যদি আমাদের এলোমেলো ভেরিয়েবলের মানগুলির সীমা বেঁধে দেওয়া হয় তবে আমরা কীভাবে হিসাবে একটি সাধারণ বিতরণ পেতে পারি ?

যাক আসুন আমরা দ্বারা বেষ্টিত মূল্যবোধের একটি পরিসীমা সঙ্গে একটি দৈব চলক আছে এবং , যেখানে সর্বনিম্ন মান এবং সর্বোচ্চ মান। $a$ $b$ $a$ $b$

আমাকে বলা হয়েছে যে হিসাবে , যেখানে আমাদের নমুনা আকার, আমাদের নমুনা উপায়ে স্যাম্পলিং বন্টন হয় একটি স্বাভাবিক বন্টন। অর্থাৎ আমরা বৃদ্ধি আমরা কাছাকাছি এবং কাছাকাছি একটি সাধারণ বন্টনের পেতে, কিন্তু প্রকৃত সীমা হয় সমান একটি স্বাভাবিক বন্টন করা হয়। $n \to \infty$ $n$ $n$ $n \to \infty$

যাইহোক, সাধারণ বণ্টনের সংজ্ঞা অংশ তা থেকে প্রসারিত হয়েছে নয় থেকে ? $- \infty$ $\infty$

যদি আমাদের পরিসরের সর্বাধিক , তবে সর্বাধিক নমুনা গড় (নমুনা আকার নির্বিশেষে) সমান হতে চলেছে , এবং সর্বনিম্ন নমুনাটির অর্থ সমান হবে । $b$ $b$ $a$

সুতরাং এটি আমার মনে হচ্ছে যে এমনকি যদি আমরা সীমা নিতে হিসাবে অনন্ত পন্থা, আমাদের বন্টন নয় প্রকৃত সাধারন বন্টনের, কারণ এটি দ্বারা বেষ্টিত এবং । $n$ $a$ $b$

আমি কী মিস করছি ?

— জেরেমি র‌্যাডক্লিফ
সূত্র

উত্তর:

আপনি যা মিস করছেন তা এখানে। মধ্যে asymptotic বিতরণের নয় (নমুনা গড়), কিন্তু এর , যেখানে গড় হল । $\bar{X}_n$ $\sqrt{n}(\bar{X}_n - \theta)$ $\theta$ $X$

যাক IID র্যান্ডম ভেরিয়েবল যেমন যে হতে এবং হয়েছে গড় এবং ভ্যারিয়েন্স । সুতরাং সমর্থন সীমাবদ্ধ আছে। সিএলটি বলছে যে $X_1, X_2, \dots$ $a < X_i <b$ $X_i$ $\theta$ $\sigma^2$ $X_i$

\sqrt{n} ({\bar{X}}_{n} - θ) \overset{d}{\to} N (0, σ^{2}),

$\sqrt{n}(\bar{X}_n - \theta) \overset{d}{\to} N(0, \sigma^2),$

যেখানে হল নমুনা গড়। এখন $\bar{X}_n$

\begin{aligned} a < & X_{i} < b \\ a < & {\bar{X}}_{n} < b \\ a - θ < & {\bar{X}}_{n} - θ < b - θ \\ \sqrt{n} (a - θ) < & \sqrt{n} ({\bar{X}}_{n} - θ) < \sqrt{n} (b - θ) . \end{aligned}

$\begin{align*} a < &X_i <b\\ a < & \bar{X}_n <b\\ a-\theta < &\bar{X}_n - \theta < b - \theta\\ \sqrt{n}(a - \theta) < & \sqrt{n}(\bar{X}_n - \theta) < \sqrt{n}(b - \theta).\\ \end{align*}$

হিসাবে নীচের গণ্ডি এবং উপরের যথাক্রমে এবং এবং এভাবে হিসাবে হুবহু পুরো বাস্তব লাইন। $n \to \infty$ $-\infty$ $\infty$ $n \to \infty$ $\sqrt{n}(\bar{X}_n - \theta)$

আমরা যখনই অনুশীলনে সিএলটি ব্যবহার করি, আমরা বলি , এবং এটি সর্বদা একটি সন্নিবেশিত হবে। $\bar{X}_n \approx N(\theta, \sigma^2/n)$

সম্পাদনা: আমি মনে করি বিভ্রান্তির একটি অংশ কেন্দ্রীয় সীমাবদ্ধতা উপপাদ্যের ভুল ব্যাখ্যা থেকে from আপনি ঠিক বলেছেন যে নমুনাটির নমুনা বন্টন

{\bar{X}}_{n} \approx N (θ, σ^{2} / n) .

$\bar{X}_n \approx N(\theta, \sigma^2/n).$

তবে, নমুনা বিতরণ একটি সীমাবদ্ধ নমুনা সম্পত্তি। আপনি যেমন বলেছিলেন, আমরা ; একবার আমরা এটি করি যে sign চিহ্নটি একটি সঠিক ফলাফল হবে be তবে, আমরা যদি করতে পারি তবে ডান হাতের দিকে আর আমাদের থাকতে পারে না (যেহেতু এখন )। সুতরাং নীচের বিবৃতিটি ভুল $n \to \infty$ $\approx$ $n \to \infty$ $n$ $n$ $\infty$

{\bar{X}}_{n} \overset{d}{\to} N (θ, σ^{2} / n) as n \to \infty .

