সম্ভাবনার স্থানগুলি নির্ধারণ করতে আমাদের সিগমা-বীজগণিতগুলির প্রয়োজন কেন?

Question

আমরা একটি আছে র্যান্ডম পরীক্ষা বিভিন্ন সঙ্গে ফলাফল বিরচন নমুনা স্থান যার উপর আমরা নির্দিষ্ট কিছু প্যাটার্ন এ সুদ নামক সঙ্গে চেহারা ঘটনাসিগমা-বীজগণিতগুলি (বা সিগমা-ক্ষেত্র) এমন ইভেন্টগুলি নিয়ে গঠিত যা একটি সম্ভাব্যতা পরিমাপ assigned নির্ধারিত হতে পারে। নাল সেট এবং পুরো নমুনা স্থানের অন্তর্ভুক্তি এবং একটি বীজগণিত যা ভেন ডায়াগ্রামের সাথে ইউনিয়ন এবং বর্ণনা করে এমন কিছু বৈশিষ্ট্য সম্পন্ন হয় ।$\Omega,$এফ । পি ∅ $\mathscr{F}.$ $\mathbb{P}$$\varnothing$

সম্ভাব্যতাটি ig আলজেব্রা এবং অন্তর মধ্যে একটি ফাংশন হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয় । সব মিলিয়ে ট্রিপল একটি সম্ভাবনার জায়গা তৈরি করে ।$\sigma$$[0,1]$$(\Omega, \mathscr{F}, \mathbb{P})$

কেউ যদি সরল ইংরেজিতে ব্যাখ্যা করতে পারে যে আমাদের কাছে আলজেব্রা না থাকলে সম্ভাব্যতা কেন ধসে পড়বে ? তারা কেবলমাত্র সেই অসম্ভব ক্যালিগ্রাফিক "এফ" দিয়ে মাঝখানে আবদ্ধ। আমি বিশ্বাস করি সেগুলি প্রয়োজনীয়; আমি দেখতে পাচ্ছি যে কোনও ঘটনা একটি ফলাফলের চেয়ে পৃথক, তবে ig ছাড়া কী হবে ?$\sigma$$\sigma$

প্রশ্নটি হ'ল: কোন ধরণের সম্ভাবনার সমস্যাগুলির মধ্যে একটি আলজেব্রা সহ সম্ভাব্য স্থানের সংজ্ঞা একটি প্রয়োজনীয়তা হয়ে যায়?$\sigma$

---

ডার্টমাউথ বিশ্ববিদ্যালয়ের ওয়েবসাইটে এই অনলাইন নথিটি একটি সরল ইংরেজী অ্যাক্সেসযোগ্য ব্যাখ্যা সরবরাহ করে। ধারণাটি ইউনিট ঘেরের বৃত্তে ঘড়ির কাঁটার বিপরীতে ঘুরানো একটি ঘুরানো পয়েন্টার :

আমরা একটি স্পিনার তৈরির মাধ্যমে শুরু করি, যা ইউনিট পরিধির একটি বৃত্ত এবং [চিত্র] চিত্রের মতো দেখানো হয়েছে এমন একটি পয়েন্টার নিয়ে গঠিত। আমরা বৃত্তের উপর একটি বিন্দু বাছাই এবং এটি লেবেল করি এবং তারপরে বৃত্তের প্রতিটি অন্য বিন্দুকে দূরত্ব সহ লেবেল করুন, বলুন , থেকে সেই বিন্দুতে, ঘড়ির কাঁটার বিপরীতে পরিমাপ করা হয়েছে। পরীক্ষার মধ্যে পয়েন্টারকে ঘুরানো এবং পয়েন্টারের ডগায় পয়েন্টটির লেবেল রেকর্ড করা। আমরা দৈব চলক দিন এই পরিণতি মান বোঝান। নমুনা স্পেস স্পষ্টভাবে অন্তর$0$$x$$0$$X$$[0,1)$। আমরা একটি সম্ভাব্যতা মডেল তৈরি করতে চাই যেখানে প্রতিটি ফলাফলের সমান সম্ভাবনা থাকে। যদি আমরা সম্ভাব্য ফলাফলগুলির সীমাবদ্ধ সংখ্যার জন্য পরীক্ষার জন্য যেমন এগিয়ে যাই [...], তবে আমাদের প্রতিটি ফলাফলের সম্ভাব্যতা করতে হবে, অন্যথায়, সম্ভাব্যতার যোগফল, সম্ভাব্য ফলাফলগুলির সর্বোপরি, না সমান ১। (বাস্তবে, আসল সংখ্যার একটি অগণিত সংখ্যার যোগফলক একটি জটিল ব্যবসা; বিশেষত, এই জাতীয় রাশির কোনও অর্থ হওয়ার জন্য, সর্বাধিক গণনার মধ্যে অনেকগুলি সমান আলাদা হতে পারে )) তবে, যদি নির্ধারিত সম্ভাব্যতার সবগুলি , তবে যোগফল , নয় , যেমনটি হওয়া উচিত।$0$$0$$0$$0$$1$

