জেফরি প্রিয়ার্স এবং একটি বৈকল্পিক স্থিতিশীল রূপান্তরের পিছনে কী সম্পর্ক?

আমি উইকিপিডিয়ায় জেফরির সম্পর্কে আগে পড়ছিলাম: জেফরি প্রাইর এবং দেখেছি যে প্রতিটি উদাহরণের পরে, এটি বর্ণনা করে যে কীভাবে একটি বৈচিত্র্য-স্থিতিশীল রূপান্তর জেফরিগুলিকে পূর্বের ইউনিফর্মে পরিণত করে।

উদাহরণস্বরূপ, বের্নুলির ক্ষেত্রে জন্য, এটা বলে যে, একটি মুদ্রা সম্ভাব্যতা সঙ্গে মাথা যে জন্য , বের্নুলির বিচারের মডেল উৎপাদনের যে জেফ্রিস পূর্বে পরামিতি জন্য হল: $\gamma \in [0,1]$ $\gamma$

p (γ) \propto \frac{1}{\sqrt{γ (1 - γ)}}

$p(\gamma) \propto \frac{1}{\sqrt{\gamma ( 1-\gamma)}}$

তখনই যে এই সঙ্গে একটি বিটা বিতরণ করা হয় । এছাড়া যে যদি , তারপর জেফ্রিস পূর্ববর্তী ব্যবধান রয়েছে অভিন্ন । $\alpha = \beta = \frac{1}{2}$ $\gamma = \sin^2(\theta)$ $\theta$ $\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$

আমি রূপান্তরটি একটি বৈকল্পিক-স্থিতিশীল রূপান্তর হিসাবে হিসাবে চিহ্নিত করি। যা আমাকে বিভ্রান্ত করে তা হ'ল:

কেন আগে কোনও ইউনিফর্মে স্থিতিশীল রূপান্তর ঘটবে?
কেন আমরা এমনকি আগে একটি ইউনিফর্ম চাই? (যেহেতু মনে হয় এটি অনুচিত হওয়ার চেয়ে বেশি সংবেদনশীল হতে পারে)

সাধারণভাবে, স্কোয়ার-সাইন রূপান্তর কেন দেওয়া হয় এবং কী ভূমিকা পালন করে তা আমি পুরোপুরি নিশ্চিত নই। কারও কোন ধারণা আছে?

bayesian prior jeffreys-prior

— user1398057
সূত্র

আমি নিজেকে জিজ্ঞাসা করে একটি স্ব-শিক্ষিত চার্লাতান হিসাবে বাইরে যাচ্ছি, কিন্তু: আপনি কোন রূপান্তর-স্থিতিশীল রূপান্তরকে উল্লেখ করছেন? ?

\frac{1}{\sqrt{\sin^{2} (θ) (1 - \sin^{2} (θ))}}

$\frac{1}{\sqrt{\sin^2(\theta) \left( 1 - \sin^2(\theta) \right)}}$

— ছায়াছবির

স্কোয়ার্ড সাইনটি রূপান্তরটির কথা ভাবার জন্য প্রচলিতভাবে ভুল পথে। বর্গমূল বা কৌণিক রূপান্তর।

θ = arcsin \sqrt[]{γ}

$\theta = \text{arcsin} \root \of \gamma$

— নিক কক্স

উত্তর:

জেফরির পূর্বে পুনঃনির্মাণের অধীনে আক্রমণাত্মক। যে কারণে, অনেক বায়েশিয়ানরা এটিকে একটি "অ-তথ্যমূলক অগ্রাধিকার" হিসাবে বিবেচনা করে। (Hartigan দেখিয়েছেন এমন গতকাল দেশের সর্বোচ্চ তাপমাত্রা একটি সম্পূর্ণ স্থান নেই জন্য যেখানে হয় জেফ্রিস 'পূর্বে এবং হয় Hartigan এর এসিম্পটোটিকভাবে স্থানীয়ভাবে পরিবর্তিত পূর্বে -। পরিবর্তিত আগে ডিস্ট্রিবিউশন ) $J^\alpha H^\beta$ $\alpha + \beta=1$ $J$ $H$

