সর্বোচ্চ আইড গম্বেল ভেরিয়েবলের প্রত্যাশা

আমি এলোমেলো ইউটিলিটি মডেলগুলিতে ব্যবহৃত একটি নির্দিষ্ট ফলাফল সম্পর্কে অর্থনীতি জার্নালে পড়তে থাকি। একটি সংস্করণ হ'ল: যদি ( , তবে: $\epsilon_i \sim_{iid},$ $\mu, 1), \forall i$

E [max_{i} (δ_{i} + ϵ_{i})] = μ + γ + \ln (\sum_{i} \exp {δ_{i}}),

$E[\max_i(\delta_i + \epsilon_i)] = \mu + \gamma + \ln\left(\sum_i \exp\left\{\delta_i \right\} \right),$

যেখানে $\gamma \approx 0.52277$ হলেন -মাসচেরনি ধ্রুবক। আমি পরীক্ষা করে দেখেছি যে এটি আর ব্যবহার করে বোঝা যায়, এবং তা করে। গম্বেল $(\mu, 1)$ বিতরণের সিডিএফ হ'ল:

G (ϵ_{i}) = \exp (- \exp (- (ϵ_{i} - μ)))

$G(\epsilon_i) = \exp(-\exp(-(\epsilon_i - \mu)))$

আমি এর একটি প্রমাণ খোঁজার চেষ্টা করছি এবং আমার কোনও সাফল্য নেই। আমি নিজেই এটি প্রমাণ করার চেষ্টা করেছি কিন্তু আমি একটি নির্দিষ্ট ধাপ পেরিয়ে যেতে পারি না।

কেউ কি আমাকে এর প্রমাণ দিতে পারে? যদি তা না হয় তবে আমি আমার প্রয়াসের প্রমাণটি যেখানে পোস্ট করতে পারি সেখানে পোস্ট করতে পারি।

expected-value gumbel

— জেসন
সূত্র

সম্পর্কিত: stats.stackexchange.com/questions/57506/…

— অ্যাড্রিয়ান

আমি আপনার উত্তরে প্রদর্শিত কাজের প্রশংসা করি: এই অবদানের জন্য আপনাকে ধন্যবাদ। এই পোস্টটির উদ্দেশ্য হল একটি সহজ বিক্ষোভ সরবরাহ করা। সরলতার মান হ'ল প্রকাশ: আমরা কেবলমাত্র তার প্রত্যাশা নয় , সর্বাধিকের পুরো বিতরণটি সহজেই পেতে পারি ।

এটিকে এবং একটি গাম্বেল বিতরণ রয়েছে ধরে নিয়ে উপেক্ষা করুন । (যেমন, প্রতিটি প্রতিস্থাপন দ্বারা এবং পরিবর্তন করার ।) এই দৈব চলক পরিবর্তন করে না $\mu$ $\delta_i$ $\epsilon_i$ $(0,1)$ $\epsilon_i$ $\epsilon_i-\mu$ $\delta_i$ $\delta_i+\mu$

X = max_{i} (δ_{i} + ϵ_{i}) = max_{i} ((δ_{i} + μ) + (ϵ_{i} - μ)) .

$X = \max_{i}(\delta_i + \epsilon_i) = \max_i((\delta_i+\mu) + (\epsilon_i-\mu)).$

এর স্বাধীনতা সমস্ত বাস্তব জন্য বোঝায় যে পৃথক সম্ভাবনার । লগ গ্রহণ এবং ক্ষয়ক্ষতি উত্পাদনের মৌলিক বৈশিষ্ট্য প্রয়োগ করা $\epsilon_i$ $x$ $\Pr(X\le x)$ $\Pr(\delta_i+\epsilon_i\le x)$

\begin{aligned} \log Pr (X \leq x) & = \log \prod_{i} Pr (δ_{i} + ϵ_{i} \leq x) = \sum_{i} \log Pr (ϵ_{i} \leq x - δ_{i}) \\ = - \sum_{i} e^{δ_{i}} e^{- x} = - \exp (- x + \log \sum_{i} e^{δ_{i}}) . \end{aligned}

