ফ্রিচ-ওয়াহ উপপাদ্যের ইউটিলিটি

আমার একনোমেট্রিক্সে ফ্রিশ ওয়া প্রপঞ্চটি শেখানোর কথা, যা আমি অধ্যয়ন করি নি।

আমি এর পেছনের গণিতগুলি বুঝতে পেরেছি এবং আমি আশা করি যে এই ধারণাটিও "একাধিক লিনিয়ার মডেল থেকে আপনি একটি নির্দিষ্ট সহগের জন্য যে সহগ অর্জন করবেন আপনি যদি" অন্য রেজিস্ট্রারদের প্রভাব "বাদ দেন তবে সাধারণ রিগ্রেশন মডেলের সহগের সমান হয় equal সুতরাং তাত্ত্বিক ধারণাটি এক ধরণের দুর্দান্ত। (আমি যদি পুরোপুরি ভুল বুঝি তবে আমি একটি সংশোধনকে স্বাগত জানাই)

তবে এর কি কিছু ধ্রুপদী / ব্যবহারিক ব্যবহার রয়েছে?

সম্পাদনা : আমি একটি উত্তর গ্রহণ করেছি, তবে এখনও অন্য একটি উদাহরণ রয়েছে যা অন্যান্য উদাহরণ / অ্যাপ্লিকেশন নিয়ে আসে।

— অ্যান্টনি মার্টিন
সূত্র

একটি স্পষ্টত একটি পরিবর্তনশীল প্লট যুক্ত করা হবে ?

— সিলভার ফিশ

একোমেট্রিক্সে ডোগারটির পরিচিতিতে ফ্রিচ-ওয়া-লাভল উপপাদ্যটি ব্যবহারের আরও একটি উদাহরণ উল্লেখ করা হয়েছে। টাইম সিরিজের একনোমেট্রিক বিশ্লেষণের প্রথম দিনগুলিতে, মডেলগুলিতে এটি বেশ সাধারণ ছিল যেখানে ভেরিয়েবলগুলির পুনরায় চাপ দেওয়ার আগে তাদের সকলকে হ্রাস করার জন্য নির্ধারিত সময়ের প্রবণতা ছিল। তবে এফডব্লুএল দ্বারা, আপনি কেবলমাত্র রেজিস্ট্রার হিসাবে সময়ের প্রবণতা অন্তর্ভুক্ত করে একই সহগগুলি পাবেন এবং ততোধিক এটি "সঠিক" মানক ত্রুটিগুলি দেয় কারণ এটি স্বীকার করে যে 1 ডিএফ এর ফলে গ্রাস হয়েছে med

— সিলভারফিশ

ডগের্টি প্রক্রিয়াটির বিরুদ্ধে সতর্ক করে দেয়, সুতরাং সেই দিক থেকে এটি একটি দুর্দান্ত উদাহরণ নয়, যদিও এটি শিক্ষণীয়। অর্থনৈতিক ভেরিয়েবলগুলি প্রায়শই ট্রেন্ড-স্টেশনরির পরিবর্তে পার্থক্যগত বলে মনে হয়, সুতরাং এই ধরণের চেষ্টা চালিয়ে যাওয়া কাজ করে না এবং ফলস্বরূপ পশ্চাত্পদগুলিতে পরিণত হতে পারে।

— সিলভারফিশ

@ সিলভারফিশ: এফডাব্লুএল একটি নিখুঁত বীজগণিত কৌশল, সুতরাং অন্তর্নিহিত ডিজিপিকে প্রদত্ত একটি নির্বিচারবাদী প্রবণতা বের করা "সঠিক" কিনা তা সন্দেহজনক নয়, তবে এফডাব্লুএল-র সাথে সম্পর্কিত নয়, সুতরাং সেই দিক থেকে আপনার উদাহরণটি একেবারে বৈধ ওপিসগুলি পয়েন্টের অনুমানগুলি প্রাপ্ত করার দুটি উপায় সম্পর্কে প্রশ্ন করে।

