নন আইড গাউসিয়ান প্রকরণের যোগফলের বিতরণ কী?

Question

যদি $X$ বিতরণ করা হয় $N(\mu_X, \sigma^2_X)$ , $Y$ বিতরণ করা হয় $N(\mu_Y, \sigma^2_Y)$ এবং $Z = X + Y$ , আমি জানি যে $Z$ বিতরণ করা হয়েছে $N(\mu_X + \mu_Y, \sigma^2_X + \sigma^2_Y)$ এক্স এবং ওয়াই স্বতন্ত্র হলে।

তবে এক্স এবং ওয়াই স্বতন্ত্র না হলে কী হবে ( যেমন , এক্স , ওয়াই ) ≈ এন ( ( μ এক্স μ ওয়াই ) , ( σ 2 এক্স$(X, Y) \approx N\big( (\begin{smallmatrix} \mu_X\\\mu_Y \end{smallmatrix}) , (\begin{smallmatrix} \sigma^2_X && \sigma_{X,Y}\\ \sigma_{X,Y} && \sigma^2_Y \end{smallmatrix}) \big)$

এই প্রভাবিত করবে কিভাবে সমষ্টি $Z$ বিতরণ করা হয়?

Comments

শুধু যৌথ ডিস্ট্রিবিউশন সমস্ত প্রকারের আছে বাতলান চাই অন্যান্য bivariate স্বাভাবিক এখনও আছে যে এর চেয়ে এক্স এবং ওয়াই সীমিতভাবে স্বাভাবিক। এবং এই পার্থক্য উত্তরগুলিতে একটি বিশাল পার্থক্য তৈরি করবে। $(X,Y)$ $X$$Y$

@ জি.জায়ার্নস আমি সম্মত হই যে এবং ওয়াই যদি স্বাভাবিক হয় তবে অগত্যা যৌথভাবে স্বাভাবিক না হয় তবে এক্স + ওয়াইয়ের স্বাভাবিক ছাড়া অন্য বিতরণও থাকতে পারে। তবে ওপি'র বক্তব্য যে " জেড বিতরণ করা হয় N ( μ x + μ y , σ 2 x + σ 2 y ) যদি এক্স এবং ওয়াই স্বতন্ত্র থাকে।" একেবারে সঠিক। যদি এক্স এবং $X$$Y$$X+Y$$Z$$N(\mu_x + \mu_y, \sigma^2_x + \sigma^2_y)$$X$$Y$$X$$Y$প্রান্তিকভাবে স্বাভাবিক (বাক্যটির প্রথম অংশ যেমনটি বলে) এবং স্বতন্ত্র (বাক্যটির দ্বিতীয় অংশে অনুমান অনুযায়ী), তবে সেগুলিও যৌথভাবে স্বাভাবিক। ওপির প্রশ্নে , যৌথ স্বাভাবিকতা স্পষ্টভাবে ধরে নেওয়া হয় এবং তাই এক্স এবং ওয়াইয়ের কোনও লিনিয়ার সংমিশ্রণ স্বাভাবিক normal $X$$Y$

— দিলীপ সরোতে

@ দিলিপ, আমাকে পরিষ্কার করে দিন যে প্রশ্নটির সাথে কোনও ভুল নেই এবং আপনার উত্তর (+1) (বা সম্ভাব্যতার, (+1)) এর সাথে কোনও ভুল নেই। আমি কেবল উল্লেখ করছিলাম যে এবং ওয়াই যদি নির্ভরশীল হয় তবে তা যৌথভাবে স্বাভাবিক হওয়ার দরকার নেই, এবং এটি স্পষ্ট ছিল না যে ওপি সেই সম্ভাবনাটি বিবেচনা করেছে। এছাড়াও, আমি আশঙ্কা করছি (যদিও আমি অনেক সময় চিন্তা করতে ব্যয় করি না) যে অন্য কিছু অনুমান ব্যতিরেকে (যৌথ স্বাভাবিকতার মতো) প্রশ্নটি এমনকি উত্তরযোগ্যও হতে পারে। $X$$Y$