$\eqalign{ \log \Pr(X\le x) &= \log\prod_{i}\Pr(\delta_i + \epsilon_i \le x) = \sum_i \log\Pr(\epsilon_i \le x - \delta_i)\\ &= -\sum_ie^{\delta_i}\, e^{-x} = -\exp\left(-x + \log\sum_i e^{\delta_i}\right). }$

অবস্থান প্যারামিটার with সহ একটি গুম্বল বিতরণের সিডিএফের লগারিদম এটি এটাই, $\lambda=\log\sum_i e^{\delta_i}.$

$X$ এর একটি গম্বেল- বিতরণ রয়েছে। $\left(\log\sum_i e^{\delta_i}, 1\right)$

এটি অনুরোধ চেয়ে অনেক বেশি তথ্য। এই জাতীয় বিতরণের গড়টি হ'ল প্ররোচিত $\gamma+\lambda,$

E [X] = γ + \log \sum_{i} e^{δ_{i}},

$\mathbb{E}[X] = \gamma + \log\sum_i e^{\delta_i},$

Qed।

— whuber
সূত্র

এটা পরিনত হয় যে একটি Econometrica নিবন্ধ কেনেথ ছোট এবং হার্ভে রোসেন দ্বারা 1981 সালে এই দেখিয়েছেন, কিন্তু তাই ফলাফলের একটি খুব বিশেষ প্রেক্ষাপটে অর্থনীতিতে কিছু প্রশিক্ষণ খনক অনেক, না উল্লেখ প্রয়োজন। আমি আরও অ্যাক্সেসযোগ্য মনে করি এমনভাবে প্রমাণ করার সিদ্ধান্ত নিয়েছি।

প্রমাণ : বিকল্পের সংখ্যা হতে দিন। ভেক্টরের মানগুলির উপর নির্ভর করে , ফাংশন বিভিন্ন মান গ্রহণ করে takes প্রথমে, of এর মানগুলিতে মনোনিবেশ করুন যেমন । এটি হ'ল, আমরা সেট : $J$ $\boldsymbol{\epsilon} = \{\epsilon_1, ..., \epsilon_J\}$ $\max_i(\delta_i + \epsilon_i)$ $\boldsymbol{\epsilon}$ $\max_i (\delta_i + \epsilon_i) = \delta_1 + \epsilon_1$ $\delta_1 + \epsilon_1$ $M_1 \equiv \{\boldsymbol\epsilon : \delta_1 + \epsilon_1 > \delta_j + \epsilon_j, j \neq 1\}$

\begin{aligned} E_{ϵ \in M_{1}} [max_{i} (δ_{i} + ϵ_{i})] = \\ \int_{- \infty}^{\infty} (δ_{1} + ϵ_{1}) f (ϵ_{1}) [\int_{- \infty}^{δ_{1} + ϵ_{1} - δ_{2}} . . . \int_{- \infty}^{δ_{1} + ϵ_{1} - δ_{J}} f (ϵ_{2}) . . . f (ϵ_{J}) d ϵ_{2} . . . d ϵ_{J}] d ϵ_{1} = \\ \int_{- \infty}^{\infty} (δ_{1} + ϵ_{1}) f (ϵ_{1}) (\int_{- \infty}^{δ_{1} + ϵ_{1} - δ_{2}} f (ϵ_{2}) d ϵ_{2}) . . . (\int_{- \infty}^{δ_{1} + ϵ_{1} - δ_{J}} f (ϵ_{J}) d ϵ_{J}) d ϵ_{1} = \\ \int_{- \infty}^{\infty} (δ_{1} + ϵ_{1}) f (ϵ_{1}) F (δ_{1} + ϵ_{1} - δ_{2}) . . . F (δ_{1} + ϵ_{1} - δ_{J}) d ϵ_{1} \end{aligned}

