স্বাভাবিকের চতুর্ভুজ ফর্ম বিতরণ

Question

আমি বিতরণটি বের করার চেষ্টা করছি

$$(n-1) \sum_{i=1}^n Z_i^2 - \left( \sum_{i=1}^n Z_i \right)^2 \qquad (*)$$ কোথায় $Z_i \sim \mathcal{N}(0,1)$, iid আমি জানি যে, প্রতিটি শর্ত পৃথকভাবে নেওয়া, $$\sum_{i=1}^n Z_i^2 \sim \chi^2(n)$$ এবং $$\frac{1}{n}\left( \sum_{i=1}^n Z_i \right)^2 \sim \chi^2(1).$$ তবে আমি (*) বিতরণ সম্পর্কে নিশ্চিত নই

Comments

আমাদের সাইটে আপনাকে স্বাগতম! এটি কোনও কোর্স বা পাঠ্যপুস্তক থেকে একটি প্রশ্ন? যদি তা হয় তবে দয়া করে [self-study]ট্যাগটি যুক্ত করুন এবং এর উইকিটি পড়ুন । অন্যথায় এই সমস্যাটি কী প্রসঙ্গে উত্থাপিত হয়েছে তা জানা আকর্ষণীয় হবে। আপনি কী করেছেন এবং কোথায়

— আটকেছেন

@ সিলভারফিশ না, এটিই আমি আবিষ্কার করার চেষ্টা করছি। আমি এই সাধারণ প্রশ্নটি সমাধান করে দিয়েছি; আমার আসল সমস্যাটি খানিকটা জটিল, আমি ভীত! সুতরাং, আমি কেবলমাত্র সেই অংশটিই জিজ্ঞাসা করার চেষ্টা করেছি যাতে আমার সত্যিকারের সহায়তা প্রয়োজন। তবে, এটি যদি কোনও পাঠ্যপুস্তকের সমস্যার মতো মনে হয় তবে প্রাসঙ্গিক তথ্য

— সরবরাহের

বোধগম্য মনে হচ্ছে! এছাড়াও, লেটেক্স টাইপসেটিং ব্যবহার করার জন্য ধন্যবাদ, আমরা সর্বদা প্রচেষ্টাটির প্রশংসা করি

— সিলভারফিশ

Answer 1

এখানে একটি প্রচেষ্টা :

বিবেচনা $Z=X-Y$ যেমন যে $X \sim \chi^2(\alpha)$ এবং $Y \sim \chi^2(\beta)$ সঙ্গে $\alpha \geq \beta$

$$\mathcal{M}_X(t) = \left(1-2 \, t\right)^{-\alpha/2}$$

$$\mathcal{M}_Y(t) = \left(1-2 \, t\right)^{-\beta/2}$$

$$\mathcal{M}_Z(t) = M_X(t)M_Y(-t) = \left(1-2 \, t\right)^{-\alpha/2}\left(1+2 \, t\right)^{-\beta/2} = (1-4t^2)^{-\beta/2}$$

$$\mathcal{M}_Z(t) = (1-2t)^{-n/2}(1+2t)^{-1/2} = (1-4t^2)^{-1/2} (1-2t)^{-(n-1)/2}$$

আমি নিশ্চিত নই যে এটি কমে যেতে পারে এমজিএফের কাছে।

Comments

আরও কিছুটা সাধারণ পরিস্থিতি নিয়ে কিছু আলোচনা stats.stackexchange.com/questions/72479 এ প্রদর্শিত হয় , একটি কাগজের সাথে একটি সংখ্যার প্রস্তাব দেয়।

— whuber