রিগ্রেশন সহগের পারস্পরিক বিতরণ

মনে করুন আমাদের একটি রৈখিক মডেল রয়েছে $y_i = \beta_0 + \beta_1 x_i + \epsilon_i$ যা সমস্ত স্ট্যান্ডার্ড রিগ্রেশন (গাউস-মার্কভ) অনুমানের সাথে মিলিত হয়। আমরা আগ্রহী $\theta = 1/\beta_1$ ।

প্রশ্ন 1: বিতরণ বিতরণের জন্য কোন অনুমানগুলি প্রয়োজনীয় $\hat{\theta}$ ভাল সংজ্ঞায়িত করা? $\beta_1 \neq 0$ গুরুত্বপূর্ণ হবে --- অন্য কোন?

প্রশ্ন 2: ত্রুটিগুলি একটি সাধারণ বিতরণ অনুসরণ করে এমন অনুমান যুক্ত করুন। আমরা জানি, যদি $\hat{\beta}_1$ এমএলই এবং $g(\cdot)$ তাহলে একঘেয়েমি ফাংশন $g\left(\hat{\beta}_1\right)$ এর জন্য এমএলই $g(\beta_1)$ । একঘেয়েমি কেবল আশেপাশে প্রয়োজনীয় $\beta_1$ ? অন্য কথায়, হয় $\hat{\theta} = 1/\hat{\beta}$ এমএলই? অবিচ্ছিন্ন ম্যাপিং উপপাদ্যটি কমপক্ষে আমাদের জানায় যে এই প্যারামিটারটি সামঞ্জস্যপূর্ণ।

প্রশ্ন 3: বন্টন সন্ধানের জন্য ডেল্টা পদ্ধতি এবং বুটস্ট্র্যাপ উভয়ই উপযুক্ত উপায়? $\hat{\theta}$ ?

প্রশ্ন 4: প্যারামিটারের জন্য এই উত্তরগুলি কীভাবে পরিবর্তিত হয় $\gamma = \beta_0 / \beta_1$ ?

পাশে: আমরা দিতে সমস্যাটিকে পুনরায় সাজানোর কথা বিবেচনা করতে পারি

\begin{aligned} x_{i} & = \frac{β_{0}}{β_{1}} + \frac{1}{β_{1}} y_{i} + \frac{1}{β_{1}} ϵ_{i} \\ = γ + θ y_{i} + \frac{1}{β_{1}} ϵ_{i} \end{aligned}

$\begin{align*} x_i &= \frac{\beta_0}{\beta_1} + \frac{1}{\beta_1} y_i + \frac{1}{\beta_1} \epsilon_i \\ &= \gamma + \theta y_i + \frac{1}{\beta_1} \epsilon_i \end{align*}$ সরাসরি পরামিতি অনুমান করতে। গাউস-মার্কভ অনুমানগুলি এখানে আর বোঝায় না বলে এটি আমার পক্ষে কাজ করে না বলে মনে হয়; আমরা কথা বলতে পারি না

E [ϵ ∣ y]

$\text{E}[\epsilon \mid y]$ , উদাহরণ স্বরূপ. এই ব্যাখ্যাটি কি সঠিক?

— রাতের পাহারাদার
সূত্র

"স্ট্যান্ডার্ড" অনুমানগুলি এর স্বাভাবিকতা অন্তর্ভুক্ত করুন

ϵ_{i}

$\epsilon_i$ অথবা না?

— হোবার

ভাল যুক্তি; আমি এই ধারণাটি এমএলই সম্পর্কে অংশ জুড়েছি। যদিও এটি অন্যদের জন্য প্রয়োজনীয় হওয়া উচিত নয়।

— চার্লি

নমুনা বিতরণ

β_{1}

$\beta_1$ স্বাভাবিক, যেখান থেকে

θ

$\theta$ একটি সাধারণের পারস্পরিক ক্রিয়াকলাপ। এটি একটি বিচ্ছিন্ন (অসীম) অর্থ সহ বিমোডাল , এর অর্থ যাই হোক না কেন

β_{1}

$\beta_1$ ডেল্টা পদ্ধতিটি অতএব ভয়াবহ হতে পারে, সাধারণ অ্যাসিপটোটিক এমএলই অনুমানগুলি দরিদ্র এবং এমনকি বুটস্ট্র্যাপ সন্দেহও করতে পারে।

— whuber

@ হুবার, আপনি কি এর উপর বাড়িয়ে দিতে পারবেন? আমার অন্তর্নিহিততা দেখতে পাচ্ছে না যে কোনও সাধারণের পারস্পরিক ক্রম কীভাবে বিমোডাল হওয়া উচিত; আমার অনুমানটি হবে যে সমস্ত ভর স্বাভাবিকের গড়ের প্রতিদান হিসাবে থাকবে (এখানে,