$\begin{equation} \begin{split} E_{\boldsymbol \epsilon \in M_1} [\max_i(\delta_i + \epsilon_i)] = \hspace{3.25in}\\ \int^{\infty}_{-\infty} (\delta_1 + \epsilon_1)f(\epsilon_1) \left[\int_{-\infty}^{\delta_1 + \epsilon_1 - \delta_2} ... \int_{-\infty}^{\delta_1 + \epsilon_1 - \delta_J}f(\epsilon_2) ...f(\epsilon_J) d\epsilon_2 ...d\epsilon_J \right] d\epsilon_1 = \\ \int^{\infty}_{-\infty} (\delta_1 + \epsilon_1)f(\epsilon_1) \left(\int_{-\infty}^{\delta_1 + \epsilon_1 - \delta_2} f(\epsilon_2)d\epsilon_2 \right) ... \left( \int_{-\infty}^{\delta_1 + \epsilon_1 - \delta_J}f(\epsilon_J) d\epsilon_J \right) d\epsilon_1 = \\ \int^{\infty}_{-\infty} \left(\delta_1 + \epsilon_1\right) f(\epsilon_1) F(\delta_1 + \epsilon_1 - \delta_2) ...F(\delta_1 + \epsilon_1 - \delta_J) d\epsilon_1 \end{split} \end{equation}$

উপরে শব্দটি প্রথম এ ধরনের পদ । বিশেষ করে, $J$ $E[\max_i \left(\delta_i + \epsilon_i \right)]$

E [max_{i} (δ_{i} + ϵ_{i})] = \sum_{i} E_{ϵ \in M_{i}} [max_{i} (δ_{i} + ϵ_{i})] .

$\begin{equation} E\left[\max_i \left(\delta_i + \epsilon_i \right)\right] = \sum_i E_{\boldsymbol \epsilon \in M_i}\left[\max_i\left( \delta_i + \epsilon_i \right) \right]. \end{equation}$

এখন আমরা গম্বেল বিতরণের কার্যকরী ফর্মটি প্রয়োগ করি। এই দেয়

\begin{aligned} E_{ϵ \in M_{i}} [max_{i} (δ_{i} + ϵ_{i})] = \\ \int_{- \infty}^{\infty} (δ_{i} + ϵ_{i}) e^{μ - ϵ_{i}} e^{- e^{μ - ϵ_{i}}} \prod_{j \neq i} e^{- e^{μ - ϵ_{i} + δ_{j} - δ_{i}}} d ϵ_{i} \\ = & \int_{- \infty}^{\infty} (δ_{i} + ϵ_{i}) e^{μ - ϵ_{i}} \prod_{j} e^{- e^{μ - ϵ_{i} + δ_{j} - δ_{i}}} d ϵ_{i} \\ = & \int_{- \infty}^{\infty} (δ_{i} + ϵ_{i}) e^{μ - ϵ_{i}} \exp {\sum_{j} - e^{μ - ϵ_{i} + δ_{j} - δ_{i}}} d ϵ_{i} \\ = & \int_{- \infty}^{\infty} (δ_{i} + ϵ_{i}) e^{μ - ϵ_{i}} \exp {- e^{μ - ϵ_{i}} \sum_{j} e^{δ_{j} - δ_{i}}} d ϵ_{i} \end{aligned}

$\begin{equation} \begin{split} &E_{\boldsymbol \epsilon \in M_i}\left[\max_i\left( \delta_i + \epsilon_i \right) \right] = \hspace{2in} \\ &\int^{\infty}_{-\infty} \left(\delta_i + \epsilon_i\right)e^{\mu - \epsilon_i} e^{- e^{\mu - \epsilon_i}} \prod_{j \neq i} e^{-e^{\mu - \epsilon_i + \delta_j - \delta_i}}d\epsilon_i \\ =&\int^{\infty}_{-\infty} \left(\delta_i + \epsilon_i\right)e^{\mu - \epsilon_i } \prod_{j } e^{-e^{\mu - \epsilon_i + \delta_j - \delta_i}}d\epsilon_i \\ =&\int^{\infty}_{-\infty} \left(\delta_i + \epsilon_i \right) e^{\mu - \epsilon_i} \exp \Bigl\{ \sum_{j} -e^{\mu - \epsilon_i + \delta_j - \delta_i} \Bigr\}d\epsilon_i \\ =&\int^{\infty}_{-\infty} \left(\delta_i + \epsilon_i \right) e^{\mu - \epsilon_i} \exp \Bigl\{ -e^{\mu - \epsilon_i } \sum_{j} e^{ \delta_j - \delta_i} \Bigr\}d\epsilon_i \end{split} \end{equation}$

