প্রতিস্থাপন ছাড়াই স্বতন্ত্র এলোমেলো নমুনার ছেদগুলির কার্ডিনালটির বিতরণ কী?

$S$ উপাদানগুলিতে with সহ কিছু সেট রয়েছে এবং চেয়ে কম বা সমান হিসাবে ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা স্থির হয় । $n\in\mathbb{N}$ $a_1,a_2,...,a_m$ $n$

এর উপাদানগুলির সমান সম্ভাবনা থাকার কারণে, নমুনাগুলি আলাদাভাবে এবং আলাদাভাবে থেকে প্রতিস্থাপন ছাড়াই আঁকা হয় , যার আকার যথাক্রমে হয়। $S$ $m$ $L_1, L_2,...,L_m$ $S$ $a_1,a_2,...,a_m$

নমুনাগুলিগুলির কার্ডিনালিটিটি, সাধারণভাবে, সমান সমর্থন করে তবে এটি কোন বিতরণ অনুসরণ করে? $\left|L_1\cap L_2\cap\ ...\ \cap L_m\right|$ $\{0,1,...,\min\{a_1,a_2,...,a_m\}\}$

combinatorics

— ঠান্ডা পানি
সূত্র

আমি এটি পুনরাবৃত্তভাবে গণনার জন্য একটি রেসিপি সরবরাহ করতে পারি তবে আমি একটি বন্ধ ফর্ম সমাধান সম্পর্কে অবগত নই। এটি কি যথেষ্ট হবে, বা আপনি কি

a_{1}, \dots, a_{m}

$a_1, \dots, a_m$ এবং

দেওয়া বিতরণ ফাংশনটির একটি স্পষ্ট অভিব্যক্তি চান

n

$n$ ?

— Bridgeburners

@ ব্রিজবার্নার্স একটি রেসিপিটি দুর্দান্ত হবে, কমপক্ষে এটি এই সমস্যাটি সম্পর্কিত এবং সম্পর্কিত সম্পর্কিত কিছু পদ্ধতি / উপায় সরবরাহ করবে।

— llrs

উত্তর:

এখানে আরেকটি পদ্ধতি রয়েছে যা পুনরাবৃত্তি জড়িত না one এটি এখনও যোগফল এবং পণ্য ব্যবহার করে যার দৈর্ঘ্য পরামিতিগুলির উপর নির্ভর করে যদিও। প্রথমে আমি এক্সপ্রেশন দেব, তারপরে ব্যাখ্যা করব।

আমাদের কাছে

\begin{aligned} P & (| L_{1} \cap L_{2} \cap \dots \cap L_{m} | = k) \\ = \frac{(\binom{n}{k})}{\prod_{i = 1}^{n} (\binom{n}{a_{i}})} \sum_{j = 0}^{min (a_{1}, \dots, a_{m}) - k} (- 1)^{j} (\binom{n - k}{j}) \prod_{l = 1}^{n} (\binom{n - j - k}{a_{l} - j - k}) . \end{aligned}

$\begin{align} P &\bigl( | L_{1} \cap L_{2} \cap \cdots \cap L_{m} | = k \bigr) \\ &= \frac{\binom{n}{k}}{\prod_{i = 1}^{n} \binom{n}{a_{i}}} \sum_{j = 0}^{\min(a_{1}, \ldots, a_{m}) - k} (-1)^{j} \binom{n - k}{j} \prod_{l = 1}^{n} \binom{n - j - k}{a_{l} -j - k}. \end{align}$

সম্পাদনা: এই সমস্ত লেখার শেষে, আমি বুঝতে পেরেছিলাম যে আমরা হাইপারজেমেট্রিক সম্ভাব্যতা এবং ত্রিকোণীয় সহগগুলিতে দ্বিপদী সহগগুলি একত্রিত করে কিছুটা উপরে উপরে প্রকাশটি সংহত করতে পারি। এটির মূল্যের জন্য, সংশোধিত অভিব্যক্তিটি হ'ল এখানে একটি অধিজ্যামিতিক দৈব চলক কোথায় স্বপক্ষে আকারের একটি জনসংখ্যা থেকে নেয়া হয় থাকার সাফল্য যুক্তরাষ্ট্র।

\sum_{j = 0}^{min (a_{1}, \dots, a_{m}) - k} (- 1)^{j} (\binom{n}{j, k, n - j - k}) \prod_{l = 1}^{n} P (Hyp (n, j + k, a_{l}) = j + k) .