সুতরাং আমরা যদি প্রতিটি বিন্দুতে কোনও সম্ভাব্যতা নির্ধারিত করি এবং যদি একটি (অগণিত) পয়েন্টের অসীম সংখ্যা থাকে তবে তাদের যোগফলটি পর্যন্ত যোগ হবে ।$> 1$

Comments

পরিমাপ তত্ত্বের উল্লেখ না করে ফিল্ডস সম্পর্কে উত্তর চাইতে নিজেকে পরাজিত বলে মনে হচ্ছে ! $\sigma$

— শি'আন

আমি করেছি, যদিও ... আমি নিশ্চিত না যে আমি আপনার মন্তব্যটি বুঝতে পেরেছি।

— আন্তনি পরল্লদা

অবশ্যই সিগমা ক্ষেত্রের প্রয়োজনটি কেবল মতামতের বিষয় নয় ... আমি মনে করি এটি বিষয়টিতে এখানে বিবেচনা করা যেতে পারে (আমার মতে)।

— গাং

যদি আপনার সম্ভাব্য তত্ত্বের প্রয়োজনটি "মাথা" এবং "লেজ" সীমাবদ্ধ থাকে তবে স্পষ্টতই ig ফিল্ডসের প্রয়োজন নেই ! $\sigma$

— শি'আন

আমি মনে করি এটি একটি ভাল প্রশ্ন। সুতরাং প্রায়শই আপনি পাঠ্যপুস্তকে সম্ভাব্য ত্রিভুজের সম্পূর্ণরূপে অতিরিক্ত অতিরিক্ত তথ্য দেখতে পান যা পরে লেখক তারপরে একেবারে উপেক্ষা করতে চলে যায়। $(\Omega, \mathcal{F}, P)$

— ডিসেক্সটন

Answer 1

শি'ানের প্রথম বক্তব্য: আপনি যখন কথা বলছেন , আপনি পরিমাপযোগ্য সেটগুলি সম্পর্কে জিজ্ঞাসা করছেন, সুতরাং দুর্ভাগ্যক্রমে কোনও উত্তর অবশ্যই পরিমাপ তত্ত্বের উপর ফোকাস করবে। যদিও আমি আস্তে আস্তে এটি তৈরি করার চেষ্টা করব।$\sigma$

সম্ভাব্যতার একটি তত্ত্ব অগণনীয় সেটগুলির সমস্ত উপসর্গকে স্বীকৃতি দিয়ে গণিতকে ভঙ্গ করবে

এই উদাহরণ বিবেচনা করুন। ধরুন আপনার unit একটি ইউনিট স্কোয়ার রয়েছে এবং আপনি ইউনিট স্কোয়ারের একটি নির্দিষ্ট সেটের সদস্য যে বিন্দুটি এলোমেলোভাবে বেছে নেওয়ার সম্ভাবনা সম্পর্কে আগ্রহী? প্রচুর পরিস্থিতিতে, বিভিন্ন সেটগুলির ক্ষেত্রগুলির তুলনার ভিত্তিতে এটিকে সহজেই উত্তর দেওয়া যায়। উদাহরণস্বরূপ, আমরা কয়েকটি বৃত্ত আঁকতে পারি, তাদের অঞ্চলগুলি পরিমাপ করতে পারি এবং তারপরে বৃত্তের খণ্ডের ভগ্নাংশ হিসাবে ভগ্নাংশ হিসাবে সম্ভাবনাটি নিতে পারি। খুব সহজ.$\mathbb{R}^2$

তবে আগ্রহের সেটের ক্ষেত্রফলটি যদি সংজ্ঞায়িত না হয়?

