বায়েশিয়ান বনাম ঘন ঘন বিতর্কটির জন্য কি কোনও * গাণিতিক * ভিত্তি রয়েছে?

Question

এটি উইকিপিডিয়ায় বলেছেন যে:

গণিত [সম্ভাব্যতার] সম্ভাবনার কোনও ব্যাখ্যার চেয়ে অনেকাংশেই স্বতন্ত্র।

প্রশ্ন: তাহলে আমরা যদি গাণিতিকভাবে সঠিক হতে চাই, তবে আমাদের সম্ভাবনার কোনও ব্যাখ্যা বাতিল করা উচিত নয় ? অর্থাৎ বায়েশিয়ান এবং ঘনত্ব উভয়ই গণিতগতভাবে ভুল?

আমি দর্শন পছন্দ করি না, তবে আমি গণিত পছন্দ করি, এবং আমি কোলমোগোরভের স্বীকৃতির কাঠামোর মধ্যে একচেটিয়াভাবে কাজ করতে চাই। এটি যদি আমার লক্ষ্য হয় তবে এটি কি উইকিপিডিয়ায় যা বলেছে তা অনুসরণ করা উচিত যে আমাকে বায়েশিয়ানিজম এবং ঘন ঘনতত্ত্ব উভয়ই প্রত্যাখ্যান করা উচিত ? ধারণাগুলি যদি নিখুঁতভাবে দার্শনিক হয় এবং গাণিতিকভাবে না হয় তবে তারা কেন প্রথমে পরিসংখ্যানগুলিতে হাজির হয়?

পটভূমি / প্রসঙ্গ:
এই ব্লগ পোস্টটি একই কথাটি যথেষ্ট বলে না, তবে এটি যুক্তি দেয় যে "বায়েসিয়ান" বা "ঘনঘনবাদী" হিসাবে কৌশলগুলি শ্রেণিবদ্ধ করার চেষ্টা একটি বাস্তববাদী দৃষ্টিকোণ থেকে প্রতি-উত্পাদনশীল।

যদি উইকিপিডিয়া থেকে উদ্ধৃতিটি সত্য হয়, তবে মনে হয় একটি দার্শনিক দৃষ্টিকোণ থেকে পরিসংখ্যানগত পদ্ধতিগুলি শ্রেণীবদ্ধ করার চেষ্টা করাও পাল্টা উত্পাদনশীল - যদি কোনও পদ্ধতি গাণিতিকভাবে সঠিক হয়, তবে অন্তর্নিহিত গণিতের অনুমানগুলি যখন পদ্ধতিটি ব্যবহার করা বৈধ হয় হোল্ড করুন, অন্যথায়, যদি এটি গাণিতিকভাবে সঠিক না হয় বা অনুমানগুলি ধরে না রাখে তবে এটি ব্যবহার করা অবৈধ।

অন্যদিকে, প্রচুর লোকেরা সম্ভাবনা তত্ত্বের (যেমন কোলমোগোরভের অ্যালকোমিসমূহ) "বায়সিয়ান ইনফারেন্স" সনাক্ত করতে পারে বলে মনে হচ্ছে, যদিও আমি কেন তা পুরোপুরি নিশ্চিত নই। কিছু উদাহরণ হ'ল "সম্ভাব্যতা" নামক বায়েশিয়ান অনুমানের উপর জেনেস গ্রন্থ, পাশাপাশি জেমস স্টোন-র বই "বেয়েস রুল"। সুতরাং আমি যদি এই দাবিগুলি মুখমণ্ডলে গ্রহণ করি তবে এর অর্থ আমার বায়েশিয়ানিজমকে পছন্দ করা উচিত।

যাইহোক, কেসেলা এবং বার্গারের বইটি মনে হয় এটি ঘনঘনবাদী কারণ এটি সর্বাধিক সম্ভাবনা অনুমানকারীদের নিয়ে আলোচনা করে তবে সর্বাধিক উত্তরোত্তর অনুমানকারীকে উপেক্ষা করে তবে এটিকে মনে হয় যে এর মধ্যে সবকিছু গাণিতিকভাবে সঠিক।

তাহলে তা কি পরিসংখ্যানগুলির একমাত্র গাণিতিকভাবে সঠিক সংস্করণটি অনুসরণ করবে না যা বেইসিয়ানিজম এবং ঘনত্বের প্রতি সম্মানজনকভাবে সম্পূর্ণ অজ্ঞাত ব্যতীত কিছু হতে অস্বীকার করে? উভয় শ্রেণিবদ্ধকরণের পদ্ধতিগুলি যদি গাণিতিকভাবে সঠিক হয়, তবে অন্যের চেয়ে কিছুকে পছন্দ করা কি অনুচিত অনুশীলন নয়, কারণ এটি সঠিক, সু-সংজ্ঞায়িত গণিতের তুলনায় অস্পষ্ট, অশুভ-সংজ্ঞায়িত দর্শনের পক্ষে অগ্রাধিকার দেবে?

সংক্ষিপ্তসার: সংক্ষেপে, আমি বায়সিয়ান বনাম ঘন ঘন বিতর্কের জন্য গাণিতিক ভিত্তি কী তা বুঝতে পারি না, এবং যদি বিতর্কটির কোনও গাণিতিক ভিত্তি না থাকে (যা উইকিপিডিয়া দাবি করে) তবে কেন এটি সহ্য করা হয় তা আমি বুঝতে পারি না সব একাডেমিক বক্তৃতা।

Comments

সম্ভবত আগ্রহের বিষয়গুলিও: বেইসিয়ানরা কোলমোগোরভ অ্যাকসিওমস গ্রহণ করে? ।

— স্কর্চচি

@ পিটারমোরটেনসেন আমি এই প্রশ্ন জিজ্ঞাসার আগেই এই প্রশ্নটি দেখেছি; তবে এই প্রশ্নের উত্তরটি আমার বিভ্রান্তির প্রাথমিক উত্সকে সম্বোধন করতে পারে না, যথা দুজনের মধ্যে কোনও উপস্থিতি থাকলে গাণিতিক পার্থক্য কী ; মনে রাখবেন যে আমি দার্শনিক পার্থক্যে আগ্রহী নই যেহেতু সম্ভাব্য মডেলের জায়গাতে তাদের কোনও প্রভাব ফেলতে হবে না।

— চিল 2 ম্যাচ

মন্তব্যগুলি বর্ধিত আলোচনার জন্য নয়; এই কথোপকথন চ্যাটে সরানো হয়েছে ।

— whuber

বায়সিয়ান বিতর্ক সম্ভাবনা সম্পর্কে কম এবং পরিসংখ্যানগত ব্যাখ্যা এবং এর প্রয়োগের বৈধতা সম্পর্কে অনেক বেশি ।

— আরবেরি ইয়ং

@ মেহরদাদ এই প্রশ্নটি বিভিন্ন উত্তর দেওয়ার বিভিন্ন পদ্ধতির বিষয়ে নয়, এটি গাণিতিক অ্যাকোরিয়ামগুলির মাধ্যমে, বায়সিয়ানিজম এবং ঘনত্বের মধ্যে পার্থক্যের মাধ্যমে আনুষ্ঠানিককরণের সম্ভাবনা সম্পর্কে। লিঙ্ক-টু প্রশ্নের উত্তর দুটি পদ্ধতির মধ্যে স্বতঃস্ফূর্ত পার্থক্য ব্যাখ্যা করে না।

