একটি আদর্শ সাধারণ র্যান্ডম ভেরিয়েবলের বর্গের পিডিএফ [বন্ধ]

বন্ধ থাকে। এই প্রশ্নটি অফ-টপিক । এটি বর্তমানে উত্তর গ্রহণ করছে না।

এই প্রশ্নটি উন্নত করতে চান? প্রশ্নটি আপডেট করুন যাতে এটি ক্রস ভ্যালিডেটের জন্য অন-বিষয় ।

4 বছর আগে বন্ধ ছিল ।

আমার এই সমস্যাটি রয়েছে যেখানে আমার অবশ্যই পিডিএফ খুঁজে পেতে হবে । আমি শুধু জানি যে এর বিতরণ । কোন ধরণের বিতরণ ? হিসাবে একই ? আমি পিডিএফ কীভাবে খুঁজে পাব? $Y = X^2$ $X$ $N(0,1)$ $Y = X^2$ $X$

— Melye77
সূত্র

এর পিডিএফ যে একই হতে পারে না যেমন nonegative হবে।

Y = X^{2}

$Y = X^2$

X

$X$

Y

$Y$

— জনক

আচ্ছা আমি একটি পরীক্ষার জন্য অনুশীলন করছি তাই না, এটি হোমওয়ার্ক নয়। আমি এগুলি নিজে থেকে সমাধান করার চেষ্টা করছি তবে আমি

— এটির

[self-study]ট্যাগ যুক্ত করুন এবং এর উইকি পড়ুন । তারপরে আপনি এতক্ষণ কী বোঝেন তা আমাদের বলুন, আপনি কী চেষ্টা করেছেন এবং কোথায় আটকে আছেন। আপনাকে আনস্টাক করতে সহায়তা করার জন্য আমরা ইঙ্গিতগুলি সরবরাহ করব।

— গুং - মনিকা পুনরায়

আপনি যদি এই নির্দিষ্ট প্রশ্নের সরাসরি উত্তর খুঁজছেন, নোট করুন যে "রুটিন" বইয়ের রচনা শৈলীর প্রশ্নগুলি যেমন self-studyট্যাগ বহন করে (এবং আপনার ট্যাগ-উইকি পড়তে হবে এবং জিজ্ঞাসার নির্দেশিকা অনুসরণ করতে আপনার প্রশ্নটি পরিবর্তন করা উচিত) প্রশ্ন - আপনার নিজের সমস্যাটি সমাধান করার জন্য আপনি কী করেছেন তা স্পষ্ট করে সনাক্ত করতে হবে এবং আপনি যে সমস্যার মুখোমুখি হয়েছিলেন সেই সময়ে আপনার প্রয়োজনীয় সহায়তাটি নির্দেশ করতে হবে)। ... সিটিডি

— গ্লেন_বি -রেইনস্টেট মনিকা

সিটিডি ... অন্যদিকে, আপনি যদি এই ধরণের একটি সাধারণ প্রশ্নের উত্তর খুঁজছেন (যেমন "আমি কীভাবে রূপান্তরিত এলোমেলো ভেরিয়েবলের পিডিএফ পেতে পারি? '), এটি একটি পুরোপুরি ভাল প্রশ্ন, যা ইতিমধ্যে হয়ে গেছে সাইটে কয়েকবার জবাব দেওয়া হয়েছে

— Glen_b -Rininstate মনিকা

আপনি সম্ভাব্যতা তত্ত্ব এবং পরিসংখ্যানের অন্যতম বিখ্যাত ফলাফলকে হোঁচট খেয়ে ফেলেছেন। আমি একটি উত্তর লিখব, যদিও আমি নিশ্চিত যে এই সাইটে এই প্রশ্নটি আগে জিজ্ঞাসা করা হয়েছিল (এবং উত্তর দেওয়া হয়েছে)।