যেখানে step যদি থাকে তবে এই পণ্যটির সাথে পদগুলির একটি সংগ্রহ করা থেকে দ্বিতীয় পদক্ষেপ আসে । $\delta_j - \delta_i = 0$ $i = j$

এখন আমরা এবং make কে প্রতিস্থাপন করি , যাতে এবং । মনে রাখবেন যে অনন্তের কাছে যাওয়ার সাথে সাথে 0 এর নিকটবর্তী হয়েছে এবং নেতিবাচক অসীমের কাছে যাওয়ার সাথে সাথে অনন্তের কাছে পৌঁছেছে। $D_i \equiv \sum_j e^{\delta_j - \delta_i}$ $x = D_i\hspace{0.5mm} e^{\mu - \epsilon_i}$ $dx = -D_i e^{\mu - \epsilon_i}d\epsilon_i \Rightarrow -\frac{dx} {D_i} = e^{\mu - \epsilon_i}d\epsilon_i$ $\epsilon_i = \mu - \log\left(\frac{x}{D_i}\right)$ $\epsilon_i$ $x$ $\epsilon_i$ $x$

\begin{aligned} E_{ϵ \in M_{i}} [max_{i} (δ_{i} + ϵ_{i})] = \\ \int_{\infty}^{0} (δ_{i} + μ - \log [\frac{x}{D_{i}}]) (- \frac{1}{D_{i}}) \exp {- x} d x \\ = & \frac{1}{D_{i}} \int_{0}^{\infty} (δ_{i} + μ - \log [\frac{x}{D_{i}}]) e^{- x} d x \\ = & \frac{δ_{i} + μ}{D_{i}} \int_{0}^{\infty} e^{- x} d x - \frac{1}{D_{i}} \int_{0}^{\infty} \log [x] e^{- x} d x + \frac{\log [D_{i}]}{D_{i}} \int_{0}^{\infty} e^{- x} d x \end{aligned}

$\begin{equation} \begin{split} &\hspace{3mm} E_{\boldsymbol \epsilon \in M_i}\left[\max_i\left( \delta_i + \epsilon_i \right) \right] = \\ &\hspace{3mm}\int^{0}_{\infty} \left(\delta_i + \mu - \log\left[\frac{x}{D_i} \right]\right)\left(-\frac{1}{D_i}\right)\exp\left\{ -x\right\}dx \\ =&\hspace{3mm}\frac{1}{D_i}\int^{\infty}_{0} \left(\delta_i + \mu - \log\left[\frac{x}{D_i} \right]\right)e^{ -x}dx \\ =&\hspace{3mm} \frac{\delta_i + \mu}{D_i}\int^{\infty}_{0} e^{-x}dx -\frac{1}{D_i}\int^{\infty}_{0} \log[x]e^{-x}dx + \frac{\log[D_i]} {D_i} \int^{\infty}_{0}e^{-x}dx\\ \end{split} \end{equation}$

গামা ফাংশনটি । মানগুলির জন্য যা ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যার, এটি সমান, সুতরাং । , এটি জানা যায় যে অয়লার - ধ্রুবক, সন্তুষ্ট করে $\Gamma(t) = \int^{\infty}_{0} x^{t - 1}e^{-x}dx$ $t$ $\Gamma(t) = (t - 1)!$ $\Gamma(1) = 0! = 1$ $\gamma \approx 0.57722$

γ = - \int_{0}^{\infty} \log [x] e^{- x} d x .