— চিল 2ম্যাচট 21'16

Answer 1

সম্ভাবনার জায়গাগুলি এবং কলমোগোরভের অ্যালকোহলগুলি

একটি সম্ভাব্য স্থান definition সংজ্ঞা অনুসারে একটি ট্রিপল যেখানে ফলাফলের একটি সেট, a একটি চালু এর সাব-সেট নির্বাচন এবং একটি সম্ভাব্যতা-পরিমাপ যে Kolmogorov, অর্থাত্ উপপাদ্য ব্যবহার পরিপূর্ণ হয় থেকে একটি ফাংশন থেকে যেমন যে এবং জন্য এটি ( Ω , এফ , পি ) Ω এফ σ Ω পি পি এফ [ 0 , 1 ] পি ( Ω ) = 1 ই 1 , ই 2 , … এফ পি ( ∪ ∞ জে = 1 ই জে ) = ∑ ∞ জ = 1 পি ( ই জে$\mathcal{P}$$(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P} )$$\Omega$$\mathcal{F}$$\sigma$$\Omega$$\mathbb{P}$$\mathbb{P}$$\mathcal{F}$$[0,1]$$\mathbb{P}(\Omega)=1$$E_1, E_2, \dots$$\mathcal{F}$$P \left( \cup_{j=1}^\infty E_j \right)=\sum_{j=1}^\infty \mathbb{P}(E_j)$।

যেমন একটি সম্ভাব্যতা স্থান এক করতে পারেন, দুই ইভেন্টের জন্য মধ্যেই মধ্যে যেমন শর্তাধীন সম্ভাব্যতা নির্ধারণF P ( E 1 | E 2 ) d e f = P ( ই 1 ∩ ই 2$E_1, E_2$$\mathcal{F}$$\mathbb{P}(E_1|_{E_2})\stackrel{def}{=}\frac{\mathbb{P}(E_1 \cap E_2)}{\mathbb{P}(E_2)}$

মনে রাখবেন যে:

1. এই '' শর্তসাপেক্ষ সম্ভাবনা '' কেবল তখনই সংজ্ঞায়িত হয় যখন on এ সংজ্ঞায়িত করা হয় , সুতরাং শর্তসাপেক্ষ সম্ভাবনাগুলি সংজ্ঞায়িত করতে আমাদের একটি সম্ভাবনার জায়গা প্রয়োজন।$\mathbb{P}$$\mathcal{F}$
2. সম্ভাবনার স্থানটিকে খুব সাধারণ শর্তে সংজ্ঞায়িত করা হয় ( একটি সেট , একটি ig -্যালজেব্রা এবং একটি সম্ভাব্যতা পরিমাপ ), একমাত্র প্রয়োজনীয়তা হ'ল নির্দিষ্ট বৈশিষ্ট্যগুলি পূরণ করা উচিত তবে এগুলি বাদে এই তিনটি উপাদান '' কিছু '' হতে পারে।Σ এফ $\Omega$ $\sigma$$\mathcal{F}$$\mathbb{P}$

আরও বিস্তারিত এই লিঙ্কে পাওয়া যাবে

বেয়েসের নিয়ম কোনও (বৈধ) সম্ভাব্যতার জায়গাতে ধারণ করে

শর্তাধীন সম্ভাব্যতা সংজ্ঞা থেকে এটি ঝুলিতে যে । এবং দুটি পরবর্তী সমীকরণ থেকে আমরা বেয়েসের নিয়ম খুঁজে পাই। সুতরাং বায়েসের নিয়মটি কোনও সম্ভাব্যতার জায়গাতে (শর্তাধীন সম্ভাব্য সংজ্ঞা অনুসারে) ধারণ করে (এটি দেখানোর জন্য, প্রতিটি সমীকরণ এবং সমীকরণ থেকে এবং প্রাপ্ত করে সেগুলি (তারা সমান কারণ ছেদটি পরিবর্তনশীল) পি(ই1∩ই2)পি(ই2∩ই1$\mathbb{P}(E_2|_{E_1})=\frac{\mathbb{P}(E_2 \cap E_1)}{\mathbb{P}(E_1)}$$\mathbb{P}(E_1 \cap E_2)$$\mathbb{P}(E_2 \cap E_1)$

যেহেতু বায়েসীয় নিয়ম বেইসিয়ান অনুমানের ভিত্তি, তাই সম্ভাব্যতার জায়গাতে যে কোনও বৈধ (অর্থাত্ সমস্ত শর্ত পূরণ করে, কো-কোলমোগোরভের অলক্ষ্যে) বায়েশিয়ান বিশ্লেষণ করতে পারে।

সম্ভাবনার প্রায়শই সংজ্ঞা একটি '' বিশেষ কেস ''

উপরেরটি '' সাধারণভাবে '' ধরে রেখেছে, অর্থাত্ আমাদের কোনও নির্দিষ্ট , , mind যতক্ষণ না উপগ্রহের উপর একটি এবং Kol কোলমোগোরভের আখ্যানগুলি পূর্ণ করে।ফ পি এফ σ Ω $\Omega$$\mathcal{F}$$\mathbb{P}$$\mathcal{F}$$\sigma$$\Omega$$\mathbb{P}$

আমরা এখন দেখাব যে of এর একটি 'ঘন ঘনবাদী ' 'সংজ্ঞা কোলমোগোরভের অক্ষগুলি পূরণ করে। যদি এটি হয় তবে '' ঘনঘনবাদী '' সম্ভাবনাগুলি কেবল কোলমোগোরভের সাধারণ এবং বিমূর্ত সম্ভাবনার একটি বিশেষ ক্ষেত্রে। $\mathbb{P}$

আসুন একটি উদাহরণ নিই এবং পাশা রোল করি। তাহলে সব সম্ভাব্য ফলাফল সেট হয় । এছাড়াও আমরা একটি প্রয়োজন এই সেটে -algebra এবং আমরা নিতে সব সাব-সেট নির্বাচন সেট , অর্থাত্ ।Ω = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 } σ Ω এফ Ω এফ = 2 $\Omega$$\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}$$\sigma$$\Omega$$\mathcal{F}$$\Omega$$\mathcal{F}=2^\Omega$

আমাদের এখনও সম্ভাব্যতা পরিমাপ ঘন ঘন উপায়ে সংজ্ঞায়িত করতে হবে । অতএব আমরা কে যেখানে রোলসে প্রাপ্ত এর সংখ্যা । জন্য অনুরূপ , ... ।$\mathbb{P}$$\mathbb{P}(\{1\})$$\mathbb{P}(\{1\}) \stackrel{def}{=} \lim_{n \to +\infty} \frac{n_1}{n}$ 1 এন পি ( { 2 } ) পি ( { 6 } $n_1$$1$$n$$\mathbb{P}(\{2\})$$\mathbb{P}(\{6\})$

এভাবে সমস্ত singletons জন্য সংজ্ঞায়িত করা হয় । in এ অন্য যে কোনও , যেমন আমরা ঘন ঘন উপায়ে অর্থাত্ , তবে 'লিম' এর রৈখিকতা অনুসারে, এটি equal এর সমান , যা ইঙ্গিত দেয় যে কলমোগোরভের অ্যালকোমিসমূহ রয়েছে।F F { 1 , 2 } P ( { 1 , 2 } ) P ( { 1 , 2 } ) d e f = lim n → + ∞ n 1 + n $\mathbb{P}$$\mathcal{F}$$\mathcal{F}$$\{1,2\}$$\mathbb{P}(\{1,2\})$ পি({1})+পি({2}$\mathbb{P}(\{1,2\}) \stackrel{def}{=} \lim_{n \to +\infty} \frac{n_1+n_2}{n}$$\mathbb{P}(\{1\})+\mathbb{P}(\{2\})$