— ক্রিস্টোফ হ্যাঙ্ক

আমি এই পোস্টটি মূলত ধারণাগত উদ্দেশ্যে এবং রিগ্রেশন ঘটনার আকর্ষণীয় উদাহরণ প্রদানের জন্য বহু পোস্টে এই সম্পর্কটিকে কাজে লাগিয়েছি। দেখ, ইন্টার আলিয়া , stats.stackexchange.com/a/46508 , stats.stackexchange.com/a/113207 এবং stats.stackexchange.com/a/71257 ।

— whuber

উত্তর:

ফিক্সড এফেক্টস প্যানেল ডেটা মডেলটি বিবেচনা করুন, এটি সর্বনিম্ন স্কোয়ারেসের ডমি ভেরিয়েবলস (এলএসডিভি) মডেল হিসাবেও পরিচিত।

$b_{LSDV}$ সরাসরি প্রয়োগ করে গণনা করা যেতে পারে যেখানে একটি ডামিগুলির ম্যাট্রিক্স এবং পৃথক-নির্দিষ্ট নির্দিষ্ট প্রভাবগুলি উপস্থাপন করে।

y = X β + D α + ϵ,

$y=X\beta+D\alpha+\epsilon,$

D

$D$

N T \times N

$NT\times N$

α

$\alpha$

গণনা করার আরেকটি উপায় মডেল সংস্করণ, অর্থাৎ de পাওয়ার জন্য সাধারণ মডেলে রূপান্তরকরণের মধ্যে তথাকথিত প্রয়োগ করা এখানে, , উপর একটি রিগ্রেশনের অবশিষ্টাংশ প্রস্তুতকারক ম্যাট্রিক্স । $b_{LSDV}$

M_{[D]} y = M_{[D]} X β + M_{[D]} ϵ .

$M_{[D]}y=M_{[D]}X\beta+M_{[D]}\epsilon.$

M_{[D]} = I - D (D^{'} D)^{- 1} D^{'}

$M_{[D]}=I-D(D'D)^{-1}D'$

D

$D$

ফ্রেচ-ওয়া-লাভল উপপাদ্য দ্বারা, দুটি সমতুল্য, যেমন এফডাব্লুএল বলেছে যে আপনি কোনও রিগ্রেশন-এর রিগ্রেশন সহগের একটি উপসেট গণনা করতে পারেন (এখানে, ) $\hat\beta$

regressing অন্যান্য regressors (এখানে, উপর ), অবশিষ্টাংশ সংরক্ষণ (এখানে, সময় হীনমন্যতায় ভোগার যুক্তিসংগত কারণ বা , ভেরিয়েবল কারণ একটি ধ্রুবক উপর রিগ্রেশন শুধু যে শব্দগুলি), তারপর $y$ $D$ $y$ $M_{[D]}y$
regressing উপর এবং অবশিষ্টাংশ সংরক্ষণ , এবং $X$ $D$ $M_{[D]}X$
একে অপরকে সম্মুখের অবশিষ্টাংশ regressing উপর । $M_{[D]}y$ $M_{[D]}X$

দ্বিতীয় সংস্করণটি আরও ব্যাপকভাবে ব্যবহৃত হয়, কারণ সাধারণ প্যানেল ডেটা সেটগুলিতে হাজার হাজার প্যানেল ইউনিট থাকতে পারে , যাতে প্রথম পদ্ধতির জন্য আপনাকে হাজার হাজার রেজিস্ট্রারদের সাথে একটি রিগ্রেশন চালানো দরকার, যা আজকাল দ্রুততার সাথে সংখ্যার দিক থেকেও ভাল ধারণা নয় কম্পিউটারগুলি, এর বিপরীতমুখীকরণ হিসাবে খুব ব্যয়বহুল হবে, যেখানে সময় এবং এবং কম দাম দিতে হবে। $N$ $(D :X)'(D: X)$ $y$ $X$

— ক্রিস্টোফ হ্যাঙ্ক
সূত্র

অনেক অনেক ধন্যবাদ, এটি আসলে আমি যেভাবে উত্তরটি খুঁজছিলাম তা এটিই আমার পক্ষে কিছুটা অগ্রসর হওয়া সত্ত্বেও। সুতরাং আপনার উত্তরটি আমার কাছে ঠিক আছে, তবে আমি যদি অন্য উত্তরগুলি পেয়ে থাকি তবে আমি খুশি হতে পারি, আমার কি আপনার গ্রহণ করার কথা আছে?

