যৌথভাবে সম্পূর্ণ পরিসংখ্যান: ইউনিফর্ম (ক, খ)

যাক $\mathbf{X}= (x_1, x_2, \dots x_n)$ উপর সমবন্টন থেকে একটি র্যান্ডম নমুনা হতে $(a,b)$ , যেখানে $a < b$ । যাক $Y_1$ এবং $Y_n$ বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম অর্ডার পরিসংখ্যান দেখুন। দেখান যে পরিসংখ্যান $(Y_1, Y_n)$ প্যারামিটারের জন্য যৌথভাবে সম্পূর্ণ পর্যাপ্ত পরিসংখ্যান $\theta = (a, b)$ ।

ফ্যাক্টরিজেশন ব্যবহার করে পর্যাপ্ততা দেখানো আমার পক্ষে কোনও সমস্যা নয়।

প্রশ্ন: আমি কীভাবে সম্পূর্ণতা প্রদর্শন করব? সাধারণত আমি একটি ইঙ্গিত চাই।

চেষ্টা: আমি এক প্যারামিটার ইউনিফর্ম বিতরণের জন্য $\mathbb E[g(T(x))] = 0$ ইম্প্লিড $g(T(x)) = 0$ পারি, তবে আমি দুটি প্যারামিটার ইউনিফর্ম বিতরণে আটকে যাচ্ছি।

আমি $\mathbb E[g(Y_1, Y_n)]$ এর সাথে $Y_1$ এবং এবং এর যৌথ বন্টন ব্যবহার $Y_n$ করেছি, তবে ক্যালকুলাস আমাকে বিভ্রান্ত করছে বলে আমি নিশ্চিত নই।

— emlu
সূত্র

[self-study]ট্যাগ যুক্ত করুন এবং এর উইকি পড়ুন । মনে রাখবেন আপনি চারপাশে ডলার রেখে গণিতের জন্য লেটেক্স ফর্ম্যাটিং ব্যবহার করতে পারেন, যেমন

$x$ উত্পাদন করে । আমি আপনার কয়েকটি গণিত টাইপসেট করার চেষ্টা করেছি তবে আপনি যদি ফলাফলটিতে সন্তুষ্ট না হন তবে নির্দ্বিধায় পরিবর্তন বা প্রত্যাবর্তন করতে পারি। আপনি স্বরলিপি পছন্দ হতে পারে জন্য

পরিবর্তে জন্য

।

x

$x$ $\vec x$

\vec{x}

$\vec x$ $\mathbf x$

x

$\mathbf x$

— সিলভারফিশ

আসুন আপনার জন্য রুটিন ক্যালকুলাসের যত্ন নেওয়া যাক, যাতে আপনি সমস্যার কেন্দ্রবিন্দুতে যেতে পারেন এবং একটি সমাধান গঠনের উপভোগ করতে পারেন। এটি ইউনিয়ন এবং ত্রিভুজগুলির পার্থক্য হিসাবে আয়তক্ষেত্র নির্মাণে নেমে আসে।

প্রথমে এবং মানগুলি চয়ন করুন যা বিশদটি যথাসম্ভব সহজ করে তোলে। $a$ $b$ আমি : এর কোনও উপাদানগুলির অবিচ্ছিন্ন ঘনত্ব কেবলমাত্র বিরতি এর সূচক ফাংশন । $a=0,b=1$ $X=(X_1,X_2,\ldots,X_n)$ $[0,1]$

আসুন এর বিতরণ ফাংশন এর । $F$ $(Y_1,Y_n)$ সংজ্ঞা অনুসারে, যেকোন আসল সংখ্যার জন্য এটি $y_1 \le y_n$

\begin{matrix} (1) & F (y_{1}, y_{n}) = Pr (Y_{1} \leq y_{1} and Y_{n} \leq y_{n}) . \end{matrix}

$F(y_1,y_n) = \Pr(Y_1\le y_1\text{ and } Y_n \le y_n).\tag{1}$

মান স্পষ্টত হয় বা কোন ক্ষেত্রে বা ব্যবধান বাইরে , তাই আসুন অনুমান তারা এই ব্যবধান উভয় করছি। (আসুন তুচ্ছ বিষয় নিয়ে আলোচনা এড়াতে ও ধরে নিই ।) এক্ষেত্রে ইভেন্ট কে মূল ভেরিয়েবল হিসাবে "কমপক্ষে একটি হিসাবে বর্ণনা করা যেতে পারে কম বা সমান এবং কেউই অতিক্রম । " সমতুল্যভাবে, সব মিথ্যা $F$ $0$ $1$ $y_1$ $y_n$ $[a,b] = [0,1]$ $n\ge 2$ $(1)$ $X=(X_1,X_2,\ldots,X_n)$ $X_i$ $y_1$ $X_i$ $y_n$ $X_i$ $[0,y_n]$ তবে তাদের ক্ষেত্রে মিথ্যা কথা নয় । $(y_1,y_n]$

স্বতন্ত্র হওয়ার কারণে , তাদের সম্ভাব্যতাগুলি কেবলমাত্র উল্লিখিত এই দুটি ইভেন্টের জন্য যথাক্রমে and এবং । সুতরাং, $X_i$ $(y_n-0)^n = y_n^n$ $(y_n-y_1)^n$

F (y_{1}, y_{n}) = y_{n}^{n} - (y_{n} - y_{1})^{n} .