প্রথমত, নোট যে পিডিএফ যে একই হতে পারে না যেমন নন-নেগেটিভ হতে হবে। বিতরণ পেতে আমরা তিনটি পদ্ধতি ব্যবহার করতে পারি, যথা: এমজিএফ প্রযুক্তি, সিডিএফ কৌশল এবং ঘনত্বের রূপান্তর কৌশল। চল শুরু করি. $Y = X^2$ $X$ $Y$ $Y$

মুহূর্ত উত্পন্ন ফাংশন কৌশল ।

বা বৈশিষ্ট্যযুক্ত ফাংশন কৌশল, আপনি যা পছন্দ করুন। আমাদের এমজিএফ খুঁজে পেতে হবে । সুতরাং আমাদের প্রত্যাশা গুনতে হবে $Y=X^2$

E [e^{t X^{2}}]

$E\left[e^{tX^2}\right]$

অচেতন পরিসংখ্যানবিদ আইনটি ব্যবহার করে , আমাদের কেবলমাত্র এর বন্টনের উপর এই অবিচ্ছেদ্য গণনা করতে হবে । এইভাবে আমাদের গণনা করা দরকার $X$

\begin{aligned} E [e^{t X^{2}}] = \int_{- \infty}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2 π}} e^{t x^{2}} e^{- \frac{x^{2}}{2}} d x & = \int_{- \infty}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2 π}} \exp {- \frac{x^{2}}{2} (1 - 2 t)} d t \\ = \int_{- \infty}^{\infty} \frac{{(1 - 2 t)}^{1 / 2}}{{(1 - 2 t)}^{1 / 2}} \frac{1}{\sqrt{2 π}} \exp {- \frac{x^{2}}{2} (1 - 2 t)} d t \\ = {(1 - 2 t)}^{- 1 / 2}, t < \frac{1}{2} \end{aligned}

$\begin{align} E\left[e^{tX^2}\right] = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} e^{tx^2} e^{-\frac{x^2}{2}} dx &= \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \exp\left\{ - \frac{x^2}{2} \left( 1- 2t \right) \right\} dt \\ & = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\left( 1-2t \right)^{1/2}}{\left( 1-2t \right)^{1/2}} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \exp\left\{ - \frac{x^2}{2} \left( 1- 2t \right) \right\} dt \\ & = \left(1-2t\right)^{-1/2} , \quad t<\frac{1}{2} \end{align}$

যেখানে গত লাইনে আমরা মানে শূন্য এবং ভ্যারিয়েন্স সঙ্গে একটি গসিয়ান অবিচ্ছেদ্য সঙ্গে অবিচ্ছেদ্য তুলনা করেছেন । অবশ্যই এটি বাস্তব লাইনের ওপরে একের সাথে সংহত করে। আপনি এখন এই ফলাফলটি দিয়ে কী করতে পারেন? ঠিক আছে, আপনি খুব জটিল বিপরীত রূপান্তর প্রয়োগ করতে পারেন এবং এই এমডিএফ এর সাথে সম্পর্কিত পিডিএফ নির্ধারণ করতে পারেন বা আপনি কেবল এক ডিগ্রি স্বাধীনতার সাথে চি-স্কোয়ার ডিস্ট্রিবিউশনের এমজিএফ হিসাবে স্বীকৃতি দিতে পারেন। (মনে রাখবেন যে চি-স্কোয়ার ডিস্ট্রিবিউশন হ'ল am case , এর স্বাধীনতার ডিগ্রি এবং ) দিয়ে গামা বিতরণের একটি বিশেষ ক্ষেত্রে ) $\frac{1}{\left(1-2t\right)}$ $\alpha = \frac{r}{2}$ $r$ $\beta = 2$

সিডিএফ কৌশল

এটি আপনার পক্ষে করা সবচেয়ে সহজ কাজ এবং মন্তব্যগুলিতে এটি গ্লেন_ বি দ্বারা প্রস্তাবিত। এই কৌশল অনুসারে, আমরা গণনা করি

F_{Y} (y) = P (Y \leq y) = P (X^{2} \leq y) = P (| X | \leq \sqrt{y})

