এমন কোনও ফলাফল রয়েছে যা বুটস্ট্র্যাপ সরবরাহ করে যা বৈধ এবং যদি কেবলমাত্র পরিসংখ্যানটি মসৃণ হয়?

আমরা ধরে আমাদের পরিসংখ্যান $\theta(\cdot)$ হ'ল কিছু ডেটা $X_1, \ldots X_n$ ফাংশন যা বিতরণ ফাংশন থেকে আঁকা $F$ ; আমাদের নমুনা গবেষণামূলক বন্টন ফাংশন । সুতরাং পরিসংখ্যাত একটি এলোপাতাড়ি ভেরিয়েবলের এবং হিসাবে দেখা হয় পরিসংখ্যাত এর বুটস্ট্র্যাপ সংস্করণ। আমরা কেএস দূরত্ব হিসাবে ব্যবহার করি $\hat{F}$ $\theta(F)$ $\theta(\hat{F})$ $d_\infty$

সেখানে স্ট্যাটাসিকগুলি যদি একটি লিনিয়ার স্ট্যাটিস্টিক হয় তবে বুটস্ট্র্যাপের বৈধতার জন্য "যদি এবং কেবলমাত্র" ফলাফল রয়েছে। উদাহরণস্বরূপ ম্যামেন থেকে উপপাদ্য 1 "বুটস্ট্র্যাপ কখন কাজ করে?"

যদি কিছু অবাধ ফাংশন জন্যতারপর অর্থে বুটস্ট্র্যাপ য়ে সব অলৌকিক কাজযদি এবং কেবল যদি অস্তিত্ব আছেএবংযেমন যে $\theta(F) = \frac{1}{n} \sum_{i-1}^n h_n(X_i)$ $h_n$
$d_{\infty} [L (θ (\hat{F}) - {\hat{t}}_{n}), L (θ (F) - t_{n})] \underset{p}{\to} 0$ $d_\infty\big[\mathscr{L}(\theta(\hat{F})-\hat{t}_n), \mathscr{L}(\theta(F)-t_n)\big] \underset{p}{\rightarrow} 0$ $\sigma_n$ $t_n$ আমরা কোথায় বর্ণনা করতে পারেন আমাদের নমুনা এবং কিছু ফাংশন হিসাবে $d_{\infty} [L (θ (F) - t_{n}), N (0, σ_{n}^{2})] \underset{p}{\to} 0$ $d_\infty\big[\mathscr{L}(\theta(F)-t_n), N(0, \sigma_n^2)\big]\underset{p}{\rightarrow} 0$ $\hat{t_n}$ $t_n = \mathbb{E}(\hat{t}_n)$

আরও সাধারণ ফলাফল রয়েছে যা সাধারণ পরিসংখ্যানগুলির জন্য বুটস্ট্র্যাপ কাজ করে, উদাহরণস্বরূপ পলাইটিস রোমানো এবং ওল্ফের সাবস্যাম্পলিং থেকে উপপাদ্য 1.6.3:

মনে করুন সীমাবদ্ধ সমর্থন সহ সমস্ত বিতরণের শ্রেণি থেকে আঁকা। অনুমান করুন যে পরিসংখ্যান উচ্চমানের আদর্শের সাথে এ ফ্রেচিট পার্থক্যযোগ্য এবং ডেরিভেটিভ সন্তুষ্ট করে । তারপরে অসম্পূর্ণভাবে স্বাভাবিক এবং বুটস্ট্র্যাপ পূর্ববর্তী উপপাদ্যটির অর্থে কাজ করে। $F$ $\theta(\cdot)$ $F$ $g_F$ $0 < \textrm{Var}_F[g_F(x)] < \infty$ $\theta(F)$

আমি দ্বিতীয় উপপাদ্যের সংস্করণ একটি `যদি এবং কেবলমাত্র 'চাই। এর জন্য ফ্রেচে পার্থক্যযোগ্যতার থেকে আলাদা স্বাচ্ছন্দ্যের ধারণা প্রয়োজন কারণ পলিটাইটিস, রোমানো এবং ওল্ফ (১৯৯৯) দেখায় যে নমুনা মাঝারিটি ফ্রেঞ্চে পার্থক্যযোগ্য নয় তবে বুটস্ট্র্যাপ এখনও কাজ করে। তবে নমুনা মাঝারি এখনও তথ্যের মসৃণ ফাংশন।

মাম্মনে কিছু অনানুষ্ঠানিক মন্তব্য রয়েছে যে মসৃণতা প্রয়োজনীয়:

বুটস্ট্র্যাপের ধারাবাহিকতার জন্য সাধারণত স্থানীয় অ্যাসেম্পটোটিক লিনিয়ারিটি প্রয়োজনীয় বলে মনে হয়

উদ্ধৃতিটি হ'ল:

ভ্যান জায়েট, ডাব্লু (1989)। অলবারওয়ালফ্যাচে "পরিসংখ্যানগুলিতে কম্পিউটার নিবিড় পদ্ধতিগুলির জন্য অ্যাসেম্পটোটিক পদ্ধতি" শীর্ষক সম্মেলনে প্রদত্ত টক।

তবে আমি কয়েকটি মুখ্য উদ্ধৃতি দেওয়া ছাড়া এই আলাপের কোনও চিহ্ন খুঁজে পাচ্ছি না।

— orizon
সূত্র

দুর্দান্ত বিষয়। এটি কি সঠিক যে সমস্ত উদ্ধৃত ফলাফল অসীমের দিকে যাওয়া নমুনা আকারের জন্য অ্যাসিম্পটোটিক?

— মাইকেল এম

@Michael আপনাকে ধন্যবাদ এবং হ্যাঁ, সবকিছু যেমন asymptotic হয়

। প্রসঙ্গত সীমাবদ্ধ নমুনার জন্য ফলাফলগুলি নিয়ে সাম্প্রতিক কিছু কাজ চলছে (যেমন: arxiv.org/pdf/1212.6906.pdf ) তবে এটি খুব প্রযুক্তিগত।

n \to \infty

$n \rightarrow \infty$

— orizon

জটিল বিষয়। কেউ কেউ বলেন বুটস্ট্র্যাপ সাধারণভাবে কাজ করে না । ভ্যান জাওয়ার এট আল কি বলে যে কোনওটি বুটস্ট্র্যাপযুক্ত তা সাবধান হওয়া উচিত । আমি মনে করি যে আরও পরীক্ষা নিরীক্ষণের আগে কোনটি বুটস্ট্র্যাপ করতে হবে এবং কোনটি প্রথমে বুটস্ট্র্যাপ না করা উচিত।

— কার্ল

মামনের মন্তব্যের জবাবে এখন আমি উত্তরটি আপডেট করেছি, আশা করি আপনার বিভ্রান্তি আরও স্পষ্ট হয়ে যাবে। এবং আপনি যদি চান তবে আপনি সেই অ্যাপ্লিকেশন সম্পর্কে কিছুটা ব্যাখ্যা করতে পারেন যা আপনাকে প্রয়োজনীয়তা সম্পর্কে জিজ্ঞাসা করতে প্ররোচিত করে। এটি আমার উত্তরকে উন্নত করতে সহায়তা করবে।

— হেনরি.এল

(1) কোয়ান্টাইল অনুমানকগুলি ফ্রেচেট পার্থক্যযোগ্য নয় তবে তাদের বুটস্ট্র্যাপের প্রাক্কলনকারী এখনও সামঞ্জস্যপূর্ণ? $\blacksquare$

সেক্ষেত্রে বুটস্ট্র্যাপের কাজ করার জন্য পর্যাপ্ত শর্ত হিসাবে আপনার হাদামারড ডিফারেন্সিবিলিটি (বা আপনার রেফারেন্স উত্সের উপর নির্ভর করে কমপ্যাক্ট ডিফারেন্সিবিলিটি) প্রয়োজন, মিডিয়ান এবং যে কোনও কোয়ান্টাইল হাদামারড ডিফারেন্সেবল। বেশিরভাগ অ্যাপ্লিকেশনে ফ্রেঞ্চের পার্থক্যযোগ্যতা খুব শক্ত।

যেহেতু সাধারণত পোলিশ জায়গাগুলি নিয়ে আলোচনা করা যথেষ্ট, তাই আপনি স্থানীয়ভাবে রৈখিক ক্রিয়াকলাপটি চান যে আপনার সামঞ্জস্যতার ফলাফলটি বিশ্ব পরিস্থিতির কাছে প্রসারিত করতে একটি সাধারণ সংক্ষিপ্ত যুক্তি প্রয়োগ করতে পারেন। নীচে লিনিয়ারাইজেশন মন্তব্যটি দেখুন।

[ওয়াসারম্যান] এর উপপাদ্য ২.২27 আপনাকে হাদামারড ডেরিভেটিভ কীভাবে দুর্বল ধারণা তা আপনাকে একটি অন্তর্দৃষ্টি দেবে। এবং [শাও অ্যান্ড টু] এর উপপাদ্য 3.6 এবং 3.7 পর্যবেক্ষণ আকারের সাথে পরিসংখ্যানগত কার্যনির্বাহী এর ক্ষেত্রে -হাদমার্ড পার্থক্যযোগ্যতার ক্ষেত্রে দুর্বল সামঞ্জস্যতার পক্ষে যথেষ্ট শর্ত দেবে । $\rho$ $T_{n}$ $n$

