মাত্রা বৃদ্ধি পাওয়ার সাথে সাথে সাধারণ বিতরণের ঘনত্ব

আমি যে প্রশ্নটি জিজ্ঞাসা করতে চাই তা হ'ল: একটি সাধারণ বন্টন গড়ের 1 এসডির মধ্যে নমুনার অনুপাত পরিবর্তনের সংখ্যা বৃদ্ধির সাথে কীভাবে পরিবর্তিত হয়?

(প্রায়) প্রত্যেকেই জানেন যে 1 টি মাত্রিক সাধারণ বিতরণে, 68% নমুনাগুলি গড়ের 1 স্ট্যান্ডার্ড বিচ্যুতির মধ্যে পাওয়া যায়। 2, 3, 4, ... মাত্রা সম্পর্কে কী? আমি জানি এটি কম পায় ... তবে কত দ্বারা (অবিকল)? 1, 2, 3 ... 10 মাত্রা, পাশাপাশি 1, 2, 3 ... 10 এসডি হিসাবে চিত্রগুলি দেখানো একটি টেবিল রাখা সহজ হবে। এই জাতীয় টেবিলের দিকে কি কেউ ইঙ্গিত করতে পারে?

আরও কিছু প্রসঙ্গ - আমার একটি সেন্সর রয়েছে যা 128 টি পর্যন্ত চ্যানেলের ডেটা সরবরাহ করে। প্রতিটি চ্যানেল (স্বতন্ত্র) বৈদ্যুতিক শব্দের সাপেক্ষে। যখন আমি একটি ক্রমাঙ্কন বস্তু অনুভব করি, তখন আমি পর্যাপ্ত পরিমাণের পরিমাপ গড় করতে পারি এবং 128 পৃথক স্ট্যান্ডার্ড বিচ্যুতির পাশাপাশি 128 চ্যানেল জুড়ে একটি গড় মূল্য পেতে পারি।

কিন্তু ... যখন পৃথক তাত্ক্ষণিক পাঠকের কথা আসে তখন ডেটা 128 স্বতন্ত্র পড়ার মতো তেমন সাড়া দেয় না কারণ এটি 128-ডাইমেনসোনাল ভেক্টরের পরিমাণের একক পাঠের মতো করে। অবশ্যই আমরা নেওয়া কয়েকটি সমালোচনামূলক পাঠের চিকিত্সার সর্বোত্তম উপায় (সাধারণত 128 এর 4-6)।

এই ভেক্টর স্পেসে "নরমাল" প্রকরণটি কী এবং "আউটলেটার" কী তা নিয়ে আমি একটি অনুভূতি পেতে চাই। আমি নিশ্চিত যে আমি যেমন বর্ণনা করেছি তার মতো একটি টেবিল দেখেছি যা এই ধরণের পরিস্থিতির জন্য প্রযোজ্য - কেউ কি তার প্রতি ইঙ্গিত করতে পারে?

normal-distribution multivariate-analysis

— omatai
সূত্র

দয়া করে - আমি কি কেবল অভিজ্ঞতামূলক উত্তর পেতে পারি - আমি বেশিরভাগ গাণিতিক স্বরলিপি বুঝতে পারি না।

— ওমটাই

দেয় নিতে : প্রতিটি স্বাভাবিক এবং স্বাধীন হয় - আমি অনুমান তুমি উচ্চতর মাত্রা কি বোঝাতে যে। $X = (X_1,\dots,X_d) \sim N(0,I)$ $X_i$ $N(0,1)$ $X_i$

আপনি বলবেন যে যখন গড়ের 1 তম মধ্যে থাকে (এক্স এবং এর গড় মানের মধ্যকার দূরত্ব 1 এর চেয়ে কম)। এখন তাই সম্ভাব্যতা সাথে এটি ঘটে যেখানে $X$ $||X|| < 1$ $||X||^2 = X_1^2 +\cdots+X_d^2\sim \chi^2(d)$ $P( \xi < 1 )$ $\xi\sim\chi^2(d)$ । আপনি এটি ভাল চি স্কোয়ার টেবিলগুলিতে খুঁজে পেতে পারেন ...

এখানে কয়েকটি মান রয়েছে:

\begin{array}{ll} d & P (ξ < 1) \\ 1 & 0.68 \\ 2 & 0.39 \\ 3 & 0.20 \\ 4 & 0.090 \\ 5 & 0.037 \\ 6 & 0.014 \\ 7 & 0.0052 \\ 8 & 0.0018 \\ 9 & 0.00056 \\ 10 & 0,00017 \end{array}

$\begin{array}{ll} d& P(\xi < 1)\\ 1 & 0.68\\ 2 & 0.39 \\ 3 & 0.20 \\ 4 & 0.090 \\ 5 & 0.037 \\ 6 & 0.014 \\ 7 & 0.0052 \\ 8 & 0.0018\\ 9 & 0.00056\\ 10& 0.00017\\ \end{array}$

এবং 2 এসডির জন্য:

\begin{array}{ll} ঘ & পি (ξ < 4) \\ 1 & 0.95 \\ 2 & 0.86 \\ 3 & 0.74 \\ 4 & 0.59 \\ 5 & 0.45 \\ 6 & 0.32 \\ 7 & 0.22 \\ 8 & 0.14 \\ 9 & 0,089 \\ 10 & 0,053 \end{array}

$\begin{array}{ll} d & P(\xi < 4)\\ 1 & 0.95\\ 2 & 0.86\\ 3 & 0.74\\ 4 & 0.59\\ 5 & 0.45\\ 6 & 0.32\\ 7 & 0.22\\ 8 & 0.14\\ 9 & 0.089\\ 10 & 0.053\\ \end{array}$