$F_Y (y) = P(Y\leq y) = P(X^2 \leq y) = P(|X|\leq \sqrt{y})$

এবং যেহেতু ডিস্ট্রিবিউশন ফাংশনগুলি ঘনত্বের কার্যগুলি সংজ্ঞায়িত করে, আমরা একটি সরলীকৃত এক্সপ্রেশন পাওয়ার পরে আমরা আমাদের পিডিএফ পাওয়ার জন্য সাথে কেবল আলাদাভাবে পার্থক্য করি । আমাদের তখন আছে $y$

\begin{aligned} F_{Y} (y) = P (| X | \leq \sqrt{y}) = P (- \sqrt{y} < X < \sqrt{y}) = Φ (\sqrt{y}) - Φ (- \sqrt{y}) \end{aligned}

$\begin{align} F_Y (y) = P\left( |X|\leq \sqrt{y} \right) = P\left(-\sqrt{y} < X <\sqrt{y} \right) = \Phi\left(\sqrt{y}\right) - \Phi \left(- \sqrt{y}\right) \end{align}$

যেখানে স্ট্যান্ডার্ড সাধারণ ভেরিয়েবলের সিডিএফ বোঝায়। আমরা যে ওয়াইয়ের সাথে পেয়েছি তার সাথে পার্থক্য করা , $\Phi(.)$ $y$

f_{Y} (y) = F_{Y}^{'} (y) = \frac{1}{2 \sqrt{y}} ϕ (\sqrt{y}) + \frac{1}{2 \sqrt{y}} ϕ (- \sqrt{y}) = \frac{1}{\sqrt{y}} ϕ (\sqrt{y})

$f_Y(y) = F_Y^{\prime} (y) = \frac{1}{2 \sqrt{y}} \phi \left( \sqrt{y} \right) + \frac{1}{2 \sqrt{y}} \phi \left( -\sqrt{y} \right) = \frac{1}{\sqrt{y}} \phi(\sqrt{y})$

যেখানে এখন একটি স্ট্যান্ডার্ড নরমাল ভেরিয়েবলের পিডিএফ এবং আমরা এটি প্রায় শূন্যের প্রতিসাম্য হিসাবে ব্যবহার করেছি। অত: পর $\phi(.)$

f_{Y} (y) = \frac{1}{\sqrt{y}} \frac{1}{\sqrt{2 π}} e^{- \frac{y}{2}}, 0 < y < \infty

$f_Y (y) = \frac{1}{\sqrt{y}} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{y}{2}}, \quad 0<y<\infty$

যা আমরা এক ডিগ্রি স্বাধীনতার সাথে চি-স্কোয়ার ডিস্ট্রিবিউশনটির পিডিএফ হিসাবে স্বীকৃতি দিয়েছি (আপনি এখনই কোনও নমুনা দেখতে পাচ্ছেন)।

ঘনত্ব রূপান্তর কৌশল

এই মুহুর্তে আপনি ভাবতে পারেন, কেন আমরা আপনার সাথে পরিচিত রূপান্তর কৌশলটি সহজভাবে ব্যবহার করি না, এটি হ'ল ফাংশন আমাদের কাছে ঘনত্ব দেওয়া হয়েছে $Y = g(X)$ $Y$

f_{Y} (y) = | \frac{d}{d y} g^{- 1} (y) | f_{X} (g^{- 1} (y))

$f_Y (y) = \left| \frac{d}{dy} g^{-1} (y) \right| f_X \left( g^{-1} (y) \right)$

পরিসীমা মধ্যে জন্য । দুর্ভাগ্যক্রমে এই উপপাদ্যটির রূপান্তরটি এক-এক করা দরকার যা স্পষ্টভাবে এখানে নয়। প্রকৃতপক্ষে, আমরা দেখতে পাচ্ছি যে দুটি মান এর একই মান হিসাবে ফলস্বরূপ , একটি চতুষ্কোণ রূপান্তর। অতএব, এই উপপাদ্য প্রযোজ্য নয়। $y$ $g$ $X$ $Y$ $g$

