প্রত্যাশিত মান বনাম সবচেয়ে সম্ভাব্য মান (মোড)

Question

একটি ডিস্ট্রিবিউশন এর প্রত্যাশিত মানটি $f(x)$গড়, এটি হ'ল ওয়েটড গড় মান

$$E[x]=\int_{-\infty}^{+\infty} x \, \, f(x) dx$$

সর্বাধিক সম্ভাব্য মানটি হল মোড, এটিই সম্ভবত সম্ভাব্য মান।

তবে আমরা কি আশা করব যে কোনওভাবে অনেক সময় দেখতে পাবে $E[x]$? এখান থেকে উদ্ধৃতি :

তাহলে ফলাফল $x_i$ সমানভাবে সম্ভাব্য হয় না, তারপর সহজ গড় ভরযুক্ত গড়, যা একাউন্টে সত্য যে কিছু ফলাফল অন্যদের তুলনায় সম্ভাবনা বেশি লাগে দিয়ে প্রতিস্থাপিত করা আবশ্যক। অন্তর্দৃষ্টি একই থাকে: এর প্রত্যাশিত মান$x$হ'ল একজন গড় হিসাবে প্রত্যাশা করে ।

আমি বুঝতে পারি না কি মানে হলো "গড় ঘটতে" না, মানে কি এই যে, istance জন্য, একটি পরিমাপ সময় আমি দেখতে আশা অনেকটা গ্রহণ আরো অন্যান্য মান চেয়ে এক্স ? কিন্তু এটা কি মোডের সংজ্ঞা নয়?$E[x]$$x$

তাহলে বিবৃতিটি কীভাবে ব্যাখ্যা করবেন? এবং সম্ভাব্য অর্থ কী?$E[x]$

---

আমি যেখানে উদাহরণস্বরূপ বিভ্রান্ত হই সেখানে উদাহরণও দেখাতে চাই। অধ্যয়নরত বন্টন আমি শিখেছি যে মোড হয় χ 2 মি ণ ঘ ঙ = ν - 2 , যখন ই [ χ 2 ] = $\chi^2$$\chi^2_{mode}=\nu-2$$E[\chi^2]=\nu$ , যেখানে ডেটার স্বাধীন ডিগ্রীগুলির হয়।$\nu$

আমি বিশ্ববিদ্যালয়ে শুনেছি যে, যখন একজন করছেন লিস্ট স্কোয়ার ব্যবহার পদ্ধতি ডেটার একটি সেট মাপসই পর পরীক্ষা, আমি পেতে আশা করা উচিত χ 2$\chi^2$কারণ "সাধারণভাবে এটিই ঘটে"।$\chi^2 \approx \nu$

---

আমি কি এই সমস্ত ভুল বুঝেছি বা প্রত্যাশিত মানটি কোনওভাবেই খুব সম্ভবত সম্ভাব্য? (এমনকি যদি সবচেয়ে সম্ভাব্য মান অবশ্যই মোডের হয়)

Comments

আমি এই প্রশ্নের জন্য টিকিট-ইন-বক্স-রূপকের শক্তিটি পছন্দ করি , কারণ এটি একটি সাধারণ, পরিষ্কার, উত্তর উত্পাদন করে: একটি এলোমেলো ভেরিয়েবলের প্রত্যাশাটি তার মানগুলির যোগফল (টিকিটে আঁকা হিসাবে) দ্বারা বিভক্ত হয় টিকিট গণনা। এটাই. এই সংজ্ঞাটি (বা এর আরও পরিশীলিত গাণিতিক সমতুল্য) অনুসরণ করে না এমন কোনও বিবৃতি কেবল একটি হিউরিস্টিক এবং এটি কিছু পরিস্থিতিতে খুব সম্ভবত ভুল হতে পারে।

— হোবার

Answer 1

একটি সাধারণ বিতরণের জন্য, প্রত্যাশিত মান, ওরফে গড়, মোডের সমান।

সাধারণভাবে, প্রত্যাশিত মানটি কেবলমাত্র সর্বাধিক সম্ভাব্য (বা সর্বোচ্চ ঘনত্ব) নয়, তবে এটির সম্ভাবনাও নেই। উদাহরণস্বরূপ, এলোমেলো ভেরিয়েবল এক্স বিবেচনা করুন যা 0 বা 2 সমান, যার সম্ভাব্যতা 0.5। তারপরে EX = 1, তবে প্রত্যাশিত মান, 1 এর 0 টি হওয়ার সম্ভাবনা থাকে, যখন 0 এবং 2 উভয়ই বিতরণের মোড।

"এক্সের প্রত্যাশিত মানটি যা গড় হিসাবে প্রত্যাশিত হয়" তা উদ্ধৃতিটি অ প্রযুক্তিগত সাধারণ ব্যক্তির ভাষা, যা আপনার বিভ্রান্তির দ্বারা প্রমাণিত, কেবল বিষয়গুলিকে বিভ্রান্ত করার জন্য কাজ করে। সম্ভাব্যতার গাণিতিক গড় হিসাবে প্রত্যাশিত মানটির একটি নির্দিষ্ট অর্থ রয়েছে। যদিও সাধারণ ব্যক্তির ভাষায়, একটি প্রত্যাশিত মান বা "গড়ে" সাধারণত প্রত্যাশিত কিছু হতে পারে। এগুলি পুনরায় মিলিত হতে পারে যদি "গড়পড়তা "টিকে ঘটে থাকে তার গাণিতিক গড় হিসাবে ব্যাখ্যা করা হয়।

প্রত্যাশা আপনার,

জো গড়

Comments

প্রশ্নটি শুরু করে: সম্ভাব্য গ্যারান্টিযুক্ত মিডিয়ানের কী হবে ?