$F(y_1,y_n) = y_n^n - (y_n-y_1)^n.$

ঘনত্ব মিশ্র আংশিক ডেরিভেটিভ হয় , $f$ $F$

f (y_{1}, y_{n}) = \frac{\partial^{2} F}{\partial y_{1} \partial y_{n}} (y_{1}, y_{n}) = n (n - 1) (y_{n} - y_{1})^{n - 2} .

$f(y_1,y_n) = \frac{\partial^2 F}{\partial y_1 \partial y_n}(y_1,y_n) = n(n-1)(y_n-y_1)^{n-2}.$

জন্য সাধারণ ফ্যাক্টর দ্বারা ভেরিয়েবলগুলিকে স্কেল করে এবং স্থানটি দ্বারা স্থানান্তরিত করে । $(a,b)$ $b-a$ $a$ সুতরাং, , $a \lt y_1 \le y_n \lt b$

F (y_{1}, y_{n}; a, b) = ({(\frac{y_{n} - a}{b - a})}^{n} - {(\frac{y_{n} - a}{b - a} - \frac{y_{1} - a}{b - a})}^{n}) = \frac{(y_{n} - a)^{n} - (y_{n} - y_{1})^{n}}{(b - a)^{n}} .

$F(y_1,y_n; a,b) = \left(\left(\frac{y_n-a}{b-a}\right)^n - \left(\frac{y_n-a}{b-a} - \frac{y_1-a}{b-a}\right)^n\right) = \frac{(y_n-a)^n - (y_n-y_1)^n}{(b-a)^n}.$

আমরা প্রাপ্ত হিসাবে আগের মত পার্থক্য

f (y_{1}, y_{n}; a, b) = \frac{n (n - 1)}{(b - a)^{n}} (y_{n} - y_{1})^{n - 2} .

$f(y_1,y_n; a,b) = \frac{n(n-1)}{(b-a)^n}(y_n-y_1)^{n-2}.$

সম্পূর্ণতার সংজ্ঞা বিবেচনা করুন। দুটি প্রকৃত ভেরিয়েবলের কোনও পরিমাপযোগ্য ফাংশন হতে দিন । সংজ্ঞানুসারে, $g$

\begin{matrix} (2) & \begin{aligned} E [g (Y_{1}, Y_{n})] & = \int_{y_{1}}^{b} \int_{a}^{b} g (y_{1}, y_{n}) f (y_{1}, y_{n}) d y_{1} d y_{n} \\ \propto \int_{y_{1}}^{b} \int_{a}^{b} g (y_{1}, y_{n}) (y_{n} - y_{1})^{n - 2} d y_{1} d y_{n} . \end{aligned} \end{matrix}

$\eqalign{E[g(Y_1,Y_n)] &= \int_{y_1}^b\int_a^b g(y_1,y_n) f(y_1,y_n)dy_1dy_n\\ &\propto\int_{y_1}^b\int_a^b g(y_1,y_n) (y_n-y_1)^{n-2} dy_1dy_n.\tag{2} }$

আমাদের দেখাতে হবে যে যখন এই প্রত্যাশা সকলের জন্য শূন্য হয় , তখন এটি নিশ্চিত যে যে কোনও জন্য । $(a,b)$ $g=0$ $(a,b)$

এখানে আপনার ইঙ্গিত। যাক হতে কোন পরিমাপযোগ্য ফাংশন। আমি ফর্ম দ্বারা প্রস্তাবিত এটা প্রকাশ করতে চাই যেমন । যে কাজের জন্য, অবশ্যই আমরা বিভক্ত আবশ্যক দ্বারা । দুর্ভাগ্যক্রমে, জন্য যখনই হয় এটি সংজ্ঞায়িত হয় না । মূলটি হ'ল এই সেটটির শূন্য পরিমাপ রয়েছে তাই আমরা এটিকে অবহেলা করতে পারি। $h:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}$ $(2)$ $h(x,y)=g(x,y)(y-x)^{n-2}$ $h$ $(y-x)^{n-2}$ $n\gt 2$ $y-x$

তদনুসারে, কোনও পরিমাপযোগ্য দেওয়া আছে , সংজ্ঞা দিন $h$

g (x, y) = {\begin{matrix} h (x, y) / (y - x)^{n - 2} & x \neq y \\ 0 & x = y \end{matrix}