$\bar{X}_n \overset{d}{\to} N(\theta, \sigma^2/n) \text{ as } n \to \infty.$

[এখানে distribution বিতরণের ক্ষেত্রে অভিব্যক্তির জন্য দাঁড়িয়েছে]। আমরা ফলাফলটি নিখুঁতভাবে লিখতে চাই, তাই ডানদিকে নেই। এখানে আমরা পেতে এলোমেলো ভেরিয়েবলের বৈশিষ্ট্য ব্যবহার করি $\overset{d}{\to}$ $n$

\sqrt{n} ({\bar{X}}_{n} - θ) \overset{d}{\to} N (0, σ^{2})

$\sqrt{n}(\bar{X}_n - \theta) \overset{d}{\to} N(0, \sigma^2)$

বীজগণিত কীভাবে কাজ করে তা দেখতে, উত্তরটি এখানে দেখুন ।

— Greenparker
সূত্র

ধন্যবাদ. আমি আপনার অসমতা বীজগণিত বুঝতে পারি তবে এখনও আপনার প্রথম অনুচ্ছেদ সম্পর্কে আমার কিছুটা বিভ্রান্তি রয়েছে: "অ্যাসিম্পটোটিক বিতরণ (নমুনাটির অর্থ) নয়, ... "। আমি ভেবেছিলাম CLT বলেন যে নমুনা উপায়ে স্যাম্পলিং বন্টন হিসাবে একটি সাধারন বন্টনের পন্থা , এবং আমি চিন্তা আরভি যা আকার নমুনা সব সম্ভাব্য মান লাগে ছিল । কোথায় থেকে এসেছে? কেন আমরা সেই বিতরণে আগ্রহী এবং ?

{\bar{X}}_{n}

$\bar{X}_n$

\sqrt{n} ({\bar{X}}_{n} - θ)

$\sqrt{n} (\bar{X}_n - \theta)$

n \to \infty

$n \to \infty$

{\bar{X}}_{n}

$\bar{X}_n$

n

$n$

\sqrt{n} ({\bar{X}}_{n} - θ)

$\sqrt{n} (\bar{X}_n - \theta)$

{\bar{X}}_{n}

$\bar{X}_n$

— জেরেমি র‌্যাডক্লিফ

(cont'd) এটি কি নমুনার বন্টনকে স্বাভাবিক করার অর্থ? বর্গমূলটি এখান থেকেই এসেছে? এটি স্কোরগুলির সাথে কি করতে হবে ?

Z

$Z$

— জেরেমি র‌্যাডক্লিফ

@ জেরেমিরাদ ক্লিফ আমি আমার উত্তরটি সম্পাদনা করেছি এবং একটি লিঙ্ক অন্তর্ভুক্ত করেছি যাতে কিছু বিবরণ ব্যাখ্যা করা হয়। আশা করি এটি এখন আরও সার্থক হয়ে উঠবে।

— গ্রীনপার্কার

সম্পাদনা করার জন্য সময় দেওয়ার জন্য আপনাকে অনেক ধন্যবাদ, আপনি যে লিঙ্কটি সরবরাহ করেছিলেন তা হ'ল আমি যা খুঁজছিলাম। আর তুমি ঠিক আছে, সমস্যা হলো আমি কষ্ট সন্ধি স্যাম্পলিং বিতরণের সসীম প্রকৃতি এবং সত্য যে আমরা গ্রহণ করা হয় ছিল করার ।

n

$n$

\infty

$\infty$

— জেরেমি র‌্যাডক্লিফ

আপনি যদি কেন্দ্রীয় সীমাবদ্ধ উপপাদ্যের কথা উল্লেখ করছেন তবে নোট করুন যে এটির লেখার একটি সঠিক উপায় is

$\left( \frac{\bar x - \mu} {\sigma} \right) \sqrt n \rightarrow_d N(0,1)$

সাধারণ পরিস্থিতিতে ( এর গড় এবং মানক বিচ্যুতি হ'ল )। $\mu, \sigma$ $x_i$

এই আনুষ্ঠানিক সংজ্ঞা সঙ্গে, আপনি সরাসরি দেখতে পারেন বাম দিকে পারেন একটি যথেষ্ট বড় প্রদত্ত কোন সসীম পরিসীমা জন্য মান গ্রহণ । $n$

অনানুষ্ঠানিক ধারণা যে, "একটি গড় বৃহৎ একটি সাধারন বন্টনের পন্থা জন্য সংযুক্ত হতে সহায়তা করতে ", আমরা যে উপলব্ধি করা প্রয়োজন উপায়ে যে সিডিএফ পেতে ইচ্ছামত পাসে "একটি সাধারন বন্টনের পন্থা" একটি হিসাবে সাধারন বন্টনের বৃহৎ পায়। কিন্তু বড় হওয়ার সাথে সাথে এই আনুমানিক বিতরণের মানক বিচ্যুতি সঙ্কুচিত হয়, সুতরাং প্রায় স্বাভাবিকের চরম লেজের সম্ভাবনাও 0-এ চলে যায়। $n$ $n$ $n$

উদাহরণস্বরূপ, ধরুন । তারপরে আপনি এটি বলতে অনানুষ্ঠানিক অনুমান ব্যবহার করতে পারেন $X_i \sim \text{Bern}(p = 0.5)$

$\bar X \dot \sim N\left(p, \frac{p(1-p)}{n}\right)$

সুতরাং এটি সত্য যে কোনও সীমাবদ্ধ , $n$

$P\left(N\left(p, \frac{p(1-p)}{n}\right) < 0\right) >0$

(আনুমানিক সংকেত বোঝানো কখনই পরিষ্কারভাবে নিখুঁত হয় না), , $n \rightarrow \infty$

$P\left(N\left(p, \frac{p(1-p)}{n}\right) < 0\right) \rightarrow 0$

সুতরাং প্রকৃত বিতরণ এবং আনুমানিক বিতরণের মধ্যে যে তাত্পর্যটি অদৃশ্য হয়ে যাচ্ছে, যেমনটি অনুমানের সাথে ঘটেছিল বলে মনে করা হয়।

— ক্লিফ এবি
সূত্র