এটি প্রায়শই পুনরাবৃত্তি করা মিথ্যা যে ইউনিফর্মের পূর্ব অ-তথ্যমূলক, তবে আপনার প্যারামিটারগুলির একটি স্বেচ্ছাসেবী রূপান্তরের পরে এবং নতুন পরামিতিগুলির আগে একটি ইউনিফর্মের অর্থ সম্পূর্ণ আলাদা something যদি প্যারামিট্রাইজেশনের একটি নির্বিচারে পরিবর্তন আপনার পূর্বকে প্রভাবিত করে তবে আপনার পূর্বটি স্পষ্টত তথ্যবহুল।

সংজ্ঞা অনুসারে জেফরি ব্যবহার করা ভেরিয়েন্স-স্ট্যাবিলাইজিং রূপান্তর প্রয়োগের পূর্বে একটি ফ্ল্যাট ব্যবহারের সমতুল্য।
গাণিতিক দিক থেকে, আগে জেফরি ব্যবহার করা এবং বৈকল্পিক-স্থিতিশীল রূপান্তর প্রয়োগের পরে একটি ফ্ল্যাট আগে ব্যবহার সমতুল্য। একটি মানবিক দৃষ্টিকোণ থেকে, পরবর্তীকটি সম্ভবত খুব ভাল কারণ প্যারামিটার স্পেসে আপনি যেখানেই থাকুন না কেন প্যারামিটার স্পেসটি এই অর্থে "একজাত" হয়ে যায় যে পার্থক্যগুলি প্রতিটি দিকেই একই রকম।

আপনার বার্নোলির উদাহরণ বিবেচনা করুন। একটু অদ্ভুত নয় যে পরীক্ষায় 99% স্কোরিং একই দূরত্বটি 90% থেকে 59% থেকে 50% পর্যন্ত একই? আপনার বৈকল্পিক-স্থিতিশীল রূপান্তরের পরে পূর্বের জুটিটি আরও আলাদা হওয়া উচিত, যেমন হওয়া উচিত। এটি মহাকাশের প্রকৃত দূরত্ব সম্পর্কে আমাদের স্বজ্ঞানের সাথে মেলে। (গাণিতিকভাবে, বৈকল্পিক-স্থিতিশীল রূপান্তরটি লগ-লসের বক্রতা সনাক্তকরণের ম্যাট্রিক্সের সমান করে তুলছে))

— নীল জি
সূত্র

১. আমি সম্মত হচ্ছি যে ইউনিফর্ম পূর্বের অর্থ "অ-তথ্যমূলক" পূর্বের অর্থ নয়, তবে অন্য একটি মূল্যকে নির্দিষ্ট মানের মূল্য না দেওয়ার বিষয়ে আমার মন্তব্য এখনও ধরে রাখে (সেই নির্দিষ্ট পরামিতিটির অধীনে)। ২. পূর্বের যথাযথতা খুব গুরুত্বপূর্ণ । আপনার যদি পূর্বে একটি অনুপযুক্ত এবং ডেটা থাকে তবে এটি আপনার পক্ষে সঠিক উত্তরোত্তর থাকবে কিনা তা গ্যারান্টিযুক্ত নয় । সুতরাং এটি খুব বিষয়।

— গ্রিনপার্কার

১. তবে এটি সম্পূর্ণ বিষয়: প্যারামিট্রাইজেশনটি স্বেচ্ছাসেবী, সুতরাং আপনি এটির অর্থহীন হবেন যে আপনি একটির মূল্য অন্যের চেয়ে মূল্যবান হন না। ২. বাস্তবে, আমি এটি সম্পর্কিত কখনও পাইনি। এটি আমার ধারণা অন্যান্য লোকদের সাথে সম্পর্কিত হতে পারে।

