দুটি নির্ভরশীল মাল্টিভারিয়েট সাধারণ র্যান্ডম ভেরিয়েবলের রৈখিক সংমিশ্রণ

Question

মনে করুন আমাদের এলোমেলো ভেরিয়েবলের দুটি ভেক্টর রয়েছে, উভয়ই স্বাভাবিক, অর্থাৎ $X \sim N(\mu_X, \Sigma_X)$ এবং $Y \sim N(\mu_Y, \Sigma_Y)$ । আমরা তাদের লিনিয়ার সংমিশ্রণ এর বিতরণে আগ্রহী $Z = A X + B Y + C$, যেখানে $A$ এবং $B$ ম্যাট্রিক্স, $C$ একটি ভেক্টর। তাহলে $X$ এবং $Y$ স্বাধীন হয়, $Z \sim N(A \mu_X + B \mu_Y + C, A \Sigma_X A^T + B \Sigma_Y B^T)$ । প্রশ্নটি নির্ভরশীল ক্ষেত্রে, ধরে নেওয়া যায় যে আমরা কোনও জোড় পারস্পরিক সম্পর্ক জানি$(X_i, Y_i)$। ধন্যবাদ.

শুভকামনা, ইভান

Answer 1

সেক্ষেত্রে আপনাকে লিখতে হবে (আশাকরি পরিষ্কার স্বরলিপি সহ) ( সম্পাদিত: ( এক্স , ওয়াই ) এর যৌথ স্বাভাবিকতা ধরে ) তারপর একটি এক্স + বি ওয়াই = ( এ বি ) ( এক্স ওয়াই ) এবং এ এক্স + বি ওয়াই + সি ∼

$$\left(\begin{matrix}X\\Y \end{matrix}\right) \sim \mathcal{N}\left[ \left(\begin{matrix}\mu_X\\\mu_Y\end{matrix}\right), \Sigma_{X,Y} \right]$$ $(X,Y)$ $$AX+BY=\left(\begin{matrix}A& B \end{matrix}\right) \left(\begin{matrix}X\\Y \end{matrix}\right)$$ অর্থাৎ এএক্স+বিওয়াই+সি∼ এন [ এ μ এক্স + বি μ ওয়াই + সি , এ Σ এক্স এক্স এ টি + বি Σ টি $$AX+BY+C \sim \mathcal{N}\left[ \left(\begin{matrix}A& B \end{matrix}\right) \left(\begin{matrix}\mu_X\\\mu_Y\end{matrix}\right) + C, \left(\begin{matrix}A & B \end{matrix}\right)\Sigma_{X,Y} \left(\begin{matrix}A^T \\ B^T \end{matrix}\right)\right]$$ $$AX+BY+C \sim \mathcal{N}\left[A\mu_X + B\mu_Y +C, A\Sigma_{XX}A^T+B\Sigma_{XY}^TA^T+A\Sigma_{XY}B^T+B\Sigma_{YY}B^T \right]$$

Comments

$X$$Y$

$B\Sigma_{XY}^TA^T+A\Sigma_{XY}B^T$$2A\Sigma_{XY}B^T$ $$B\Sigma_{XY}^TA^T+A\Sigma_{XY}B^T = (A\Sigma_{XY}B^T)^T + A\Sigma_{XY}B^T$$ $\Sigma_{XY}$$(i,j)$$\text{cov}(X_i,Y_j)$$(j,i)$$\text{cov}(X_j,Y_i)$

@ দিলিপ সরওয়াতে: (+১) আপনি ঠিক বলেছেন, সাধারণ ক্ষেত্রে এই দুটি পদ সমান হওয়ার কোনও কারণ নেই।

— শি'আন

Answer 2

$X$$Y$$\Sigma_{XY}$$W=(X^T,Y^T)^T$$Z$$W$

$$Z=(A,B)W+C$$

$A\Sigma_{XY}B^T+B\Sigma_{XY}^TA^T$

Comments

এই ইস্যুটি দেখানোর জন্য ধন্যবাদ, আসলে, আমি এটি সম্পর্কে চিন্তাও করি নি, তবে মনে হয় যে পরিবর্তনগুলি প্রকৃতপক্ষে আমার ক্ষেত্রে, যৌথভাবে সাধারণত বিতরণ করা যেতে পারে, যদিও তাদের উপাদানগুলি পরস্পর সম্পর্কিত হয়।

— ইভান

$X$$Y$$\text{cov}(X_i,Y_j)$$i, j$$W = (X^T,Y^T)^T$। সীমাবদ্ধ বৈকল্পগুলির সাথে যে কোনও দুটি এলোমেলো ভেরিয়েবলের একটি covariance থাকে। কোভারিয়েন্স কেবলমাত্র সাধারণ বা যৌথভাবে সাধারণ র্যান্ডম ভেরিয়েবলের জন্য সংজ্ঞায়িত হয় না ।

— দিলীপ সরোতে

$a^T X$$a$

$X\sim N(\mu_X,\Sigma_X)$$Y\sim N(\mu_Y,\Sigma_Y)$$X$$Y$$(X_i,Y_i)$$X_i$$Y_i$$X\sim N(\mu_X,\Sigma_X)$$X_i$$Y_i$

@ ইভান এই প্রশ্নটির

— দিলীপ সরোতে