$\gamma = -\int^{\infty}_{0} \log[x] e^{-x}dx.$

এই তথ্য প্রয়োগ করে

\begin{aligned} E_{ϵ \in M_{i}} [max_{i} (δ_{i} + ϵ_{i})] = \frac{δ_{i} + μ + γ + \log [D_{i}]}{D_{i}} \end{aligned}

$\begin{equation} \begin{split} &\hspace{3mm} E_{\boldsymbol \epsilon \in M_i}\left[\max_i\left( \delta_i + \epsilon_i \right) \right] = \frac{\delta_i + \mu + \gamma + \log[D_i]}{D_i} \end{split} \end{equation}$

তারপর আমরা যোগফল উপর পেতে $i$

\begin{aligned} E [max_{i} (δ_{i} + ϵ_{i})] = \sum_{i} \frac{δ_{i} + μ + γ + \log [D_{i}]}{D_{i}} \end{aligned}

$\begin{equation} \begin{split} &\hspace{3mm} E\left[\max_i\left( \delta_i + \epsilon_i \right) \right] = \sum_i \frac{\delta_i + \mu + \gamma + \log[D_i]}{D_i} \end{split} \end{equation}$

পুনরাহ্বান যে। লক্ষ করুন যে, পরিচিত logit পছন্দ সম্ভাব্যতা এর inverses হয় অন্য কথায় এর, অথবা । এছাড়াও লক্ষ করুন যে । তারপর আমাদের আছে $D_i = \sum_j e^{\delta_j - \delta_i} = \frac{\sum_j e^{\delta_j}} {e^{\delta_i}}$ $P_i = \frac{e^{\delta_i}}{\sum_j \delta_j}$ $D_i$ $P_i = 1/D_i$ $\sum_i P_i = 1$

\begin{aligned} E [max_{i} (δ_{i} + ϵ_{i})] = & \sum_{i} P_{i} (δ_{i} + μ + γ + \log [D_{i}]) \\ = & (μ + γ) \sum_{i} P_{i} + \sum_{i} P_{i} δ_{i} + \sum_{i} P_{i} \log [D_{i}] \\ = & μ + γ + \sum_{i} P_{i} δ_{i} + \sum_{i} P_{i} \log [\frac{\sum_{j} e^{δ_{j}}}{e^{δ_{i}}}] \\ = & μ + γ + \sum_{i} P_{i} δ_{i} + \sum_{i} P_{i} \log [\sum_{j} e^{δ_{j}}] - \sum_{i} P_{i} \log [e^{δ_{i}}] \\ = & μ + γ + \sum_{i} P_{i} δ_{i} + \log [\sum_{j} e^{δ_{j}}] \sum_{i} P_{i} - \sum_{i} P_{i} δ_{i} \\ = & μ + γ + \log [\sum_{j} \exp {δ_{j}}] . \end{aligned}

$\begin{equation} \begin{split} \hspace{3mm} E\left[\max_i\left( \delta_i + \epsilon_i \right) \right] =& \sum_i P_i\left(\delta_i + \mu + \gamma + \log[D_i]\right)\\ =&\hspace{2mm} (\mu + \gamma) \sum_i P_i + \sum_i P_i\delta_i + \sum_iP_i \log[D_i] \\ =& \hspace{2mm} \mu + \gamma + \sum_i P_i \delta_i + \sum_i P_i \log\left[\frac{\sum_j e^{\delta_j}} {e^{\delta_i}} \right]\\ =& \mu + \gamma + \sum_i P_i \delta_i + \sum_i P_i \log\left[\sum_j e^{\delta_j}\right] - \sum_i P_i \log[e^{\delta_i}]\\ =& \mu + \gamma + \sum_i P_i \delta_i + \log\left[ \sum_j e^{\delta_j}\right] \sum_i P_i - \sum_i P_i \delta_i \\ =& \mu + \gamma + \log\left[ \sum_j \exp\left\{ \delta_j \right\}\right] .\end{split} \end{equation}$ কিউইডি

— জেসন
সূত্র

আমি যা বিশ্বাস করি তার সাথে আমি লিঙ্কটি যুক্ত করেছি যা আপনি উল্লেখ করছেন নিচে এটি নিখরচায় না দেখে; ভুল হলে দয়া করে সংশোধন করুন।

— ডগল

@ জেসন সর্বাধিক সর্বাধিক সর্বাধিক শর্তযুক্ত হওয়ার সময় কী কী তা প্রমাণ করতে হয়? অমীমাংসিত এই প্রশ্নটি এখানে দেখুন: stats.stackexchange.com/questions/260847/…

— ওল্ফসটহেডুর