সুতরাং সম্ভাবনার ঘন ঘন সংজ্ঞা সংজ্ঞা সম্ভাবনার পরিমাপের কোলমোগোরভের সাধারণ এবং বিমূর্ত সংজ্ঞা কেবলমাত্র একটি বিশেষ ক্ষেত্রে।

মনে রাখবেন যে কোলমোগোরভের অ্যাকিমিয়ামগুলি পূরণ করে এমন একটি সম্ভাব্যতা পরিমাপ সংজ্ঞায়নের অন্যান্য উপায় রয়েছে, সুতরাং ঘন ঘন সংজ্ঞাটিই কেবল সম্ভব নয় not

উপসংহার

কোলমোগোরভের অডিওম্যাটিক সিস্টেমে সম্ভাবনাটি '' অ্যাবস্ট্রাক্ট '', এটির কোনও আসল অর্থ নেই, এটি কেবল '' অ্যাকিমিয়ামস '' নামক শর্তগুলি পূরণ করতে পারে। শুধুমাত্র এই অ্যালকোহলগুলি ব্যবহার করে কলমোগোরভ একটি খুব সমৃদ্ধ উপপাদ্য তৈরি করতে সক্ষম হন।

সম্ভাবনার ঘন ঘন সংজ্ঞাটি অক্ষরেখাকে পূর্ণ করে এবং তাই বিমূর্তের পরিবর্তে, '' অর্থহীন '' a একটি ঘন ঘন উপায়ে সংজ্ঞায়িত একটি সম্ভাবনার দ্বারা এই সমস্ত উপপাদাগুলি বৈধ কারণ '' ঘনত্ববাদী সম্ভাবনা '' কেবল একটি বিশেষ কোলমোগোরভের বিমূর্ত সম্ভাবনার ক্ষেত্রে (যেমন এটি অক্ষরেখা পূর্ণ করে)।$\mathbb{P}$

কোলমোগোরভের সাধারণ কাঠামোতে যে বৈশিষ্ট্যগুলি উত্পন্ন করা যেতে পারে সেগুলির মধ্যে একটি হ'ল বেইস বিধি। এটি সাধারণ এবং বিমূর্ত কাঠামোয় ধারণ করে, এটি নির্দিষ্ট ক্ষেত্রে ক্ষেত্রে (সিএফআর সুপ্রা )ও ধারণ করবে যে সম্ভাবনাগুলি ঘন ঘনবাদী উপায়ে সংজ্ঞায়িত করা হয় (কারণ ঘন ঘনবাদী সংজ্ঞাটি অক্ষগুলি পরিপূরণ করে এবং এই অক্ষগুলি কেবলমাত্র প্রয়োজনীয় জিনিসগুলির প্রয়োজন ছিল) সমস্ত উপপাদ্য উদ্ভূত)। সুতরাং কেউ সম্ভাবনার ঘন ঘন সংজ্ঞা সহ বায়েশীয় বিশ্লেষণ করতে পারেন।

ঘন উপায়ে সংজ্ঞা দেওয়া একমাত্র সম্ভাবনা নয়, এটি সংজ্ঞায়নের অন্যান্য উপায়ও রয়েছে যা এটি কোলমোগোরভের বিমূর্ত অক্ষগুলি পূরণ করে। এই '' নির্দিষ্ট ক্ষেত্রে '' বায়েসের নিয়মও থাকবে। সুতরাং কেউ সম্ভাবনার একটি অ- সংঘটিত সংজ্ঞা দিয়ে বায়েশিয়ান বিশ্লেষণও করতে পারেন ।$\mathbb{P}$

সম্পাদনা 23/8/2016

@ এমপিক্টাস আপনার মন্তব্যের প্রতিক্রিয়া:

যেমনটি আমি বলেছি, সেটগুলি এবং সম্ভাব্যতা পরিমাপ the অ্যাক্সিয়োম্যাটিক সিস্টেমের কোনও বিশেষ অর্থ নেই, সেগুলি বিমূর্ত। $\Omega, \mathcal{F}$$\mathbb{P}$

অর্ডার এই তত্ত্ব আপনি আরও দিতে হবে প্রয়োগ করার জন্য সংজ্ঞা (যাতে আপনি আপনার মন্তব্যে যা বলে "এটা আরও কিছু উদ্ভট সংজ্ঞা 'দিয়ে যারা বিহ্বলতা করার কোন প্রয়োজন' হয় ভুল, আপনি অতিরিক্ত সংজ্ঞা প্রয়োজন )।

ন্যায্য মুদ্রা টস করার ক্ষেত্রে এটি প্রয়োগ করুন। কোলমোগোরভের তত্ত্বের সেট কোনও বিশেষ অর্থ নেই, এটি কেবল '' সেট '' হতে হবে। সুতরাং আমাদের অবশ্যই অবশ্যই উল্লেখ করতে হবে ন্যায্য মুদ্রার ক্ষেত্রে এই সেটটি কী, অর্থাত্ আমাদের সেটটি সংজ্ঞায়িত করতে হবে । আমরা যদি টি হিসাবে এইচ যেমন মাথা এবং লেজ, তারপর সেট প্রতিনিধিত্ব হয় সংজ্ঞা দ্বারা ।Ω Ω Ω ঘ ঙ চ = { এইচ , টি $\Omega$$\Omega$$\Omega$ $\Omega\stackrel{def}{=}\{H,T\}$

আমরা আছে সংজ্ঞায়িত অর্থাত, ঘটনা -algebra । আমরা সংজ্ঞায়িত হিসাবে । এটি যাচাই করা সহজ যে a একটি আলজেব্রা।এফ এফ ডি ই ফ = { ∅ , { এইচ } , { টি } , { এইচ , টি } } $\sigma$$\mathcal{F}$$\mathcal{F} \stackrel{def}{=} \{\emptyset, \{H\},\{T\},\{H,T\} \}$$\mathcal{F}$$\sigma$

এরপরে আমাদের অবশ্যই এর পরিমাপের প্রতিটি ইভেন্টের জন্য নির্ধারণ করতে হবে । সুতরাং আমাদের এ from থেকে একটি মানচিত্র নির্ধারণ করতে হবে । আমি এটি ঘন ঘন উপায়ে সংজ্ঞায়িত করব, একটি ন্যায্য মুদ্রার জন্য, যদি আমি এটি প্রচুর পরিমাণে টস করি তবে মাথাগুলির ভগ্নাংশটি 0.5 হবে, সুতরাং আমি সংজ্ঞায়িত করব । একইভাবে আমি সংজ্ঞায়িত , এবং । মনে রাখবেন যে 0 মধ্যে from এর একটি মানচিত্র এবং এটি কোলমোগোরভের অক্ষগুলি পূরণ করে।$E \in \mathcal{F}$$\mathcal{F}$$[0,1]$$\mathbb{P}(\{H\})\stackrel{def}{=}0.5$$\mathbb{P}(\{T\})\stackrel{def}{=}0.5$$\mathbb{P}(\{H,T\})\stackrel{def}{=}1$$\mathbb{P}(\emptyset)\stackrel{def}{=}0$$\mathbb{P}$$\mathcal{F}$$[0,1]$

সম্ভাবনার ঘন ঘন সংজ্ঞা সহ একটি রেফারেন্সের জন্য এই লিঙ্কটি (বিভাগটির 'সংজ্ঞা' শেষে) এবং এই লিঙ্কটি দেখুন ।