— উজ্জ্বল তারকা

@ ট্রেভর অ্যালেক্সান্দার যেমন বলেছিলেন, মোড গ্যারান্টিও দেয় না। অবিচ্ছিন্ন বিতরণের মোড বিবেচনা করুন।

— টিম

$P(X \le m) \ge 1/2$$P(X \ge m) \ge 1/2$

Answer 2

$$P( X = E(X) ) = 0$$ $X$ continuos হয়)

প্রত্যাশিত মানটির একমাত্র ন্যায়সঙ্গততা এবং যে কারণে আমরা "এটি প্রায়শই দেখার" প্রত্যাশা করি তা হ'ল বড় সংখ্যার আইন :

$n$$X_i$

$$\frac {X_1 + \dots + X_n}{n} \to E(X)$$

$\to$

এর মানে কী? কল্পনা করুন যে আপনি সম্ভাবনা দিয়ে একটি মুদ্রা নিক্ষেপ করেছেন$p> \frac 12$$1$$1-p$$0$

$$E(X) = 1\cdot p + 0\cdot(1-p) = p$$

এখন পরিষ্কারভাবে "পি" কখনই ঘটবে না (এটি হয় মাথা বা লেজ, হয় 0 বা 1)।

$E(X) = p$

Comments

আমি বলব না যে সংখ্যার আইনটি প্রত্যাশিত মানটির একমাত্র ন্যায়সঙ্গত ation উদাহরণস্বরূপ, en.wikedia.org/wiki/… ইউটিলিটি ফাংশনের প্রত্যাশিত মূল্যবোধ বিবেচনা করার একটি সমর্থনযোগ্যতা (আমি প্রমাণটি অধ্যয়ন করি নি তবে আমি আশ্চর্য হয়েছি যদি এটি কোনওভাবে বড় সংখ্যার আইনের উপর ভিত্তি করে থাকে)।

— জুহো কোককল 13

Answer 3

আমি "প্রত্যাশিত মান" শব্দটি পছন্দ করি না এবং সম্ভাব্যতা শেখানোর সময় এটি ব্যবহার করি না। আমার মতে "গাণিতিক গড়" আরও ভাল, কারণ-পার্শ্বযুক্ত ডাইয়ের গাণিতিক গড়টি 3.5 হয় তবে এরকম সংখ্যা হয় না। আমি যখন কলেজে ছিলাম তখন ধারণার জন্য "প্রত্যাশার মান" শব্দটি শুনেছিলাম। প্রচুর প্রযুক্তিগত পদগুলি সুস্পষ্ট অ-প্রযুক্তিগত অর্থের সাথে একমত নয়। ("বা" মনে আসে))

নোট করুন যে কোনও বিতরণে একাধিক মোড থাকতে পারে তবে গাণিতিক গড়টি অনন্য। মোড, গড় এবং মিডিয়ান আলাদা এবং এর বিভিন্ন ব্যবহার রয়েছে।

Comments

"বা" উপর একটি দুর্দান্ত। এটি আমাকে লিনিয়ার প্রোগ্রামিং সম্পর্কে আমার কোর্স সম্পর্কে ভাবতে বাধ্য করেছে যেখানে আমরা বিকল্পের বেশ কয়েকটি উপপাদ অধ্যয়ন করেছি। এগুলি "হয় এ সত্য হয় বা বি সত্য, তবে উভয়ই নয়" ফর্মের ছিল। এটিকে একটি জোর বি হিসাবে প্রকাশ করা আরও সহজ, আমি নৈমিত্তিক রাস্তার কথোপকথনে জোর এর বেশি ব্যবহার শুনতে পাই না।

— মার্ক এল স্টোন

Answer 4

পৃথক বিতরণ দিয়ে পার্থক্যটি দেখতে সবচেয়ে সহজ:

দুটি সংখ্যার মান বিবেচনা করুন যেখানে প্রতিটি সংখ্যা সমানভাবে অঙ্কিত হওয়ার সম্ভাবনা রয়েছে: {1,2,2,2,10} এবং 2 1,2,2,2,3}}

উভয়ের একই মোড (2) থাকে তবে প্রত্যাশিত মান পৃথক হয়। প্রত্যাশিত মানটি বড় মানগুলিতে অতিরিক্ত ওজন রাখে যখন মোডটি কেবল কী মান ঘন ঘন ঘটে তা সন্ধান করে। সুতরাং আপনি যদি এই বিতরণ থেকে বেশ কয়েকবার আঁকেন, আপনার নমুনা গড়টি প্রত্যাশিত মানের কাছাকাছি থাকবে, যখন দেখা সবচেয়ে সাধারণ পূর্ণসংখ্যা হবে মোডের কাছাকাছি।

মোড হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয় $mode=arg{\max{f(x)}}$ আপনি উপরে যেমন দেখিয়েছিলেন, প্রত্যাশিত মানটি সংহত হয়ে যায় $x*f(x)$ সুতরাং এটি প্রতিটি এক্সের ওজন বিবেচনা করে।

The use of language to distinguish between different measure of central tendency is a common issue when learning statistics. For example, the median is another measure that isn't skewed by large values like the average.