কোয়ান্টাইল (বিপরীত সিডিএফ) ফাংশন বুঝতে আমাকে সহায়তা করুন

আমি কোয়ান্টাইল ফাংশন সম্পর্কে পড়ছি, তবে এটি আমার কাছে পরিষ্কার নয়। আপনি কি নীচের সরবরাহকৃত চেয়ে আরও স্বজ্ঞাত ব্যাখ্যা দিতে পারেন?

যেহেতু সিডিএফ $F$ একটি মনোোটোনিকভাবে ক্রমবর্ধমান ফাংশন, এটির একটি বিপরীত রয়েছে; আসুন এটিকে দ্বারা বোঝান $F^{−1}$ । তাহলে $F$ এর সিডিএফ হয় $X$ , তারপর $F^{−1}(\alpha)$ মান $x_\alpha$ যেমন যে $P(X \le x_\alpha) = \alpha$ ; এই বলা হয় $\alpha$ এর সমাংশক $F$ । মান $F^{−1}(0.5)$ বন্টনের সম্ভাব্য ভরগুলির অর্ধেক এবং ডানদিকে অর্ধেক সহ বিতরণের মধ্যস্থতা। $F^{−1}(0.25)$ এবং মানগুলি $F^{−1}(0.75)$ নিম্ন এবং উচ্চতর চতুর্ভুজ হয়।

— ইন্দর গিল
সূত্র

আপনার গণিত মার্কআপ ব্যবহার করা শিখতে হবে, আমার সম্পাদনাগুলি দেখুন!

— কেজেটিল বি হলওয়ার্সন

এটি একটি নির্দিষ্ট স্তরে সংক্ষিপ্ত ব্যাখ্যার একটি মডেল এবং ইতিমধ্যে একটি উদাহরণ রয়েছে। আপনি কোন স্তরের ব্যাখ্যার সন্ধান করছেন তা অস্পষ্ট। আপনি যা জানেন না তার উপর নির্ভর করে উত্তর এর চেয়ে 10 গুণ বেশি দীর্ঘ হতে পারে। যেমন আপনি কি জানেন একটি সিডিএফ হয়? আপনি কি জানেন যে 'একঘেয়েভাবে বৃদ্ধি' এর অর্থ কী? আপনি কি জানেন যে একটি বিপরীত কার্য কী? আমরা প্রথম বাক্যটির মধ্য দিয়ে আংশিক হয়েছি। আপনার প্রশ্নটি এই বিবৃতিটির সমতুল্য যা আপনি এগুলি (সমস্ত) বুঝতে পারছেন না এবং যদিও আপনাকে আমাদের সন্দেহ করার কোনও কারণ নেই, এটি মোটেই সুনির্দিষ্ট প্রশ্ন নয়।

— নিক কক্স

উত্তর:

এগুলি প্রথমে জটিল মনে হতে পারে তবে এটি খুব সাধারণ কিছু সম্পর্কে মূলত।

ক্রমবর্ধমান বিতরণ ফাংশন দ্বারা আমরা সেই ফাংশনটিকে চিহ্নিত করি যা $X$ সম্ভাব্যতাগুলি কিছু মান $x$ চেয়ে ছোট বা সমান বলে প্রত্যাবর্তন করে ,

Pr (X \leq x) = F (x) .

$\Pr(X \le x) = F(x).$

এই ফাংশনটি ইনপুট হিসাবে গ্রহণ করে এবং অন্তর (সম্ভাব্যতা) থেকে মানগুলি ফিরিয়ে দেয় —লেট তাদের হিসাবে চিহ্নিত করে । ক্রমবর্ধমান বিতরণ ফাংশন (বা কোয়ান্টাইল ফাংশন) এর বিপরীত আপনাকে জানায় যে কী কারণে কিছু মান , $x$ $[0, 1]$ $p$ $x$ $F(x)$ $p$

F^{- 1} (p) = x .

