নিরপেক্ষ সর্বাধিক সম্ভাবনা অনুমানকারী কি সর্বদা সেরা নিরপেক্ষ অনুমানক?

22

আমি নিয়মিত সমস্যাগুলির জন্য জানি, আমাদের যদি সেরা নিয়মিত নিরপেক্ষ অনুমানক থাকে তবে এটি অবশ্যই সর্বাধিক সম্ভাবনা অনুমানকারী (এমএলই) হতে হবে। তবে সাধারণত, যদি আমাদের একটি পক্ষপাতহীন এমএলই থাকে, তবে এটিও কি সেরা পক্ষপাতদুষ্ট প্রাক্কলনকারী হবে (বা সম্ভবত আমি একে UMVUE বলতে পারি, যতক্ষণ না এর মধ্যে সবচেয়ে ছোটতম বৈকল্পিক রয়েছে)?

mathematical-statistics maximum-likelihood unbiased-estimator

— গ্যারি চেং
সূত্র

3

আকর্ষণীয় প্রশ্ন। এমএলই পর্যাপ্ত পরিসংখ্যানগুলির একটি ফাংশন এবং সম্পূর্ণ এবং পর্যাপ্ত পরিসংখ্যানের শর্ত সাপেক্ষে ইউএমভিইউগুলি পাওয়া যায়। সুতরাং যদি এমএলই পক্ষপাতহীন হয় (এবং পর্যাপ্ত পরিসংখ্যানের একটি ফাংশন), তবে পর্যাপ্ত পরিসংখ্যানটি সম্পূর্ণ না হলে এটির ন্যূনতম বৈকল্পিকতা না থাকার একমাত্র উপায়। আমি একটি উদাহরণ খুঁজে বের করার চেষ্টা করেছি, তবে ব্যর্থ হয়েছিল।

— গ্রিনপার্কার

2

এবং যথেষ্ট এবং সম্পূর্ণ পরিসংখ্যান সম্পর্কে কিছু সংক্ষিপ্ত তথ্য এখানে ।

— রিচার্ড হার্ডি

10

বাস্তব সমস্যা আরো MLE খুব কমই পক্ষপাতিত্বহীন হয় যদি

এর পক্ষপাতিত্বহীন মূল্নির্ধারক হয়

এবং MLE

,

এর MLE হয়

কিন্তু অধিকাংশ bijective রূপান্তরগুলির জন্য পক্ষপাতদুষ্ট

।

θ

$\theta$

θ

$\theta$

θ

$\theta$

f (\hat{θ})

$f(\hat\theta)$

f (θ)

$f(\theta)$

f

$f$

— শি'আন

1

এটি কি প্রাসঙ্গিক? "জনসংখ্যার প্রায় পক্ষপাতহীন প্রাক্কলনকারী বলতে বোঝায়" ব্যাস দুবে পবি রবিশঙ্কর শুক্লা বিশ্ববিদ্যালয়, রায়পুর, ভারত

2

শি'য়ান মন্তব্যের জন্য +1 সেরা অনুমানকারী মানে ন্যূনতম বৈকল্পিক, নিরপেক্ষতা মানে অন্য কিছু। সুতরাং আমি নিশ্চিত নই যে আপনি এটি প্রমাণ করার চেষ্টা শুরু করতে পারেন, যেহেতু একজনের সাথে অপরটির সাথে খুব একটা সম্পর্ক নেই। তবে এমনকি আমি আমার নিজস্ব বিকাশ শুরু করার আগে, আমি (ক চেষ্টা করার) প্রমাণটিতে কিছু গুরুতর প্রচেষ্টা দেখতে চাই। আমি বলব যে এমনকি প্রথম বিবৃতিটির প্রমাণ (এমএলই নির্দিষ্ট কিছু ক্ষেত্রে অনুকূল) তুচ্ছ নয়।

— করুব

13

আমার মতে, প্রশ্নটি প্রকৃতপক্ষে সুসংগত নয় যে সম্ভাবনা এবং পক্ষপাতহীনতার সর্বাধিকীকরণ একত্রে হয় না, তবে কেবলমাত্র সর্বাধিক সম্ভাবনা অনুমানকারী সমতুল্য হয় , অর্থাৎ অনুমানের রূপান্তরটি প্যারামিটারের রূপান্তরটির অনুমানকারী হয়, যখন নিরপেক্ষতা অ-রৈখিক রূপান্তরগুলির অধীনে দাঁড়ায় না। অতএব, সর্বাধিক সম্ভাবনা অনুমানকারীগুলি কখনই পক্ষপাতহীন হয় না, যদি "প্রায়" সমস্ত সম্ভাব্য প্যারামিট্রেশনের পরিসীমা বিবেচনা করা হয়।

যাইহোক, প্রশ্নের একটি অধিক প্রত্যক্ষ উত্তর: যখন সাধারন ভ্যারিয়েন্সের প্রাক্কলন বিবেচনায়, , এর UMVUE হয় $\sigma^2$ $\sigma^2$ যখন এর MLEহয়

{\hat{σ}}_{n}^{2} = \frac{1}{n - 1} \sum_{i = 1}^{n} {x_{i} - {\bar{x}}_{n}}^{2}

$\hat{\sigma}^2_n = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n \{x_i-\bar{x}_n\}^2$

σ^{2}

$\sigma^2$

, তারা পৃথক। এটা ব্যাখ্যা করে যে

{\overset{ˇ}{σ}}_{n}^{2} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} {x_{i} - {\bar{x}}_{n}}^{2}

$\check{\sigma}^2_n = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \{x_i-\bar{x}_n\}^2$

আমাদের যদি সেরা নিয়মিত নিরপেক্ষ অনুমানক থাকে তবে এটি অবশ্যই সর্বাধিক সম্ভাবনা অনুমানকারী (এমএলই) হতে হবে।

সাধারণভাবে ধরে না।

$\theta$

— সিয়ান
সূত্র

সুতরাং আমরা কি বলতে পারি যে একটি নিরপেক্ষ এমএলই এটি একটি (ইউ) এমভিইউ, তবে প্রতিটি (ইউ) এমভিইউ এমএলই নয়?

