(0,1) উপর ক্রমাগত ইউনিফর্ম ভেরিয়েবলগুলির সংখ্যার কেন তাদের যোগফলের চেয়ে একটির বেশি হওয়া বোঝায় ?

আসুন আমরা এলোমেলো ভেরিয়েবলগুলির একটি স্ট্রিম যোগ করি, ; দিন পদ সংখ্যা আমরা মোট প্রয়োজন এক অতিক্রম হও, অর্থাত সবচেয়ে ছোট সংখ্যা যেমন যে হয় $X_i \overset{iid}\sim \mathcal{U}(0,1)$ $Y$ $Y$

X 1 + X 2 + \dots + X Y > 1.

$X_1 + X_2 + \dots + X_Y > 1.$

এর অর্থ কেন অয়লার ধ্রুবক সমান ? $Y$ $e$

E (Y) = e = 1 0 ! + 1 1 ! + 1 2 ! + 1 3 ! + \dots

$\mathbb{E}(Y) = e = \frac{1}{0!} + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \dots$

— Silverfish
সূত্র

আমি একটি স্ব-অধ্যয়ন প্রশ্নে এই পোস্ট করছি, যদিও আমি মনে করি আমি এই প্রশ্নটি এক দশক আগে প্রথম দেখেছি। আমি প্রত্যাহার করতে পারবে না আমি কীভাবে এটি ফিরিয়ে বললেন তারপর, যদিও আমি নিশ্চিত এটা যে Sprang মনে যখন আমি এই সম্পত্তি থ্রেড উল্লেখ দেখেছি ছিল না আছি আনুমানিক মন্টে কার্লো সিমুলেশন ব্যবহার

e $e$ । যেহেতু আমি এটি মোটামুটি সাধারণ অনুশীলনের প্রশ্ন হিসাবে সন্দেহ করি, তাই আমি একটি সম্পূর্ণ সমাধানের চেয়ে স্কেচ উপস্থাপনের সিদ্ধান্ত নিয়েছি, যদিও আমি মনে করি যে মূল "স্পয়লার সতর্কতা" প্রশ্নটির মধ্যেই রয়েছে!

— সিলভারফিশ

আমি বিকল্প পদ্ধতির প্রতি খুব আগ্রহী রয়েছি; আমি জানি যে এটি গেনডেনকোর থিওরি অফ প্রোবিলিটি (মূলত রাশিয়ান ভাষায় তবে ব্যাপকভাবে অনুবাদ হয়েছে) তে একটি প্রশ্ন হিসাবে অন্তর্ভুক্ত ছিল তবে আমি জানি না সেখানে কী সমাধান আশা করা হয়েছিল, বা অন্য কোথাও দাঁড়িয়েছিলেন।

— সিলভারফিশ

আমি আপনার সিমপ্লেক্স পদ্ধতিটি ব্যবহার করে ম্যাটল্যাবে একটি সিমুলেশন সমাধান লিখেছি । সিম্প্লেক্সগুলির লিঙ্কটি সম্পর্কে আমি জানতাম না, এটি এতটাই অপ্রত্যাশিত।

— আকসকল

উত্তর:

প্রথম পর্যবেক্ষণ: পিএমএফের চেয়ে বেশি আনন্দদায়ক সিডিএফ রয়েছে $Y$

সম্ভাব্যতা ভর ফাংশন হ'ল সম্ভাব্যতা যে সম্পূর্ণরূপে ছাড়িয়ে যাওয়ার জন্য "" কেবলমাত্র যথেষ্ট ", যেমন এক ছাড়িয়ে যায় এবং না । $p_Y(n)$ $n$ $X_1 + X_2 + \dots X_n$ $X_1 + \dots + X_{n-1}$

ক্রমবর্ধমান বণ্টনের কেবল প্রয়োজন হয় "যথেষ্ট", অর্থাত কত দ্বারা কোন সীমাবদ্ধতা আছে। এর সম্ভাবনাটি মোকাবেলা করার জন্য এটি অনেক সহজ ইভেন্টের মতো দেখাচ্ছে। $F_Y(n) = \Pr(Y \leq n)$ $n$ $\sum_{i=1}^{n}X_i > 1$