1 / {\hat{β}}_{1}

$1/\hat{\beta}_1$ )। ০. এর কাছাকাছি ভর থাকার কারণে আমি অসীম গড় সম্ভাবনা সম্পর্কে চিন্তিত ছিলাম বুটস্ট্র্যাপ এবং অ্যাসিম্পটোটিক ফলাফলগুলির জন্য অনুমান করা মুহুর্তগুলির অস্তিত্বের প্রয়োজন হয়, তাই শেষ পর্যন্ত এই প্রশ্নটিই তার উপর নির্ভর করে।

— চার্লি

একটি পারস্পরিক স্বাভাবিকের পিডিএফ হয়

\exp (- (1 / x - μ)^{2} / (2 σ^{2})) / (\sqrt{2 π} x^{2} σ) d x

$\exp(-(1/x-\mu)^2/(2\sigma^2))/(\sqrt{2\pi}x^2\sigma)dx$ । 0 এ সমস্ত ডেরাইভেটিভস 0 সমান; এর লগারিদমের সমালোচনামূলক পয়েন্টগুলি সন্ধান করে একটি ইতিবাচক এবং নেতিবাচক মোড সনাক্ত করে (সহজেই শর্তাবলীতে গণনা করা হয়)

σ

$\sigma$ এবং

μ / σ

$\mu/\sigma$ ); এর অবিচ্ছেদ্য

| x |

$|x|$ এর অবিচ্ছেদ্য মত ডাইভারেজ

| x | / x^{2} = 1 / | x |

$|x|/x^2=1/|x|$ । অসীম প্রথম মুহুর্তের সমস্যাটি 0 এ ইতিবাচক সম্ভাবনা ঘনত্বযুক্ত যে কোনও র্যান্ডম ভেরিয়েবলের পারস্পরিক ক্রিয়াকে সংযুক্ত করে , যার মধ্যে সমস্ত স্বাভাবিক রয়েছে includes

— whuber

চতুর্থাংশ 1। যদি $\hat\beta_1$ এর এমএলই $\beta_1$ তাহলে $\hat\theta$ এর এমএলই $\theta$ এবং $\beta_1 \neq 0$ এই অনুমানকারীকে ভাল-সংজ্ঞায়িত করার জন্য যথেষ্ট শর্ত।

Q2 এর। $\hat\theta = 1/\hat\beta$ এর এমএলই $\theta$ এমএলই এর চালান সম্পত্তি দ্বারা। তদতিরিক্ত, আপনার একঘেয়েত্বের দরকার নেই $g$ আপনার যদি এটির বিপরীতমুখী হওয়ার দরকার না হয়। শুধুমাত্র প্রয়োজন আছে $g$ প্রতিটি পয়েন্টে ভাল সংজ্ঞায়িত করা। আপনি নাইটাস মুখোপাধ্যায় রচিত "সম্ভাব্যতা এবং পরিসংখ্যানগত অনুমান" এর থিওরেম 7.2.1 পিপি 350 তে এটি পরীক্ষা করতে পারেন ।

চতুর্থাংশ 3। হ্যাঁ, আপনি উভয় পদ্ধতি ব্যবহার করতে পারেন, আমি এর প্রোফাইল সম্ভাবনাও পরীক্ষা করে দেখতে পারি $\theta$ ।

Q4 ই। এখানে, আপনি আগ্রহের পরামিতিগুলির ক্ষেত্রে মডেলটিকে পুনরায় পরিবর্তন করতে পারেন $(\theta,\gamma)$ । উদাহরণস্বরূপ, MLE এর $\gamma$ হয় $\hat\gamma=\hat\beta_0/\hat\beta_1$ এবং আপনি এই প্যারামিটারের প্রোফাইল সম্ভাবনা বা যথারীতি এর বুটস্ট্র্যাপ বিতরণ গণনা করতে পারেন।

আপনি শেষে যে পদ্ধতির উল্লেখ করেছেন তা ভুল, আপনি আসলে একটি "ক্রমাঙ্কন মডেল" বিবেচনা করছেন যা আপনি সাহিত্যে যাচাই করতে পারেন। আপনার কেবলমাত্র প্রয়োজনীয় জিনিস হ'ল সুদের পরামিতিগুলির শর্তাবলী পুনর্নির্মাণ করা।

আশা করি এটা কাজে লাগবে.

আন্তরিক শুভেচ্ছা.

— XMX
সূত্র

উত্তরের জন্য ধন্যবাদ. আপনার উদ্ধৃত বইটি আমার কাছে নেই তবে প্রায়শই এই বৈশিষ্ট্যগুলির জন্য অনুমান করা মুহুর্তগুলির অস্তিত্বের প্রয়োজন হয়। আমি নিশ্চিত নই যে কোনও সাধারণের পারস্পরিক ক্রিয়াকলাপে প্রয়োজনীয় মুহূর্ত থাকে। আমার প্রশ্নে আমার এই বিষয়টি আরও পরিষ্কার করা উচিত ছিল।

— চার্লি