সুবিধার জন্য, দিন বোঝাতে একটি ক্রমাগত সঙ্গে ঘনত্ব ফাংশন শূন্য গড় দৈব চলক চ ( এক্স ) , এবং বিবেচনা পি { এক্স ≥ একটি } যেখানে একটি > 0 । আমরা আশা করি আপনি
পি { এক্স ≥ একটি } = ∫ ∞ একটি চ ( এক্স )Xf(x)P{X≥a}a>0
যেখানে g ( x ) = 1 [ a , ∞ ) । তাহলে এন একটি হলএমনকিপূর্ণসংখ্যা এবং খ কোনো ইতিবাচক বাস্তব সংখ্যার, তারপর
H ( এক্স ) = ( x এর + + খ
P{X≥a}=∫∞af(x)dx=∫∞−∞g(x)f(x)dx=E[g(X)]
ছ( এক্স ) = 1[ একটি , ∞ )এনখ
এবং তাই
E[এইচ(এক্স)]=∫ ∞ - ∞ এইচ(এক্স)চ(এক্স)এইচ ( এক্স ) = ( এক্স + বি)ক + খ)এন। জি( এক্স ) , - ∞ < x < ∞ ,
সুতরাং আমাদের কাছে ইতিবাচক আসল সংখ্যার জন্য
a এবং
b ,
P { X ≥ a } ≤ E [ ( এক্স + বি)ই[ এইচ ( এক্স) ] = ∫∞- ∞h ( x ) চ( এক্স )d x≥ ∫∞- ∞ছ( x ) চ( এক্স )d x=E[ ছ( এক্স) ] ।
একটিখ
যেখানে ডানদিকের প্রত্যাশা
(1)হয়
এন-th মুহূর্ত (
এনএমনকি) এর
এক্সসম্পর্কে
-খ। যখন
এন=2, ক্ষুদ্রতম উপরের উপর আবদ্ধ
পি{এক্স≥একটি}প্রাপ্ত হয় যখন
খ=σ2পি। এক্স≥ a } ≤ E[ ( এক্স+ খক + খ)এন] =(এ+বি )- এনই[ ( এক্স+ খ )এন](1)
( 1 )এনএনএক্স- খn = 2পি। এক্স≥ এ } একতরফা Chebyshev বৈষম্য দান (অথবা Chebyshev-Cantelli বৈষম্য):
পি { এক্স ≥ একটি } ≤ σ 2খ = σ2/ এএন এর
বৃহত্তর মানগুলির জন্য,
খ এরসাথে সংক্ষিপ্তকরণ মেসেঞ্জার।
পি। এক্স≥ a } ≤ σ2একটি2+ + σ2।
এনখ