দ্বিতীয় পর্যবেক্ষণ: অ-নেতিবাচক পূর্ণসংখ্যার মান নেয় তাই সিডিএফের শর্তে in রচনা করা যায় $Y$ $\mathbb{E}(Y)$

স্পষ্টতই কেবলমাত্র in এ মান নিতে পারে , তাই আমরা পরিপূরক সিডিএফ , ক্ষেত্রে এর গড় লিখতে । $Y$ $\{0, 1, 2, \dots\}$ $\bar F_Y$

E (Y) = \sum n = 0 \infty F ¯ Y (n) = \sum n = 0 \infty (1 - F Y (n))

$\mathbb{E}(Y) = \sum_{n=0}^\infty \bar F_Y(n) = \sum_{n=0}^\infty \left(1 - F_Y(n) \right)$

প্রকৃতপক্ষে এবং উভয়ই শূন্য, সুতরাং প্রথম দুটি পদ । $\Pr(Y=0)$ $\Pr(Y=1)$ $\mathbb{E}(Y) = 1 + 1 + \dots$

পরবর্তী শর্তগুলির হিসাবে, যদি এর সম্ভাব্যতা event এর সম্ভাবনাটি কী? $F_Y(n)$ $\sum_{i=1}^{n}X_i > 1$ $\bar F_Y(n)$

তৃতীয় পর্যবেক্ষণ: একটি সিম্প্লেক্সের (হাইপার) ভলিউমটি হ'ল rac $n$ $\frac{1}{n!}$

-simplex আমি মনে আছে একটি অধীনে ভলিউম দখল করে মান ইউনিট -simplex সব-পজিটিভ মধ্যে orthant এর : এটি উত্তল জাহাজের কাঠাম হয় ছেদচিহ্ন, বিশেষত ইউনিটটির মূল উত্স এবং সিম্প্লেক্স , ইত্যাদি $n$ $(n-1)$ $\mathbb{R}^n$ $(n+1)$ $(n-1)$ $(1, 0, 0, \dots)$ $(0, 1, 0, \dots)$

উদাহরণস্বরূপ, সাথে উপরে 2-সিমপ্লেক্স এলাকা আছে এবং 3-সিমপ্লেক্স ভলিউম হয়েছে । $x_1 + x_2 \leq 1$ $\frac{1}{2}$ $x_1 + x_2 + x_3 \leq 1$ $\frac{1}{6}$

এমন প্রমাণের জন্য যা দ্বারা বর্ণিত ইভেন্টটির সম্ভাবনার জন্য সরাসরি একটি অবিচ্ছেদ্য মূল্যায়ন করে এগিয়ে যায় এবং এই দুটি ম্যাথ এসই থ্রেড দেখুন । সংশ্লিষ্ট থ্রেড এছাড়াও সুদের হতে পারে: তার মাঝে একটি সম্পর্ক নেই এবং এর সমষ্টি -simplexes ভলিউম? $\bar F_Y(n)$ $e$ $n$

— Silverfish
সূত্র

এটি একটি আকর্ষণীয় জ্যামিতিক পদ্ধতির এবং এইভাবে সমাধান করা সহজ। সুন্দর। এখানে একটি সরলিক্সের ভলিউমের সমীকরণ। আমি মনে করি না খোলামেলাভাবে এর থেকে আরও মার্জিত সমাধান হতে পারে

— আকসাকাল

+1 আপনি আমার পোস্টের যে কোনও পদ্ধতির কাছ থেকে stats.stackex بدل . com /Qtions/41467/ … এ এর সম্পূর্ণ বিতরণও পেতে পারেন ।

Y $Y$

— হোবার

আমি যদি এই সমাধানে হোঁচট খেয়ে যাই তবে কোনও

— উপায়ই

ফিক্স । যাক জন্য আংশিক অঙ্কের এর ভগ্ন অংশের হতে । এবং The এর স্বাধীন অভিন্নতা গ্যারান্টি দেয় যে যতটা কম হবে ততই ছাড়িয়ে যাওয়ার সম্ভাবনা রয়েছে । এটি বোঝাচ্ছে যে সমস্তসিকোয়েন্সের ক্রম সমানভাবে সম্ভবত। $n \ge 1$