$\begin{equation} \sum_{j = 0}^{\min(a_{1}, \ldots, a_{m}) - k} (-1)^{j} \binom{n}{j, k, n - j - k} \prod_{l = 1}^{n} P( \text{Hyp}(n, j + k, a_{l}) = j + k). \end{equation}$

Hyp (n, j + k, a_{l})

$\text{Hyp}(n, j + k, a_{l})$

a_{l}

$a_{l}$

n

$n$

j + k

$j + k$

শিক্ষাদীক্ষা

সম্মিলিত যুক্তিগুলি ট্র্যাক করার জন্য কিছুটা সহজ করার জন্য আসুন আমরা কিছু স্বীকৃতি পাই (আশা করি)। সামগ্রিকভাবে, আমরা এবং । স্থির বিবেচনা করি। অর্ডার করা টিপলসগুলি L_ সংগ্রহটি বোঝাতে আমরা ব্যবহার করব , যেখানে প্রতিটি , সন্তুষ্ট $S$ $a_{1}, \ldots, a_{m}$ $\mathcal{C}(I)$ $m$ $(L_{1}, \ldots, L_{m})$ $L_{i} \subseteq S$

$|L_{i}| = a_{i}$ ; এবং
$L_{1} \cap \cdots \cap L_{m} = I$ ।

আমরা সমানতার পরিবর্তে প্রয়োজন বাদে আমরা অভিন্ন সংগ্রহের জন্য ব্যবহার । $\mathcal{C}'(I)$ $L_{1} \cap \cdots \cap L_{m} \supseteq I$

একটি মূল পর্যবেক্ষণ হ'ল গণনা করা তুলনামূলকভাবে সহজ। এর কারণ হল অবস্থা সমতূল্য সবার জন্য , তাই একটা ধারনা বিভিন্ন মধ্যে এই অপসারণ কথাবার্তাও মান। প্রতিটি , প্রয়োজনীয়তা পূরণের of সংখ্যা হ'ল since, যেহেতু আমরা সাইজের এর উপসেট বেছে নিয়ে এই জাতীয় একটি করতেএবং তারপর সঙ্গে unioning । এটা যে অনুসরণ করে $\mathcal{C}'(I)$ $L_{1} \cap \cdots \cap L_{m} \supseteq I$ $L_{i} \supseteq I$ $i$ $i$ $i$ $L_{i}$ $\binom{|S| - |I|}{a_{i} - |I|}$ $L_{i}$ $S \setminus I$ $a_{i} - |I|$ $I$

| C^{'} (I) | = \prod_{i = 1}^{n} (\binom{| S | - | I |}{a_{i} - | I |}) .

$\begin{equation} | \mathcal{C}'(I) | = \prod_{i = 1}^{n} \binom{|S| - |I|}{a_{i} - |I|}. \end{equation}$

এখন আমাদের মূল সম্ভাবনাটি follows follows এর মাধ্যমে প্রকাশ করা যেতে পারে : $\mathcal{C}$

P (| L_{1} \cap L_{2} \cap \dots \cap L_{m} | = k) = \frac{\sum_{I : | I | = k} | C (I) |}{\sum_{all I \subseteq S} | C (I) |} .

$\begin{equation} P \bigl( | L_{1} \cap L_{2} \cap \cdots \cap L_{m} | = k \bigr) = \frac{ \sum_{I : |I| = k} | \mathcal{C}(I) | } { \sum_{\text{all $I \subseteq S$}} | \mathcal{C}(I) | }. \end{equation}$

আমরা এখনই এখানে দুটি সরলকরণ করতে পারি। প্রথমত, ডিনোনেটরটি দ্বিতীয়ত, একটি অনুগতি যুক্তি দেখায় যেশুধুমাত্র উপর নির্ভর করে cardinality মাধ্যমে। যেহেতু সাবলেট রয়েছে যার কার্ডিনালিটি , এটি অনুসরণ করে যে যেখানে কার্ডিয়ালিটি থাকার একটি নির্বিচারে, স্থির উপসেট

| C^{'} (\emptyset) | = \prod_{i = 1}^{n} (\binom{| S |}{a_{i}}) = \prod_{i = 1}^{n} (\binom{n}{a_{i}}) .