@ জি। জ্যাকার্নস যেমন উল্লেখ করেছেন, অবশ্যই আমরা যদি প্রান্তিকভাবে বিবেচনা করি তবে যৌথভাবে নয়, বিতরণকৃত সাধারণগুলি বিবেচনা করি তবে আমরা সব ধরণের আকর্ষণীয় আচরণ পেতে পারি। এখানে একটি সহজ উদাহরণ: স্বতন্ত্রভাবে এক্স এর থেকে কমপক্ষে ১/২ এর সম্ভাব্যতার সাথে স্ট্যান্ডার্ড স্বাভাবিক এবং ε = ± 1 হতে দিন । যাক ওয়াই = ε এক্স । তারপরে Y হ'ল স্ট্যান্ডার্ডও স্বাভাবিক তবে জেড = এক্স + ওয়াই সম্ভাব্যতা 1/2 এর সাথে শূন্যের সমান এবং সম্ভাব্যতা 1/2 এর সাথে 2 এক্স এর সমান । $X$$\varepsilon = \pm 1$$X$$Y = \varepsilon X$$Y$$Z = X+Y$$2X$

— কার্ডিনাল

স্কলার এর উপপাদ্যের মাধ্যমে সাথে জড়িত বিভাজন কোপুলাকে বিবেচনা করে আমরা সম্পূর্ণ বিভিন্ন ধরণের আচরণ পেতে পারি । যদি আমরা গাউসিয়ান কপুলা ব্যবহার করি তবে আমরা ( এক্স , ওয়াই ) যৌথভাবে স্বাভাবিক হয়ে যাব এবং তাই জেড = এক্স + ওয়াই সাধারণত বিতরণ করা হয়। যদি কোপুলা গাউসিয়ান কপুলা না হয় তবে এক্স এবং ওয়াই উভয়ই স্বাভাবিক হিসাবে সাধারণত প্রান্তিকভাবে বিতরণ করা হয় তবে যৌথভাবে স্বাভাবিক হয় না এবং তাই যোগফলটি সাধারণভাবে বিতরণ করা হয় না। $(X,Y)$$(X,Y)$$Z = X + Y$$X$$Y$

— কার্ডিনাল

Answer 1

এই প্রশ্নের সম্ভাব্যতার উত্তর সম্পর্কে আমার মন্তব্য দেখুন । এখানে, যেখানেσএক্স,ওয়াইহয়সহভেদাংকএরএক্সএবংওয়াই। কোভারিয়ান্স ম্যাট্রিক্সে অফ-ডায়াগোনাল এন্ট্রিগুলি আপনার মতো করেσ 2 x y হিসাবেলেখেন না। অফ-ডায়াগোনাল এন্ট্রিগুলি সমবায়িকাগুলি যা নেতিবাচক হতে পারে।

$$\begin{align*} X + Y &\sim N(\mu_X + \mu_Y,\; \sigma_X^2 + \sigma_Y^2 + 2\sigma_{X,Y})\\ aX + bY &\sim N(a\mu_X + b\mu_Y,\; a^2\sigma_X^2 + b^2\sigma_Y^2 + 2ab\sigma_{X,Y}) \end{align*}$$ $\sigma_{X,Y}$$X$$Y$$\sigma_{xy}^2$

Comments

@ কোডিওলজিস্ট ধন্যবাদ! আমি অবাক হয়েছি যে টাইপসগুলি 4 বছরেরও বেশি সময় অবহেলিত থেকে যায়।