— অ্যান্টনি মার্টিন

যদি এটি সহায়তা করে তবে এটি করা উপযুক্ত হবে। তবে গ্রহণ করলে আপনার আরও ভাল উত্তর পাওয়ার সম্ভাবনা হ্রাস পাবে, তাই আপনি এটিকে গ্রহণ করার আগে অপেক্ষা করার কথা ভাবতে পারেন। একটি অনুগ্রহ আপনার আরও উত্তর পাওয়ার সম্ভাবনা আরও বাড়িয়ে তুলবে - সিভিতে পর্যাপ্ত ব্যবহারকারী নেই যারা নিয়মিত প্রশ্নের পরিমাণের ভিত্তিতে প্রশ্নের উত্তর দেয়, এমনকী একটি একক উত্তর অন্য সক্রিয় ব্যবহারকারীদের এই সিদ্ধান্তে পৌঁছাতে পারে যে প্রশ্নগুলির সাথে মোকাবিলা করা হয়েছে। (আমি নীচে কিছুটা সহজ উত্তর পোস্ট করেছি))

— ক্রিস্টোফ হ্যাঙ্ক

এখানে আমার প্রথম উত্তরের একটি সরলীকৃত সংস্করণ দেওয়া হয়েছে, যা আমি বিশ্বাস করি যে কম ব্যবহারিকভাবে প্রাসঙ্গিক, তবে শ্রেণিকক্ষ ব্যবহারের জন্য সম্ভবত "বিক্রয়" সহজ।

y_{i} = β_{1} + \sum_{j = 2}^{K} β_{j} x_{i j} + ϵ_{i}

$y_i = \beta_1 + \sum_{j=2}^K\beta_jx_{ij} + \epsilon_i$

y_{i} - \bar{y} = \sum_{j = 2}^{K} β_{j} (x_{i j} - {\bar{x}}_{j}) + {\tilde{ϵ}}_{i}

$y_i-\bar{y} = \sum^K_{j=2}\beta_j(x_{ij} - \bar{x}_j) + \tilde{\epsilon}_i$

{\hat{β}}_{j}

$\widehat{\beta}_j$

j = 2, \dots, K

$j=2,\ldots,K$

x_{1} = 1 := (1, \dots, 1)^{'}

$\mathbf{x}_1=\mathbf{1}:=(1,\ldots,1)'$

M_{1} = I - 1 (1^{'} 1)^{- 1} 1^{'} = I - \frac{1 1^{'}}{n},

$M_\mathbf{1}=I-\mathbf{1}(\mathbf{1}'\mathbf{1})^{-1}\mathbf{1}'=I-\frac{\mathbf{1}\mathbf{1}'}{n},$

M_{1} x_{j} = x_{j} - 1 n^{- 1} 1^{'} x_{j} = x_{j} - 1 {\bar{x}}_{j} =: x_{j} - {\bar{x}}_{j} .

$M_{\mathbf{1}}\mathbf{x}_j=\mathbf{x}_j-\mathbf{1} n^{-1}\mathbf{1}'\mathbf{x}_j=\mathbf{x}_j-\mathbf{1}\bar{x}_j=:\mathbf{x}_j-\bar{\mathbf{x}}_j.$

M_{1} x_{j}

$M_{\mathbf{1}}\mathbf{x}_j$

y_{i}

$y_i$

— ক্রিস্টোফ হ্যাঙ্ক
সূত্র

এখানে অন্যটি, আরও অপ্রত্যক্ষ, তবে আমি আকর্ষণীয় বিশ্বাস করি, যথা স্থির সময়ের সিরিজের আংশিক স্বতঃসংশোধন সহগের গণনা করার জন্য বিভিন্ন পদ্ধতির মধ্যে সংযোগ।

সংজ্ঞা ১

{\hat{Y}}_{t} - μ = α_{1}^{(m)} (Y_{t - 1} - μ) + α_{2}^{(m)} (Y_{t - 2} - μ) + \dots + α_{m}^{(m)} (Y_{t - m} - μ)

