10 ব্যর্থতা না হওয়া পর্যন্ত নমুনা দিয়ে বার্নোল্লি প্রক্রিয়াতে সম্ভাবনা অনুমান করা: এটি পক্ষপাতদুষ্ট?

Question

ধরা যাক আমাদের ব্যর্থতার সম্ভাব্যতা (যা ছোট হবে, ) সহ একটি বার্নোল্লি প্রক্রিয়া রয়েছে যা থেকে আমরা ব্যর্থতার মুখোমুখি হওয়া পর্যন্ত নমুনা নিই । আমরা ততক্ষণে ব্যর্থতার সম্ভাবনাটি হিসাবে অনুমান করি যেখানে এন নমুনার সংখ্যা।কুই ≤ 0.01 10 কুই : = 10 / এন $q$$q \leq 0.01$$10$$\hat{q}:=10/N$$N$

প্রশ্ন : হয় $\hat{q}$ একটি পক্ষপাতদুষ্ট অনুমান এর $q$ ? এবং, যদি তাই হয় তবে এটি সংশোধন করার কোনও উপায় আছে?

আমি উদ্বিগ্ন যে শেষ নমুনা জোর দেওয়া অনুমানের একটি ব্যর্থ পক্ষপাতিত্ব।

Comments

বর্তমান উত্তরগুলি ন্যূনতম বৈকল্পিক নিরপেক্ষ অনুমানক (10-1) / (এন -1) সরবরাহের পক্ষে কম $(10-1)/(N-1)$। নেতিবাচক দ্বিপদী বিতরণে উইকিপিডিয়া নিবন্ধের নমুনা এবং পয়েন্ট অনুমানের বিভাগটি দেখুন ।

— উ। ওয়েব

Answer 1

এটি সত্য যে এই অর্থে পক্ষপাতিত্বমূলক অনুমান , তবে আপনার অগত্যা এই প্রতিরোধ হওয়া উচিত নয়। এই সঠিক পরিস্থিতিটি আমাদের সর্বদা পক্ষপাতহীন অনুমানকারী ব্যবহার করা উচিত এই ধারণার বিরুদ্ধে একটি সমালোচনা হিসাবে ব্যবহার করা যেতে পারে, কারণ এখানে পক্ষপাতদুষ্ট আমরা যে বিশেষ পরীক্ষাটি করে যাচ্ছি তার একটি নিদর্শন বেশি। ডেটাগুলি হুবহু তারা দেখতে চাইলে আমরা যদি আগে থেকে নমুনার সংখ্যাটি বেছে নিই, তবে আমাদের সূত্রগুলি কেন পরিবর্তন হবে? কুইই( কুই )≠$\hat{q}$$q$$\text{E}(\hat{q}) \neq q$

মজার বিষয় হল, আপনি যদি এই উপায়ে ডেটা সংগ্রহ করেন এবং তারপরে দ্বিপদী (স্থির নমুনার আকার) এবং নেতিবাচক দ্বিপদী মডেল উভয়ের অধীনে সম্ভাবনা ফাংশনটি লিখে রাখেন তবে আপনি দেখতে পাবেন যে দু'জন একে অপরের সাথে সমানুপাতিক। এর অর্থ হ'ল হল নেতিবাচক দ্বিপদী মডেলের অধীনে সাধারণ সর্বাধিক সম্ভাবনার অনুমান, অবশ্যই কোনটি যথাযথ যুক্তিসঙ্গত অনুমান।$\hat{q}$

Comments

গ্রেট! দেখে মনে হচ্ছে (আমার উদ্দেশ্যে) এই পক্ষপাতিত্ব কোনও সমস্যা নয়।

— বেকি

Answer 2

এটি জোর দিয়ে বলছে না যে সর্বশেষ নমুনাটি ব্যর্থতা যা অনুমানের উপর ভিত্তি করে, এটি এর প্রতিদান গ্রহণ করছে$N$

সুতরাং আপনার উদাহরণে but তবে । এটি গাণিতিক গড়ের সাথে সুরেলা গড়ের সাথে তুলনা করার কাছাকাছি ই[$\mathbb{E}\left[\frac{N}{10}\right] =\frac{1}{q}$$\mathbb{E}\left[\frac{10}{N}\right] \not = q$

