ডাইরাকের ডেল্টা ফাংশনটি গাউসীয় বিতরণের উপক্লাস হিসাবে বিবেচনা করা উচিত?

উইকিডেটাতে সম্ভাব্যতা বিতরণগুলি (অন্য কিছুর মতো) একটি অ্যান্টোলজিতে লিঙ্ক করা সম্ভব, উদাহরণস্বরূপ, টি-বিতরণটি ননসেন্ট্রাল টি-বিতরণের একটি সাবক্লাস, দেখুন, যেমন,

https://angryloki.github.io/wikidata-graph-builder/?property=P279&item=Q209675&iterations=3&limit=3

সীমাবদ্ধ বিভিন্ন মামলা রয়েছে, যেমন, টি-বিতরণে যখন স্বাধীনতার ডিগ্রি অনন্তে চলে যায় বা যখন সাধারণ বিতরণে (গাউসীয় বিতরণ) তারতম্য শূন্যের কাছে পৌঁছায় তখন। পরবর্তী ক্ষেত্রে বিতরণটি ডায়রাকের ডেল্টা ফাংশনের দিকে যাবে।

আমি নোট করি যে ইংরাজী উইকিপিডিয়ায় ভেরিয়েন্স প্যারামিটারটি বর্তমানে শূন্যের চেয়ে বড় হিসাবে বর্ণিত হয়েছে, সুতরাং কঠোর ব্যাখ্যার সাথে কেউ এটি ডেকে দেবে না যে ডায়রাকের ডেল্টা ফাংশনটি সাধারণ বিতরণের একটি সাবক্লাস। যাইহোক, আমার কাছে এটি বেশ ঠিক বলে মনে হচ্ছে, কারণ আমি বলব যে ঘাতক বিতরণটি ডায়রাকের ডেল্টা ফাংশনের একটি সুপারক্লাস।

ডায়ারাকের ডেল্টা ফাংশনটি গাউসীয় বিতরণের একটি সাবক্লাস বলে উল্লেখ করে কোনও সমস্যা আছে?

distributions normal-distribution dirac-delta

— ফিন আরপ নীলসান
সূত্র

আইফ ডেরাক ডেল্টা যদি গাউসির একটি সাবক্লাস হয় তবে এর কুর্তোসিসটি 3 হওয়া উচিত, তাই না?

— আকসাকাল

আমি অনুমান করি যে আমরা যদি ডায়ারাক ডেল্টাকে বেশ কয়েকটি সম্ভাবনা বিতরণের উপক্লাস হিসাবে বিবেচনা করি তবে ডুরাক ডেল্টার জন্য কুর্তোসিসটি বেমানান। এটি এই বিতরণের কোনও সাবক্লাস হিসাবে ডায়রাক ডেল্টা সম্পর্কিত বিরোধিতা করে।

— ফিন অরুপ

সম্ভাবনার প্রসঙ্গে ডেল্টাকে একটি সাধারণ ক্রিয়াকলাপ হিসাবে বর্ণনা করা হয়। এটি সাধারণ ফাংশন নয়

— আকসাকাল

উত্তর:

ডাইরাকের ব-দ্বীপটিকে গাউসীয় বিতরণ হিসাবে বিবেচনা করা হয় যখন এটি সুবিধাজনক হয় এবং যখন এই দৃষ্টিকোণটি আমাদের ব্যতিক্রম করতে পারে তখন তা বিবেচনা করা হয় না।

উদাহরণস্বরূপ, একটি উপভোগ করতে বলা হয় বহুচলকীয় গসিয়ান বন্টন যদি একটি গসিয়ান র্যান্ডম পরিবর্তনশীল সব বাস্তব সংখ্যার পছন্দ । (দ্রষ্টব্য: এটি "উন্নত" পরিসংখ্যানগুলির একটি মানক সংজ্ঞা)। যেহেতু এক পছন্দ , স্ট্যান্ডার্ড ডেফিনেশনে একইরূপে ধ্রুবক $(X_1, X_2, \ldots, X_n)$ $\sum_i a_iX_i$ $a_1, a_2, \ldots, a_n$ $a_1=a_2=\cdots=a_n=0$ $0$ (একটি ডিজেনারেট র্যান্ডম ভেরিয়েবল) গাউসিয়ান র্যান্ডম ভেরিয়েবল হিসাবে (গড় এবং বৈকল্পিক ) অন্যদিকে, আমরা যখন কোনওরকম কিছু বিবেচনা করি তখন আমরা গৌসিক বিতরণ হিসাবে ডিরাক ব-দ্বীপের বিষয়ে আমাদের বিবেচনা উপেক্ষা করি $0$