$\begin{equation} \hat{Y}_{t}-\mu=\alpha^{(m)}_1(Y_{t-1}-\mu)+\alpha^{(m)}_2(Y_{t-2}-\mu)+\ldots+\alpha^{(m)}_m(Y_{t-m}-\mu) \end{equation}$

m

$m$

α_{m}^{(m)}

$\alpha^{(m)}_m$

$m$ $Y_t$ $Y_{t-1},\ldots,Y_{t-m+1}$ $\rho_m$ $Y_t$ $Y_{t-m}$

$\alpha^{(m)}_j$ $Z_t$ $X_t$

E [X_{t} (Z_{t} - X_{t}^{⊤} α^{(m)})] = 0

$\begin{equation} E[X_t(Z_t-X_t^\top\mathbf{\alpha}^{(m)})]=0 \end{equation}$

α^{(m)}

$\mathbf{\alpha}^{(m)}$

α^{(m)} = [E (X_{t} X_{t}^{⊤})]^{- 1} E [X_{t} Z_{t}]

$\begin{equation} \mathbf{\alpha}^{(m)}=[E(X_tX_t^\top)]^{-1}E[X_tZ_t] \end{equation}$

Z_{t} = Y_{t} - μ

$Z_t=Y_t-\mu$

X_{t} = [(Y_{t - 1} - μ), (Y_{t - 2} - μ), \dots, (Y_{t - m} - μ)]^{⊤}

$X_t=[(Y_{t-1}-\mu),(Y_{t-2}-\mu),\ldots,(Y_{t-m}-\mu)]^\top$

E (X_{t} X_{t}^{⊤}) = (\begin{array}{cccc} γ_{0} & γ_{1} & \dots & γ_{m - 1} \\ γ_{1} & γ_{0} & \dots & γ_{m - 2} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ γ_{m - 1} & γ_{m - 2} & \dots & γ_{0} \end{array})

$E(X_tX_t^\top)=\left(\begin{array}{cccc} \gamma_{0} & \gamma_{1}&\cdots& \gamma_{m-1}\\ \gamma_{1}& \gamma_{0} & \cdots &\gamma_{m-2}\\ \vdots & \vdots & \ddots &\vdots\\ \gamma_{m-1}&\gamma_{m-2} & \cdots & \gamma_{0}\\ \end{array} \right)$

E (X_{t} Z_{t}) = (\begin{matrix} γ_{1} \\ ⋮ \\ γ_{m} \end{matrix})

$E(X_tZ_t)=\left( \begin{array}{c} \gamma_1 \\ \vdots \\ \gamma_m \\ \end{array} \right)$

α^{(m)} = {(\begin{array}{cccc} γ_{0} & γ_{1} & \dots & γ_{m - 1} \\ γ_{1} & γ_{0} & \dots & γ_{m - 2} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ γ_{m - 1} & γ_{m - 2} & \dots & γ_{0} \end{array})}^{- 1} (\begin{matrix} γ_{1} \\ ⋮ \\ γ_{m} \end{matrix})

$\begin{equation} \mathbf{\alpha}^{(m)}=\left(\begin{array}{cccc} \gamma_{0} & \gamma_{1}&\cdots& \gamma_{m-1}\\ \gamma_{1}& \gamma_{0} & \cdots &\gamma_{m-2}\\ \vdots & \vdots & \ddots &\vdots\\ \gamma_{m-1}&\gamma_{m-2} & \cdots & \gamma_{0}\\ \end{array} \right)^{-1}\left( \begin{array}{c} \gamma_1 \\ \vdots \\ \gamma_m \\ \end{array} \right)\end{equation}$

m

$m$

α^{(m)}

$\mathbf{\alpha}^{(m)}$

সুতরাং, আমরা বাছাইয়ের জন্য একাধিক রিগ্রেশন এবং অন্যদের জন্য নিয়ন্ত্রণ করার সময় আগ্রহের একটি গুণফল খুঁজে পাই।

সংজ্ঞা 2

$m$ $Y_{t+m}$ $Y_{t-1},\ldots,Y_{t-m+1}$ $Y_{t}$ $Y_{t-1},\ldots,Y_{t-m+1}$

সুতরাং, আমরা মধ্যবর্তী ল্যাগগুলির জন্য প্রথমে নিয়ন্ত্রণ বাছাই এবং তারপরে অবশিষ্টাংশের পারস্পরিক সম্পর্ক গণনা করি।

— ক্রিস্টোফ হ্যাঙ্ক
সূত্র