Comments

সম্ভবত একটি কোথাও লক্ষ করা উচিত যে সম্ভাবনার ব্যাখ্যার বিষয়ে একটি ঘন ঘনবাদী / বায়েশিয়ান বিতর্ক রয়েছে এবং পরিসংখ্যানগত অনুমান সম্পর্কে বারবারবাদী / বায়েশিয়ান বিতর্ক রয়েছে। এগুলি দুটি ভিন্ন (যদিও সম্পর্কিত) বিতর্ক। এই উত্তরটি প্রথমটির বিষয়ে একচেটিয়াভাবে আলোচনা করে, যা ভাল (এবং আমি অনুমান করি যে @ উইলিয়াম এখানে কী আগ্রহী ছিলেন, কারণ তিনি এই উত্তরটি গ্রহণ করতে বেছে নিয়েছিলেন), তবে অন্যান্য উত্তরগুলির বেশিরভাগই বেশিরভাগই দ্বিতীয়টির বিষয়ে কথা বলে। এটি ভবিষ্যতের পাঠকদের জন্য কেবল একটি নোট, তবে উইলিয়ামের কাছে একটি নোট।

— অ্যামিবা

আমি ভোট দিয়ে যাচ্ছি, কারণ "ঘনঘনবাদী সম্ভাবনা" সংজ্ঞাটির সংজ্ঞা সম্পর্কিত কোনও উল্লেখ নেই এবং এটি ছাড়া পোস্টটি কোনও অর্থবোধ করে না। উদাহরণস্বরূপ এর প্রদত্ত সংজ্ঞা এমনকি গাণিতিকভাবেও সঠিক নয়, কারণ সংজ্ঞাটি পাশ্বের একটি রোলসের সীমাতে নির্ভর করে । গাণিতিক বস্তু বিমূর্ত এবং শারীরিক বস্তুর উপর নির্ভর করে না। সীমাটি বিদ্যমান রয়েছে তা প্রমাণ করার জন্য আপনাকে একটি সম্ভাবনার স্থান তৈরি করতে হবে, যেখানে এলোমেলো পরিবর্তনশীল সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে, এবং তারপরে প্রমাণ করুন যে এটি রূপান্তরিত হয়, যার জন্য আপনার পরিমাপ তত্ত্বের প্রয়োজন এবং ...এন এন 1 /$P(\{1\})$$n$$n_1/n$

— এমপিটকাস

সম্ভাবনার সংজ্ঞা সুতরাং আমরা যেমন সংজ্ঞা হিসাবে অনুমতি দিই তা এটি বৃত্তাকার, অর্থাত্ বস্তুটি আপনাকে সংজ্ঞায়িত করতে হবে এমন সংজ্ঞাটি সন্তুষ্ট করে কিনা তা পরীক্ষা করা। আমি খুব প্রিয় একটি পাঠ্যপুস্তকের একটি রেফারেন্স পেতে চাই যা এই জাতীয় সংজ্ঞা ব্যবহার করে এবং পরিসংখ্যানগুলিতে সমস্ত স্বাভাবিক ফলাফল পেতে এটি ব্যবহার করার চেষ্টা করে।

— এমপিক্টাস

সম্ভাবনা ব্যাখ্যার উপর দর্শনশাস্ত্র স্ট্যানফোর্ড এনসাইক্লোপিডিয়ায় এই দীর্ঘ এবং বিস্তারিত নিবন্ধটিতে ঘন ঘনতত্ত্ব সম্পর্কিত একটি দীর্ঘ এবং বিস্তারিত বিভাগ রয়েছে এবং উইকিপিডিয়ায় আপনার লিঙ্কের চেয়ে আরও ভাল রেফারেন্স হতে পারে (উইকিপিডিয়া থেকে পৃথক স্ট্যানফোর্ড এনসাইক্লোপিডিয়া যথেষ্ট অনুমোদিত)। এটি পরিষ্কার করে দিয়েছে যে ঘন ঘনবাদী সংজ্ঞাটি আদৌ বোঝায় কি না এবং এমনকি বারবারবাদী সংজ্ঞাটিও সঠিকভাবে গঠন করে তা 150 বছর ধরে চলমান বিতর্কের বিষয় যা আপনি এবং @ এমপিক্টাস মন্তব্য বিভাগে এখানে পুনরায় কার্যকর করছেন বলে মনে হচ্ছে।

— অ্যামিবা

@ মোয়েবা: আমি বিশেষত আপনার লিঙ্কটির অনুস্মারকটি পছন্দ করি যে আমরা ধারণার সাথে সাধারণত যেভাবে বোঝা যায় - যেমন - স্বাভাবিকীকরণের দৈর্ঘ্য - এবং এখনও কোলমোগোরভের অক্ষরেখাগুলির সাথে সামঞ্জস্য রেখে আমরা সব ধরণের "সম্ভাবনা" ব্যাখ্যা করতে পারি।

— স্কোর্টচি

Answer 2

পরিসংখ্যান ম্যাথ নয়

প্রথম, আমি স্ট্যাটসের একটি মন্তব্য থেকে @ হোবারের শব্দগুলি চুরি করি তা গণিত নয়? (ভিন্ন প্রসঙ্গে প্রয়োগ করা হয়েছে, সুতরাং আমি শব্দগুলি চুরি করছি, উদ্ধৃত করে না):

আপনি যদি "কেমিস্ট্রি," "অর্থনীতি," "ইঞ্জিনিয়ারিং" বা "গণিত" (যেমন হোম অর্থনীতি হিসাবে) নিয়োগ করেন এমন অন্য কোনও ক্ষেত্র দ্বারা "পরিসংখ্যান" প্রতিস্থাপন করেন তবে এটি প্রদর্শিত হবে যে আপনার যুক্তির কোনও পরিবর্তন হবে না।

এই সমস্ত ক্ষেত্রের অস্তিত্ব রয়েছে এবং এমন কোন প্রশ্ন থাকতে পারে যা কেবলমাত্র কোন উপপাদাগুলি সঠিক তা পরীক্ষা করেই সমাধান হয় না। যদিও স্ট্যাটাসে কিছু উত্তর গণিত নয়? দ্বিমত, আমি মনে করি এটি স্পষ্ট যে পরিসংখ্যান (খাঁটি) গণিত নয়। আপনি যদি (খাঁটি) গণিতের একটি শাখা সম্ভাবনা তত্ত্ব করতে চান তবে আপনি যে জাতীয় বিষয়ে জিজ্ঞাসা করছেন তার সমস্ত বিতর্ককে অবশ্যই উপেক্ষা করতে পারেন। আপনি যদি কিছু বাস্তব-জগতের প্রশ্নের মডেলিংয়ের ক্ষেত্রে সম্ভাব্যতা তত্ত্বটি প্রয়োগ করতে চান তবে আপনার গাণিতিক কাঠামোর অক্ষর এবং উপপাদ্যগুলির চেয়ে আপনাকে গাইড করার জন্য আরও কিছু প্রয়োজন। উত্তরের বাকী অংশগুলি এই বিষয়টিকে নিয়ে ঘুরছে।

দাবিটি "যদি আমরা গাণিতিকভাবে সঠিক হতে চাই তবে আমাদের সম্ভাবনার কোনও ব্যাখ্যা অস্বীকার করা উচিত নয়" এটিও যুক্তিযুক্ত বলে মনে হয় না। একটি গাণিতিক কাঠামোর শীর্ষে একটি ব্যাখ্যা স্থাপন গণিতকে ভুল করে না (যতক্ষণ না এই ব্যাখ্যাকে গাণিতিক কাঠামোর মধ্যে উপপাদ্য হিসাবে দাবি করা হয় না)।