যদি অঞ্চলটি যথাযথভাবে সংজ্ঞায়িত না হয় তবে আমরা অঞ্চলটি কী তা সম্পর্কে দুটি পৃথক তবে সম্পূর্ণ বৈধ (কিছু দিক থেকে) সিদ্ধান্তে আসতে পারি। সুতরাং আমরা একদিকে এবং অন্যদিকে , যা বোঝায় । এটি মেরামতের বাইরেও সমস্ত গণিত ভেঙে দেয়। আপনি এখন এবং অন্যান্য বেশ কয়েকটি প্রচলিত জিনিস প্রমাণ করতে পারবেন । স্পষ্টতই এটি খুব দরকারী নয়।পি ( এ ) = 0 0 = 1 5 < $P(A)=1$$P(A)=0$$0=1$$5<0$

$\sigma$ig হ'ল প্যাচ যা গণিতকে স্থির করে

কী এক হয় -algebra, অবিকল? এটি আসলে তেমন ভীতিজনক নয়। এটি কেবলমাত্র একটি সংজ্ঞা যা কোন সেটগুলি ইভেন্ট হিসাবে বিবেচিত হতে পারে। উপাদানগুলি নেই কেবল কোনও সংজ্ঞায়িত সম্ভাবনা পরিমাপ নেই। মূলত, হ'ল "প্যাচ" যা আমাদের গণিতের কিছু প্যাথলজিকাল আচরণগুলি এড়াতে দেয়, যথা অ-পরিমাপযোগ্য সেট।এফ$\sigma$$\mathscr{F}$$\sigma$

একটি ফিল্ডের তিনটি প্রয়োজনীয়তা আমরা সম্ভাবনার সাথে কী করতে চাই তার পরিণতি হিসাবে বিবেচনা করা যেতে পারে: এ ফিল্ড একটি সেট যা তিনটি বৈশিষ্ট্যযুক্ত:$\sigma$$\sigma$

1. গণনাযোগ্য ইউনিয়নের অধীনে বন্ধ।
2. গণনাযোগ্য ছেদগুলির নিচে বন্ধ los
3. পরিপূরক অধীনে বন্ধ।

গণনামূলক ইউনিয়ন এবং গণনাযোগ্য ছেদ উপাদানগুলি মাপনযোগ্য সেট ইস্যুর প্রত্যক্ষ পরিণতি। পরিপূরকসমূহের অধীনে বন্ধ হওয়া কোলমোগোরভ অ্যালিকোমের একটি পরিণতি: যদি 2/3 , হওয়া উচিত । তবে (3) ছাড়া এটি ঘটতে পারে যে অপরিজ্ঞাত। অদ্ভুত হবে। পরিপূরকসমূহের অধীনে বন্ধকরণ এবং কোলমোগোরভ অ্যালকোমিসমূহ আমাদের ।$P(A)=2/3$$P(A^c)$$1/3$$P(A^c)$$P(A\cup A^c)=P(A)+1-P(A)=1$

অবশেষে, আমরা সম্পর্কিত ইভেন্টগুলি বিবেচনা করছি , সুতরাং আমাদের আরও দরকার$\Omega$$\Omega\in\mathscr{F}$

সুসংবাদ: ount কেবল অগণিত সেটগুলির জন্য কঠোরভাবে প্রয়োজনীয়$\sigma$

কিন্ত! এখানেও সুসংবাদ রয়েছে। বা, কমপক্ষে, সমস্যাটি স্কার্ট করার একটি উপায়। আমাদের কেবলমাত্র প্রয়োজন, যদি আমরা অগণনীয় কার্ডিনালিটির সাথে একটি সেটে কাজ করি। আমরা যদি নিজেদেরকে ধর্তব্য সেট সীমাবদ্ধ, তাহলে আমরা গ্রহণ করতে পারেন শক্তি সেট এবং আমরা ধর্তব্য কারণ এই সমস্যার কোন থাকবে না , শুধুমাত্র গঠিত পরিমাপযোগ্য সেট। (এটি শি'ানের দ্বিতীয় মন্তব্যে ইঙ্গিত দেওয়া হয়েছে।) আপনি লক্ষ্য করবেন যে কিছু পাঠ্যপুস্তকগুলি এখানে প্রকৃতপক্ষে একটি সূক্ষ্ম ঘুম করবে এবং সম্ভাব্যতার জায়গাগুলি নিয়ে আলোচনা করার সময় কেবল গণনাযোগ্য সেটগুলি বিবেচনা করবে।$\sigma$$\mathscr{F}=2^\Omega$$\Omega$$\Omega$$2^\Omega$

