কোনও ঘটনা "শেষ পর্যন্ত ঘটে" এর অর্থ কী?

প্রাথমিক অবস্থা সাথে পূর্ণসংখ্যার 1-মাত্রিক এলোমেলো হাঁটা বিবেচনা করুন : $\mathbb{Z}$ $x\in\mathbb{Z}$

S_{n} = x + \sum_{i = 1}^{n} ξ_{i}

$\begin{equation} S_n=x+\sum^n_{i=1}\xi_i \end{equation}$

যেখানে $\xi_i$ আইআইডি তেমন হয় যে $P\{\xi_i=1\}=P\{\xi_i=-1\}=\frac{1}{2}$ ।

যে কেউ প্রমাণ করতে পারে (1)

P^{x} {S_{n} reaches +1 eventually} = 1

$\begin{equation} P^x{\{S_n \text{ reaches +1 eventually}\}} = 1 \end{equation}$

যেখানে সাবস্ক্রিপ্ট প্রাথমিক অবস্থানকে বোঝায়।

আসুন করার প্রথম প্যাসেজ সময় । অন্য কথায়, । যে কেউ প্রমাণ করতে পারে (2) $\tau$ $+1$ $\tau:=\tau(1):=\min\{n\geq0:S_n=1\}$

E τ = + \infty

$\begin{equation} E\tau = +\infty \end{equation}$

উভয় প্রমাণই পাওয়া যাবে http://galton.uchicago.edu/~lalley/Courses/312/RW.pdf- এ । নিবন্ধটি পড়ার মাধ্যমে, আমি উভয় প্রমাণই বুঝতে পারি।

আমার প্রশ্নটি অবশ্য প্রথম বিবৃতিতে এবং সাধারণভাবে "অবশেষে" এর অর্থ কী। যদি "অবশেষে" কিছু ঘটে থাকে তবে তা সীমাবদ্ধ সময়ে ঘটে না, তাই না? যদি তা হয় তবে যা ঘটে না এমন কিছু এবং "ঘটনাক্রমে" ঘটে না এমন কোনও জিনিসের মধ্যে আসলে পার্থক্য কী? বিবৃতি (1) এবং (2) কিছুটা বিবেচনা করে আমার সাথে নিজেকে বিবাদ করছে। এর মতো আরও কি উদাহরণ আছে?

সম্পাদনা

কেবল প্রশ্নের জন্য একটি অনুপ্রেরণা যুক্ত করতে চান, অর্থাত্ "অবশেষে" ঘটে যাওয়া কোনও কিছুর একটি সরল উদাহরণ, তবে সীমাবদ্ধ প্রত্যাশিত অপেক্ষা সময়ের সাথে।

\begin{aligned} P {walker eventually moves left} & = 1 - P {walker never moves left} \\ = 1 - lim_{n \to \infty} \frac{1}{2^{n}} \\ = 1 \end{aligned}

$\begin{split} P\{\text{walker eventually moves left}\} & = 1 - P\{\text{walker never moves left}\} \\ & = 1-\lim_{n\to\infty} \frac{1}{2^n} \\ & = 1 \end{split}$

অতএব আমরা জানি যে ভ্রমণকারী "অবশেষে" বাম গতি ও প্রত্যাশিত অপেক্ষার সময় ফলে পূর্বে (অর্থাত, বাম চলন্ত) থাকবে না । $1/(1/2)=2$

"অবশেষে" ঘটে যাওয়া অসীম প্রত্যাশিত "অপেক্ষা সময়" সহ এমন কিছু দেখা আমার কল্পনাশক্তির জন্য যথেষ্ট প্রসারিত ছিল। @ হোবারের প্রতিক্রিয়াটির দ্বিতীয়ার্ধের আরেকটি দুর্দান্ত উদাহরণ।

— ইয়ে তিয়ান
সূত্র

কোন শেষ পর্যন্ত সীমাবদ্ধ সময় মানে। এটি হ'ল বিপরীতে যা হচ্ছে তা হ'ল: পি সীমিত, যদিও

— তাউয়ের

ঠিক আছে কচী বিতরণ en.wikedia.org/wiki/Cauchy_distribration এর আধ্যাত্মিক উদাহরণ আছে ।

— seanv507

@ Seanv507 - হ্যাঁ, যদিও কাচ্চি বিতরণের গড় অসীমের পরিবর্তে সংজ্ঞায়িত হয়েছে (কচির ডিবিএন থেকে প্রাপ্ত একটি নমুনার অর্থ অবিচ্ছিন্নভাবে + অনন্তে রূপান্তরিত করার পরিবর্তে

