বিমানে কোনও নমুনার মধ্যস্থতার জন্য কোনও গৃহীত সংজ্ঞা আছে, বা উচ্চতর অর্ডার করা স্পেস রয়েছে?

Question

তা হলে কী? তা না হলে কেন?

লাইনের একটি নমুনার জন্য, মিডিয়ান মোট নিখুঁত বিচ্যুতি হ্রাস করে। আর -2 ইত্যাদি সংজ্ঞাটি প্রসারিত করা স্বাভাবিক বলে মনে হবে তবে আমি এটি কখনও দেখিনি। তবে, আমি দীর্ঘদিন ধরে বাম মাঠে আছি out

Comments

stats.stackexchange.com/questions/89676/…

— kjetil b halvorsen

Answer 1

আমি নিশ্চিত নই যে মাল্টিভারিয়েট মিডিয়ানের জন্য একটি গ্রহণযোগ্য সংজ্ঞা আছে। আমি যার সাথে পরিচিত, সে হ'ল ওজার মধ্যবর্তী বিন্দু , যা পয়েন্টের উপসংশগুলিতে গঠিত সরলিকাগুলির পরিমাণের পরিমাণকে হ্রাস করে। (প্রযুক্তিগত সংজ্ঞার জন্য লিঙ্কটি দেখুন))

আপডেট: উপরের ওজা সংজ্ঞার জন্য রেফারেন্স করা সাইটটিতে একটি মাল্টিভারিয়েট মিডিয়ানের সংখ্যার সংজ্ঞা সংকলন করার জন্য একটি দুর্দান্ত কাগজ রয়েছে:

• ডেটা গভীরতার জ্যামিতিক পরিমাপ

Comments

ভাল রেফারেন্স: ধন্যবাদ। এটি এখানে বর্ণিত সমস্ত বিষয়কে বিস্তৃতভাবে কভার করে।

— whuber

একই ওয়েবসাইটে HTML: cgm.cs.mcgill.ca/~athens/ জ্যামিতিক- ইস্টিমেটরস

— আদিত্য 14

Answer 2

যেমন @ আরস বলেছেন যে কোনও গ্রহণযোগ্য সংজ্ঞা নেই (এবং এটি একটি ভাল পয়েন্ট)। তে কোয়ান্টাইলগুলি সাধারণকরণের বিভিন্ন উপায়ের পরিবার রয়েছে , আমি মনে করি সর্বাধিক উল্লেখযোগ্য হ'ল :$\mathbb{R}^d$

• সাধারণের সমাংশক প্রক্রিয়া আসুন গবেষণামূলক পরিমাপ (= মধ্যে পর্যবেক্ষণ অনুপাতে উপস্থিত একজন )। তারপর, সঙ্গে একটি মধ্যে Borel সেট একটি ভাল মনোনীত উপসেট আর ঘ এবং λ একটি বাস্তব মূল্যবান পরিমাপ, আপনি গবেষণামূলক সমাংশক ফাংশন নির্ধারণ করতে পারেন:$P_n(A)$$A$$\mathbb{A}$$\mathbb{R}^d$$\lambda$

  $U_n(t)=\inf (\lambda(A) : P_n(A)\geq t A\in\mathbb{A})$

  মনে করুন আপনি এমন খুঁজে পেতে পারেন যা আপনাকে সর্বনিম্ন দেয়। তারপর সেট (অথবা সেটের একটি উপাদান) একটি 1 / 2 - ε ∩ একটি 1 / 2 + + ε আপনি মধ্যমা যখন দেয় ε ছোট যথেষ্ট তৈরি করা হয়। A = ( ] - ∞ , x ] x ∈ R ) এবং λ ( ] - ∞ , x ] ) = x ব্যবহার করার সময় মাঝারিটির সংজ্ঞাটি পুনরুদ্ধার হয় । আর্স$A_{t}$$A_{1/2-\epsilon}\cap A_{1/2+\epsilon}$$\epsilon$$\mathbb{A}=(]-\infty,x] x\in\mathbb{R})$$\lambda(]-\infty,x])=x$উত্তর যে ফ্রেমওয়ার্ক আমি পড়ে ... tukey এর অর্ধেক স্থান অবস্থান ব্যবহার লাভ করা যায় এবং λ ( এইচ এক্স ) = এক্স (সঙ্গে এক্স ∈ আর , একটি ∈ আর ঘ )।$\mathbb{A}(a)=( H_{x}=(t\in \mathbb{R}^d :\; \langle a, t \rangle \leq x )$$\lambda(H_{x})=x$$x\in \mathbb{R}$$a\in\mathbb{R}^d$