, এর জ্যামিতিক সমস্যাগুলিতে , কেবলমাত্র সেটের সমন্বয়ে গঠিত ig বিবেচনা করার পক্ষে এটি পুরোপুরি যথেষ্ট, যার জন্য পরিমাপটি সংজ্ঞায়িত। এটিকে কিছুটা সাথে ভিত্তিতে জন্য, জন্য দৈর্ঘ্য, ক্ষেত্র এবং আয়তনের স্বাভাবিক ধারণার সাথে মিল। সুতরাং আমি পূর্বের উদাহরণে যা বলছি তা হ'ল সেটটির একটি জ্যামিতিক সম্ভাব্যতা নির্ধারিত হওয়ার জন্য একটি সু-সংজ্ঞায়িত অঞ্চল থাকা দরকার। এবং কারণটি হ'ল: যদি আমরা অ-পরিমাপযোগ্য সেটগুলি স্বীকার করি, তবে আমরা এমন পরিস্থিতিতে শেষ করতে পারি যেখানে আমরা কিছু প্রমাণের ভিত্তিতে কিছু ইভেন্টের সম্ভাব্যতা 1 এবং অন্য কোনও প্রমাণের ভিত্তিতে একই ইভেন্ট ইভেন্টের সম্ভাবনা 0 নির্ধারণ করতে পারি ।$\mathbb{R}^n$$\sigma$$\mathcal{L}^n$$\mathcal{L}^n$$n=1,2,3$

তবে অগণনীয় সেটগুলির সংযোগ আপনাকে বিভ্রান্ত করতে দেবেন না! একটি সাধারণ ভ্রান্ত ধারণা যে গণনাযোগ্য সেট। প্রকৃতপক্ষে, তারা গণনাযোগ্য বা অগণনীয় হতে পারে। এই দৃষ্টান্তটি বিবেচনা করুন: আগের মতো আমাদের একটি ইউনিট স্কোয়ার রয়েছে। সংজ্ঞায়িতআপনি একটি বর্গক্ষেত্র আঁকতে পারেন পক্ষ দৈর্ঘ্য সবার জন্য , এবং এক কোণে সঙ্গে । এটি পরিষ্কার হওয়া উচিত যে এই বর্গটি ইউনিট স্কোয়ারের একটি উপসেট। উপরন্তু, এই বর্গের সব এলাকায় সংজ্ঞায়িত করেছেন, তাই এই স্কোয়ার উপাদান । তবে এটিও পরিষ্কার হওয়া উচিত যে অগণনীয় অনেক স্কোয়ার রয়েছে$\sigma$

$$\mathscr{F}=\text{All subsets of the unit square with defined $\mathcal{L}^2$ measure}.$$ $B$$s$$s \in (0,1)$$(0,0)$$\mathscr{F}$$B$ : এই জাতীয় স্কোয়ারের সংখ্যা অগণনীয় এবং প্রতিটি স্কোয়ার লেবেসগু পরিমাপকে সংজ্ঞায়িত করে।

সুতরাং ব্যবহারিক বিষয় হিসাবে, কেবলমাত্র পর্যবেক্ষণ করা যথেষ্ট পরিমাণে পর্যবেক্ষণ করতে যথেষ্ট যে আপনি কেবলমাত্র লেবেসগু-পরিমাপযোগ্য সেটকে আগ্রহের সমস্যার বিরুদ্ধে অগ্রসর হওয়ার লক্ষ্যে বিবেচনা করেন consider

তবে অপেক্ষা করুন, একটি অ-পরিমাপযোগ্য সেট কী?

আমি ভয় করি আমি নিজেই এই বিষয়ে কিছুটা আলোকপাত করতে পারি। তবে বানাচ-তারস্কি প্যারাডক্স (কখনও কখনও "সূর্য এবং মটর" প্যারাডক্স) আমাদের কিছুটা সহায়তা করতে পারে:

একটি শক্ত বলকে 3 space মাত্রিক স্থানে দেওয়া হয়, সেখানে বলের একটি ক্ষয়ের পরিমাণ সীমাবদ্ধ সংখ্যক বিভাজনে পড়ে যায়, যার পরে মূল বলের দুটি অভিন্ন অনুলিপি আলাদা উপায়ে একসাথে রেখে দেওয়া যেতে পারে। প্রকৃতপক্ষে, পুনরূদ্ধার প্রক্রিয়াটিতে কেবল আকারগুলি পরিবর্তন না করে কেবল টুকরোগুলি চারদিকে ঘোরাতে এবং ঘোরানো জড়িত। যাইহোক, টুকরোগুলি নিজেরাই স্বাভাবিক অর্থে "সলিড" নয়, তবে পয়েন্টগুলির অসীম ছড়িয়ে ছিটিয়ে থাকে। পুনর্গঠনটি কম পাঁচটি টুকরো দিয়ে কাজ করতে পারে।