U i = X 1 + X 2 + \dots + X i mod 1

$U_i = X_1 + X_2 + \cdots + X_i \mod 1$

i=1,2,…,n $i=1,2,\ldots, n$

X1 $X_1$

Xi+1 $X_{i+1}$

Ui+1 $U_{i+1}$

Ui $U_i$ $n!$ $(U_i)$

সিকোয়েন্স , আমরা সিকোয়েন্সটি পুনরুদ্ধার করতে পারি । কীভাবে দেখুন, এটি লক্ষ্য করুন $U_1, U_2, \ldots, U_n$ $X_1, X_2, \ldots, X_n$

$U_1 = X_1$ কারণ উভয়ই এবং এর মধ্যে । $0$ $1$
যদি তবে । $U_{i+1} \ge U_i$ $X_{i+1} = U_{i+1} - U_i$
অন্যথায়, , কোথা থেকে । $U_i + X_{i+1} \gt 1$ $X_{i+1} = U_{i+1} - U_i + 1$

ঠিক এক সিকোয়েন্স রয়েছে যাতে ইতিমধ্যে ক্রমবর্ধমান ক্রমে রয়েছে, এক্ষেত্রে । একটি হচ্ছেসমানভাবে সম্ভাব্য ক্রম, এটির সুযোগ রয়েছেঘটছে। অন্যান্য সমস্ত সিকোয়েন্সগুলিতে থেকে to পর্যন্ত কমপক্ষে একটি পদক্ষেপ অর্ডার থেকে বাইরে। এর অর্থ এর সমষ্টি সমান বা অতিক্রম করতে হয়েছে । এইভাবে আমরা এটি দেখতে $U_i$ $1 \gt U_n = X_1 + X_2 + \cdots + X_n$ $n!$ $1/n!$ $U_i$ $U_{i+1}$ $X_i$ $1$

Pr (Y > n) = Pr (X 1 + X 2 + \dots + X n \leq 1) = Pr (X 1 + X 2 + \dots + X n < 1) = 1 n ! .

$\Pr(Y \gt n) = \Pr(X_1 + X_2 + \cdots + X_n \le 1) = \Pr(X_1 + X_2 + \cdots + X_n \lt 1) = \frac{1}{n!}.$

অবিচ্ছেদ্য জন্য এটি এর সম্পূর্ণ বিতরণের সম্ভাব্যতা অর্জন করে $Y$ $n\ge 1$

Pr (Y = n) = Pr (Y > n - 1) - Pr (Y > n) = 1 ( n - 1 ) ! - 1 n ! = n - 1 n ! .

$\Pr(Y = n) = \Pr(Y \gt n-1) - \Pr(Y \gt n) = \frac{1}{(n-1)!} - \frac{1}{n!} = \frac{n-1}{n!}.$

অধিকন্তু,

E (Y) = \sum n = 0 \infty Pr (Y > n) = \sum n = 0 \infty 1 n ! = e,

$\mathbb{E}(Y) = \sum_{n=0}^\infty \Pr(Y \gt n) = \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!} = e,$

Qed।

— whuber
সূত্র

আমি এটি বেশ কয়েকবার পড়েছি এবং প্রায় পেয়েছি ... ধ্রুবক কম্পিউটার সিমুলেশনের ফলস্বরূপ আমি গণিত এসইতে বেশ কয়েকটি প্রশ্ন পোস্ট করেছি । আপনি তাদের দেখেছি কিনা জানি না। তাদের মধ্যে একটি এবং টেলর সিরিজের সিলিং ফাংশন সম্পর্কে টেনফোল্ডে আপনার দয়া করে ব্যাখ্যা দেওয়ার আগে ফিরে এসেছিল । দ্বিতীয়টি ঠিক এই বিষয়টি সম্পর্কে ছিল, এখন অবধি কোনও প্রতিক্রিয়া পাইনি ...

e $e$

1/U(0,1) $1/U(0,1)$

— আন্তনি পরাল্লদা

এখানে এবং এখানে ।

— আন্তনি পরল্লদা

এবং আপনি একই অভিন্ন ফাঁক দিয়ে প্রমাণ যুক্ত করতে পারেন?

— শি'য়ান

@ শিয়ান এই প্রসঙ্গে "ইউনিফর্ম স্পেসিংস" বলতে কী বোঝাতে চেয়েছেন আপনি আরও নির্দিষ্টভাবে নির্দেশ করতে পারবেন?