তোমার মত commads সঙ্গে দ এই মান পেতে পারেন pchisq(1,df=1:10), pchisq(4,df=1:10)ইত্যাদি

পোস্ট স্ক্রিপ্টাম মন্তব্যগুলিতে কার্ডিনাল হিসাবে উল্লেখ করা হয়েছে, কেউ এই সম্ভাবনার অ্যাসিম্পটোটিক আচরণ অনুমান করতে পারেন। একটি ভেরিয়েবলের সিডিএফ হ'ল $\chi^2(d)$ যেখানেহয়অসম্পূর্ণ -functionএবং classicaly।

F_{d} (x) = P (d / 2, x / 2) = \frac{γ (d / 2, x / 2)}{Γ (d / 2)}

$F_d(x) = P(d/2,x/2) = {\gamma(d/2, x/2) \over \Gamma(d/2)}$

γ (s, y) = \int_{0}^{y} t^{s - 1} e^{- t} d t

$\gamma(s,y) = \int_0^y t^{s-1} e^{-t} \mathrm d t$

γ

$\gamma$

Γ (s) = \int_{0}^{\infty} t^{s - 1} e^{- t} d t

$\Gamma(s) = \int_0^\infty t^{s-1} e^{-t} \mathrm d t$

যখন একটি পূর্ণসংখ্যা হয়, অংশ দ্বারা পুনরাবৃত্ত সংহতগুলি দেখায় যে $s$ যা পইসন বিতরণের সিডিএফ এর লেজ নেই।

P (s, y) = e^{- y} \sum_{k = s}^{\infty} \frac{y^{k}}{k!},

$P(s,y) = e^{-y} \sum_{k=s}^\infty {y^k \over k!},$

এখন এই যোগফলটি তার প্রথম পদটির দ্বারা প্রাধান্য পায় (কার্ডিনালকে অনেক ধন্যবাদ): বড়জন্য। হলে আমরা এটি প্রয়োগ করতে পারি: $P(s,y) \sim {y^s \over s!} e^{-y}$ $s$ $d$ বড় এমনকি, স্ট্র্লিং সূত্র ব্যবহার করে পেনাল্টিমেট সমতুল্য। এই সূত্র থেকে আমরা দেখতে যে asymptotic ক্ষয় যেমন খুব দ্রুতবৃদ্ধি।

P (ξ < x) = P (d / 2, x / 2) \sim \frac{1}{(d / 2)!} {(\frac{x}{2})}^{d / 2} e^{- x / 2} \sim \frac{1}{\sqrt{π d}} e^{\frac{1}{2} (d - x)} {(\frac{x}{d})}^{\frac{d}{2}} \sim \frac{1}{\sqrt{π}} e^{- \frac{1}{2} x} d^{- \frac{1}{2} d},

$P(\xi < x) = P(d/2,x/2) \sim {1 \over (d/2)!} \left({x\over 2}\right)^{d/2} e^{-x/2} \sim {1\over\sqrt{\pi d}}e^{{1\over 2}(d-x)} \left({x\over d}\right)^{d\over 2} \sim {1\over\sqrt\pi} e^{-{1\over 2}x} d^{-{1\over 2}d},$

d

$d$

d

$d$

— এলভিস
সূত্র

আমাদের সাইটে স্বাগতম, এলভিস! চমৎকার উত্তর. (+1)

— শুক্র

ξ

$\xi$

d

$d$

আপনার মন্তব্যের জন্য আপনাকে ধন্যবাদ। আমি ভাবিনি যে এই উত্তরটি খুব বেশি মনোযোগ পাবে! এটি সত্য যে এটি মাত্রিকতার অভিশাপের একটি দুর্দান্ত ফর্ম ... @ কার্ডিনাল সম্পর্কিত (3) আমি প্রথম পরামিতিগুলি অসীমের দিকে চলে যাওয়ার পরে অসম্পূর্ণ গামার ক্রিয়াটির কোনও অ্যাসিপটোটিক সমতুল্য জানিনা this সহজ নয়! মোটামুটি একটা মাজার করা যেতে পারে, আমি পরে এটি লিখতে পারি।

— এলভিস

d

$d$

d = 2 k

$d = 2 k$

Z_{i} = X_{2 i - 1}^{2} + X_{2 i}^{2}

$Z_i = X_{2i-1}^2 + X_{2i}^2$

E x p (1 / 2)

$\mathrm{Exp}(1/2)$

‖ X ‖^{2} = \sum_{i = 1}^{k} Z_{i}

$\|X\|^2 = \sum_{i=1}^k Z_i$

‖ X ‖^{2}

$\|X\|^2$

k

$k$

P (‖ X ‖^{2} < 1) = P (N_{1 / 2} (0, 1) \geq k) = e^{- 1 / 2} \sum_{x = k}^{\infty} 2^{- x} / x!

$\mathbb P(\|X\|^2 < 1 ) = \mathbb P( N_{1/2}(0,1) \geq k) = e^{-1/2} \sum_{x=k}^\infty 2^{-x}/x!$

P (‖ X ‖^{2} < 1) \sim e^{- 1 / 2} 2^{- k} / Γ (k + 1)

$\mathbb P(\|X\|^2 < 1) \sim e^{-1/2} 2^{-k} / \Gamma(k+1)$

d \to \infty

$d\to\infty$

k = d / 2

$k = d/2$

d

$d$

P (‖ X ‖^{2} < 1) \sim e^{- 1 / 2} 2^{- k} / Γ (k + 1) \sim e^{(d - 1) / 2} d^{- (d + 1) / 2} / \sqrt{π}

$\mathbb P(\|X\|^2 < 1 ) \sim e^{-1/2} 2^{-k} / \Gamma(k+1) \sim e^{(d-1)/2} d^{-(d+1)/2} / \sqrt{\pi}$