অদেখা কার্ডের প্রত্যাশিত সংখ্যা যখন অঙ্কন

Question

আমাদের কাছে কার্ডের একটি ডেক রয়েছে । আমরা এটি থেকে কার্ড প্রতিস্থাপনের সাথে এলোমেলোভাবে অঙ্কন করি। পরে প্রত্যাশিত কার্ডগুলি কখনই বাছাই হয় না?$n$$2n$

এই প্রশ্নটি 2.12 ইন সমস্যার 2 অংশ part

এম। মিতজেনমেকার এবং ই। উপফাল, সম্ভাবনা এবং কম্পিউটিং: এলোমোডিজ অ্যালগরিদম এবং সম্ভাব্য বিশ্লেষণ , কেমব্রিজ বিশ্ববিদ্যালয় প্রেস, ২০০ Press।

এছাড়াও, এটির মূল্য কী, এটি কোনও হোম ওয়ার্কের সমস্যা নয়। এটি স্ব-অধ্যয়ন এবং আমি কেবল আটকে আছি।

আমার উত্তর এই পর্যন্ত:

কে পরে দেখা স্বতন্ত্র কার্ডের সংখ্যা হতে দিন । তারপর:$X_i$$i$

$E[X_i] = \displaystyle \sum_{k=1}^{n} k (\frac{k}{n}P(X_{i-1}=k) + \frac{n-k-1}{n} P(X_{i-1}=k-1))$

এখানে ধারণাটি হ'ল প্রতিবার যখন আমরা আঁকব, আমরা হয় দেখি এমন একটি কার্ড আঁকি বা আমরা দেখি না এমন কোনও কার্ড আঁকে এবং আমরা এটি পুনরাবৃত্তভাবে সংজ্ঞা দিতে পারি।

অবশেষে, প্রশ্ন হল, কত করলে আমরা উত্তর না দেখা পর স্বপক্ষে হবে ।$2n$$n-E[X_{2n}]$

আমি বিশ্বাস করি এটি সঠিক, তবে একটি সহজ সমাধান অবশ্যই হবে।

কোন সাহায্যের ব্যাপকভাবে প্রশংসা হবে।

Comments

আপনি কি এটিকে সিমুলেটেড করেছেন এবং ফলাফলের তুলনা করেছেন?

— অ্যাডাম

Answer 1

ইঙ্গিত: প্রদত্ত যে কোনও ড্রতে, কোনও কার্ড বাছাই না হওয়ার সম্ভাবনা হ'ল । এবং যেহেতু আমরা প্রতিস্থাপনের সাথে অঙ্কন করছি, আমি ধরে নিলাম আমরা বলতে পারি যে প্রতিটি অঙ্ক অন্যের থেকে আলাদা। সুতরাং2এনঅঙ্কনেকোনও কার্ড বাছাই না হওয়ার সম্ভাবনাটিহ'ল ...$\frac{n-1}{n}$$2n$

Comments

(+1) এটি একটি ভাল প্রথম শুরু দেয়। প্রত্যাশার রৈখিকতার সাথে এটি সংমিশ্রণ একটি অর্থনৈতিক এবং মার্জিত সমাধানের দিকে নিয়ে যায়।

— কার্ডিনাল

Answer 2

ইঙ্গিতটির জন্য আপনাকে মাইকে ধন্যবাদ।

এটিই আমি নিয়ে এসেছি।

$X_i$$X_i = 1$$i^{th}$$p_i = P(X_i=1) = (\frac{n-1}{n})^{2n}$$p_i$$i$$p=p_i$

$\displaystyle X = \sum_{i=1}^n X_i$$2n$

$\displaystyle E[X] = E[\sum_{i=1}^n X_i] = \sum_{i=1}^n E[X_i] = \sum_{i=1}^n p = np$

এবং এটি আমার মনে হয়।

Comments

$n$$p \approx e^{-2}$

এটি তার চেয়ে কিছুটা জটিল হতে পারে। কার্ড (i) মিস হওয়ার সম্ভাবনা হ'ল আপনি লিখেছেন। তবে, একবার আমরা জানি যে কার্ড (i) মিস হয়ে গেছে, তখন হারিয়ে যাওয়া কার্ডের সম্ভাবনা (জে) পরিবর্তিত হবে। আমি জানি না যে স্বাধীনতার ইস্যু চূড়ান্ত ফলাফলকে পরিবর্তন করবে কিন্তু ডেরাইভেশনকে জটিল করে তুলবে।

— এমিল ফ্রাইডম্যান

@ এমিল ফ্রেডম্যান: সমষ্টিগুলি স্বাধীন কিনা তা প্রত্যাশা লিনিয়ার। স্বতন্ত্রতার অভাব বৈচিত্রের মতো পরিমাণকে প্রভাবিত করে, তবে প্রত্যাশা নয়।

— ডগলাস জারে

Answer 3

তত্ত্বটি বৈধ করার জন্য এখানে কিছু আর কোড রয়েছে।

evCards <- function(n) 
{
    iter <- 10000;
    cards <- 1:n;
    result <- 0;
    for (i in 1:iter) {
        draws <- sample(cards,2*n,T);
        uniqueDraws <- unique(draws,F);
        noUnique <- length(uniqueDraws);
        noNotSeen <- n - noUnique;
        result <- result + noNotSeen;
    }
    simulAvg <- result/iter;
    theoryAvg <- n * ((n-1)/n)^(2*n);
    output <-list(simulAvg=simulAvg,theoryAvg=theoryAvg);
    return (output);
}