$g(x,y) = \left\{\matrix{h(x,y)/(y-x)^{n-2} & x \ne y \\ 0 & x=y}\right.$

তারপরে হয়ে যায় $(2)$

\begin{matrix} (3) & \int_{y_{1}}^{b} \int_{a}^{b} h (y_{1}, y_{n}) d y_{1} d y_{n} \propto E [g (Y_{1}, Y_{n})] . \end{matrix}

$\int_{y_1}^b\int_a^b h(y_1,y_n) dy_1dy_n \propto E[g(Y_1,Y_n)].\tag{3}$

(যখন কাজের কিছু দেখানো হয় শূন্য হয়, আমরা আনুপাতিকতা এর অশূন্য ধ্রুবক এড়িয়ে যেতে পারেন। এখানে, আমি বাদ বাম দিকে থেকে।) $n(n-1)/(b-a)^{n-2}$

এটি একটি সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ সঙ্গে থেকে ব্যাপ্ত উপর অবিচ্ছেদ্য থেকে এবং প্রান্তবিন্দু । আসুন এই জাতীয় ত্রিভুজটি বোঝান । $(a,a)$ $(b,b)$ $(a,b)$ $\Delta(a,b)$

অতএব , তুমি কি প্রদর্শনী প্রয়োজন যে যদি একটি অবাধ পরিমাপযোগ্য ফাংশনের অবিচ্ছেদ্য উপর সব ত্রিভুজ শূন্য, তারপর কোন হল , (প্রায় নিশ্চয় ) সকলের জন্য । $h$ $\Delta(a,b)$ $a\lt b$ $h(x,y)=0$ $(x,y)\in \Delta(a,b)$

যদিও এটি মনে হতে পারে যে আমরা আর লাভ করতে তবে অর্ধ-সমতল সম্পূর্ণরূপে কোনও আয়তক্ষেত্র । এটি ত্রিভুজগুলির ক্ষেত্রে প্রকাশ করা যেতে পারে: $[u_1,u_2]\times [v_1,v_2]$ $y \gt x$

[u_{1}, u_{2}] \times [v_{1}, v_{2}] = Δ (u_{1}, v_{2}) ∖ (Δ (u_{1}, v_{1}) \cup Δ (u_{2}, v_{2})) \cup Δ (u_{2}, v_{1}) .

$[u_1,u_2]\times [v_1,v_2] = \Delta(u_1,v_2) \setminus\left(\Delta(u_1,v_1) \cup \Delta(u_2,v_2)\right)\cup \Delta(u_2,v_1).$

এই চিত্রটিতে, যখন আমরা ওভারল্যাপিং লাল এবং সবুজ ত্রিভুজগুলি (যা তাদের বাদামী ছেদকে দ্বিগুণ গণনা করে) অপসারণ করি এবং এর পরে তাদের ছেদটি প্রতিস্থাপন করি তখন আয়তক্ষেত্রটি বৃহত ত্রিভুজ থেকে যা অবশিষ্ট থাকে is

ফলস্বরূপ, আপনি অবিলম্বে অনুমান করতে পারেন যে এই জাতীয় সমস্ত আয়তক্ষেত্রের মধ্যে এর অবিচ্ছেদ্য শূন্য। $h$ এটি কেবলমাত্র দেখানোর জন্য রয়ে গেছে যে শূন্য হতে হবে (পরিমাপ শূন্যের কিছু সেটগুলির মানগুলি বাদে) যখনই । এটির (স্বজ্ঞাত স্বচ্ছ) দৃser়তার প্রমাণ নির্ভর করে আপনি কোন পদ্ধতির সংহতকরণের সংজ্ঞাতে যেতে চান তার উপর নির্ভর করে। $h(x,y)$ $y \gt x$

— whuber
সূত্র

আমি সমীকরণ 3 শূন্যের সমান সেট করার চেষ্টা করেছি, উভয় পক্ষের ডেরাইভেটিভ নিয়েছি এবং চিহ্নগুলি (আমার অনুমানের একটি প্রতিবিম্ব ক্রিয়া) বিনিময় করলাম তবে ফলাফলগুলি বেশ ভীতিকর দেখাচ্ছে [1]। আরও কি যুক্তিসঙ্গত পন্থা আছে? [1] en.wikipedia.org/wiki/Leibniz_integral_rule#Higher_dimensions

— mugen

চিত্রের হাইপোপেনজ বরাবর শুয়ে থাকা সমস্ত ছোট এবং ত্রিভুজগুলির সীমাবদ্ধ সংগ্রহ বিবেচনা করুন এবং সংগ্রহের বৃহত্তম ত্রিভুজটির ব্যাস শূন্যের দিকে চলে যাওয়ার সাথে সীমাটি নিন।

— whuber