উপপাদ্যটির একটি শক্তিশালী রূপটি বোঝায় যে দুটি দুটি "যুক্তিসঙ্গত" শক্ত বস্তু (যেমন একটি ছোট বল এবং বিশাল বল) দেওয়া হয়েছে, উভয়কেই অন্যটিতে পুনরায় সংযুক্ত করা যেতে পারে। এটি প্রায়শই অনানুষ্ঠানিকভাবে বলা হয় যে "একটি মটর কাটা এবং সূর্যের সাথে পুনরায় সংশ্লেষ করা যেতে পারে" এবং "মটর এবং সূর্যের প্যারাডক্স" নামে পরিচিত। 1

সুতরাং আপনি যদি সম্ভাব্যতার সাথে কাজ করছেন এবং আপনি জ্যামিতিক সম্ভাব্যতা পরিমাপ (আয়তনের অনুপাত) ব্যবহার করছেন তবে আপনি কিছু ইভেন্টের সম্ভাবনা নিয়ে কাজ করতে চান। তবে আপনি সেই সম্ভাবনাটি স্পষ্টভাবে সংজ্ঞায়িত করার জন্য সংগ্রাম করবেন কারণ আপনি খালি খোলার জন্য আপনার স্থানের সেটগুলি পুনর্বিন্যাস করতে পারেন! যদি সম্ভাবনাটি ভলিউমের উপর নির্ভর করে এবং আপনি সেটের ভলিউমটি সূর্যের আকার বা একটি মটর এর আকার হিসাবে পরিবর্তন করতে পারেন তবে সম্ভাবনাও পরিবর্তিত হবে। সুতরাং কোনও ইভেন্টের এতে একক সম্ভাবনা থাকবে না। আরও খারাপ, আপনি পুনঃব্যবস্থা করতে পারেন যেমন এর ভলিউমের , যা বোঝায় যে জ্যামিতিক সম্ভাব্যতা পরিমাপের সম্ভাবনা রিপোর্ট করে$\mathbb{R}^3$$S\in\Omega$$S$$V(S)>V(\Omega)$$P(S)>1$, কোলমোগোরভ অ্যাক্সিয়মগুলির সুস্পষ্ট লঙ্ঘনের ক্ষেত্রে যার সম্ভাব্যতার পরিমাপ 1 রয়েছে require

এই প্যারাডক্সটিকে সমাধান করার জন্য, কেউ চারটি ছাড়ের মধ্যে একটি করে দিতে পারে:

1. যখন ঘোরানো হয় তখন কোনও সেটের ভলিউম পরিবর্তন হতে পারে।
2. দুটি বিভাজন সেটগুলির মিলনের পরিমাণ তাদের ভলিউমের যোগফল থেকে পৃথক হতে পারে।
3. জেরমেলো – ফ্রেইঙ্কেল সেট থিয়োরিয়ের চিকিত্সার অক্ষর (জেডএফসি) এর পরিবর্তিত হতে পারে।
4. কিছু সেটকে "অ-পরিমাপযোগ্য" ট্যাগ করা হতে পারে এবং একটি সেট এর আয়তন সম্পর্কে কথা বলার আগে একটি "পরিমাপযোগ্য" কিনা তা পরীক্ষা করতে হবে।

বিকল্প (1) সম্ভাব্যতা সংজ্ঞায়িত করতে সহায়তা করে না, সুতরাং এটি আউট। বিকল্প (2) দ্বিতীয় কলমোগোরভ অ্যাক্সিয়ম লঙ্ঘন করে, তাই এটি আউট। অপশন (3) একটি ভয়ংকর ধারণা বলে মনে হচ্ছে কারণ জেডএফসিটি এটি তৈরির চেয়ে আরও অনেক সমস্যা সমাধান করে। তবে বিকল্প (4) আকর্ষণীয় বলে মনে হচ্ছে: আমরা যদি কোনটি পরিমাপযোগ্য না তার তত্ত্বটি বিকাশ করি তবে আমাদের এই সমস্যাটির সুস্পষ্ট সংজ্ঞা থাকবে! এটি আমাদের তত্ত্ব এবং আমাদের বন্ধুকে আলজেব্রা পরিমাপ করতে ফিরিয়ে আনে ।$\sigma$