— নিল জি

1. ফেয়ার পয়েন্ট। ২. আমি নিশ্চিত নই যে আপনি কোন সমস্যার মুখোমুখি হচ্ছেন, তবে এমনকি জেফরির আগেও সাধারণ গাউসিয়ান সম্ভাবনা একটি অনুচিত উত্তরোত্তর হতে পারে। আমার উত্তর এখানে দেখুন ।

— গ্রিনপার্কার

@ গ্রীনপার্কার আপনি ঠিক বলেছেন আমার জবাবে কেন এটি আমার পক্ষে নয় তা আমি পরিষ্কার করব।

— নীল জি

আমি মনে করি না সম্পাদনাটি সঠিক। যদি পোস্টারিয়রটি অনুপযুক্ত হয় তবে এমসিএমসি অবশ্যই বোকামিযুক্ত যেহেতু আপনি একটি অপরিজ্ঞাত বিতরণ থেকে আঁকতে চেষ্টা করছেন। যে কোনও নমুনা স্কিম ব্যবহার করে ইউনিফর্ম থেকে নমুনা নেওয়ার চেষ্টা করার কথা কল্পনা করুন । যদিও, এমসিসিএম অ্যালগরিদম এখনও অরগোডিক হতে পারে (যখন আপনার নাল পুনরাবৃত্তি হবে) তবে আপনার নমুনাগুলি অকেজো হবে।

(0, \infty)

$(0,\infty)$

— গ্রিনপার্কার

উইকিপিডিয়া আপনি যে পৃষ্ঠাটি সত্যিই শব্দ "ভ্যারিয়েন্স-স্থিরকারী রূপান্তর" ব্যবহার করে না দেওয়া। "ভেরিয়েন্স-স্ট্যাবিলাইজিং ট্রান্সফর্মেশন" শব্দটি সাধারণত রূপান্তরগুলি নির্দেশ করতে ব্যবহৃত হয় যা এলোমেলো পরিবর্তনশীলটির বৈকল্পিককে একটি ধ্রুবক করে তোলে। যদিও বার্নৌল্লি ক্ষেত্রে, রূপান্তরের সাথে এটিই ঘটছে, লক্ষ্যটি ঠিক তেমনটি নয়। লক্ষ্যটি হল একটি অভিন্ন বিতরণ, এবং কেবল কোনও বৈকল্পিক স্থিতিশীল নয়।

মনে রাখবেন যে জেফরির পূর্বে ব্যবহারের অন্যতম প্রধান উদ্দেশ্য হ'ল এটি রূপান্তরের আওতায় inv এর অর্থ হ'ল আপনি যদি ভেরিয়েবলটিকে পুনরায় পরামিতি করেন তবে পূর্বেরটি পরিবর্তন হবে না।

1।

এই বার্নোল্লি মামলার পূর্বের জেফরি, যেমন আপনি উল্লেখ করেছেন, একটি বিটা । $(1/2, 1/2)$

p_{γ} (γ) \propto \frac{1}{\sqrt{γ (1 - γ)}} .

$p_{\gamma}(\gamma) \propto \dfrac{1}{\sqrt{\gamma(1-\gamma)}}.$

সঙ্গে Reparametrizing বিতরণের, আমরা জানতে পারেন । প্রথমে দেখতে দিন যে , এবং , । All । $\gamma = \sin^2(\theta)$ $\theta$ $\theta = \arcsin(\sqrt{\gamma})$ $0 < \gamma < 1$ $0 < \theta < \pi/2$ $\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1$

\begin{aligned} F_{θ} (x) & = P (θ < x) \\ = P (\sin^{2} (θ) < \sin^{2} (x)) \\ = P (γ < \sin^{2} (x)) \\ = F_{γ} (\sin^{2} (x)) \\ f_{θ} (x) & = \frac{d F_{γ} (\sin^{2} (x)}{d x} \\ = 2 \sin (x) \cos (x) p_{γ} (\sin^{2} (x)) \\ \propto \sin (x) \cos (x) \frac{1}{\sqrt{\sin^{2} (x) (1 - \sin^{2} (x))}} \\ = 1. \end{aligned}

