সংযত রিগ্রেশন: ভবিষ্যদ্বাণীকারীদের মধ্যে আমরা কেন একটি * পণ্য * শব্দ গণনা করব?

12

মাঝারি রিগ্রেশন বিশ্লেষণগুলি প্রায়শই দুই বা ততোধিক ভবিষ্যদ্বাণী / কোভারিয়েটগুলির মধ্যে মিথস্ক্রিয়া মূল্যায়ন করতে সামাজিক বিজ্ঞানে ব্যবহৃত হয়।

সাধারণত, দুটি পূর্বাভাসকারী ভেরিয়েবল সহ, নিম্নলিখিত মডেলটি প্রয়োগ করা হয়:

$Y = β_0 + β_1*X + β_2*M + β_3*XM + e$

লক্ষ্য করুন যে পরিমিতির পরীক্ষাটি পণ্য শর্ত $XM$ (স্বাধীন ভেরিয়েবল $X$ এবং মডারেটর ভেরিয়েবল মধ্যে গুণ $M$ ) দ্বারা পরিচালিত হয়। আমার খুব মৌলিক প্রশ্ন: আমরা কেন $X$ এবং মধ্যে একটি পণ্য শব্দটি গণনা করি $M$ ? উদাহরণস্বরূপ, কেন না সম্পূর্ণ পার্থক্য $|M-X|$ বা শুধু যোগফল $X + M$ ?

মজার বিষয় হচ্ছে, কেনি এখানে এই সমস্যার প্রতি ইঙ্গিত করেছেন http://davidakenny.net/cm/moderation.htm এই বলে: "যেমন দেখা যাবে যে, পরিমিতির পরীক্ষা সর্বদা পণ্য শব্দ এক্সএম দ্বারা পরিচালিত হয় না" তবে এর আর কোনও ব্যাখ্যা দেওয়া হয়নি is । একটি আনুষ্ঠানিক চিত্র বা প্রমাণ আলোকিত করা হবে, আমি অনুমান / আশা করি।

regression interaction

— হর
সূত্র

12

একটি "মডারেটর" বিরুদ্ধে রিগ্রেশন সহগকে প্রভাবিত করে : তারা মডারেটরের পরিবর্তনের মান হিসাবে পরিবর্তিত হতে পারে। সুতরাং, সম্পূর্ণ সাধারণতার মধ্যে, সংযমের সাধারণ রিগ্রেশন মডেল $Y$ $X$

E (Y) = α (M) + β (M) X

$\mathbb{E}(Y) = \alpha(M) + \beta(M)X$

যেখানে এবং হয় ফাংশন মডারেটরের এর ধ্রুবক বদলে মান দ্বারা প্রভাবিত । $\alpha$ $\beta$ $M$ $M$

একই আত্মা যা রিগ্রেশন একটি প্রতিষ্ঠিত হয় রৈখিক পড়তা সম্পর্কের এবং , আমরা আশা করতে পারে যে উভয় এবং রয়েছে - আনুমানিক কমপক্ষে - রৈখিক ফাংশন মান পরিসীমা জুড়ে তথ্যতে: $X$ $Y$ $\alpha$ $\beta$ $M$ $M$

\begin{aligned} E (Y) & = α_{0} + α_{1} M + O (M^{2}) + (β_{0} + β_{1} M + O (M^{2})) X \\ = α_{0} + β_{0} X + α_{1} M + β_{1} M X + O (M^{2}) + O (M^{2}) X . \end{aligned}

$\eqalign{ \mathbb{E}(Y) &= \alpha_0 + \alpha_1 M + O(M^2) + (\beta_0 + \beta_1 M + O(M^2))X \\ &= \alpha_0 + \beta_0 X + \alpha_1 M + \beta_1 MX + O(M^2) + O(M^2)X. }$

ননলাইনার ("বিগ-ও") পদগুলি বাদ দেওয়া, এই আশায় যে তারা বিবেচ্য বিষয়গুলি খুব ছোট, গুণক (দ্বিপদী) ইন্টারঅ্যাকশন মডেল দেয়

\begin{matrix} (1) & E (Y) = α_{0} + β_{0} X + α_{1} M + β_{1} M X . \end{matrix}