Comments

আপনার উত্তর করার জন্য আপনাকে ধন্যবাদ। লেবেস্কু পরিমাপযোগ্য? আমি বিশ্বাসের উপর আপনার উত্তরটি +1 করব, তবে আপনি যদি গণিতের স্তরটি বেশ কয়েকটি চিহ্নকে নীচে নামিয়ে আনতে পারতেন তবে আমি সত্যিই এটির প্রশংসা করব ... :-)$\mathcal{L}$

— অ্যান্টনি পেরেল্লাদা

(+1) ভাল পয়েন্ট! আমিও পরিমাপ এবং ছাড়া যোগ হবে হিসাবে দেখানো, algebras, কন্ডিশনার এবং শর্তাধীন ডিস্ট্রিবিউশন আহরিত উপর অগণ্য স্পেস বেশ লোমশ পেতে Borel-Kolmogorov প্যারাডক্স । $\sigma$

— শি'আন

@ শি'য়ান দয়াবান শব্দগুলির জন্য ধন্যবাদ! এটি আপনার কাছে থেকে আসার অর্থ অনেকটাই। এই লেখার মতো আমি বোরেল-কোলমোগোরভ প্যারাডক্সের সাথে পরিচিত ছিলাম না, তবে আমি কিছু পাঠ করব এবং দেখব যে আমি আমার অনুসন্ধানগুলির একটি দরকারী সংযোজন করতে পারি কিনা।

— সাইকোরাক্স

@ ছাত্র 1001: আমি মনে করি আমরা এখানে চুল বিভক্ত করছি। আপনি ঠিক বলেছেন যে "পরিমাপ" (যে কোনও পরিমাপ) এর সাধারণ সংজ্ঞা সিগমা-বীজগণিত ধারণাটি ব্যবহার করে দেওয়া হয়। আমার বক্তব্যটি হ'ল, আমার প্রথম লিঙ্কটিতে প্রদত্ত লেবেসগু পরিমাপের সংজ্ঞাতে "সিগমা-বীজগণিত" এর কোনও শব্দ বা ধারণা নেই। অন্য কথায়, আমার প্রথম লিঙ্ক অনুযায়ী লেবেসগু পরিমাপের সংজ্ঞা দেওয়া যেতে পারে তবে তার পরে একজনকে দেখাতে হবে যে এটি একটি পরিমাপ এবং এটিই শক্ত অংশ part আমি একমত যে যদিও আমাদের এই আলোচনাটি বন্ধ করা উচিত।

— অ্যামিবা

আমি আপনার উত্তরটি পড়ে সত্যিই উপভোগ করেছি। আপনাকে কীভাবে ধন্যবাদ জানাতে হয় তা আমি জানি না, তবে আপনি বিষয়গুলি অনেক স্পষ্ট করে বলেছেন! আমি কখনই বাস্তব বিশ্লেষণ অধ্যয়ন করি নি বা গণিতেও সঠিক পরিচয় পাইনি। বৈদ্যুতিক ইঞ্জিনিয়ারিং ব্যাকগ্রাউন্ড থেকে এসেছেন যা ব্যবহারিক বাস্তবায়নে অনেক বেশি মনোযোগ দিয়েছে। আপনি লিখেছেন যে এত সহজ ভাষায় যে আমার মতো একটি ব্লক বুঝতে পারে। আমি আপনার উত্তর এবং আপনি সরবরাহ করেছেন সরলতার সত্যই প্রশংসা করি। এছাড়াও সিঁয়াঁকে তার প্যাক করা মন্তব্যের জন্য ধন্যবাদ!

— Zushauque

Answer 2

অন্তর্নিহিত ধারণা (খুব ব্যবহারিক শর্তাবলী) সহজ। ধরুন আপনি কোনও পরিসংখ্যানবিদ কিছু জরিপ নিয়ে কাজ করছেন। ধরা যাক সমীক্ষার বয়স সম্পর্কে কিছু প্রশ্ন রয়েছে তবে কেবলমাত্র উত্তরদাতাকে কিছু নির্দিষ্ট ব্যবধানে তার বয়স সনাক্ত করতে বলুন । অন্যান্য প্রশ্নগুলি ভুলে যেতে দিন। এই প্রশ্নাবলী একটি "ইভেন্ট স্পেস", আপনার সংজ্ঞায়িত করে । সিগমা বীজগণিত সমস্ত তথ্য কোডিফাই করে যা প্রশ্নপত্র থেকে প্রাপ্ত হতে পারে, সুতরাং, বয়সের প্রশ্নের জন্য (এবং এখন আমরা অন্যান্য সমস্ত প্রশ্ন উপেক্ষা করি), এতে অন্তর তবে( Ω , চ ) এফ [ 18 , 25 ) [ 20 , 30 ) [ 20 , 30 ) $[0,18), [18, 25), [25,34), \dots$$(\Omega,F)$$F$$[18,25)$$[20,30)$, যেহেতু প্রশ্নাবলীর দ্বারা প্রাপ্ত তথ্য থেকে আমরা এই জাতীয় প্রশ্নের উত্তর দিতে পারি না: উত্তরদাতাদের বয়স কি ? আরও সাধারণভাবে, একটি সেট একটি ইভেন্ট ( ) যদি হয় এবং কেবলমাত্র যদি আমরা সিদ্ধান্ত নিতে পারি যে কোনও নমুনা বিন্দু সেটের সাথে সম্পর্কিত কিনা।$[20,30)$$F$