"ক্রমসঞ্চিত সম্ভাব্যতা বিতরণের ফাংশন স্ট্যানডার্ড ডেভিয়েশন সঙ্গে একটি শূন্য-গড় গসিয়ান এলোপাতাড়ি ভেরিয়েবলের (সিডিএফ) হয় $\sigma$ যেখানেহ'ল মানক গাউসিয়ান র্যান্ডম ভেরিয়েবলের সিডিএফ ""

F_{X} (x) = P {X \leq x} = Φ (\frac{x}{σ})

$F_X(x) = P\{X \leq x\} = \Phi\left(\frac{x}{\sigma}\right)$

Φ (\cdot)

$\Phi(\cdot)$

$0$ $1$ $x \geq 0$

lim_{σ \to 0} Φ (\frac{x}{σ}) = {\begin{cases} 0, & x < 0, \\ \frac{1}{2}, & x = 0, \\ 1, & x > 0. \end{cases}

$\lim_{\sigma\to 0}\Phi\left(\frac{x}{\sigma}\right) = \begin{cases} 0, & x < 0,\\ \frac 12, & x = 0,\\ 1, & x > 0.\end{cases}$ তবে, প্রচুর লোক আপনাকে বলবে যে গাউসীয় বিতরণ হিসাবে ডিরাক ডেল্টা সম্পর্কে নিছক বাজে কথা বলা হয়েছে যেহেতু তাদের বইতে বলা হয়েছে যে গাউসিয়ান র্যান্ডম ভেরিয়েবলের বৈচিত্র অবশ্যই একটি ধনাত্মক সংখ্যা হতে হবে (এবং তাদের মধ্যে কেউ কেউ এই উত্তরটি দেখানোর জন্য নীচে ভোট দেবে) তাদের অসন্তুষ্টি)। কিছু বছর আগে পরিসংখ্যান সম্পর্কে এই বিষয়টির একটি খুব জোরালো এবং আলোকিত আলোচনার কথা ছিল। কিন্তু দুর্ভাগ্যক্রমে এটি কেবলমাত্র একটি উত্তর (@ ম্যাক্রো দ্বারা, আমি বিশ্বাস করি) এর মন্তব্যে ছিল এবং স্বতন্ত্র উত্তর হিসাবে নয়, এবং আমি এটি আবার খুঁজে পাই না ।

— দিলীপ সরওয়াতে
সূত্র

+1 টি। আমি নিশ্চিত না যে সিডিএফ সংক্রান্ত কোনও সমস্যা আছে, কারণ আমি বিশ্বাস করি যে সীমা ছাড়ার কোনও সিডিএফের সীমাবদ্ধকরণের মূল্য সীমাবদ্ধ নয়। এটি দেখার দুটি উপায় আছে। একটি লক্ষ্য করুন যে আপনার সীমিত সূত্রটি বৈধ সিডিএফ নয় (এটি ক্যাডল্যাগ নয়)। আরেকটি মনে রাখবেন আপনি একটি ডিরাক বন্টন প্রাপ্ত হয় যখন আপনি দিন একযোগে; কিন্তু তোমাদের সীমিত মান আছে আঁটা করতে থেকে মধ্যে কিছু হতে পারে (বা কিছুতেই সীমাবদ্ধতা নেই)।

0

$0$

(μ, σ) \to (0, 0)

$(\mu,\sigma)\to(0,0)$

Φ_{μ, σ} (0)

$\Phi_{\mu,\sigma}(0)$

0

$0$

1

$1$

— whuber

আপনি যে কথোপকথনটি উল্লেখ করেছেন এই উত্তরটির মন্তব্যে ঘটেছিল , যদিও আমি আন্তরিকভাবে আশা করি যে বেশিরভাগ পাঠকের কাছে আলোচনাটি খুব জোরালোভাবে প্রদর্শিত হবে না । (+1)

— কার্ডিনাল

আমাদের সম্প্রদায়ের @ কার্ডিনাল গভীর জ্ঞান। সাবাশ!