$\begin{equation} | \mathcal{C}'(\emptyset) | = \prod_{i = 1}^{n} \binom{|S|}{a_{i}} = \prod_{i = 1}^{n} \binom{n}{a_{i}}. \end{equation}$

| C (I) |

$| \mathcal{C}(I) |$

I

$I$

| I |

$|I|$

(\binom{n}{k})

$\binom{n}{k}$

S

$S$

k

$k$

\sum_{I : | I | = k} | C (I) | = (\binom{n}{k}) | C (I_{0}) |,

$\begin{equation} \sum_{I : |I| = k} | \mathcal{C}(I) | = \binom{n}{k} | \mathcal{C}(I_{0}) |, \end{equation}$

I_{0}

$I_{0}$

S

$S$

k

$k$ ।

একটি পদক্ষেপ পিছনে নিয়ে যাওয়া, আমরা এখন সেই সমস্যাটি " showing দেখানোর ক্ষেত্রে কমিয়েছি

| C (I_{0}) | = \sum_{j = 0}^{min (a_{1}, \dots, a_{m}) - k} (- 1)^{j} (\binom{n - k}{j}) \prod_{l = 1}^{n} (\binom{n - j - k}{a_{l} - j - k}) .

$\begin{equation} | \mathcal{C}(I_{0}) | = \sum_{j = 0}^{\min(a_{1}, \ldots, a_{m}) - k} (-1)^{j} \binom{n - k}{j} \prod_{l = 1}^{n} \binom{n - j - k}{a_{l} - j - k}. \end{equation}$

যাক এর স্বতন্ত্র সাব-সেট নির্বাচন করা ঠিক এক উপাদান যোগ করে গঠিত । তারপরে (এই মাত্র বলছে যে যদি , তারপর রয়েছে তবে এতে কোনও অতিরিক্ত উপাদান থাকে না)) আমরা এখন ম্যাথক্যাল c-গণনা সমস্যাটিকে একটি ম্যাথক্যাল গণনা সমস্যায় রূপান্তর করেছি , যা আমরা কীভাবে পরিচালনা করতে হয় তা আরও জানি। আরও নির্দিষ্টভাবে, আমরা আছে $J_{1}, \ldots, J_{n - k}$ $S$ $I_{0}$

C (I_{0}) = C^{'} (I_{0}) ∖ (⋃_{i = 1}^{n - k} C^{'} (J_{i})) .

$\begin{equation} \mathcal{C}(I_{0}) = \mathcal{C}'(I_{0}) \setminus \biggl( \bigcup_{i = 1}^{n - k} \mathcal{C}'(J_{i}) \biggr). \end{equation}$

L_{1} \cap \dots \cap L_{m} = I_{0}

$L_{1} \cap \cdots \cap L_{m} = I_{0}$

L_{1} \cap \dots \cap L_{m}

$L_{1} \cap \cdots \cap L_{m}$

I_{0}

$I_{0}$

C

$\mathcal{C}$

C^{'}

$\mathcal{C}'$

| C (I_{0}) | = | C^{'} (I_{0}) | - | ⋃_{i = 1}^{n - k} C^{'} (J_{i}) | = \prod_{l = 1}^{n} (\binom{n - k}{a_{l} - k}) - | ⋃_{i = 1}^{n - k} C^{'} (J_{i}) | .

$\begin{equation} | \mathcal{C}(I_{0}) | = | \mathcal{C}'(I_{0}) | - \biggl| \bigcup_{i = 1}^{n - k} \mathcal{C}'(J_{i}) \biggr| = \prod_{l = 1}^{n} \binom{n - k}{a_{l} - k} - \biggl| \bigcup_{i = 1}^{n - k} \mathcal{C}'(J_{i}) \biggr|. \end{equation}$

আমরা উপরের ইউনিয়ন প্রকাশের আকার পরিচালনা করতে অন্তর্ভুক্তি-বর্জন প্রয়োগ করতে পারি। এখানে গুরুত্বপূর্ণ সম্পর্কটি হ'ল যে কোনও অমানবিক , কারণ এটি যদি এর সাথে of এর একটি সংখ্যা থাকে তবে এটিতে তাদের থাকে। আমরা আরও নোট করি যে সেটটি এর আকার। অতএব $\mathcal{I} \subseteq \{ 1, \ldots, n - k \}$

⋂_{i \in I} C^{'} (J_{i}) = C^{'} (⋃_{i \in I} J_{i}) .