— whuber

আমি আপনার পোয়েসন প্রক্রিয়া সিমুলেশনটিকে ইউনিফর্ম ফাঁক দিয়ে উল্লেখ করছি, আনুমানিকভাবে থ্রেডে এবং মন্টে কার্লো সিমুলেশন ব্যবহার করে যার জন্য আমি একটি সম্পূর্ণ বিকাশ পেতে পারি না।

— শি'য়ান

শেল্ডন রস 'সম্ভাবনার প্রথম কোর্সে প্রমাণ অনুসরণ করা সহজ:

, অপ একটু স্বরলিপি পরিবর্তন এবং জন্য শর্তাবলী নূন্যতম কত , অথবা ভিন্নভাবে ব্যক্ত করেন: $U_i \overset{iid}\sim \mathcal{U}(0,1)$ $Y$ $U_1 + U_2 + \dots + U_Y > 1$

Y = m i n {n : \sum i = 1 n U i > 1}

$Y = min\Big\{n: \sum_{i=1}^n U_i>1\Big\}$

পরিবর্তে যদি আমরা সন্ধান করতাম:

Y (u) = m i n {n : \sum i = 1 n U i > u}

$Y(u) = min\Big\{n: \sum_{i=1}^n U_i>u\Big\}$ জন্য , আমরা সংজ্ঞায়িত , ইউনিফর্ম উপলব্ধির সংখ্যার জন্য প্রত্যাশা প্রকাশ আঁকে যে ছাড়িয়ে যাবে যখন এখনো যোগ করেনি।

u∈[0,1] $u\in[0,1]$

f(u)=E[Y(u)] $f(u)=\mathbb E[Y(u)]$

u $u$

অবিচ্ছিন্ন ভেরিয়েবলের জন্য আমরা নিম্নলিখিত সাধারণ বৈশিষ্ট্যগুলি প্রয়োগ করতে পারি:

$E[X] = E[E[X|Y]]=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}E[X|Y=y]\,f_Y(y)\,dy$

প্রথম ইউনিফর্মের ফলাফলের উপর শর্তসাপেক্ষে প্রকাশ করা এবং , একটি পরিচালনাযোগ্য সমীকরণের ধন্যবাদ জানাতে thanks এটি হবে: $f(u)$ $X \sim U(0,1)$ $f_Y(y)=1.$

f (u) = \int 10 E [Y (u) | U 1 = x] d x (1)

$f(u)=\displaystyle\int_0^1 \mathbb E[Y(u)|U_1=x]\,dx \tag 1$

তাহলে আমরা কন্ডিশনার হয় তার চেয়ে অনেক বেশী , অর্থাত্ ,যদি অন্যদিকে, , , কারণ আমরা ইতিমধ্যে অভিন্ন র্যান্ডম এঁকেছি , এবং এখনও আমাদের মধ্যে পার্থক্য রয়েছে এবং আবরণ। সমীকরণে ফিরে যাওয়া (1): $U_1=x$ $u$ $x>u$ $\mathbb E[Y(u)|U_1=x] =1 .$ $x <u$ $\mathbb E[Y(u)|U_1=x] =1 + f(u - x)$ $1$ $x$ $u$

$f(u) = 1 + \displaystyle\int_0^x f(u - x) \,dx$ , , এবং প্রতিস্থাপনের সাথে আমাদের ।

$w = u - x$

$f(u) = 1 + \displaystyle\int_0^x f(w) \,dw$

আমরা যদি এই সমীকরণের উভয় দিককে পৃথক করি তবে আমরা দেখতে পাচ্ছি:

$f'(u) = f(u)\implies \frac{f'(u)}{f(u)}=1$

একটি শেষ সংহত সঙ্গে আমরা পেতে:

$log[f(u)] = u + c \implies f(u) = k \,e^u$

আমরা জানি যে প্রত্যাশা যে অভিন্ন বিতরণ থেকে একটি নমুনা অঙ্কন এবং টপকানোর হয় , অথবা । অতএব, , এবং । সুতরাং $0$ $1$ $f(0) = 1$ $k = 1$ $f(u)=e^u$ $f(1) = e.$

— আন্তোনি পরেল্লদা
সূত্র

আমি ফলাফলটি যে পদ্ধতিতে সাধারণভাবে ঘটায় তা পছন্দ করি।

— সিলভারফিশ