এখন, আমাদের দ্বিতীয় ঘটনা স্থান মান র্যান্ডম ভেরিয়েবল সংজ্ঞায়িত করি । উদাহরণস্বরূপ, এটিকে স্বাভাবিক (বোরেল) সিগমা-বীজগণিতের সাথে আসল লাইন হিসাবে ধরুন। তারপরে, একটি (আন-ইন্টারেস্টিং) ফাংশন যা এলোমেলো পরিবর্তনশীল নয় তা "উত্তরদাতাদের বয়স একটি মৌলিক সংখ্যা", বয়সটি যদি প্রধান হয় তবে এটি 1 হিসাবে কোড করে অন্য 0 হয়। না, অন্তর্গত না , তাই একটি এলোপাতাড়ি ভেরিয়েবলের নয়। কারণটি সহজ, উত্তরদাতার বয়স যদি প্রধান হয় বা না হয় তবে আমরা প্রশ্নপত্রে থাকা তথ্য থেকে সিদ্ধান্ত নিতে পারি না! এখন আপনি নিজে আরও আকর্ষণীয় উদাহরণ তৈরি করতে পারেন। চ : চ - 1 ( 1 ) এফ $(\Omega', F')$$f:$$f^{-1}(1)$$F$$f$

$F$$F$$A$$B$$A \cap B$$A \cup B$। এখন, গণনামূলক মোড় এবং ইউনিয়নগুলির জন্য ক্লোজেন্সের প্রয়োজন আমাদের গণনাযোগ্য সংমিশ্রণ বা বিভাজন জিজ্ঞাসা করতে দেয়। এবং, কোনও প্রশ্ন উপেক্ষা করা পরিপূরক সেট দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা হয়। এটি আমাদের সিগমা-বীজগণিত দেয়।

আমি পিটার হুইটল "প্রত্যাশার মাধ্যমে সম্ভাবনা" (স্প্রিংগার) খুব ভাল বইয়ে এই ধরণের পরিচিতিটি প্রথম দেখেছি।

সম্পাদনা

$i$$i$$\sigma$$\sigma$$n$$\sigma$$n$$\sigma$

কিন্তু আসলেই কি আমাদের প্রচুর সংখ্যার শক্তিশালী আইন দরকার? এখানে একটি উত্তর অনুসারে , সম্ভবত না।

$n$$n$

$\sigma$

Comments

$\sigma$$P(A)\in[20,30)$$P(A)\in[20,30)\le P(A)\in[18,34)$ভালভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে, সুতরাং এটি এমনকি পরিষ্কার নয় যে এই উদাহরণটি আপনাকে কী চাইবে তা চিত্রিত করে।

— সাইকোরাক্স

$\sigma$$\sigma$

$\sigma$

আমি মনে করি আপনার যুক্তিটি যথাযথ। যদিও আমি এই বাধ্যবাধকতার মুখোমুখি হয়েছি, শেষে আমি কিছুটা অবাক হয়েছি: "গণনাযোগ্য চৌরাস্তা এবং ইউনিয়নগুলির জন্য ক্লোজেন্সের প্রয়োজন আমাদের গণনাযোগ্য সংযোগ বা বিভাজন জিজ্ঞাসা করতে দেয়।" এটি ইস্যুটির কেন্দ্রবিন্দুতে পৌঁছেছে: কেউ কেন এইরকম অসীম জটিল ঘটনা তৈরি করতে চায়? এটির একটি উত্তম উত্তর আপনার বাকী পোস্টকে আরও অনুপ্রাণিত করবে।