বিতর্কটি (মূলত) অলক্ষেত্র সম্পর্কে নয়

যদিও কিছু বিকল্প অডিওম্যাটাইজেশন * রয়েছে, তবে (?) বিতর্কটি কোলমোগোরভ অ্যালকোহলিকে বিতর্ক করার বিষয়ে নয়। শূন্য-পরিমাপের কন্ডিশনিং ইভেন্টগুলির সাথে কিছু সূক্ষ্মতা উপেক্ষা করা, নিয়মিত শর্তসাপেক্ষ সম্ভাবনা ইত্যাদির দিকে পরিচালিত করে, যার সম্পর্কে আমি যথেষ্ট জানি না, কোলমোগোরভ অ্যাকিমিয়ামস এবং শর্তসাপেক্ষ সম্ভাব্যতা বেইস নিয়মকে বোঝায়, যে কারও বিরোধ নেই। যাইহোক, যদি আপনার মডেলটিতেও এলোমেলো পরিবর্তনশীল না হয় (একটি সম্ভাবনার স্থান বা তাদের পরিবার, এলোমেলো ভেরিয়েবল ইত্যাদির সমন্বিত গাণিতিক সেটআপের অর্থে মডেল) তবে শর্তসাপেক্ষ গণনা করা অবশ্যই সম্ভব নয় ডিস্ট্রিবিউশন । কারও মধ্যেও বিরোধ নেই যে ফ্রিকোয়েন্সি বৈশিষ্ট্যগুলি, যদি সঠিকভাবে গণনা করা হয় তবে এটি মডেলের পরিণতি। উদাহরণস্বরূপ, শর্তসাপেক্ষ ডিস্ট্রিবিউশনপি ( এক্স | ওয়াই ) পি ( Y | θ ) পি ( Y ; θ ) পি ( Y | θ ) = P ( Y ; θ ) θ $X$$P(X\mid Y)$$p(y\mid \theta)$বায়েসীয় মডেলটিতে সম্ভাব্যতা বিতরণের একটি সূচক পরিবারকে সংজ্ঞায়িত করে কেবল এবং যদি কিছু ফলাফল পরে সমস্ত ধরে রাখে , তারা সমস্ত- ধরে রাখে ।$p(y; \theta)$$p(y \mid \theta) = p(y; \theta)$$\theta$$\theta$

বিতর্কটি কীভাবে গণিত প্রয়োগ করতে হয় তা নিয়ে

বিতর্কগুলি (যতটুকুও উপস্থিত থাকে **), কীভাবে সম্ভাব্যতার মডেলটি কীভাবে (বাস্তব-জীবন, অ-গাণিতিক) সমস্যার জন্য সেট করা যায় এবং মডেলটির কী কী চিত্র অঙ্কনের জন্য প্রাসঙ্গিক তা নির্ধারণ করার পরিবর্তে -জীবন) উপসংহার। তবে সমস্ত পরিসংখ্যানবিদরা একমত হলেও এই প্রশ্নগুলি বিদ্যমান থাকবে। আপনি [1] এর সাথে লিঙ্কযুক্ত ব্লগ পোস্টটি থেকে উদ্ধৃত করতে, আমরা এই জাতীয় প্রশ্নের উত্তর দিতে চাই

আমার ক্যাসিনো $ তৈরি করে আমি কীভাবে কোনও রুলেট ডিজাইন করব? এই সার কি ফসলের ফলন বাড়ায়? স্ট্রেপ্টোমাইসিন কি ফুসফুস যক্ষা নিরাময় করে? ধূমপান কি ক্যান্সার সৃষ্টি করে? এই ব্যবহারকারী কোন সিনেমা উপভোগ করবেন? রেড সোক্সকে কোন বেসবল খেলোয়াড়কে চুক্তি করা উচিত? এই রোগীর কেমোথেরাপি নেওয়া উচিত?

সম্ভাব্যতা তত্ত্বের অক্ষরেখাগুলি বেসবলের সংজ্ঞাও ধারণ করে না, সুতরাং এটি সম্ভবত স্পষ্ট যে "রেড সোক্সকে বেসবল প্লেয়ার এক্সকে একটি চুক্তি দেওয়া উচিত" সম্ভাবনা তত্ত্বের কোন উপপাদ্য নয়।

বায়েশিয়ান পদ্ধতির গাণিতিক ন্যায়সঙ্গততা সম্পর্কে নোট

জেনেস উল্লেখ করেছেন কক্স উপপাদ্যের মতো সমস্ত অজ্ঞাতকে সম্ভাব্য হিসাবে বিবেচনা করার জন্য 'গাণিতিক ন্যায়সঙ্গততা রয়েছে', (যদিও আমি শুনেছি এটিতে গাণিতিক সমস্যা রয়েছে, তা হয়ত স্থির হয়েছে কি না, আমি জানি না, দেখুন [২] এবং এতে উল্লেখ করা হয়েছে) বা (ব্যক্তিগত বায়েশিয়ান) সেভেজ পদ্ধতির (আমি শুনেছি এটি [3] এ রয়েছে তবে বইটি কখনও পড়েনি) যা প্রমাণ করে যে কিছু অনুমানের অধীনে, যুক্তিবাদী সিদ্ধান্ত গ্রহণকারীর রাজ্যগুলির মধ্যে সম্ভাব্য বন্টন থাকবে বিশ্বের এবং কোনও ইউটিলিটি ফাংশনের প্রত্যাশিত মানকে বাড়িয়ে দেওয়ার ভিত্তিতে তার ক্রিয়াটি নির্বাচন করুন। তবে, রেড সোসের পরিচালকের অনুমানগুলি গ্রহণ করা উচিত বা না, বা ধূমপান ক্যান্সারের কারণ হিসাবে আমাদের যে তত্ত্বটি গ্রহণ করা উচিত, তা কোনও গাণিতিক কাঠামো থেকে বাদ দেওয়া যায় না,

পাদটিকা

* আমি এটি অধ্যয়ন করেছি না, তবে শুনেছি ডি ফিনেটির একটি পন্থা রয়েছে যেখানে শর্তসাপেক্ষে কন্ডিশনার দ্বারা (নিঃশর্ত) ব্যবস্থা গ্রহণের চেয়ে শর্তসাপেক্ষ সম্ভাবনা আদিম are [৪] Bay অ্যাডভিটিভিটি দরকার কিনা সে সম্পর্কে একটি আরামদায়ক ফরাসি রেস্তোঁরায় জোসে বার্নার্ডো, ডেনিস লিন্ডলি এবং ব্রুনো ডি ফিনেট্টির মধ্যে একটি বিতর্ক উল্লেখ করেছে ।$\sigma$

** আপনি [1] এর সাথে লিঙ্ক করা ব্লগ পোস্টে যেমন উল্লেখ করা হয়েছে, কোনও দলের সাথে সম্পর্কিত এবং অন্যান্য দলে তুচ্ছ করে প্রতিটি পরিসংখ্যানবিদদের সাথে কোনও পরিষ্কার বিতর্ক হতে পারে না। আমি এটি শুনেছি যে আমরা আজকাল সকলেই বাস্তববাদী এবং অকেজো বিতর্ক শেষ। যাইহোক, আমার অভিজ্ঞতায় এই পার্থক্যগুলি বিদ্যমান, উদাহরণস্বরূপ, কারওর প্রথম দৃষ্টিভঙ্গি সমস্ত অজানাটিকে এলোমেলো পরিবর্তনশীল হিসাবে মডেল করা কিনা এবং কেউ ফ্রিকোয়েন্সি গ্যারান্টিতে কতটা আগ্রহী সে সম্পর্কে।