$\mathbb{E}(Y) = \alpha_0 + \beta_0 X + \alpha_1 M + \beta_1 MX.\tag{1}$

এই শিক্ষাদীক্ষা কোফিসিয়েন্টস এর একটি আকর্ষণীয় ব্যাখ্যা প্রস্তাব দেওয়া: যে হারে হয় পরিবর্তন পথিমধ্যে যখন যে হারে হয় পরিবর্তন ঢাল । ( এবং এবং আটকানো যখন (আনুষ্ঠানিকভাবে) শূন্যতে সেট থাকে)) "পণ্য শব্দ" এর সহগ । এটি এইভাবে প্রশ্নের উত্তর দেয়: $\alpha_1$ $M$ $\beta_1$ $M$ $\alpha_0$ $\beta_0$ $M$ $\beta_1$ $MX$

আমরা মডারেটরকে পণ্যের শব্দ সাথে মডেল করি যখন আমরা আশা করি যে মডারেটর উইল ( , গড়) বনাম এর ালের সাথে লিনিয়ার সম্পর্ক রাখবেন । $MX$ $M$ $Y$ $X$

আগ্রহের বিষয় হ'ল এই ডেরাইভেশনটি মডেলের প্রাকৃতিক বর্ধনের দিকে পথ নির্দেশ করে, যা ফিটের ন্যূনতমতা যাচাই করার উপায়গুলির পরামর্শ দিতে পারে। আপনি যদি অলৈখিকতার সাথে উদ্বিগ্ন না হন - আপনি হয় জানেন বা ধরে নিতে পারেন যে মডেলটি সঠিক - তবে আপনি যে পদগুলি বাদ পড়েছিলেন তা পূরণ করতে মডেলটিকে প্রসারিত করতে চান: $X$ $(1)$

E (Y) = α_{0} + β_{0} X + α_{1} M + β_{1} M X + α_{2} M^{2} + β_{2} M^{2} X .

$\mathbb{E}(Y) = \alpha_0 + \beta_0 X + \alpha_1 M + \beta_1 MX + \alpha_2M^2 + \beta_2 M^2X.$

হাইপোথিসিস পরীক্ষা করা মূল্যায়ন করে। এবং অনুমান করা মডেল বাড়ানোর প্রয়োজন হতে পারে তা পারে : (যখন ) বা মধ্যপন্থী সম্পর্ক (যখন ) বা সম্ভবত যুক্ত করা যায় উভয়। (নোট করুন যে এই পরীক্ষাটি জেনেরিক ফাংশন পাওয়ার সিরিজের সম্প্রসারণের দ্বারা প্রস্তাবিত হবে না ) $\alpha_2=\beta_2=0$ $\alpha_2$ $\beta_2$ $(1)$ $M$ $\alpha_2 \ne 0$ $\beta_2 \ne 0$ $f(X,M)$

অবশেষে, আপনি যদি আবিষ্কার করে মিথষ্ক্রিয়া সহগ ছিল শূন্য থেকে উল্লেখযোগ্যভাবে ভিন্ন ছিল না, কিন্তু যে সুস্থ অরৈখিক হয় (যেমন একটি উল্লেখযোগ্য মান প্রমাণ ), তারপর আপনি এই উপসংহারে হবে (ক) সেখানে সংযম কিন্তু (হয় খ) এটি কোনও শব্দ দ্বারা মডেলিং করা হয় না , বরং এর পরিবর্তে higher দিয়ে শুরু করা কিছু উচ্চ-অর্ডার শর্তাদি । এটি সেই ধরণের ঘটনা হতে পারে যার প্রতি কেনি উল্লেখ করছেন। $\beta_1$ $\beta_2$ $MX$ $M^2X$