অনন্তের কাছে যাওয়ার সাথে সাথে প্রায় লাফিয়ে উঠবে )। আমি পেরেটো ডিস্ট্রিবিউশন ( en.wikedia.org/wiki/Pareto_distribration ) এর কথা ভাবছিলাম , যার অর্থ = অসীম যখন এর আকার পরামিতি

এবং এখনও একটি ভাল সংজ্ঞায়িত সম্ভাবনা বিতরণ ফাংশন রয়েছে।

n

$n$

α <= 1

$\alpha <= 1$

— রবার্টএফ

ধন্যবাদ @RobertF - আমি Pareto বলেছি কর্তব্য

— seanv507

সব এই মধ্যে কিছু সান্ত্বনা আছে: যদি

, তারপর

প্রায়, কিন্তু না অন্য উপায়।

P (τ = \infty) > 0

$P(\tau=\infty)>0$

E [τ] = \infty

$E[\tau]=\infty$

— অ্যালেক্স আর

উত্তর:

কীভাবে একটি ঘটনা "শেষ পর্যন্ত ঘটে" প্রদর্শিত হবে? আপনি একটি কাল্পনিক প্রতিপক্ষের সাথে একটি চিন্তার পরীক্ষা পরিচালনা করবেন। আপনার প্রতিপক্ষ কোনও ধনাত্মক সংখ্যা দিয়ে আপনাকে চ্যালেঞ্জ জানাতে পারে । আপনি একটি খুঁজে পাই তাহলে (যা সম্ভবত উপর নির্ভর করে ), যার জন্য ইভেন্টের সময় দ্বারা ঘটছে সম্ভাবনা অন্তত হয় , তাহলে আপনি জয়। $p$ $n$ $p$ $n$ $1-p$

উদাহরণস্বরূপ, " " বিভ্রান্তিকর স্বরলিপি কারণ আপনি এলোমেলো হাঁটার এক রাজ্যের পাশাপাশি পুরো র্যান্ডম ওয়াকে নিজেই উল্লেখ করার জন্য এটি উভয়ই ব্যবহার করেন। এর পার্থক্য সনাক্ত করার জন্য যত্ন নেওয়া যাক। "ছুঁয়েছে অবশেষে" একটি উপসেট পড়ুন বোঝানো হয় সব এলোমেলো সেট পদচারনা । প্রতিটি হাঁটার অসীম অনেক পদক্ষেপ হয়েছে। সময়ে এর মান হ'ল । " সময়ে পৌঁছায় " বলতে রাজ্যের পৌঁছেছে এমন উপসেট বোঝায় $S_n$ $1$ $\mathcal{S}$ $\Omega$ $S\in\Omega$ $S$ $n$ $S_n$ $S$ $1$ $n$ $\Omega$ $1$ সময় দ্বারা । কঠোরভাবে, এটি সেট $n$

Ω_{1, n} = {S \in Ω ∣ S_{1} = 1 or S_{2} = 1 or \dots or S_{n} = 1} .

$\Omega_{1,n} = \{S\in\Omega \mid S_1=1\text{ or }S_2=1\text{ or }\cdots\text{ or }S_n=1\}.$

আপনার কাল্পনিক প্রতিপক্ষের প্রতিক্রিয়ায়, আপনি যে সম্পত্তির সাথে কিছু প্রদর্শন করছেন $\Omega_{1,n}$

P_{ξ} (Ω_{1, n}) \geq 1 - p .

$\mathbb{P}_\xi(\Omega_{1,n}) \ge 1-p.$

যেহেতু স্বেচ্ছাসেবক, আপনার কাছে সেটের সমস্ত উপাদান উপলব্ধ $n$

Ω_{1, \infty} = ⋃_{n = 1}^{\infty} Ω_{1, n} .

$\Omega_{1,\infty} = \bigcup_{n=1}^\infty \Omega_{1,n}.$

(স্মরণ করুন যে যদি কেবলমাত্র সেখানে সীমাবদ্ধ থাকে যার জন্য $S \in \bigcup_{n=1}^\infty \Omega_{1,n}$ $n$ $S \in \Omega_{1,n}$ , তাই কোন অসীম এই ইউনিয়ন জড়িত সংখ্যা নাও হয়।)

আপনার গেমটি জিততে পারে এমন দক্ষতা দেখায় যে এই ইউনিয়নটির ফর্ম এর সমস্ত মান অতিক্রম করার সম্ভাবনা রয়েছে , তা ছোট যাই হোক না কেন । ফলস্বরূপ, সম্ভাবনা কমপক্ষে - এবং অতএব সমান $1-p$ $p\gt 0$ $1$ $1$ । আপনি এখন প্রদর্শিত হবে

P_{ξ} (Ω_{1, \infty}) = 1.

