সাইন এবং কোসিনের মধ্যে সম্পর্ক

ধরুন $X$ এ অভিন্নভাবে বিতরণ করা হয়েছে । যাক এবং । দেখান যে এবং মধ্যে পারস্পরিক সম্পর্ক শূন্য। $[0, 2\pi]$ $Y = \sin X$ $Z = \cos X$ $Y$ $Z$

মনে হচ্ছে সাইন এবং কোসিনের মানক বিচ্যুতি এবং তাদের সম্প্রদায়ের বিষয়টি আমার জানা দরকার। এগুলি আমি কীভাবে গণনা করতে পারি?

আমি মনে করি আমার ধরে নিতে হবে $X$ এর অভিন্ন বিতরণ রয়েছে এবং রূপান্তরিত ভেরিয়েবলগুলি $Y=\sin(X)$ এবং $Z=\cos(X)$ । তারপরে অজ্ঞান পরিসংখ্যানবিদ আইনটি প্রত্যাশিত মান দিত

E [Y] = \frac{1}{b - a} \int_{- \infty}^{\infty} \sin (x) d x

$E[Y] = \frac{1}{b-a}\int_{-\infty}^{\infty} \sin(x)dx$ এবং

E [Z] = \frac{1}{b - a} \int_{- \infty}^{\infty} \cos (x) d x

$E[Z] = \frac{1}{b-a}\int_{-\infty}^{\infty} \cos(x)dx$

(ঘনত্ব স্থির থাকে যেহেতু এটি অভিন্ন বিতরণ, এবং সুতরাং এটি অবিচ্ছেদ্যের বাইরে চলে যেতে পারে)।

তবে, এই অখণ্ডগুলি সংজ্ঞায়িত করা হয়নি (তবে আমার মনে হয় শূন্যের কচির মূল মান রয়েছে)।

আমি কীভাবে এই সমস্যার সমাধান করতে পারি? আমি মনে করি আমি সমাধানটি জানি (পারস্পরিক সম্পর্কটি শূন্য কারণ সাইন এবং কোসাইন বিপরীতে পর্যায়ক্রমে রয়েছে) তবে কীভাবে এটি উত্পন্ন করা যায় তা আমি খুঁজে পাচ্ছি না।

— uklady
সূত্র

যেমন বলা হয়েছে, আপনার সমস্যা অপর্যাপ্ত সংজ্ঞাযুক্ত। সহসম্পর্কিত একটি ধারণা যা ফাংশন নয়, এলোমেলো ভেরিয়েবলের ক্ষেত্রে প্রযোজ্য। (আনুষ্ঠানিকভাবে, একটি এলোমেলো পরিবর্তনশীল হ'ল একধরণের ফাংশন, যা বোরেল পরিমাপের সাথে সজ্জিত আসল সংখ্যার সম্ভাব্য স্থান থেকে একটি পরিমাপযোগ্য ফাংশন But ডোমেন, যা আপনাকে যৌথ বিতরণ সহ সম্ভাব্য তথ্য দেয়))

— কোডিওলজিস্ট

X

$X$

X

$X$

Y = \sin X

$Y = \sin X$

Z = \cos X

$Z = \cos X$

X

$X$

ℝ

$ℝ$

হতে পারে আমি সমর্থন হিসাবে নিতে পারি (আমি ধরে নিব যে , সুতরাং অন্তরটিতে একটি পূর্ণ চক্র রয়েছে)। আমি অনুমান করি যে ইন্টিগ্রেশন সমস্যাগুলি

[0, 2 * p i]

$[0, 2*pi]$

f = 1

$f=1$

— এরপরেও

যদি আপনি এটি করেন, তবে আপনার কেবল একটি স্ক্রেটারপ্লট আঁকতে হবে - কোনও সংহতকরণের প্রয়োজন নেই। সেই স্ক্যাটারপ্লট ইউনিট সার্কেলের (স্পষ্টতই) অভিন্ন বিতরণ। যেহেতু বৃত্তটি উত্সটির মাধ্যমে কোনও প্রতিবিম্বের অধীনে প্রতিসাম্যযুক্ত, তাই পরস্পর সম্পর্কটি তার নেতিবাচক সমতুল্য, সেহেতু এটি অবশ্যই শূন্য, কিউইডি হওয়া উচিত ।

— হোবার

থেকে

\begin{aligned} Cov (Y, Z) & = E [(Y - E [Y]) (Z - E [Z])] \\ = E [(Y - \int_{0}^{2 π} \sin x d x) (Z - \int_{0}^{2 π} \cos x d x)] \\ = E [(Y - 0) (Z - 0)] \\ = E [Y Z] \\ = \int_{0}^{2 π} \sin x \cos x d x \\ = 0, \end{aligned}

$\begin{align} \operatorname{Cov}(Y, Z) &= E[(Y - E[Y])(Z - E[Z])] \\ &= E[(Y - {\textstyle \int}_0^{2\pi} \sin x \;dx)(Z - {\textstyle \int}_0^{2\pi} \cos x \;dx)] \\ &= E[(Y - 0)(Z - 0)] \\ &= E[YZ] \\ &= \int_0^{2\pi} \sin x \cos x \;dx \\ &= 0 , \end{align}$

পারস্পরিক সম্পর্কও 0 হতে হবে।

— Kodiologist
সূত্র

আমি সত্যিই প্রতিযোগিতা থেকে @ হোবার যুক্তি পছন্দ করি এবং এটি একটি মন্তব্য হিসাবে হারিয়ে যেতে চাই না, তাই এখানে কিছুটা বিশদ বিবরণ দেওয়া হয়েছে।

র্যান্ডম ভেক্টর বিবেচনা করুন , যেখানে জন্য এবং । তারপরে, কারণ আর্ক দৈর্ঘ্য দ্বারা ইউনিট বৃত্তকে পরামিতি করে, ইউনিট বৃত্তে সমানভাবে বিতরণ করা হয়। বিশেষত, এর বিতরণ বিতরণের সমান । কিন্তু তারপর $(X, Y)$ $X = \cos(U)$ $Y = \sin(U)$ $U \sim U(0, 2 \pi)$ $\theta \mapsto (\cos(\theta), \sin(\theta))$ $(X, Y)$ $(-X, Y)$ $(X, Y)$

- Cov (X, Y) = Cov (- X, Y) = Cov (X, Y)

$- \text{Cov} (X, Y) = \text{Cov} (-X, Y) = \text{Cov} (X, Y)$

সুতরাং এটি অবশ্যই । $\text{Cov} (X, Y) = 0$

কেবল একটি সুন্দর জ্যামিতিক যুক্তি।

— ম্যাথু ড্রুরি
সূত্র