— whuber
সূত্র

8

আপনি যদি ভবিষ্যদ্বাণীদের যোগফলকে তাদের মিথস্ক্রিয়াটির মডেল করতে ব্যবহার করেন তবে আপনার সমীকরণটি হ'ল:

\begin{array}{rcl} Y & = & β_{0} + β_{1} X + β_{2} M + β_{3} (X + M) + e \\ = & β_{0} + β_{1} X + β_{2} M + β_{3} X + β_{3} M + e \\ = & β_{0} + (β_{1} + β_{3}) X + (β_{2} + β_{3}) M + e \\ = & β_{0} + β_{1}^{'} X + β_{2}^{'} M + e \end{array}

$\begin{eqnarray} Y &=& \beta_0 + \beta_1X + \beta_2M + \beta_3(X + M) + e\\ &=& \beta_0 + \beta_1X + \beta_2M + \beta_3X + \beta_3M + e\\ &=& \beta_0 + (\beta_1 + \beta_3)X + (\beta_2 + \beta_3)M + e \\ &=& \beta_0 + \beta_1'X + \beta_2'M + e \end{eqnarray}$

যেখানে এবং । অতএব, আপনার মডেলটির কোনও ইন্টারঅ্যাকশন হবে না। স্পষ্টতই, পণ্যের ক্ষেত্রে এটি হয় না। $\beta_1'=\beta_1+\beta_3$ $\beta_2'=\beta_2+\beta_3$

পরম মানের সংজ্ঞাটি প্রত্যাহার করুন:

| X - M | = {\begin{cases} X - M, & X \geq M \\ M - X, & X < M \end{cases}

$|X-M| = \begin{cases} X-M, & X \geq M\\ M-X, & X < M \end{cases}$

যদিও আপনি মডেলটি হ্রাস করতে পারবেন কেবলমাত্র এবং পদগুলির সাথে ডিএফ ব্যবহার করে। এর, নিখুঁত মান হল "সংযমের বিশেষায়িত রূপ যা অনেক পরিস্থিতিতে বাস্তবে বাস্তবের সম্ভাবনা নেই", যেমন নীচের মন্তব্যে উল্লেখ করা হয়েছে। $\beta_0 + \beta_1X + \beta_2M + \beta_3|X-M| + e$ $X$ $M$ $|X-M|$

— মিলোস
সূত্র

1

আসলে, একটি সহ শব্দটি প্রদর্শনযোগ্যভাবে সংযমের একটি রূপ: এর মান changes এর মান । তবে এটি একটি সীমিত, বিশেষায়িত ফর্ম যা অনেক পরিস্থিতিতে বাস্তবসম্মত হওয়ার সম্ভাবনা নেই। এটি বলা ঠিক নয় যে এই জাতীয় মডেলটির "কেবলমাত্র প্রধান প্রভাব" রয়েছে।

| X - M |

$|X-M|$

M

$M$

β_{2}

$\beta_2$

— whuber

1

হ্যাঁ, আপনি ঠিক বলেছেন,সংযমের একটি রূপ, আমি রূপান্তর দ্বারা বাহিত হয়েছি এবং সেই অনুসারে উত্তরটি সম্পাদনা করব। এই বিষয়টি চিহ্নিত করার জন্য ধন্যবাদ.

| X - M |

$|X-M|$

— মিলোস

@ মিলস: ভবিষ্যদ্বাণীকারীদের যোগফল সম্পর্কে আপনার উদাহরণ একটি চোখ খোলা, কিছুটা বিব্রতকর একটি ছিল, আমাকে অবশ্যই বলতে হবে কারণ আমার আগে থেকেই গাণিতিক প্রভাবগুলি বোঝা উচিত ছিল;) হুবুহু: যতদূর আমি এটি বুঝতে পেরেছি তবে পরম মানটি কেবল কার্যকর যখন ভবিষ্যদ্বাণীকারী উভয় ভেরিয়েবলগুলি একই ইউনিটে পরিমাপ করা হয় (যেমন দুটি সাইকোমেট্রিক পরীক্ষা, একই মেট্রিক ব্যবহার করে যেমন জেড-স্কোর বা টি-স্কোর)। এক্স এবং এম এর মধ্যে সম্পূর্ণ পার্থক্যটি একটি দরকারী মেট্রিক, যদিও একমাত্র সম্ভাব্য নয় (অর্থাত্ প্রোডাক্ট শব্দটিও ব্যবহার করা যেতে পারে)।