$F^{-1}(p) = x.$

এটি নীচের চিত্রটিতে চিত্রিত হয়েছে যা সাধারণ ক্রমবর্ধমান বিতরণ ফাংশন (এবং এর বিপরীত) উদাহরণ হিসাবে ব্যবহার করে।

উদাহরণ

একটি সাধারণ উদাহরণ হিসাবে, আপনি একটি মান গুম্বেল বিতরণ নিতে পারেন । এর ক্রমবর্ধমান বিতরণ ফাংশনটি

F (x) = e^{- e^{- x}}

$F(x) = e^{-e^{-x}}$

এবং এটি সহজেই উল্টানো যায়: প্রাকৃতিক লোগারিদম ফাংশনটি তাত্পর্যপূর্ণ কার্যের বিপরীত হয়, তাই এটি তাত্ক্ষণিকভাবে সুস্পষ্ট যে গুম্বল বিতরণের জন্য কোয়ান্টাইল ফাংশনটি

F^{- 1} (p) = - \ln (- \ln (p))

$F^{-1}(p) = -\ln(-\ln(p))$

আপনি দেখতে পাচ্ছেন, কোয়ান্টাইল ফাংশন, এর বিকল্প নাম অনুসারে, সংযোজন বিতরণ ফাংশনের আচরণ "বিপরীত" করে।

বিপরীত বিতরণ ফাংশন সাধারণীকরণ

প্রতিটি ফাংশন একটি বিপরীত হয় না। এজন্য আপনি যে উদ্ধৃতিটি উল্লেখ করেছেন তাতে "একঘেয়েভাবে ক্রমবর্ধমান ফাংশন" বলা হয়েছে says ফাংশনটির সংজ্ঞা থেকে এটি মনে করুন , এটি প্রতিটি ইনপুট মান ঠিক এক আউটপুট নির্ধারণ করতে হবে। ক্রমাগত এলোমেলো পরিবর্তনশীলগুলির জন্য ক্রমবর্ধমান বিতরণ ফাংশনগুলি এই সম্পত্তিটিকে সন্তুষ্ট করে যেহেতু তারা একঘেয়েভাবে বৃদ্ধি পাচ্ছে। বিচ্ছিন্ন র‌্যান্ডম ভেরিয়েবলের জন্য ক্রম বিতরণ ফাংশন অবিচ্ছিন্ন এবং বর্ধমান নয়, তাই আমরা সাধারণীকরণের বিপরীত বিতরণ ফাংশনগুলি ব্যবহার করি যা অ-হ্রাস হওয়া দরকার। আরও আনুষ্ঠানিকভাবে, সাধারণ উল্টো বিতরণ ফাংশন হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়

F^{- 1} (p) = inf {x \in R : F (x) \geq p} .

$F^{-1}(p) = \inf \big\{x \in \mathbb{R}: F(x) \ge p \big\}.$

সংজ্ঞা, প্লেইন ইংরেজি অনুবাদ বলছেন যে দেওয়া সম্ভাব্যতা মান , আমরা কিছু খুঁজছেন , যে ফলাফল মূল্য বৃহত্তর ফিরে বা সমান তারপর কিন্তু যেহেতু হতে পারে একাধিক মান যে এই পূরণ শর্ত (উদাঃ যে কোনও ক্ষেত্রে সত্য ), তাই আমরা এর মধ্যে ক্ষুদ্রতম নিয়ে থাকি । $p$ $x$ $F(x)$ $p$ $x$ $F(x) \ge 0$ $x$ $x$

বিপরীত ব্যতীত ফাংশন

সাধারণভাবে, বিভিন্ন ইনপুটগুলির জন্য একই মানটি ফেরত দিতে পারে এমন ফাংশনগুলির জন্য কোনও বিপরীত নেই, উদাহরণস্বরূপ ঘনত্ব ফাংশন (উদাহরণস্বরূপ, মানক সাধারণ ঘনত্বের ক্রিয়াটি প্রতিসম হয়, তাই এটি এবং ইত্যাদির জন্য একই মান প্রদান করে )। সাধারণ বিতরণ আরও একটি কারণের জন্য আকর্ষণীয় উদাহরণ cum এটি বন্ধ-ফর্ম বিপরীত না হওয়া संचयी বিতরণ ফাংশনের উদাহরণগুলির মধ্যে একটি । প্রতিটি ক্রম বিতরণ ফাংশন একটি বন্ধ ফর্ম বিপরীত থাকতে হবে না! আশা করি এমন ক্ষেত্রে সংখ্যার পদ্ধতি ব্যবহার করে বিপরীতগুলি পাওয়া যাবে। $-2$ $2$

ব্যবহারের ক্ষেত্রে

কোয়ান্টাইল ফাংশনটি এলোমেলো রূপান্তর পদ্ধতি কীভাবে কাজ করে তা বর্ণিত হিসাবে এলোমেলো প্রজন্মের জন্য ব্যবহার করা যেতে পারে ?