• ভেরিয়েশনাল সংজ্ঞা এবং এম-প্রাক্কলন ধারণা এখানে যে -quantile প্রশ্ন α একটি এলোপাতাড়ি ভেরিয়েবলের ওয়াই মধ্যে আর একটি ভেরিয়েশনাল সমতা মাধ্যমে সংজ্ঞায়িত করা যায়।$\alpha$$Q_{\alpha}$$Y$$\mathbb{R}$

  • সবচেয়ে সাধারণ সংজ্ঞা ব্যবহার করছে সমাংশক রিগ্রেশন ফাংশন (এছাড়াও পিনবল ক্ষতি নামে পরিচিত, অনুমান কেন?) প্রশ্ন α = একটি দ ছ INF এক্স ∈ আর ই [ ρ α ( ওয়াই - এক্স ) ] । কেস α = 1 / 2 দেয় ρ 1 / 2 ( Y ) = | y | এবং আপনি l 1 ব্যবহার করে এটি উচ্চতর মাত্রায় সাধারণ করতে পারেন$\rho_{\alpha}$$Q_{\alpha}=arg\inf_{x\in \mathbb{R}}\mathbb{E}[\rho_{\alpha}(Y-x)]$$\alpha=1/2$$\rho_{1/2}(y)=|y|$$l^1$@ শ্রীক্যান্ট উত্তরে যেমন হয়েছে দূরত্ব । এটি তাত্ত্বিক মধ্যস্থতা তবে আপনি প্রত্যাশিত প্রত্যাশার (গড়) দ্বারা প্রত্যাশাটি প্রতিস্থাপন করলে আপনাকে অভিজ্ঞতামূলক মিডিয়ান দেয়।

  • তবে কোলশিনস্কি লেজেন্ড্রে-ফেনচেল ট্রান্সফর্ম ব্যবহার করার প্রস্তাব দিয়েছেন: যেহেতু যেখানে f ( s ) = $Q_{\alpha}=Arg\sup_s (s\alpha-f(s))$এস∈আরএরজন্য+এস]। তিনি এর জন্য অনেকগুলি গভীর কারণ দিয়েছেন (কাগজটি দেখুন;))। উচ্চতর মাত্রা এই সরলীকরণ একটি ভেক্টর সঙ্গে কাজ প্রয়োজনαএবং প্রতিস্থাপনগুলিαদ্বারা⟨গুলি,α⟩কিন্তু আপনি গ্রহণ করতে পারেনα=(1/2,...,1/2)।$f(s)=\frac{1}{2}\mathbb{E} [|s-Y|-|Y|+s]$$s\in \mathbb{R}$$\alpha$$s\alpha$$\langle s,\alpha\rangle$$\alpha=(1/2,\dots,1/2)$

• আংশিক অর্ডারিং আপনি আংশিক ক্রম (সমতুল্য শ্রেণীর সাথে) তৈরি করতেপারার সাথে সাথে কোয়ান্টাইলসের সংজ্ঞাটি সাধারণকরণকরতে পারেন।$\mathbb{R}^d$

স্পষ্টতই বিভিন্ন ফর্মুলেশনের মধ্যে সেতু রয়েছে। তারা সব সুস্পষ্ট নয় ...

Comments

উত্তম উত্তর, রবিন!

— Ars

Answer 3

মধ্যম ধারণাটি উচ্চ মাত্রায় সাধারণকরণের জন্য পৃথক পৃথক উপায় রয়েছে। একটি এখনও উল্লেখ করা হয়নি, তবে এটি বেশ আগে প্রস্তাব করা হয়েছিল, একটি উত্তল হাল তৈরি করা, এটি ছুলা এবং যতক্ষণ আপনি পুনরাবৃত্তি করতে পারেন: শেষ হলের মধ্যে যা রয়েছে তা হল পয়েন্টগুলির একটি সেট যা সমস্ত প্রার্থী হতে হবে " মধ্যমা। "