(২) বুটস্ট্র্যাপ অনুমানকারীর ধারাবাহিকতায় কী প্রভাব ফেলবে? $\blacksquare$

[শাও অ্যান্ড টু] পিপি 85৮- illust86 চিত্রিত পরিস্থিতি যেখানে বুটস্ট্র্যাপ অনুমানের অসঙ্গতি দেখা দিতে পারে।

(1) বুটস্ট্র্যাপ জনসংখ্যার এর লেজের আচরণের প্রতি সংবেদনশীল । ধারাবাহিকতার জন্য এমন মুহুর্তের শর্ত প্রয়োজন যা সীমা অস্তিত্বের জন্য প্রয়োজনের চেয়ে আরও কঠোর । $F$ $H_{BOOT}$ $H_0$

(২) বুটস্ট্র্যাপ অনুমানকারীর ধারাবাহিকতার জন্য প্রদত্ত পরিসংখ্যান (ক্রিয়ামূলক) থেকে কিছুটা মসৃণতা প্রয়োজন । $T_{n}$

(3) বুটস্ট্র্যাপ অনুমানকারীর আচরণ কখনও কখনও বুটস্ট্র্যাপ ডেটা প্রাপ্ত করতে ব্যবহৃত পদ্ধতির উপর নির্ভর করে।

এবং [শাও অ্যান্ড টু] এর ৩.৫.২ সেকেন্ডে তারা স্মুথিং কার্নেল ব্যবহার করে কোয়ান্টাইলের উদাহরণটি পুনর্বিবেচনা করেছেন । মুহুর্তগুলি লিনিয়ার ক্রিয়াকলাপ হিসাবে লক্ষ্য করুন, আপনার প্রশ্নে "সাধারণত স্থানীয় অ্যাসেম্পটোটিক লিনিয়ারিটি বুটস্ট্র্যাপের ধারাবাহিকতার জন্য প্রয়োজনীয় বলে মনে হয়" কার্যকারিতার বিশ্লেষণের কিছু স্তরের প্রয়োজন হয়, যা প্রয়োজনীয় হতে পারে কারণ যদি এটি ব্যর্থ হয় তবে আপনি কিছু প্যাথলজিকাল কেস তৈরি করতে পারেন ওয়েয়ারসট্রাস ফাংশন (যা ধারাবাহিক এখনও কোথাও পার্থক্যযোগ্য নয়)। $K$

(3) কেন স্থানীয় রৈখিকতা বুটস্ট্র্যাপ মূল্নির্ধারক এর দৃঢ়তা নিশ্চিত করতে প্রয়োজনীয় মনে হচ্ছে? $\blacksquare$

মন্তব্য হিসাবে যেমন "আপনি উল্লেখ করেছেন তেমন মামেন দ্বারা তৈরি বুটস্ট্র্যাপের ধারাবাহিকতার জন্য স্থানীয় অ্যাসেম্পোটিক লাইনারিটি প্রয়োজনীয় বলে মনে হয়"। [শাও অ্যান্ড টু] পি.78৮ এর একটি মন্তব্য নীচে রয়েছে, কারণ তারা মন্তব্য করেছে (বৈশ্বিক) লিনিয়ারাইজেশন কেবল একটি প্রযুক্তিগত যা ধারাবাহিকতার প্রমাণকে সহজতর করে এবং কোনও প্রয়োজনীয়তা নির্দেশ করে না:

লিনিয়ারাইজেশন বুটস্ট্র্যাপ অনুমানকারীর ধারাবাহিকতা প্রমাণ করার জন্য আরেকটি গুরুত্বপূর্ণ কৌশল , যেহেতু লিনিয়ার পরিসংখ্যানগুলির ফলাফলগুলি প্রায়শই পাওয়া যায় বা পূর্বে চালু কৌশলগুলি ব্যবহার করে প্রতিষ্ঠিত হতে পারে। মনে করুন যে প্রদত্ত পরিসংখ্যান টিএন একটি লিনিয়ার এলোমেলো পরিবর্তনশীল দ্বারা প্রায় করা যেতে পারে (যেখানেএকটি রৈখিক মধ্যে পরিসংখ্যাত হয়), অর্থাত, (3.19) $\bar{Z_n}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\phi(X_n)$ $\phi(X)$ $X$ আসুন এবং এর বুটস্ট্র্যাপ সহধর্মীদের হতেএবংযথাক্রমে বুটস্ট্র্যাপ নমুনার উপর ভিত্তি করে। আমরা জন্য ফলে কায়েম করতে পারেনঅনুরূপ (3.19), অর্থাত, (3.20)
$T_{n} = θ + \bar{Z_{n}} + o_{P} (\frac{1}{\sqrt{n}})$ $T_n=\theta+\bar{Z_n}+o_{P}(\frac{1}{\sqrt{n}})$ $T_n^{*}$ $\bar{Z_n^{*}}$ $T_n$ $\bar{Z_n}$ $\{X_1^{*},\cdots,X_n^{*}\}$ $T_n^{*}$ তারপর সীমা(যেখানেপ্যারামিটারের মান) হয় $T_{n}^{*} = θ + {\bar{Z_{n}}}^{*} + o_{P} (\frac{1}{\sqrt{n}})$ $T_n^{*}=\theta+\bar{Z_n}^{*}+o_{P}(\frac{1}{\sqrt{n}})$ $H_{BOOT}(x)$ $x$ যে একই হয় $=P\{\sqrt{n}(T_n-T_n^{*}) \leq x\}$ আমরা এইভাবে একটি "নমুনা গড়" জড়িত একটি সমস্যায় সমস্যা হ্রাস করেছি $P\{\sqrt{n}(\bar{Z_n}-\bar{Z_n}^{*}) \leq x\}$ , যার বুটস্ট্র্যাপ বিতরণ অনুমানকটি ধারা 3.1 এর পদ্ধতিগুলি ব্যবহার করে সামঞ্জস্যপূর্ণ হিসাবে দেখানো যেতে পারে .2-3.1.4। $\bar{Z_n}$

এবং তারা এমএলই টাইপ বুটস্ট্র্যাপিংয়ের জন্য বুটস্ট্র্যাপের ধারাবাহিকতা অর্জনের একটি উদাহরণ দিয়েছেন 3.3 তবে বিশ্বব্যাপী রৈখিকতা যদি সেইভাবে কার্যকর হয় তবে স্থানীয় রৈখিকতা ছাড়া কীভাবে কেউ ধারাবাহিকতা প্রমাণ করতে পারে তা কল্পনা করা শক্ত hard সুতরাং আমি অনুমান করি যে ম্যামেন এটি বলতে চেয়েছিল।

(4) আরও মন্তব্য $\blacksquare$

উপরের [শাও অ্যান্ড টু] সরবরাহিত আলোচনার বাইরে, আমি মনে করি আপনি যা চান তা বুটস্ট্র্যাপ অনুমানকারীর ধারাবাহিকতার একটি বৈশিষ্ট্য শর্ত।

করুণভাবে, আমি এর খুব সাধারণ শ্রেণির বন্টনের জন্য বুটস্ট্র্যাপ অনুমানকারীর ধারাবাহিকতার একটি বৈশিষ্ট্য জানি না । $M(X)$ এমন একটি থাকলেও আমি মনে করি এটির জন্য কেবল মসৃণতা প্রয়োজন $T$ $CLT$

$M(X)$

আমি ঘৃণ্য হতে ঘৃণা করি তবুও আমি এখনও অনুভব করি যে এটি কেবলমাত্র পরিসংখ্যানের লেখা নয় যা "শূন্য থেকে উদ্ধৃত করা" is এটি বলে আমি কেবল ভেবেছিলাম জায়েটের বক্তব্যকে প্রশংসনীয় প্রশংসা খুব দায়িত্বজ্ঞানহীন যদিও ভ্যান জায়েট একজন মহান পণ্ডিত is

$\blacksquare$

[ওয়াসারম্যান] ওয়াসারম্যান, ল্যারি। সমস্ত ননপ্যারামেট্রিক স্ট্যাটিস্টিকস, স্প্রিংগার, ২০১০।

[শাও এবং তু] শাও, জুন, এবং দংশেং তু। জ্যাকনিফ এবং বুটস্ট্র্যাপ। স্প্রিঞ্জার, 1995

[জিন ও জিন] জিন, এভারিস্ট এবং জোয়েল জিন "সাধারণ অভিজ্ঞতামূলক পদক্ষেপগুলি বুটস্ট্র্যাপিং।" সম্ভাব্যতার অ্যানালস (1990): 851-869।

[হুবার] হুবার, পিটার জে রবস্টের পরিসংখ্যান। উইলে, 1985।

— Henry.L
সূত্র