— হর

6

গুণক মডারেটর ব্যবহারের জন্য আপনি কোনও আনুষ্ঠানিক প্রমাণ পাবেন না। আপনি এই পদ্ধতিকে অন্য উপায়ে সমর্থন করতে পারেন। উদাহরণস্বরূপ, একটি ফাংশন এর টেলর-ম্যাকলাউরিন সম্প্রসারণটি দেখুন : $f(X,M)$

f (X, M) = f (0, 0) + \frac{\partial f (0, 0)}{\partial T} T + \frac{\partial f (0, 0)}{\partial M} M + \frac{\partial^{2} f (0, 0)}{\partial T \partial M} T M + \frac{\partial^{2} f (0, 0)}{2 \partial T^{2}} T^{2} + \frac{\partial^{2} f (0, 0)}{2 \partial M^{2}} M^{2} \dots

$f(X,M)=f(0,0)+\frac{\partial f(0,0)}{\partial T} T+\frac{\partial f(0,0)}{\partial M} M+\frac{\partial^2 f(0,0)}{\partial T\partial M} TM +\frac{\partial^2 f(0,0)}{2\partial T^2} T^2 +\frac{\partial^2 f(0,0)}{2\partial M^2} M^2\dots$

যদি আপনি এই ফর্মের কোনও ফাংশন প্লাগ ইন করেন টেলর সমীকরণে, আপনি এটি পান: $f(X,M)=\beta_0+\beta_XX+\beta_MM+\beta_{XM}XM$

f (X, M) = β_{0} + β_{X} X + β_{M} M + β_{X M} X M

$f(X,M)=\beta_0+\beta_XX +\beta_MM +\beta_{XM}XM$

সুতরাং, এখানে যুক্তিটি হ'ল সংযমের এই বিশেষ গুণিত ফর্মটি মূলত জেনেরিক মডারেশন দ্বিতীয় অর্ডার টেলর $f(X,M)$

আপডেট: আপনি যদি চতুষ্পদ শর্তাদি অন্তর্ভুক্ত করেন তবে @ যাহার পরামর্শ অনুসারে তবে এটি ঘটবে: প্লাগ করুন:

g (X, M) = b_{0} + b_{X} X + b_{M} M + b_{X M} X M + b_{X 2} X^{2} + b_{M 2} M^{2}

$g(X,M)=b_0+b_XX +b_MM +b_{XM}XM+b_{X2}X^2 +b_{M2}M^2$

g (X, M) = b_{0} + b_{X} X + b_{M} M + b_{X M} X M + b_{X 2} X^{2} + b_{M 2} M^{2}

$g(X,M)=b_0+b_XX +b_MM +b_{XM}XM +b_{X2}X^2 +b_{M2}M^2$

এটি দেখায় যে আমাদের নতুন মডেল চতুর্ভুজ পদগুলির সাথে একটি সম্পূর্ণ দ্বিতীয় অর্ডার টেইলরের সান্নিধ্যের সাথে মিল রয়েছে, আসল সংযমের মডেল বিপরীতে । $g(X,M)$ $f(X,M)$

— Aksakal
সূত্র

যেহেতু আপনার যুক্তির ভিত্তি হল টেইলর সম্প্রসারণ, আপনি কেন অন্য দুটি চতুর্ভুজ পদটি এবং ? এটা ঠিক যে, তারা সংযম ফরম নয়, কিন্তু মডেল তাদের অন্তর্ভুক্তি সাধারণত প্রভাবিত করবে ।

X^{2}

$X^2$

M^{2}

$M^2$ $\beta_{XM}$

— whuber

@ হুবুহু, আমি পোস্টটি সংক্ষিপ্ত রাখার সিদ্ধান্ত নিয়েছি - এটিই মূল কারণ। অন্যথায়, যখনই আপনার ক্রস টার্ম থাকে তখন আমি দ্বিতীয় অর্ডার শর্তাদি অন্তর্ভুক্ত করার জন্য আমার পছন্দ সম্পর্কে লিখতে শুরু করি, তবে এটি কেটে ফেলুন।

— আকসকল