"হেড-ব্যাংিং" হ'ল 2 ডি পয়েন্ট মেঘের একটি শক্তিশালী কেন্দ্র নির্মাণের আরও সাম্প্রতিক প্রয়াস (সি। 1980)। (লিঙ্কটি হ'ল মার্কিন জাতীয় ক্যান্সার ইনস্টিটিউটে ডকুমেন্টেশন এবং সফ্টওয়্যার উপলভ্য)

একাধিক স্বতন্ত্র সাধারণীকরণের মূল কারণ এবং এর কোনও সুস্পষ্ট সমাধান নয় যে আর 1 অর্ডার করা যেতে পারে তবে আর 2, আর 3, ... হতে পারে না।

Comments

আর 1-তে সীমাবদ্ধ থাকাকালীন যে কোনও পরিমাপ স্বাভাবিক মিডিয়েনের সাথে মিলে যায় তা প্রার্থী জেনারালাইজেশন। তাদের অনেক কিছু থাকতে হবে।

— phv3773

পিএইচভি:> মধ্যস্থতার কিছু আকর্ষণীয় বৈশিষ্ট্য সংরক্ষণের জন্য (উচ্চ মাত্রায়) সাধারণের জন্য জিজ্ঞাসা করা যেতে পারে। এটি গুরুতরভাবে প্রার্থীদের সংখ্যা সীমিত করে (নীচে শ্রীকান্তের উত্তর পরে মন্তব্য দেখুন)

— ব্যবহারকারী 603

@ ভুবার:> তারপরে অমনোডাল বিতরণের জন্য আদেশের ধারণাটি ^ n এ সাধারণ করা যেতে পারে (নীচে আমার উত্তর দেখুন)।

— ব্যবহারকারী 60

@ কেওয়াক: আপনি কি আরও কিছুটা ব্যাখ্যা করতে পারবেন? কোনও জায়গার অর্ডার দেওয়ার স্বাভাবিক গাণিতিক সংজ্ঞাটি কোনও ধরণের সম্ভাবনা বন্টনের চেয়ে স্বতন্ত্র, সুতরাং আপনার অবশ্যই স্পষ্টতই কিছু অতিরিক্ত অনুমানের কথা মনে রাখতে হবে।

— whuber

@ ভুবার:> আপনি বলেছেন: "আর 1 অর্ডার করা যেতে পারে তবে আর 2, আর 3, ... হতে পারে না"। আর 2, .., আর 3 কে বিভিন্ন উপায়ে আরএন থেকে আর এ ম্যাপিংয়ের মাধ্যমে অর্ডার করা যেতে পারে। যেমন একটি উপায় tukey গভীরতা। এর অনেকগুলি গুরুত্বপূর্ণ বৈশিষ্ট্য রয়েছে (কিছুটা বাড়ানোর ক্ষেত্রে দৃust়তা, প্যারামিমেট্রিকহীন, আক্রমণাত্মকতা, ...) তবে এগুলি কেবল ইউনিমোডাল বিতরণের ক্ষেত্রে থাকে। আপনি আরও বিশদ জানতে চাইলে আমাকে জানান।

— ব্যবহারকারী 60

Answer 4

জ্যামিতিক মধ্যকতা হ'ল নমুনাগুলি থেকে সবচেয়ে ছোট গড় ইউক্যালিডিয়ান দূরত্বের বিন্দু

Comments

এছাড়াও stats.stackexchange.com/questions/113239/… , stats.stackexchange.com/questions/89676/…

— কেজিটিল বি হালওয়ারসেন

Answer 5

স্ট্রাইফ এবং রুসিয়েউয়ের কারণে ডিগের একটি ডিগ্রী, ডিইইপিএলওসি ব্যবহার করে টুকি হাফস্পেস মিডিয়ানটি> 2 মাত্রায় বাড়ানো যেতে পারে; দেখতে এখানে বিস্তারিত জানার জন্য।

অ্যালগরিদম দক্ষতার সাথে সবচেয়ে গভীরতার বিন্দুটিকে আনুমানিকভাবে ব্যবহার করতে ব্যবহৃত হয়; নিখুঁত পদ্ধতি যা এটি নির্ধারণ করার চেষ্টা করে সাধারণত (মাত্রিক অভিশাপ) এর "গণ্য সংস্করণ" এর বাইরে চলে যায়, যেখানে একটি পরিসংখ্যান গণনা করার জন্য রানটাইম প্রয়োজন হয় স্পেসের মাত্রার সংখ্যার সাথে তাত্পর্যপূর্ণভাবে বৃদ্ধি পায়।