তথ্যসূত্র

[1] সহজ পরিসংখ্যান, রাফা ইরিজারি, রজার পেং, এবং জেফ লিকের একটি পরিসংখ্যান ব্লগ, "আমি ডেটা বিজ্ঞানীদের জন্য বায়েশিয়ান বনাম ফ্রিসিডনিস্ট বিতর্ককে ঘোষণা করি", 13 অক্টোবর 2014, http://simplystatics.org/2014/10 / 13 / যেমন-একটি-প্রয়োগ-পরিসংখ্যানবিদ-ই-এটি-frequentists-বনাম-bayesians-বিতর্ক-সম্পূর্ণভাবে-তুচ্ছ /

[২] ডুপ্রি, এমজে, এবং টিপলার, এফজে (২০০৯)। কঠোর বায়েশিয়ান সম্ভাব্যতার জন্য নতুন অক্ষ বায়েশিয়ান বিশ্লেষণ, 4 (3), 599-606। http://projecteuclid.org/download/pdf_1/euclid.ba/1340369856

[3] সেভেজ, এলজে (1972)। পরিসংখ্যানের ভিত্তি। কুরিয়ার কর্পোরেশন।

[৪] বার্নার্ডো, জেএম দ্য ভ্যালেন্সিয়া স্টোরি - বায়েশিয়ার পরিসংখ্যান সম্পর্কিত ভ্যালেন্সিয়া আন্তর্জাতিক সভার উত্স এবং বিকাশের কয়েকটি বিবরণ। http://www.uv.es/bernardo/ValenciaStory.pdf

Comments

+1, বিশেষত "সম্ভাব্যতার তত্ত্বের অক্ষরেখায় এমনকি বেসবলের সংজ্ঞাও থাকে না"।

— অ্যামিবা

@ উইলিয়াম: প্যারামিটারটি একটি ধ্রুব এলোমেলো পরিবর্তনশীল হিসাবে বিশ্বাস করা হয় না - এটি হ্রাস বা পর্যবেক্ষণ করা সত্য নয়। সম্ভাব্যতা বন্টন ব্যবহার করে প্যারামিটারের সত্যিকারের মূল্য সম্পর্কে জ্ঞাত অনিশ্চয়তা উপস্থাপন করা হবে কিনা তা প্রশ্ন। (Frequentist বিশ্লেষণ শুধুমাত্র আকস্মিক ডেটা-উৎপাদিত প্রক্রিয়া একটি সম্ভাব্যতা বিতরণের ব্যবহার প্রতিনিধিত্ব করে।)

— Scortchi

@ উইলিয়াম ক্লাসিকাল মন্টি হলের এমন কিছু নেই যা যুক্তিযুক্তভাবে প্যারামিটার বা ডেটা হিসাবে ব্যাখ্যা করা যায়, এটি একটি সম্ভাবনার সমস্যা। Bayesian / frequentist পদ্ধতির শুধুমাত্র খেলার মধ্যে আসা যদি আপনি অনুমান করার জন্য, বলো, পরামিতি চেয়েছিলেন হবে parametrized বৈকল্পিকের এখানে বর্ণিত en.wikipedia.org/wiki/Monty_Hall_problem#Variants gameshow একাধিক পর্বের দেখে। আমি, বায়েশিয়ান হিসাবে সম্ভবত সম্ভবত একটি বিটা আগে রেখে আপডেট শুরু করব। এটি কম্পিউটারের সিমুলেশনটিতে ভালভাবে কাজ করবে কিনা তা কম্পিউটার সিমুলেশন কীভাবে নির্বাচন করে তার উপর দৃ strongly় নির্ভর করতে পারে । q $q$$q$$q$

— জুহো কোক্কালা

আমি প্রিপ্রিটিভলি নোট করেছি যে আমি মন্তব্য বিভাগে এ নিয়ে কোনও বিতর্ক চালিয়ে যেতে আগ্রহী নই, যেহেতু এটি (বা এই সাইটটি মোটেও) বিতর্কের জায়গা নয়।

— জুহো কোক্কালা

আমি "পরিসংখ্যান গণিত নয়" সম্পূর্ণরূপে সম্মত। উইগনার "ফিজিক্সে ম্যাথমেটিক্সের অযৌক্তিক কার্যকারিতা" নামে একটি প্রবন্ধ লিখেছিলেন, যে যুক্তি দিয়েছিল যেহেতু গণিতের বিমূর্ত বিশ্বের এবং পদার্থবিজ্ঞানের কংক্রিট জগতের মধ্যে কোনও অন্তর্নিহিত যোগাযোগ নেই। এটি অবাক করা (এবং আশ্চর্যজনক) ছিল যে গণিত পদার্থবিজ্ঞানের বর্ণনাতে এত ভাল কাজ করেছে। আমি পরিসংখ্যান জন্য একই সত্য মনে করি। আমি "স্ট্যাটিস্টিকসে ম্যাথমেটিক্সের অযৌক্তিক কার্যকারিতা" লেখার জন্য অপেক্ষা করি। আমি ব্যক্তিগতভাবে এটি আশ্চর্যজনক মনে করি যে বিমূর্ত গণিতটি পরিসংখ্যান সংক্রান্ত ঘটনা বর্ণনা করার জন্য এত ভাল কাজ করে।

— অ্যাগিনেস্কি

Answer 3

বায়েশিয়ান বনাম ঘন ঘন বিতর্কের গাণিতিক ভিত্তি খুব সহজ। বায়েশিয়ান পরিসংখ্যানগুলিতে অজানা প্যারামিটারটিকে এলোমেলো পরিবর্তনশীল হিসাবে বিবেচনা করা হয়; ঘন ঘন পরিসংখ্যানগুলিতে এটি একটি নির্দিষ্ট উপাদান হিসাবে বিবেচিত হয়। যেহেতু একটি এলোমেলো পরিবর্তনশীল সেটটির সাধারণ উপাদানগুলির চেয়ে অনেক জটিল গাণিতিক বস্তু, তাই গাণিতিক পার্থক্যটি বেশ স্পষ্ট।

যাইহোক, দেখা যাচ্ছে যে মডেলগুলির ক্ষেত্রে প্রকৃত ফলাফলগুলি আশ্চর্যরকমভাবে মিলতে পারে। উদাহরণস্বরূপ লিনিয়ার রিগ্রেশন নিন। বেইসিয়ান লিনিয়ার রিগ্রেশন অব ইনফরমেশনাল প্রিয়ারগুলির সাথে একটি রিগ্রেশন প্যারামিটার অনুমানের বিতরণ বাড়ে, যার অর্থ ঘন ঘন ঘনতান্ত্রিক লিনিয়ার রিগ্রেশন প্যারামিটারের অনুমানের সমান, যা কমপক্ষে স্কোয়ার সমস্যার সমাধান, যা সম্ভাব্যতা তত্ত্ব থেকেও কোনও সমস্যা নয় । তবুও গাণিতিক যা অনুরূপ সমাধানে পৌঁছানোর জন্য ব্যবহৃত হত তা উপরে বর্ণিত কারণের জন্য একেবারেই আলাদা।

স্বাভাবিকভাবেই অজানা প্যারামিটার গাণিতিক বৈশিষ্ট্যগুলির ব্যবস্থার পার্থক্যের কারণে (সেটটির এলোমেলো ভেরিয়েবল বনাম উপাদান) উভয় ক্ষেত্রে বায়েশিয়ান এবং ঘন ঘনবাদী পরিসংখ্যান হিট হয় যেখানে মনে হয় যে এটি প্রতিযোগী পদ্ধতির ব্যবহার করা আরও সুবিধাজনক। আত্মবিশ্বাসের বিরতি একটি প্রধান উদাহরণ is সাধারণ অনুমানের জন্য এমসিমিসির উপর নির্ভর না করা অন্য একটি বিষয়। তবে এগুলি সাধারণত গণিতের নয়, স্বাদের বেশি বিষয়।