— সেক্সটাস এম্পেরিকাস

2

না, আমাদের সাধারণভাবে এটি সত্য বিশ্বাস করার কোনও কারণ নেই।

— শি'য়ান

13

তবে সাধারণত, যদি আমাদের একটি পক্ষপাতহীন এমএলই থাকে তবে এটিও কি সেরা পক্ষপাতদুষ্ট অনুমানকারী হতে পারে?

যদি সম্পূর্ণ পর্যায়ে পরিসংখ্যান থাকে তবে হ্যাঁ ।

প্রমাণ:

লেহমান-শেফি উপপাদ্য : যে কোনও নিরপেক্ষ অনুমানকারী যা সম্পূর্ণ পর্যাপ্ত পরিসংখ্যানের ফাংশন সেটাই সেরা (উমভিউইউ)।
এমএলই কোনও পর্যাপ্ত পরিসংখ্যানের একটি ফাংশন। এখানে 4.2.3 দেখুন ;

সুতরাং নিরপেক্ষ এমএলই যতক্ষণ না পর্যাপ্ত পরিসংখ্যান উপস্থিত থাকে ততক্ষণ সেরা।

তবে বাস্তবে এই ফলাফলটি প্রয়োগের প্রায় কোনও ক্ষেত্রেই আসে না কারণ একটি সম্পূর্ণ পর্যাপ্ত পরিসংখ্যান প্রায় কখনওই বিদ্যমান না exists এটি হ'ল কারণ পর্যাপ্ত পরিসংখ্যান কেবলমাত্র তাত্পর্যপূর্ণ পরিবারগুলির জন্য বিদ্যমান যেখানে এমএলই প্রায়শই পক্ষপাতদুষ্ট থাকে (গৌসিয়ানদের অবস্থানের প্যারামিটার বাদে)।

সুতরাং আসল উত্তরটি আসলে না ।

একটি সাধারণ পাল্টা উদাহরণ দেওয়া যেতে পারে: সম্ভাবনা সহ যে কোনও অবস্থানের পরিবার $p_\theta(x)=p(x-\theta$ ) সঙ্গে $p$ 0 এর আশপাশে প্রতিসাম্য ( $\forall t\in\mathbb{R} \quad p(-t)=p(t)$ )। নমুনা আকার সহ $n$ , নিম্নলিখিত ধারণ করে:

এমএলই নিরপেক্ষ
এটি পিটম্যানের সমতুল্য অনুমানকারী হিসাবে পরিচিত আরেকটি পক্ষপাতদুষ্ট অনুমানকারী দ্বারা আধিপত্য রয়েছে

প্রায়শই আধিপত্য কঠোর হয় এমএলই এমনকি গ্রহণযোগ্য নয়। এটি কখন প্রমাণিত হয়েছিল $p$ কচী তবে আমার ধারণা এটি সাধারণ ঘটনা। এমএলই ইউএমভিইউ হতে পারে না। প্রকৃতপক্ষে, এই পরিবারগুলির জন্য এটি জানা যায় যে, হালকা শর্তের সাথে কখনও কোনও উম্মু থাকে না। এই প্রশ্নে উদাহরণটি উল্লেখ এবং কয়েকটি প্রমাণ সহ অধ্যয়ন করা হয়েছিল ।

— বেনোইট সানচেজ
সূত্র

কেন এটির সর্বোচ্চ অগ্রগতি নেই? আমি উত্তরটি জিয়ানের চেয়ে ভাল বলে অনুভব করেছি।

— রেড ফ্লয়েড

0

এমএলইর অ্যাসিপটোটিক ভেরিয়েন্সটি ইউএমভিইউ অর্থাৎ ক্রেমার রাও নিম্ন সীমানা অর্জন করে তবে সুনির্দিষ্ট ভেরিয়েন্সটি এটি নিশ্চিত করতে নিশ্চিত হয় না যে এটি হিসাবরক্ষক উম্মুয়্যু পর্যাপ্ত এবং সম্পূর্ণ পরিসংখ্যান বা সেই পরিসংখ্যানের কোনও ফাংশন হওয়া উচিত।

— সেরহাট সিমসেক k
সূত্র

0

সংক্ষেপে, একটি অনুমানকারী হ'ল UMVUE, যদি এটি পক্ষপাতহীন হয় এবং একটি সম্পূর্ণ এবং পর্যাপ্ত পরিসংখ্যানের কাজ। (রাও-ব্ল্যাকওয়েল এবং শেফি দেখুন)

— creutzml
সূত্র

যার অর্থ এটি ক্ষতিকারক পরিবারগুলির মধ্যে সীমাবদ্ধ।

— শি'আন