Answer 6

ইউনিফর্মাল বিতরণের জন্য এটির নিকটে আসা একটি সংজ্ঞা হ'ল টুকি হাফস্পেস মিডিয়ান

• http://cgm.cs.mcgill.ca/~athens/Geometric-Estimators/halfspace.html
• http://www.isical.ac.in/~statmath/html/publication/Tukey_tech_rep.pdf
• https://www.isical.ac.in/~statmath/report/11310-15.pdf

Answer 7

আমি এমন কোন সংজ্ঞা বিদ্যমান জানি না কিন্তু আমি চেষ্টা এবং বাড়িয়ে দেবে মধ্যমা মান সংজ্ঞা থেকে । আমি নিম্নলিখিত স্বরলিপি ব্যবহার করব:$R^2$

, ওয়াই : দুটি মাত্রার সাথে যুক্ত এলোমেলো পরিবর্তনগুলি।$X$$Y$

, এম ওয়াই : সংশ্লিষ্ট মিডিয়ান।$m_x$$m_y$

: আমাদের এলোমেলো ভেরিয়েবলের জন্য যৌথ পিডিএফ$f(x,y)$

মিডিয়ানের সংজ্ঞা তে বাড়ানোর জন্য , আমরা নিম্নোক্তগুলি হ্রাস করতে মি x এবং এম y নির্বাচন করি:$R^2$$m_x$$m_y$

$E(|(x,y) - (m_x,m_y)|$

এখন সমস্যাটি হ'ল আমাদের বোঝার জন্য একটি সংজ্ঞা প্রয়োজন:

$|(x,y) - (m_x,m_y)|$

উপরেরটি এক অর্থে দূরত্বের মেট্রিক এবং সম্ভাব্য বেশ কয়েকটি পরীক্ষার্থীর সংজ্ঞা সম্ভব।

ইউকিলিয়ান মেট্রিক

$|(x,y) - (m_x,m_y)| = \sqrt{(x-m_x)^2 + (y-m_y)^2}$

ইউক্লিডিয়ান মেট্রিকের অধীনে মিডিয়ানের গণনা করতে যৌথ ঘনত্ব সাথে উপরের প্রত্যাশার গণনা করা দরকার ।$f(x,y)$

ট্যাক্সিক্যাব মেট্রিক

$|(x,y) - (m_x,m_y)| = |x-m_x| + |y-m_y|$

$X$$Y$$x$$y$

Comments

শ্রীকান্ত:> না। সংজ্ঞায় অবিবাহিত মাঝারি দুটি গুরুত্বপূর্ণ বৈশিষ্ট্য থাকতে হবে। ক) উপাত্তের একঘেয়ে রূপান্তরকরণের জন্য অবিচ্ছিন্ন, খ) বহিরাগতদের দ্বারা দূষণের শক্ত rob আপনার প্রস্তাবিত কোন এক্সটেনশনের এটির নেই। টুকি গভীরতায় এই গুণ রয়েছে।

— ব্যবহারকারী 60

@ কেওয়াক আপনি যা বলছেন তা বোধগম্য হয়।

@ শ্রীকান্ত:> উপরের গ্যারি ক্যাম্পবেলের উদ্ধৃত আরএন্ডএস পেপারটি দেখুন;)। সেরা,

— ব্যবহারকারী 60

@ কেওয়াক আরও কিছু চিন্তাভাবনা করার পরে, ট্যাক্সিক্যাব মেট্রিকটিতে আপনার উল্লিখিত বৈশিষ্ট্য রয়েছে যা এটি মূলত অবিচ্ছিন্ন মধ্যস্থদের হ্রাস করে। না?

@ শ্রীকান্ত:> পিএইচভি-র প্রশ্নের কোনও সঠিক উত্তর নেই কারণ সেখানে 'ভাল উত্তর' নেই; এই গবেষণার ক্ষেত্রটি এখনও বিকাশাধীন। আমি কেবল এটি কেন একটি মুক্ত সমস্যা তা উল্লেখ করতে চেয়েছিলাম।

— ব্যবহারকারী 60