$\begin{equation} \bigcap_{i \in \mathcal{I}} \mathcal{C}'(J_{i}) = \mathcal{C}' \biggl( \bigcup_{i \in \mathcal{I}} J_{i} \biggr). \end{equation}$

L_{1} \cap \dots \cap L_{m}

$L_{1} \cap \cdots \cap L_{m}$

J_{i}

$J_{i}$

⋃_{i \in I} J_{i}

$\bigcup_{i \in \mathcal{I}} J_{i}$

| I_{0} | + | I | = k + | I |

$|I_{0}| + |\mathcal{I}| = k + |\mathcal{I}|$

\begin{aligned} | ⋃_{i = 1}^{n - k} C^{'} (J_{i}) | & = \sum_{\emptyset \neq I \subseteq {1, \dots, n - k}} (- 1)^{| I | - 1} | ⋂_{i \in I} C^{'} (J_{i}) | \\ = \sum_{j = 1}^{n - k} \sum_{I : | I | = j} (- 1)^{j - 1} \prod_{l = 1}^{n} (\binom{n - j - k}{a_{l} - j - k}) \\ = \sum_{j = 1}^{n - k} (- 1)^{j - 1} (\binom{n - k}{j}) \prod_{l = 1}^{n} (\binom{n - j - k}{a_{l} - j - k}) . \end{aligned}

$\begin{align} \biggl| \bigcup_{i = 1}^{n - k} \mathcal{C}'(J_{i}) \biggr| &= \sum_{\emptyset \neq \mathcal{I} \subseteq \{ 1, \ldots, n - k \}} (-1)^{| \mathcal{I} | - 1} \biggl| \bigcap_{i \in \mathcal{I}} \mathcal{C}'(J_{i}) \biggr| \\ &= \sum_{j = 1}^{n - k} \sum_{\mathcal{I} : |\mathcal{I}| = j} (-1)^{j - 1} \prod_{l = 1}^{n} \binom{n - j - k}{a_{l} - j - k} \\ &= \sum_{j = 1}^{n - k} (-1)^{j - 1} \binom{n - k}{j} \prod_{l = 1}^{n} \binom{n - j - k}{a_{l} - j - k}. \end{align}$ We (আমরা এখানে মানগুলিকে সীমাবদ্ধ করতে পারি যেহেতু দ্বিপদী সহগের শূন্য হয় যতক্ষণ না সমস্ত , অর্থাৎ ।)

j

$j$

j \leq a_{l} - k

$j \leq a_{l} - k$

l

$l$

j \leq min (a_{1}, \dots, a_{m}) - k

$j \leq \min(a_{1}, \ldots, a_{m}) - k$

অবশেষে সমীকরণের সমাপ্তি দিয়ে ভাবটি স্থির করে উপরে এবং যোগফলকে একীভূত করে আমরা claimed হিসাবে দাবি করা হয়েছে। $| \mathcal{C}(I_{0}) |$

| C (I_{0}) | = \sum_{j = 0}^{min (a_{1}, \dots, a_{m}) - k} (- 1)^{j} (\binom{n - k}{j}) \prod_{l = 1}^{n} (\binom{n - j - k}{a_{l} - j - k})

$\begin{equation} | \mathcal{C}(I_{0}) | = \sum_{j = 0}^{\min(a_{1}, \ldots, a_{m}) - k} (-1)^{j} \binom{n - k}{j} \prod_{l = 1}^{n} \binom{n - j - k}{a_{l} - j - k} \end{equation}$

— জেসন
সূত্র

সমস্ত প্রচেষ্টা এবং সমাধানের জন্য +1, তবে এর বেশিরভাগটি (এবং অন্য উত্তর) বুঝতে আমার আমার গণিতগুলিকে পোলিশ করতে হবে। ধন্যবাদ

— llrs

আমি এটিকে সমাধান করার কোনও বিশ্লেষণ পদ্ধতি সম্পর্কে অবগত নই, তবে ফলাফলটি গণনার জন্য এটি একটি পুনরাবৃত্ত উপায়।

জন্য আপনি বেছে করছি বাইরে উপাদান যার সামনে মনোনীত করা হয়েছে। আপনার দ্বিতীয় ড্রতে এর সাথে ছেদ করে এমন উপাদানগুলি এ choosing বেছে নেওয়ার সম্ভাবনা বিতরণ দ্বারা প্রদত্ত: $m=2$ $a_2$ $n,$ $a_1$ $k \le \min\{a_1,a_2\}$ $L_1$

পি (ট | এন, {একটি}_{1}, {একটি}_{2}) = \frac{(\binom{{একটি}_{1}}{ট}) (\binom{এন - {একটি}_{1}}{{একটি}_{2} - ট})}{(\binom{এন}{{একটি}_{2}})} ।

$P(k \mid n, a_1, a_2) = \frac{ {a_1 \choose k} {n - a_1 \choose a_2 - k} } {n \choose a_2}.$