$X$ $Y= g(X)$ $g$ $Y$

f_{Y} (y) = \sum | \frac{d}{d y} g^{- 1} (y) | f_{X} (g^{- 1} (y))

$f_Y (y) = \sum \left| \frac{d}{dy} g^{-1} (y) \right| f_X \left( g^{-1} (y) \right)$

যেখানে যোগফলটি সমস্ত বিপরীত কার্যের উপরে চলে। এই উদাহরণটি এটি পরিষ্কার করে দেবে।

$y = x^2$ $x = \pm \sqrt{y}$ $\displaystyle{ \frac{1}{2\sqrt{y}} }$

f_{Y} (y) = \frac{1}{2 \sqrt{y}} \frac{1}{\sqrt{2 π}} e^{- y / 2} + \frac{1}{2 \sqrt{y}} \frac{1}{\sqrt{2 π}} e^{- y / 2} = \frac{1}{\sqrt{y}} \frac{1}{\sqrt{2 π}} e^{- y / 2}, 0 < y < \infty

$f_Y (y) = \frac{1}{2\sqrt{y}} \frac{1}{\sqrt{2\pi} } e^{-y/2} + \frac{1}{2\sqrt{y}} \frac{1}{\sqrt{2\pi} } e^{-y/2} = \frac{1}{\sqrt{y}} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-y/2}, \quad 0<y<\infty$

এক ডিগ্রি স্বাধীনতার সাথে চি-স্কোয়ার বিতরণের পিডিএফ। পার্শ্ব নোটে, আমি এই কৌশলটি বিশেষভাবে কার্যকর বলে মনে করি কারণ আপনাকে আর রূপান্তরটির সিডিএফ অর্জন করতে হবে না। তবে অবশ্যই, এগুলি ব্যক্তিগত স্বাদ।

সুতরাং আপনি আজ রাতে পুরোপুরি নিশ্চিত হয়ে যেতে পারেন যে একটি স্ট্যান্ডার্ড স্বাভাবিক র্যান্ডম ভেরিয়েবলের বর্গক্ষেত্র এক ডিগ্রি স্বাধীনতার সাথে চি-স্কোয়ার বিতরণকে অনুসরণ করে।

— JohnK
সূত্র

আমরা সাধারণত স্ব-অধ্যয়নের প্রশ্নগুলির সম্পূর্ণ উত্তর সরবরাহ করি না, তবে কেবল ইঙ্গিত। ওপিতে ট্যাগটি যুক্ত করা হয়নি বা আমাদের নীতিগুলি মেনে চলার চেষ্টা করা হয়েছে তার অর্থ এই থ্রেডটি বন্ধ করা উচিত। আপনি স্ব-অধ্যয়নের প্রশ্নগুলির বিষয়ে আমাদের নীতিটি এখানে পেতে পারেন ।

— গুং - মনিকা পুনরায়

@ গুং আমি নিশ্চিত যে ওপি উত্তর যে কোনও জায়গায় উত্তর খুঁজে পেতে পারত, এটি ঠিক ভিত্তিভঙ্গ নয় :)

— জনকে

স্ব-অধ্যয়নের প্রশ্নগুলির সাথে এটি সর্বদা সত্য হবে true তবুও আমরা সাধারণত তাদের জন্য লোকের হোমওয়ার্কের সম্পূর্ণ উত্তর সরবরাহ করি না, তবে কেবল তাদের নিজেরাই এটি নির্ণয় করতে সহায়তা করার জন্য ইঙ্গিতগুলি।

— গুং - মনিকা পুনরায়

f_{Y} (y) = \frac{1}{2} F_{Y}^{'}

$f_Y(y) = \frac{1}{2}F_Y^{\prime}$

f_{Y} (y) = \frac{d}{d y} P (- y ⩽ Y ⩽ y) = f_{Y} (y) - (- f_{Y} (y)) = 2 \cdot f_{Y} (y)

$f_Y(y) = \frac{d}{dy} \mathbb{P}(-y \leqslant Y \leqslant y) = f_Y(y)-(-f_Y(y))= 2\cdot f_Y(y)$