খারাপ খবরটি হ'ল যেহেতু ছোট হওয়ার সাথে সাথে পক্ষপাত বাড়তে পারে , যদিও একবারে ইতিমধ্যে ছোট হয় না। সুসংবাদটি হ'ল প্রয়োজনীয় ব্যর্থতা বৃদ্ধির সাথে সাথে পক্ষপাত হ্রাস পায়। দেখে মনে হচ্ছে আপনার যদি ব্যর্থতা প্রয়োজন হয় তবে ছোট পক্ষের জন্য উপরের দিকটি উপরের দিকে আবদ্ধ করা হবে factor এর গুণক জন্য ; আপনি যখন প্রথম ব্যর্থতার পরে থামেন তখন আপনি এই পদ্ধতিটি চান না q f $q$$q$$f$$\frac{f}{f-1}$$q$

ব্যর্থতার পরে থামছে, আপনি তবে , যখন আপনি পাবেন তবে । মোটামুটি একটি গুণক একটি পক্ষপাতকিউ = 0.01 ই [ $10$$q=0.01$ই$\mathbb{E}\left[\frac{N}{10}\right] = 100$কিউ=0.001ই$\mathbb{E}\left[\frac{10}{N}\right] \approx 0.011097$$q=0.001$$\mathbb{E}\left[\frac{N}{10}\right] = 1000$$\mathbb{E}\left[\frac{10}{N}\right] \approx 0.001111$$\frac{10}{9}$

Answer 3

ডিএসেক্সটনের উত্তরের পরিপূরক হিসাবে, এখানে আর-তে কিছু সিমুলেশন রয়েছে যখন এবং : এর এর নমুনা বিতরণ :$\hat{q}$$k=10$$q_0 = 0.02$

n_replications <- 10000
k <- 10
failure_prob <- 0.02
n_trials <- k + rnbinom(n_replications, size=k, prob=failure_prob)
all(n_trials >= k)  # Sanity check, cannot have 10 failures in < 10 trials

estimated_failure_probability <- k / n_trials
histogram_breaks <- seq(0, max(estimated_failure_probability) + 0.001, 0.001)
## png("estimated_failure_probability.png")
hist(estimated_failure_probability, breaks=histogram_breaks)
abline(v=failure_prob, col="red", lty=2, lwd=2)  # True failure probability in red
## dev.off()

mean(estimated_failure_probability)  # Around 0.022
sd(estimated_failure_probability)
t.test(x=estimated_failure_probability, mu=failure_prob)  # Interval around [0.0220, 0.0223]

এটা দেখে মনে হচ্ছে , যা পরিবর্তনশীলতা করার জন্য একটি বরং ছোট পক্ষপাত আপেক্ষিক ।$\mathbb{E}\left[ \hat{q}\right] \approx 0.022$$\hat{q}$

Comments

এটা সত্যিই সহায়ক। এই স্তরে, এটি নিয়ে আমার চিন্তিত হওয়া উপযুক্ত নয়।

— বেকি

আপনি এই সিমুলেশনটি আরও সংক্ষিপ্তভাবে লিখতে পারেন10+rnbinom(10000,10,0.02)

— এ। ওয়েব

@ এ ওয়েলব আপনাকে ধন্যবাদ, এটি একটি ভাল বিষয়। আমি সত্যিই চাকা পুনর্নবীকরণ ছিল। আমাকে rnbinom পড়তে হবে এবং তারপরে আমি আমার পোস্টটি সম্পাদনা করব

— অ্যাড্রিয়ান

হবে 10/(10+rnbinom(10000,10,0.02))। প্যারামিটারাইজেশন মোট পরীক্ষাগুলির চেয়ে সাফল্য / ব্যর্থতার সংখ্যার দিক থেকে, সুতরাং আপনাকে কে = 10 যোগ করতে হবে। নোট করুন যে নিরপেক্ষ অনুমানকটি হবেন 9/(9+rnbinom(10000,10,0.02)), সংখ্যার এবং ডিনোমিনেটরে কম।

— উ। ওয়েব