Comments

যদিও ধ্রুবকটি এলোমেলো পরিবর্তনশীলের একটি বিশেষ ঘটনা, তবে আমি এই সিদ্ধান্তে দ্বিধা বোধ করব যে বায়সিয়ানবাদ আরও সাধারণ। আপনি কেবলমাত্র একটি ধ্রুবকটিতে র্যান্ডম ভেরিয়েবলটি ভেঙে বায়েশিয়ানদের কাছ থেকে ঘন ঘন ফলাফলগুলি পাবেন না। পার্থক্যটি আরও গভীর। যখন আপনি ধরে নেন যে আপনার প্যারামিটারটি অজানা ধ্রুবক, অধ্যয়নের কেন্দ্রবিন্দু অনুমানটি হয়ে যায়, যা এলোমেলো পরিবর্তনশীল (যেহেতু এটি নমুনার একটি পরিমাপযোগ্য ফাংশন) এবং এটি প্যারামিটারের আসল মানটির কতটা কাছাকাছি, বা কোন উপায়ে অনুমান করা যায় তাই এটি আসল অনুমানের কাছাকাছি।

— এমপিটকাস

যেহেতু অনুমানটি একটি এলোমেলো পরিবর্তনশীল, আপনি পরিমাপ তত্ত্ব উপেক্ষা করে এটি অধ্যয়ন করতে পারবেন না, সুতরাং আমি আপনার বক্তব্যটি পেয়েছি যে পরিসংখ্যানবিদরা বিস্ময়কর পরিমাণ প্রদর্শন করে এবং পরিমাপ তত্ত্বকে অবাক করে দেওয়ার জন্য যথেষ্ট অবাক হয়। আপনি কি ভ্যান ডের ভার্ট দ্বারা অ্যাসিম্পটোটিক স্ট্যাটিস্টিকস পড়েছেন? আমি এই বইটিতে ঘনত্ববাদী পরিসংখ্যান এবং মাপের তত্ত্বের বৈশিষ্ট্যগুলিকে খুব সুস্পষ্টভাবে সেখানে খুব ভাল ওভারভিউ হিসাবে বিবেচনা করব।

— এমপিটিকাস

অন্যদিকে বায়েশিয়ান পরিসংখ্যানগুলি প্রায় অবিলম্বে প্যারামিটারের বিতরণ নিয়ে আসে এবং তারপরে প্রশ্নটি হয় আসলে কীভাবে এটি গণনা করা যায় (বিভিন্ন স্যাম্পলিং অ্যালগরিদম, মেট্রোপলিস-হেস্টিংস ইত্যাদি নিয়ে প্রচুর গবেষণা) এবং প্রিরিয়ারদের গুরুত্ব কী। আমি বায়েশিয়ান পরিসংখ্যান নিয়ে গবেষণার সাথে তেমন পরিচিত নই, তাই আমার সাধারণীকরণটি কিছুটা হলেও বন্ধ হয়ে যেতে পারে। ব্যক্তিগত পছন্দগুলিতে গিয়ে, ঘন ঘন ঘন ঘন ঘন ঘন ঘন

— ঘনবাদী

এটি সর্বদা স্বাভাবিক বিতরণ এবং এর সংঘবদ্ধতার সাথে শুরু হয় এবং এটি আপনাকে কতদূর নিয়ে যায়। যেহেতু আমি কাজ করি প্রায় সমস্ত ডেটা সাধারণত বিতরণ করা হয় না, তাই আমি তাত্ক্ষণিকভাবে সন্দেহজনক এবং এমন পদ্ধতিগুলির সাথে কাজ করতে পছন্দ করি যা বিতরণ অজিনস্টিক। তবে এটি ব্যক্তিগত পছন্দ, এবং আমি দেখতে পেয়েছি যে প্রয়োগকৃত কাজে আমি এখনও এমন একটি সমস্যা পাইনি যার জন্য ঘন ঘনবাদী দৃষ্টিভঙ্গি এত দর্শনীয়ভাবে ব্যর্থ হয়ে যায় যে আমাকে বায়েশিয়ানের দিকে যেতে হবে।

— এমপিটিকাস

"এটি সর্বদা স্বাভাবিক বিতরণ এবং এর সংযুক্তি দিয়ে শুরু হয় এবং এটি আপনাকে কতটা দূরে সরিয়ে দেয় ..." - এই কারণেই মন্টে কার্লো পদ্ধতিগুলি পরবর্তী পরামিতি বিতরণ থেকে নমুনা হিসাবে ব্যবহার করা হয়; এগুলি সাধারণ বিতরণের জন্যও (বিইউজিএস সফ্টওয়্যার এবং এর রূপগুলি)।

— জন ডন

Answer 4

আমি দর্শন পছন্দ করি না, তবে আমি গণিত পছন্দ করি, এবং আমি কোলমোগোরভের স্বীকৃতির কাঠামোর মধ্যে একচেটিয়াভাবে কাজ করতে চাই।

কোলমোগোরভের অ্যালকোহলগুলি কোনও ব্যাখ্যা ছাড়াই আপনি কীভাবে প্রয়োগ করবেন ? আপনি কীভাবে সম্ভাবনার ব্যাখ্যা করবেন ? যিনি আপনাকে জিজ্ঞাসা করেছিলেন "আপনি যে সম্ভাবনা অনুমানের অর্থ কী?"$0.5$ তাকে আপনি কী বলবেন ? আপনি কি বলতে পারবেন যে আপনার ফলাফলটি নম্বর$0.5$, যেটি অক্ষর অনুসরন করে সঠিক? কোনও ব্যাখ্যা ছাড়াই আপনি বলতে পারবেন না যে এটি আমাদের পরামর্শটি পুনরাবৃত্তি করলে আমরা কতবার ফলাফলটি দেখতে আশা করি তা বোঝায়। বা আপনিও বলতে পারেন নি যে এই সংখ্যাটি ঘটনার সম্ভাবনা সম্পর্কে আপনি কতটা নিশ্চিত তা আপনাকে বলে দেয়। বা আপনি জবাব দিতে পারেন নি যে এটি আপনাকে বলবে যে ইভেন্টটি হওয়ার সম্ভাবনা কতটা সম্ভবত। আপনি কীভাবে প্রত্যাশিত মানটির ব্যাখ্যা করবেন - যেমন কয়েকটি সংখ্যা অন্য কয়েকটি সংখ্যার দ্বারা গুণিত হয় এবং সংক্ষিপ্ত হিসাবে একত্রে কার্যকর হয় যেহেতু তারা অক্ষ এবং অন্যান্য কয়েকটি উপপাদ অনুসরণ করে?