— ম্যাথু ড্রুরি

ব-দ্বীপের ফাংশনগুলি বিতরণের গাণিতিক তত্ত্বের সাথে খাপ খায় (যা সম্ভাব্যতা বিতরণের তত্ত্ব থেকে একেবারেই পৃথক , এখানে পরিভাষা আরও বিভ্রান্তিকর হতে পারে না)।

মূলত, বিতরণগুলি সাধারণ ক্রিয়াকলাপ। তারা মত একটি কাজ করতে পারে মূল্যায়ন করা যায় না, কিন্তু তারপর পারেন একত্রিত করা যেতে। আরও স্পষ্টভাবে, ডিস্ট্রিবিউশন নিম্নলিখিত হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে $D$

যাক সংগ্রহ করা পরীক্ষা ফাংশন । একটি পরীক্ষা ফাংশন একটি সত্য, ,শ্বরের কার্যক্রমে সৎ, মসৃণ, কমপ্যাক্ট সমর্থন সহ। ডিস্ট্রিবিউশনটি লিনিয়ার ম্যাপিং $T$ $\theta$ $D: T \rightarrow \mathbb{R}$

একটি সৎ ফাংশন ইন্টিগ্রেশন অপারেটরের দ্বারা একটি বিতরণ নির্ধারণ করে $f$

T (θ) = \int_{- \infty}^{+ \infty} f (x) θ (x) d x

$T(\theta) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\theta(x) dx$

এমন বিতরণ রয়েছে যা সত্য ফাংশনের সাথে সম্পর্কিত নয়, ডায়রাক অপারেটর তাদের মধ্যে একটি

δ (θ) = θ (0)

$\delta(\theta) = \theta(0)$

এই অর্থে, আপনি ডায়রাককে সাধারণ বন্টনের সীমিত ক্ষেত্রে বিবেচনা করতে পারেন। যদি হ'ল পিডিএফ এর সাধারণ বিতরণের পরিবার শূন্য এবং বৈকল্পিক , তবে যে কোনও পরীক্ষার জন্য $N_t$ $t$ $\theta$

θ (0) = lim_{t \to 0} \int_{- \infty}^{+ \infty} N_{t} (x) θ (x) d x

$\theta(0) = \lim_{t \rightarrow 0} \int_{-\infty}^{+\infty} N_t(x) \theta(x) dx$

এটি সম্ভবত আরও সাধারণভাবে প্রকাশিত হয়

θ (0) = \int_{- \infty}^{+ \infty} δ (x) θ (x) d x = lim_{t \to 0} \int_{- \infty}^{+ \infty} N_{t} (x) θ (x) d x

$\theta(0) = \int_{-\infty}^{+\infty} \delta(x) \theta(x) dx = \lim_{t \rightarrow 0} \int_{-\infty}^{+\infty} N_t(x) \theta(x) dx$

যা একজন গণিতবিদ স্বরলিপিটির অপব্যবহার বিবেচনা করবেন, কারণ অভিব্যক্তিটি আসলে কোনও ধারণা দেয় না। তবে আবার, আমি কে ডায়রাকের সমালোচনা করব, কে সেরা। $\delta(x)$

অবশ্যই, এটি ডায়রাককে সাধারণ বিতরণের পরিবারের সদস্য করে কিনা তা একটি সাংস্কৃতিক প্রশ্ন। এখানে আমি কেবল একটি কারণ দিচ্ছি কেন এটি বিবেচনা করার জন্য এটি বোধগম্য হতে পারে।

— ম্যাথু ড্রুরি
সূত্র

আমি যখন আপনার বক্তব্যের সাথে একমত হই, তখন আমি মনে করি এটি এর বিপরীত বোঝায়। একটি ডেল্টা ফাংশন গৌসিদের একটি উপসেট নয়। ঠিক তেমনি ক্রমাগত ফাংশনগুলির একটি সীমা অবিচ্ছিন্ন ফাংশন হওয়ার দরকার নেই।

— seanv507

@ seanv507 আমি কোনভাবেই উপসংহারটি না বলার জন্য যথাসাধ্য চেষ্টা করেছি!

— ম্যাথু ড্রুরি

আমি ভেবেছিলাম বিতরণগুলি

— হ'ল

আপনি যদি সংহতগুলির সীমাটি না লিখে থাকেন তবে তারা অনির্দিষ্টকালের জন্য অবিচ্ছেদ্য হতে পারে। এছাড়াও, এই বাক্যটির কোনও অর্থ হয় না: "একটি পরীক্ষা ফাংশন a একটি সত্য, godশ্বরের কার্যক্রমে সততা, মসৃণ, কমপ্যাক্ট সমর্থন সহ"।

— ogogmad

@ jkabrg কেন এটি বোঝা যায় না? যেহেতু আমি এটি লিখেছি, এটি আমার পক্ষে বোঝার পক্ষে এটি বোধগম্য নয়।

