

n <- 8
set.seed(17)
x <- replicate(1e6, sample(1:n, n))
i.good <- apply(x, 2, good)
i.paired <- apply(x, 2, paired)

n.deranged <- sum(i.good)
k.paired <- sum(i.good & i.paired)
p.hat <- k.paired / n.deranged
se <- sqrt(p.hat * (1-p.hat) / n.deranged)
(c(p.hat=p.hat, se=se, Z=(p.hat - 15/2119)/se))

Comments

নির্বোধ র্যাকুন মুখ এবং চশমাগুলির জন্য +1 ... আমি "স্থিতিশীল উপাদান" ধারণাটিতে কিছুটা শর্টকাট নিয়েছি কারণ এটি কোথায় সন্ধান করতে হবে তা আমি জানি না, তবে এটি কিছুটা বুদ্ধিমান করে তোলে intuitively,।

— আন্তনি পরল্লদা

@Antoni দেখুন en.wikipedia.org/wiki/Burnside's_lemma উদাহরণস্বরূপ।

— হোবার

@ আমোবা আমি এটি করার কথা ভেবেছিলাম কিন্তু বর্তমান সমস্যার দিকে মনোনিবেশ করার বিষয়ে সিদ্ধান্ত নিয়েছিলাম, যেহেতু ড্রেঞ্জমেন্টগুলি খুব পরিচিত। আমি লিঙ্কিত উইকিপিডিয়া নিবন্ধটি এই সূত্রটি প্রাপ্ত করার বিভিন্ন পদ্ধতি সরবরাহ করে। সর্বাধিক সুস্পষ্ট পদ্ধতিটি অন্তর্ভুক্তি-বর্জনের মূলনীতিটি ব্যবহার করে, যেমনটি বিকল্প যোগফল প্রকাশের ক্ষেত্রে স্পষ্ট apparent

— whuber

আপনি কি ধরে নিয়েছেন যে কেউ তার নিজস্ব লেবেল আঁকলে লেবেলগুলির অঙ্কন শুরু থেকেই শুরু হয়েছিল (প্রশ্নটিতে আমার মন্তব্য দেখুন)। অন্যথায়, আমি মনে করি না যে সমস্ত বিচ্যুতি সমান সম্ভাবনা রয়েছে।

— জুহো কোক্কালা

@ জুহো এটি একটি ভাল প্রশ্ন, আরও চিন্তাভাবনার যোগ্য। অঙ্কন প্রক্রিয়াটির অন্তর্নিহিত অভিপ্রায়ের ভিত্তিতে আমি উত্তর দিয়েছি , যা সমান সম্ভাবনা নিয়ে সমস্ত বিচক্ষণতা তৈরি করা হবে, তবে ঠিক কী পদ্ধতি অনুসরণ করা হয়েছিল বা এটি অভিন্ন বিতরণে ডিগ্রিমেটস তৈরি করবে কিনা তা স্পষ্ট নয় (বা এটি কিনা এমনকি একটি অস্বচ্ছলতা উত্পাদন সাফল্যের গ্যারান্টিযুক্ত!)।

— whuber

Answer 2

@ ভোবার উত্তরে আমি কমনীয়তা দেখে বেশ মুগ্ধ হয়েছি। সত্য কথা বলতে গেলে তার সমাধানের পদক্ষেপগুলি অনুসরণ করার জন্য আমাকে নতুন ধারণার সাথে নিজেকে অনেক পরিচিত করতে হয়েছিল। এটিতে অনেক সময় ব্যয় করার পরে, আমি যা পেয়েছি তা পোস্ট করার সিদ্ধান্ত নিয়েছি। সুতরাং যা অনুসরণ করা হয় তা তার ইতিমধ্যে স্বীকৃত প্রতিক্রিয়াটির জন্য এক এক্সেজেটিকাল নোট। এইভাবে মৌলিকতার কোনও চেষ্টা নেই এবং আমার একমাত্র উদ্দেশ্য হ'ল জড়িত কয়েকটি পদক্ষেপ অনুসরণ করার জন্য কিছু অতিরিক্ত অ্যাঙ্করিং পয়েন্ট সরবরাহ করা।

সুতরাং এখানে এটি ...