— দিলীপ সরোতে

Answer 2

@ দিলিপের উত্তর যথেষ্ট, তবে আমি ভেবেছিলাম যে আপনি কীভাবে ফলাফল পাবেন সে সম্পর্কে আমি কিছু বিশদ যুক্ত করব। আমরা বৈশিষ্ট্যযুক্ত ফাংশন পদ্ধতি ব্যবহার করতে পারি। যে কোনও ডাইমেনশনাল মাল্টিভারিয়েট স্বাভাবিক বিতরণের জন্য এক্স ∼ এন ডি ( μ , Σ ) যেখানে μ = ( μ 1 , … , μ d ) টি এবং Σ জে কে = সি ও ভি ( এক্স জে , এক্স কে$d$$X\sim N_{d}(\mu,\Sigma)$$\mu=(\mu_1,\dots,\mu_d)^T$$\Sigma_{jk}=cov(X_j,X_k)\;\;j,k=1,\dots,d$ , বৈশিষ্ট্যযুক্ত ফাংশনটি দিয়েছেন:

=Exp(আমি ঘ Σ ঞ=1টিঞμঞ-

$$\varphi_{X}({\bf{t}})=E\left[\exp(i{\bf{t}}^TX)\right]=\exp\left(i{\bf{t}}^T\mu-\frac{1}{2}{\bf{t}}^T\Sigma{\bf{t}}\right)$$ $$=\exp\left(i\sum_{j=1}^{d}t_j\mu_j-\frac{1}{2}\sum_{j=1}^{d}\sum_{k=1}^{d}t_jt_k\Sigma_{jk}\right)$$

For a one-dimensional normal variable $Y\sim N_1(\mu_Y,\sigma_Y^2)$ we get:

$$\varphi_Y(t)=\exp\left(it\mu_Y-\frac{1}{2}t^2\sigma_Y^2\right)$$

এখন, ধরুন আমরা একটি নতুন এলোমেলো পরিবর্তনশীল সংজ্ঞায়িত করেছি$Z={\bf{a}}^TX=\sum_{j=1}^{d}a_jX_j$. For your case, we have $d=2$ and $a_1=a_2=1$. The characteristic function for $Z$ is the basically the same as that for $X$.

$$\varphi_{Z}(t)=E\left[\exp(itZ)\right]=E\left[\exp(it{\bf{a}}^TX)\right]=\varphi_{X}(t{\bf{a}})$$ $$=\exp\left(it\sum_{j=1}^{d}a_j\mu_j-\frac{1}{2}t^2\sum_{j=1}^{d}\sum_{k=1}^{d}a_ja_k\Sigma_{jk}\right)$$

If we compare this characteristic function with the characteristic function $\varphi_Y(t)$ we see that they are the same, but with $\mu_Y$ being replaced by $\mu_Z=\sum_{j=1}^{d}a_j\mu_j$ and with $\sigma_Y^2$ being replaced by $\sigma^2_Z=\sum_{j=1}^{d}\sum_{k=1}^{d}a_ja_k\Sigma_{jk}$. Hence because the characteristic function of $Z$ is equivalent to the characteristic function of $Y$, the distributions must also be equal. Hence $Z$ is normally distributed. We can simplify the expression for the variance by noting that $\Sigma_{jk}=\Sigma_{kj}$ and we get:

$$\sigma^2_Z=\sum_{j=1}^{d}a_j^2\Sigma_{jj}+2\sum_{j=2}^{d}\sum_{k=1}^{j-1}a_ja_k\Sigma_{jk}$$

This is also the general formula for the variance of a linear combination of any set of random variables, independent or not, normal or not, where $\Sigma_{jj}=var(X_j)$ and $\Sigma_{jk}=cov(X_j,X_k)$. Now if we specialise to $d=2$ and $a_1=a_2=1$, the above formula becomes:

$$\sigma^2_Z=\sum_{j=1}^{2}(1)^2\Sigma_{jj}+2\sum_{j=2}^{2}\sum_{k=1}^{j-1}(1)(1)\Sigma_{jk}=\Sigma_{11}+\Sigma_{22}+2\Sigma_{21}$$

Comments

+1 Thanks for taking the time to write out the details. Can this question be made part of the FAQ?

— Dilip Sarwate