উচ্চতর মুহুর্তের জন্য একতরফা চেবিশেভ বৈষম্য

Question

একতরফা ক্ষেত্রে চেবিশেভের অসমতার উচ্চতর মুহুর্তের কোনও উপমা কি আছে?

চেবিশেভ-ক্যান্তেলি অসমতা কেবলমাত্র বৈচিত্রের জন্য কাজ করে বলে মনে হয়, অন্যদিকে চেবিশেভদের অসমতা সহজেই সমস্ত উদ্বেগকারীদের জন্য উত্পন্ন হতে পারে।

উচ্চতর মুহূর্তগুলি ব্যবহার করে কেউ কি একতরফা বৈষম্য সম্পর্কে জানেন?

Answer 1

সুবিধার জন্য, দিন বোঝাতে একটি ক্রমাগত সঙ্গে ঘনত্ব ফাংশন শূন্য গড় দৈব চলক চ ( এক্স ) , এবং বিবেচনা পি { এক্স ≥ একটি } যেখানে একটি > 0 । আমরা আশা করি আপনি পি { এক্স ≥ একটি } = ∫ ∞ একটি চ ( এক্স $X$$f(x)$$P\{X \geq a\}$$a > 0$ যেখানে g ( x ) = 1 [ a , ∞ ) । তাহলে এন একটি হলএমনকিপূর্ণসংখ্যা এবং খ কোনো ইতিবাচক বাস্তব সংখ্যার, তারপর H ( এক্স ) = ( x এর + +

$$P\{X \geq a\} = \int_a^{\infty}f(x)\,\mathrm dx = \int_{-\infty}^{\infty}g(x)f(x)\,\mathrm dx = E[g(X)]$$ $g(x) = \mathbf 1_{[a,\infty)}$$n$$b$ এবং তাই E[এইচ(এক্স)]=∫ ∞ - ∞ এইচ(এক্স)চ(এক্স $$h(x) = \left(\frac{x+b}{a+b}\right)^n \geq g(x), -\infty < x < \infty,$$ সুতরাং আমাদের কাছে ইতিবাচক আসল সংখ্যার জন্য a এবং b , P { X ≥ a } ≤ E [ ( এক্স + $$E[h(X)] = \int_{-\infty}^{\infty} h(x)f(x)\,\mathrm dx \geq \int_{-\infty}^{\infty}g(x)f(x)\,\mathrm dx = E[g(X)].$$ $a$$b$ যেখানে ডানদিকের প্রত্যাশা(1)হয়এন-th মুহূর্ত (এনএমনকি) এরএক্সসম্পর্কে-খ। যখনএন=2, ক্ষুদ্রতম উপরের উপর আবদ্ধ পি{এক্স≥একটি}প্রাপ্ত হয় যখনখ=σ $$P\{X \geq a\} \leq E\left[\left(\frac{X+b}{a+b}\right)^n\right] = (a+b)^{-n}E[(X+b)^n]\tag{1}$$ $(1)$$n$$n$$X$$-b$$n = 2$$P\{X \geq a\}$ একতরফা Chebyshev বৈষম্য দান (অথবা Chebyshev-Cantelli বৈষম্য): পি { এক্স ≥ একটি } ≤ σ $b = \sigma^2/a$এন এর বৃহত্তর মানগুলির জন্য,খ এরসাথে সংক্ষিপ্তকরণ মেসেঞ্জার। $$P\{X \geq a\} \leq \frac{\sigma^2}{a^2 + \sigma^2}.$$ $n$$b$