আমরা ফলাফলটি কল করতেআমরা করতে একই যুক্তি ব্যবহার করতে পারি যেখানে হল তিনটি নমুনার ছেদের কার্ডিনালিয়ালিটি। তারপর, $b_2.$ $P(b_3 = k \mid n, b_2, a_3),$ $b_3$

পি (খ_{3} = ট) = Σ_{ঠ = 0}^{সর্বনিম্ন ({একটি}_{1}, {একটি}_{2})} পি (খ_{3} = ট | এন, খ_{2} = ঠ, {একটি}_{3}) পি (খ_{2} = ঠ | এন, {একটি}_{1}, {একটি}_{2}) ।

$P(b_3=k) = \sum_{l=0}^{\min(a_1,a_2)} P(b_3=k \mid n, b_2=l, a_3) P(b_2 =l \mid n, a_1, a_2).$

প্রত্যেকের জন্য এই খুঁজে । পরবর্তী গণনাটি সংখ্যাগতভাবে কঠিন নয়, কারণ কেবল পূর্ববর্তী গণনার ফলাফল এবং is হাইপারজমেট্রিক বিতরণ। $k \in \{0, 1, 2, \dots, \min(a_1,a_2,a_3)\}$ $P(b_2 = l \mid n, a_1, a_2)$ $P(b_3 = k \mid n, b_2=l, a_3)$

সাধারণভাবে, আপনি নিম্নলিখিত পুনরাবৃত্ত সূত্রগুলি প্রয়োগ করতে পারেন: for for এবং যা কেবলমাত্র $P(b_m)$

পি (খ_{আমি} = ট) = Σ_{ঠ = 0}^{সর্বনিম্ন ({একটি}_{1}, {একটি}_{2}, ..., {একটি}_{আমি - 1})} পি (খ_{আমি} = ট | এন, খ_{আমি - 1} = ঠ, {একটি}_{আমি}) পি (খ_{আমি - 1} = ঠ),

$P(b_i=k) = \sum_{l=0}^{\min(a_1, a_2, \dots, a_{i-1})} P(b_i = k \mid n, b_{i-1}=l, a_i) P(b_{i-1}=l),$

পি (খ_{আমি} = ট | এন, খ_{আমি - 1} = ঠ, {একটি}_{আমি}) = \frac{(\binom{ঠ}{ট}) (\binom{এন - ঠ}{{একটি}_{আমি} - ট})}{(\binom{এন}{{একটি}_{আমি}})},

$P(b_i = k \mid n, b_{i-1}=l, a_i) = \frac{{l \choose k} {n-l \choose a_i - k}} {n \choose a_i},$

i \in {2, 3, \dots, m},

$i \in \{2, 3, \dots, m\},$

পি (খ_{1}) = δ_{{একটি}_{1} খ_{1}},

$P(b_1) = \delta_{a_1 b_1},$

b_{1} = a_{1} .

$b_1 = a_1.$

এখানে এটি আর:

hypergeom <- function(k, n, K, N) choose(K, k) * choose(N-K, n-k) / choose(N, n)

#recursive function for getting P(b_i) given P(b_{i-1})
PNext <- function(n, PPrev, ai, upperBound) {
  l <- seq(0, upperBound, by=1)
  newUpperBound <- min(ai, upperBound)
  kVals <- seq(0, newUpperBound, by=1)
  PConditional <- lapply(kVals, function(k) {
    hypergeom(k, ai, l, n)
  })
  PMarginal <- unlist(lapply(PConditional, function(p) sum(p * PPrev) ))
  PMarginal
}

#loop for solving P(b_m)
P <- function(n, A, m) {
  P1 <- c(rep(0, A[1]), 1)
  if (m==1) {
    return(P1)
  } else {
    upperBound <- A[1]
    P <- P1
    for (i in 2:m) {
      P <- PNext(n, P, A[i], upperBound)
      upperBound <- min(A[i], upperBound)
    }
    return(P)
  }
}

#Example
n <- 10
m <- 5
A <- sample(4:8, m, replace=TRUE)
#[1] 6 8 8 8 5

round(P(n, A, m), 4)
#[1] 0.1106 0.3865 0.3716 0.1191 0.0119 0.0003
#These are the probabilities ordered from 0 to 5, which is the minimum of A

— Bridgeburners
সূত্র

আপনার সমাধান এবং আপনার কোডের জন্য ধন্যবাদ। আমি অনুগ্রহ প্রদানের আগে অন্যান্য উত্তরগুলির পদ্ধতির (যদি তারা আসে) অপেক্ষা করি।

— llrs