— হুঁশিয়ারি

ব্যবহারিক ব্যবহারগুলি পুনরায়: অর্থের গণিতে ব্যবহৃত সম্ভাবনা এবং পরিমাপ তত্ত্ব (স্টোকাস্টিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ, ইটো ইন্টিগ্রালস, বীজগণিতের ফিল্টারেশন ইত্যাদি) দেখে মনে হচ্ছে সিগমা বীজগণিত ছাড়া এটি অসম্ভব হবে। (আমি সম্পাদনাগুলিকে

— উজ্জীবিত

Answer 3

$\sigma$

$\sigma$$A \cup B$$(A\cup B)\cap C$

প্রথম অক্ষরটি হ'ল ∅, 𝑋∈𝜎 𝑋∈𝜎 ঠিক আছে আপনি কিছুই জানেন না (0) বা কিছু ঘটছে (1) এর সম্ভাবনা।

দ্বিতীয় axiom পরিপূরক অধীনে বন্ধ। আমাকে একটি বোকা উদাহরণ উপস্থাপন করুন। আবার, co = {𝐻, 𝑇} সহ একটি মুদ্রা ফ্লিপ বিবেচনা করুন} আমি আপনাকে বলি যে এই ফ্লিপের জন্য 𝜎 বীজগণিতটি হ'ল {∅, 𝑋, {𝐻}}} এটি হ'ল, আমি কিছুই হবার সম্ভাবনা জানি না, কিছু ঘটছে এবং একটি মাথা আছে তবে আমি লেজগুলির সম্ভাবনা জানি না। আপনি ঠিকই আমাকে মুরন বলবেন। কারণ আপনি যদি মাথাগুলির সম্ভাবনা জানেন তবে আপনি স্বয়ংক্রিয়ভাবে একটি লেজের সম্ভাবনা জানেন! আপনি যদি কিছু ঘটনার সম্ভাবনা জানেন, তবে এটি হওয়ার সম্ভাবনা আপনি জানেন (পরিপূরক)!

শেষ অক্ষটি গণনাযোগ্য ইউনিয়নের অধীনে বন্ধ রয়েছে। আমি আপনাকে অন্য একটি বোকা উদাহরণ দিতে দিন। একটি ডাইয়ের ভূমিকা বা 𝑋 = {1,2,3,4,5,6} বিবেচনা করুন} আমি যদি আপনাকে 𝜎 এর বীজগণিতটি বলতে চাই তবে এটি} ∅, 𝑋, {1}, {2}}} এটি, আমি 1 রোলিং বা 2 রোলিংয়ের সম্ভাবনা জানি, তবে আমি 1 বা 2 রোল করার সম্ভাব্যতা জানি না। আবার, আপনি আমাকে ন্যায়সঙ্গতভাবে বোকা ডাকবেন (আমি আশা করি কারণটি পরিষ্কার)। সেটগুলি বিচ্ছিন্ন না করলে কী ঘটে এবং অগণিত ইউনিয়নগুলির সাথে কী ঘটে তা একটু মেসেঞ্জার তবে আমি আশা করি আপনি কয়েকটি উদাহরণ বিবেচনা করার চেষ্টা করতে পারেন।

$\sigma$

ঠিক আছে, এটি সম্পূর্ণ পরিষ্কার-কাটা কেস নয়, এর কয়েকটি শক্ত কারণ রয়েছে ।

সম্ভাব্যবাদীদের কেন ব্যবস্থা নেওয়া দরকার?

$\sigma$$\sigma$$P$

আপনার কেন পরিমাপ তত্ত্বের প্রয়োজন তা বোঝাতে লোকেরা ভিতালির সেট এবং বানচ-তারস্কি নিয়ে আসে তবে আমি মনে করি এটি বিভ্রান্তিকর । ভিটালির সেট কেবল অনুবাদ-আক্রমণকারী, (সম্ভাব্য স্থানের প্রয়োজন হয় না) এমন ব্যবস্থাগুলির জন্য চলে যায়। এবং বনচ-তারস্কির জন্য রোটেশন-ইনভেরিওেন্স দরকার। বিশ্লেষণ লোকেরা তাদের সম্পর্কে যত্নশীল, তবে সম্ভাব্যবিদরা আসলে তা করেন না ।

জিনিসের অস্তিত্বের কারণ সম্ভাব্যতা তত্ত্ব পরিমাপ তত্ত্ব বিযুক্ত এবং ক্রমাগত RVs চিকিত্সার ঐক্যবদ্ধ করার, এবং তাছাড়া, rvs মিশ্র এবং RVs যে কেবল তন্ন তন্ন হয় জন্য অনুমতি নেই।

Comments

$\sigma$$\sigma$