— টিম
সূত্র

এই উত্তরটি পেনাল্টিমেট অনুচ্ছেদে অবধি ভাল কাজ করে। আপনি সেখানে পৌঁছানোর সময়, আপনি দৃ .়ভাবে জানিয়েছিলেন যে প্রতিটি অবিচ্ছিন্ন সিডিএফের একটি বিপরীত থাকে তবে তারপরে আপনি সেই সাধারণ বিবৃতিটির পাল্টা নমুনা হিসাবে সাধারণ বিতরণের প্রস্তাব দিয়েছিলেন। এটি সম্ভবত খুব বিভ্রান্তিকর।

— whuber

@ আপনি ঠিক বলেছেন, আরও স্পষ্ট করার জন্য একটি বাক্য যুক্ত করুন।

— টিম

টিম, এবং আমি আরও স্পষ্ট করে তুলতে আরও একটি শব্দ যুক্ত করেছি :)

— অ্যামিবা বলেছেন মনিকা

@ টিউন দুর্দান্ত উত্তর কিন্তু আপনি কি বিপরীত সিডিএফ এর সংজ্ঞা সম্পর্কে কিছুটা আলোকপাত করতে পারেন ? যেমনটি আপনি উল্লেখ করেছেন আমরা জিজ্ঞাসা করি কী করে । আমি নীচে understand অংশটি বুঝতে পারি । সিডিএফ যেহেতু একঘেয়েমি বৃদ্ধি পাচ্ছে সেখানে সমস্ত সন্তুষ্টকারী এর অনেকগুলি মান রয়েছে তবে সর্বাধিক নিম্নতর বাউন্ড দেবে, অর্থাত্ একটি অনন্য পয়েন্টটি ঠিক করবে এবং এর ফলে সাধারণ বিপরীত সংজ্ঞা দেয়। এটা কোনো কিছু হলো ?

F^{- 1} (u) = inf {x : F (x) \geq u}

$F^{-1}(u)=\inf\{x:F(x) \ge u\}$

x

$x$

F (x) = p

$F(x)=p$

inf

$\inf$

F (x) \geq u

$F(x) \ge u$

inf

$\inf$

— আলেকজান্ডার সিস্কা

@ আলেকজান্ডারসস্কা হ্যাঁ, মূলত, ইউ এর পরে একাধিক এফ (এক্স) মান বেশি হয়, তাই আমরা নীচের দিকে আবদ্ধ থাকি "এই শর্তটি পূরণ করে এমন ক্ষুদ্রতম মান"।

— টিম

টিম একটি খুব পুঙ্খানুপুঙ্খ উত্তর ছিল। ভাল করেছ!

আমি আরও একটি মন্তব্য যোগ করতে চাই। প্রতিটি মনোোটোনিকভাবে ক্রমবর্ধমান ফাংশনটির একটি বিপরীত ফাংশন থাকে না। আসলে কেবল কঠোরভাবে একঘেয়েভাবে ক্রমবর্ধমান / হ্রাসকারী কার্যগুলির বিপরীত কার্য রয়েছে।

একচেটিয়াভাবে সিডিএফ বাড়ানোর জন্য যা একঘেয়েমিভাবে কঠোরভাবে বৃদ্ধি পায় না, আমাদের একটি কোয়ান্টাইল ফাংশন রয়েছে যা বিপরীত संचयी বিতরণ ফাংশনও বলে। আপনি এখানে আরও বিশদ জানতে পারেন ।

উভয় বিপর্যয় ফাংশন (যারা কঠোরভাবে সিডিএফ বাড়িয়ে তুলছেন) এবং কোয়ান্টাইল ফাংশন (যারা একঘেয়েভাবে বৃদ্ধি পাচ্ছেন তবে কঠোরভাবে একঘেয়েভাবে সিডিএফ বৃদ্ধি করছেন না) as হিসাবে চিহ্নিত করা যেতে পারে যা কখনও কখনও বিভ্রান্তিকর হতে পারে। $F^{-1}$

— টিংগাং লি
সূত্র