$\mathbb{P}_\xi(\Omega_{1,\infty}) = 1.$

"অবশেষে ঘটছে" এবং অসীম প্রত্যাশিত প্রথম বারের সময় পার্থক্যের মধ্যে পার্থক্যের প্রশংসা করার একটি সহজ উপায় হল একটি সহজ পরিস্থিতি বিবেচনা করা। জন্য কোনো প্রাকৃতিক নম্বর, দিন ক্রম হতে $n$ $\omega^{(n)}$

ω^{(n)} = (\underset{n}{\underset{⏟}{0, 0, \dots, 0}}, 1, 1, \dots)

$\omega^{(n)} = (\underbrace{0, 0,\ldots,0}_{n},1,1,\ldots)$

যার মধ্যে শূন্যগুলি একটি অন্তহীন স্ট্রিং অনুসরণ করে। অন্য কথায়, এগুলি সেই পদক্ষেপগুলি যা উত্সে থাকে এবং কিছু (সসীম) সময় পর্যায়ে যায় $n$ $1$ , তারপরে চিরতরে সেখানে থাকে।

আসুন এই সেট পৃথক সিগমা বীজগণিত সহ। এর মাধ্যমে সম্ভাব্যতা পরিমাপ বরাদ্দ করুন $\Omega$ $\omega^{(n)}, n=0, 1, 2, \ldots$

P (ω^{(n)}) = \frac{1}{n + 1} - \frac{1}{n + 2} = \frac{1}{(n + 1) (n + 2)} .

$\mathbb{P}(\omega^{(n)}) = \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n+2} = \frac{1}{(n+1)(n+2)}.$

এই করতে জাম্পিং সম্ভাবনা তৈরি করতে পরিকল্পনা করা হয়েছিল সময় দ্বারা করার সমান , যা স্পষ্টত ইচ্ছামত ঘনিষ্ঠভাবে দৃষ্টিভঙ্গি । আপনি খেলা জিততে হবে। লাফটি শেষ পর্যন্ত হয় এবং যখন এটি হয়, এটি কিছু সীমাবদ্ধ সময়ে হবে। যাইহোক, আশা করা সময় যখন এটা বেঁচে থাকা ফাংশনের সমষ্টি (যা সম্ভাবনা দেয় না সময়ে jumped থাকার ), $1$ $n$ $1-1/(n+1)$ $1$ $n$

E (τ) = \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots,

$\mathbb{E}(\tau) = \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots,$

যা ডাইভারেজ করে। এটি হ'ল লাফ দেওয়ার আগে একটি অপেক্ষাকৃত বড় সম্ভাবনা দীর্ঘ সময় অপেক্ষা করার জন্য দেওয়া হয়।

— whuber
সূত্র

আমি যদি আপনার প্রথম বিভাগটি এপসিলন / ডেল্টা যুক্তিতে উত্সাহিত হয় এবং এইভাবে মূলত কেবল বলে যাচ্ছি তবে আমি কি ভুল বোঝাবুঝি করছি?

\underset{এন \to \infty}{লিম} {পি}_{এন} = 1

$\lim_{ n \to \infty } P_n = 1$ (কোথায়

P_{n}

$P_n$ পরে কিছু ঘটনার সম্ভাবনা

n

$n$ ধাপ)?

— jpmc26

@jpm It doesn't just boil down to it: it is an epsilon-delta argument. In this case "delta" is "

n

$n$ " and "epsilon" is written "

p

$p$ " as a reminder that it is a probability. The emphasis here is on the finiteness of

n

$n$ : limits are defined in terms of finite values and finite operations, not infinite ones.

— whuber

I thank an anonymous user for suggesting the use of underbrace in the description of

ω^{(n)}

$\omega^{(n)}$ .

— whuber

That something happens eventually means that there is some point in time at which it happens, but there is a connotation that one is not referring to any particular specified time before which it happens. If you say something will happen within three weeks, that is a stronger statement than that it will happen eventually. That it will happen eventually does not specify a time, such as "three weeks" or "thirty-billion years" or "one minute".

— Michael Hardy
সূত্র