$\begin{align*} F_{\theta}(x) & = P(\theta < x)\\ & = P(\sin^2(\theta) < \sin^2(x))\\ & = P(\gamma < \sin^2(x))\\ & = F_{\gamma}(\sin^2(x))\\ f_{\theta}(x) & = \dfrac{d F_{\gamma}(\sin^2(x)}{d x}\\ & = 2\sin(x)\cos(x)\,p_{\gamma}(\sin^2(x))\\ & \propto \sin(x)\cos(x) \dfrac{1}{\sqrt{\sin^2(x)(1 - \sin^2(x))}}\\ & =1. \end{align*}$

সুতরাং হ'ল এ অভিন্ন বিতরণ । এই কারণেই রূপান্তর ব্যবহৃত হয়, যাতে পুনরায় প্যারামিট্রাইজেশন একটি অভিন্ন বন্টনের দিকে পরিচালিত করে। অভিন্ন বিতরণটি এখন জেফরির পূর্বে (যেহেতু জেফরির পূর্বে রূপান্তরের অধীনে আক্রমণাত্মক)। এটি আপনার প্রথম প্রশ্নের উত্তর দেয়। $\theta$ $(0, \pi/2)$ $\sin^2(\theta)$ $\theta$

2।

প্যারামিটারের বিতরণ সম্পর্কে পর্যাপ্ত তথ্য বা পূর্ববর্তী জ্ঞান না থাকলে প্রায়শই বায়েশীয় বিশ্লেষণে একজন পূর্ববর্তী ইউনিফর্ম চায়। এই জাতীয় প্রাকটিকে "বিচ্ছুরিত পূর্ব" বা "ডিফল্ট পূর্ব" বলা হয়। ধারণাটি হ'ল প্যারামিটার স্পেসে অন্য মানগুলির চেয়ে কোনও মান প্রতিশ্রুতিবদ্ধ না করা। এরকম ক্ষেত্রে উত্তরোত্তর সম্পূর্ণরূপে ডেটা সম্ভাবনার উপর নির্ভর করে। যেহেতু,

q (θ | x) \propto f (x | θ) f (θ) \propto f (x | θ) .

$q(\theta|x) \propto f(x|\theta) f(\theta) \propto f(x|\theta).$

যদি রূপান্তরটি এমন হয় যে রূপান্তরিত স্থানটি সীমাবদ্ধ (যেমন উদাহরণস্বরূপ), তবে অভিন্ন বিতরণ যথাযথ হবে। যদি রূপান্তরিত স্থানটি সীমারেখাবিহীন হয় তবে ইউনিফর্ম পূর্বেরটি অনুপযুক্ত হবে, তবে প্রায়শই ফলাফলগুলি উত্তরোত্তর যথাযথ হবে। যদিও, সবার ক্ষেত্রে অবশ্যই এটি যাচাই করা উচিত the $(0, \pi/2)$

— Greenparker
সূত্র

এই ধারণাটি যে আপনি কোনও ছড়িয়ে আগে ব্যবহার করে "কোনও মানের প্রতিশ্রুতি দিচ্ছেন না" ভুল। এর প্রমাণটি হ'ল আপনি স্থানটির কোনও রূপান্তর নিতে পারেন এবং বিচ্ছুরণের আগে পুরোপুরি আলাদা কিছু বোঝানো উচিত।

— নিল জি

"কোনও মানের প্রতিশ্রুতিবদ্ধ না" সম্পর্কে আমার মন্তব্য কেবলমাত্র সেই নির্দিষ্ট প্যারামিটারাইজেশনকেই বোঝায়। অবশ্যই, রূপান্তরগুলি কীভাবে ভর বিতরণ করা হবে (ঠিক এই বার্নোলির উদাহরণের মতো) in

— গ্রিনপার্কার

আমি যেমন আপনার অন্যান্য মন্তব্যের নীচে বলেছি, প্যারামিট্রাইজেশন স্বেচ্ছাসেবী, সেই কারণেই "কোনও মূল্যবোধের প্রতি অঙ্গীকার না করা" বিবৃতি অর্থহীন।

— নিল জি