$2n$

২. আমরা কি ডিজেনমেন্টের সূত্রটি পেতে পারি?

$n$

$d(n)=(n-1)[d(n-2) + d(n-1)]=$

$=n\,d(n-2)-d(n-2)+n\,d(n-1)-d(n-1)$

$d(n) - n\,d(n-1) = -[d(n-1)-(n-1)\,d(n-2)]$

এখন এই সমীকরণের এলএইচএস এবং বন্ধনীগুলির মধ্যে আরএইচএসের অংশের মধ্যে সমান্তরালতা লক্ষ্য করে আমরা পুনরাবৃত্তভাবে চালিয়ে যেতে পারি:

$d(n) - n\,d(n-1)=-[d(n-1)-(n-1)\,d(n-2)] =$

$=(-1)^2\,[d(n-2)-(n-2)\,d(n-3)]=\cdots=(-1)^{n-2}\,d(2)-2\,d(1)$

$d(n) = n\,d(n-1)+(-1)^n$

পিছনে কাজ:

$d(2)=1$

$d(3)= 3\,d(2)-1 =3*1\,-1$

$d(4)= 4\,d(3)+1 =4*3*1\,-4\,\,+1$

$d(5)= 5\,d(4)-1 =5*4*3*1\,-5*4\,+5\,\,-1$

$d(6)= 6\,d(5)+1 = 6*5*4*3*1\,-6*5*4\,+6*5\,-6\,+1=$

$=6!\left(\frac{1}{2}- \frac{1}{3*2}+\frac{1}{4*3*2}-\frac{1}{5*4*3*2}+\frac{1}{6!}\right)=$

$=6!\left(\frac{1}{6!}-\frac{1}{5!}+\frac{1}{4!}-\frac{1}{3!}+\frac{1}{2!}-\frac{1}{1!}+1\right)$

সুতরাং সাধারণভাবে,

$d(n)=n!\left(1-1+\frac{1}{2!}-\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}+\cdots+\frac{1}{n!}\right)$

$e^x$$x=-1$

$d(n)\approx\frac{n!}{e}$

${a,b,c,d,e,f}$${b,d,a,c,f,e}$a -> b -> d -> c after which it returns to ae -> f$(\text {a b d c})(\text{e f})$

$4$

$(2n)!$$2n$$2^n$$n!$$p(2n) = \frac{(2n)!}{2^n n!}$

---

জন্য Rসিমুলেশন:

1। paired <- function(x) crossprod(x[x] - 1:length(x))==0

x[x]$8$Paul -> MariaMaria -> PaulMax -> JohnJohn -> MaxMax -> MariaMaria -> MaxPaul -> JohnJohn -> Paul

i $1$

2। good <- function(x) sum(x==1:length(x)) == 0

$x$$(1,2,3,4,5,6,7,8)$

৩.k.paired <- sum(i.good & i.paired) ডায়াগ্রামের উপরের মতো জোড়াযুক্ত অনুমতিগুলি বাদ দিতে পারে, যা অস্বীকৃতি নয়:

v <- c(1,2,3,4,5,6,7,8)
w <- c(1,2,3,5,4,6,7,8)

(c("is v paired?" = paired(v), "is w paired?" = paired(w),
   "is v a derang?" = good(w), "is w a derang?" = good(w)))

# not all paired permutations are derangements.

Comments

$e$$\approx$$=$

$1$$-1$

@ শুভ ধন্যবাদ আমি সত্যিই সেখানে বোকা। আমি পুনরাবৃত্তিমূলক, সূচিযুক্ত কার্যগুলিতে ভাল নই ... আমি জানতাম যে এখানে কিছু ঠিক নেই। এখন এটি স্থির করা উচিত।

— আন্তনি পরল্লদা