— ম্যাথু ড্রুরি

-1

না এটি সাধারণ বিতরণের একটি সাবক্লাস নয়।

আমি মনে করি বিভ্রান্তি ডায়রাক ফাংশনের অন্যতম উপস্থাপনা থেকে এসেছে। মনে রাখবেন যে এটি নিম্নলিখিত হিসাবে সংজ্ঞায়িত হয়েছে:

\int_{- \infty}^{\infty} δ (x) d x = 1

$\int_{-\infty}^\infty\delta(x)dx=1$

δ (x) = 0, \forall x \neq 0

$\delta(x)=0,\forall x\ne 0$

δ (x) = lim_{σ \to 0} \frac{e^{\frac{- x^{2}}{2 σ^{2}}}}{\sqrt{2 π} σ}

$\delta(x)=\lim_{\sigma\to 0} \frac{e^{\frac{-x^2}{2\sigma^2}}}{\sqrt{2\pi}\sigma}$

δ (x) = \frac{1}{2 π} \sum_{k = - \infty}^{\infty} e^{i k x}, \forall x \in (- π, π)

$\delta(x)=\frac{1}{2\pi}\sum_{k=-\infty}^\infty e^{ikx}, \forall x\in (-\pi,\pi)$

সুতরাং, ডাইরাক ফাংশনটি এর অবিচ্ছেদ্য সংজ্ঞা অনুসারে চিন্তা করা এবং সুবিধার সরঞ্জাম হিসাবে গাউসিয়ান হিসাবে ফাংশনটির উপস্থাপনা গ্রহণ করা ভাল।

@ হুইবারের বক্তব্যকে আপডেট করুন, এর চেয়ে আরও ভাল উদাহরণ হ'ল ডেরাকের ব-দ্বীপের এই উপস্থাপনা:

δ (x) = lim_{σ \to 0} \frac{e^{- \frac{| x |}{σ}}}{2 σ}

$\delta(x)=\lim_{\sigma\to 0} \frac{e^{-\frac{|x|}{\sigma}}}{2\sigma}$

এটি কি আপনার কাছে ল্যাপ্লেসিয়ার বিতরণের মতো দেখাচ্ছে ? তখন কি ডায়রাকের ব-দ্বীপটিকে ল্যাপ্লেসিয়ান বিতরণের সাবক্লাস হিসাবে বিবেচনা করা উচিত নয়?

— Aksakal
সূত্র

এই উত্তরের এক পর্যায়ে আপনি বিতরণগুলি আলোচনা করে "কার্যকারিতা" নিয়ে আলোচনা করতে চলেছেন বলে মনে হয়। প্রশ্নটি "সম্ভাব্যতা বন্টন" এ স্পষ্টভাবে উল্লেখ করে। এগুলি সাধারণত ঘনত্ব ফাংশন দ্বারা দেওয়া হয় না, তবে সর্বদা তাদের বিতরণ ফাংশন দ্বারা দেওয়া যেতে পারে। একটি পরমাণুর বন্টন - "ডাইরাক ডেল্টা" - সীমাবদ্ধ কেস হিসাবে অন্য সমস্ত গাউসীয় বিতরণের সাথে সুন্দরভাবে ফিট করে। (ম্যাথু ড্রুরির সেটআপে, এটি সেই সীমা হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে!) আপনার যুক্তিটি দাবী করার মতো বলে মনে হয়, বলুন, বৃত্তগুলি উপবৃত্ত নয়। এই জাতীয় ব্যতিক্রম প্রয়োগ কার্যকর মনে হয় না।

— whuber

@ কী, "পরমাণুর বন্টন" কী?

— আকসাকাল

একটি "পরমাণু" একক বিন্দুতে সম্ভাবনার একগুণ। সমানভাবে, এটি যে কোনও র্যান্ডম ভেরিয়েবলের বিতরণ যা প্রায় সর্বত্র স্থির থাকে।

— whuber

@ শুভ, ওহ, আমি একটি শারীরিক পরমাণুর কথা ভাবছিলাম। না, আমার বক্তব্যটি হ'ল ডায়রাকের ব-দ্বীপটি গাউসের কোনও উপক্লাস নয়, কারণ এটি ল্যাপল্যাসিয়ান দ্বারাও উপস্থির মতো উপস্থাপন করা যেতে পারে

— আকাকাল

(0, 1)

$(0,1)$

(0, θ)

$(0,\theta)$

(α, β)

$(\alpha,\beta)$

— whuber