আপনি যদি গণিতকে বাস্তব বিশ্বে প্রয়োগ করতে চান তবে আপনার এটির ব্যাখ্যা করা দরকার। ব্যাখ্যা ব্যতীত একা সংখ্যা হ'ল ... সংখ্যা। প্রত্যাশিত মানগুলি অনুমান করার জন্য লোকেরা প্রত্যাশিত মানগুলি গণনা করে না, তবে বাস্তবতা সম্পর্কে কিছু শিখতে।

তদুপরি, সম্ভাব্যতা বিমূর্ত, যদিও আমরা বাস্তব জগতের ঘটনার জন্য পরিসংখ্যান (এবং প্রতি সম্ভাব্যতা) প্রয়োগ করি। সর্বাধিক প্রাথমিক উদাহরণ নিন: একটি ন্যায্য মুদ্রা। ঘনঘনবাদী ব্যাখ্যায় আপনি যদি এই জাতীয় মুদ্রা প্রচুর পরিমাণে ছুড়ে ফেলে থাকেন তবে আপনি একই সংখ্যক মাথা এবং লেজ প্রত্যাশা করবেন। তবে, বাস্তব জীবনের পরীক্ষায় এটি কখনই ঘটে না happen সুতরাং সম্ভাব্যতার কোনও নির্দিষ্ট মুদ্রাটির সাথে কোনও নির্দিষ্ট সংখ্যক বার নিক্ষেপ করা সত্যিই কিছুই নয়।$0.5$

সম্ভাবনা নেই

- ব্রুনো ডি ফিনেটি

Comments

"আপনি যদি এই জাতীয় মুদ্রাটি প্রচুর পরিমাণে ছুড়ে মারেন তবে আপনি একই সংখ্যক মাথা এবং লেজ প্রত্যাশা করবেন" - এটি বৃহত সংখ্যার আইন সম্পর্কে ভুল ধারণা understanding সম্ভাব্যতা তত্ত্ব এবং অ্যাপ্লিকেশনগুলির ক্ষেত্রে পরিচিতার এর পরিচিতির দ্বিতীয় খণ্ডের তৃতীয় অধ্যায়টি দেখুন । উদাহরণস্বরূপ, পি 77-তে "সাধারণ মুদ্রার জনসংখ্যায় সংখ্যাগরিষ্ঠতা অবশ্যই অকার্যকর হয়"।

— চিল 2 ম্যাচ

@ উইলিয়াম আপনি "পি = 0.5 এর অর্থ কী?" এই প্রশ্নের উত্তরটি কী দেবেন? মুদ্রা টসিং পরীক্ষায় সম্ভাব্যতার অনুমান যেখানে পি ...

— টিম

আপনি "সংখ্যাগরিষ্ঠ" উল্লেখ করেছেন এমন ফিলারকেও উদ্ধৃতি দিচ্ছেন - আপনি যদি সম্ভাবনার ঘনত্বে বিশ্লেষণ না করে থাকেন তবে কিসের বেশিরভাগ অংশ ..?

— টিম

বিষয়গুলিকে অপরিবর্তিত করা: ঘন ঘন দৃষ্টিভঙ্গিতে সম্ভাব্যতা সম্ভাব্য ইভেন্টগুলির মধ্যে ঘটে যাওয়া ঘটনার অনুপাতের সাথে সম্পর্কিত; বায়েশিয়ান ভাষায় ব্যাখ্যাটি কতটা বিশ্বাসযোগ্য about ( en.wikedia.org/wiki/Probability#It ব্যাখ্যা ) দেখুন about আমাকে নমুনা স্পেস ইত্যাদি সম্পর্কে বলার মাধ্যমে আপনি ধরে নিয়েছিলেন যে একক ভবিষ্যতের মুদ্রা টস ছাড়াও এখানে কিছু রয়েছে - এটি আপনার সম্ভাবনার ব্যাখ্যা , যেহেতু কেবলমাত্র একক টস হতে চলেছে, সুতরাং নমুনা স্পেস সম্পর্কে পুরো যুক্তি প্রযোজ্য না এটা। আপনি আপনার ব্যাখ্যার সাথে পুরোপুরি ঠিক আছেন, তবে এটি

— টিম

ব্যাখ্যা. বাস্তব-জগতের ঘটনার ক্ষেত্রে সম্ভাব্যতা প্রয়োগের জন্য আপনাকে এ জাতীয় ব্যাখ্যা করতে হবে। ট্রাম্প 2016 সালের মার্কিন নির্বাচনে জয়ের সম্ভাবনা কত? আপনি যদি সম্ভাবনা কী তা নিয়ে অনুমানগুলি না করেন তবে এই প্রশ্নটি আপত্তিযোগ্য নয়।

— টিম

Answer 5

বায়েশিয়ান এবং ঘন ঘন বিশেষজ্ঞের অনুমানের মধ্যে আমার বৈসাদৃশ্যটি সম্পর্কে আমার মতামতটি হ'ল প্রথম সংখ্যাটি হ'ল ইভেন্টটির পছন্দ যা আপনি সম্ভাব্যতা চান। বারবারবাদীরা ধরে নিয়েছেন যে আপনি যা প্রমাণ করার চেষ্টা করছেন (উদাহরণস্বরূপ, একটি নাল অনুমান) তারপরে সেই অনুমানের অধীনে আপনি ইতিমধ্যে যে কোনও কিছু পর্যবেক্ষণ করার সম্ভাবনাটি গণনা করছেন। এই জাতীয় বিপরীত তথ্য প্রবাহ-আদেশ সম্ভাবনা এবং সংবেদনশীলতা এবং চিকিত্সা নির্ণয়ের মধ্যে স্পষ্টতার মধ্যে একটি সাদৃশ্য রয়েছে, যা প্রচুর ভুল বোঝাবুঝির কারণ করেছে এবং এগিয়ে সম্ভাবনা পাওয়ার জন্য বেয়েসের বিধি দ্বারা জামিন দেওয়া দরকার ("পরীক্ষার পরে সম্ভাবনা")। বায়েশিয়ানরা কোনও ইভেন্টের সম্ভাব্যতা গণনা করে, এবং নিখুঁত সম্ভাবনাগুলি অ্যাঙ্কর (পূর্ববর্তী) ছাড়া গণনা করা অসম্ভব। একটি বিবৃতিটির যথাযথতার বায়েসীয় সম্ভাবনা নির্দিষ্ট অজান্তেই অনুমানের অধীনে ডেটা পর্যবেক্ষণের ঘনত্ববাদী সম্ভাবনার চেয়ে অনেক আলাদা। পার্থক্যগুলি আরও স্পষ্ট হয় যখন ঘন ঘন বিশেষজ্ঞের অবশ্যই করা বা করা হতে পারে এমন অন্যান্য বিশ্লেষণগুলির জন্য সমন্বয় করতে হবে (বহুগুণ; অনুক্রমিক পরীক্ষা ইত্যাদি)।

সুতরাং গাণিতিক ভিত্তির আলোচনাটি খুব আকর্ষণীয় এবং এটি হওয়া খুব উপযুক্ত আলোচনা is তবে একটিকে ফরওয়ার্ড বনাম পিছনের সম্ভাব্যতার একটি মৌলিক পছন্দ করতে হবে। সুতরাং যা শর্তযুক্ত, যা ঠিক গণিত নয়, অবিশ্বাস্যভাবে গুরুত্বপূর্ণ। বেইশিয়ানরা বিশ্বাস করে যে আপনি ইতিমধ্যে যা জানেন তার সম্পূর্ণ কন্ডিশনারটি কী। ঘনঘন বিশেষজ্ঞরা প্রায়শই শনাক্ত করেন যে গণিতটি কী সহজ করে তোলে।

Answer 6

আমি এটিকে দুটি পৃথক প্রশ্নে বিভক্ত করব এবং প্রত্যেকটির উত্তর দেব।

১) ফ্রিকোয়েন্সিস্ট এবং বায়েসীয় দৃষ্টিকোণে সম্ভাব্যতার অর্থ কী, তার বিভিন্ন দার্শনিক দৃষ্টিভঙ্গি দেওয়া, সম্ভাব্যতার গাণিতিক নিয়মগুলি রয়েছে যা একটি ব্যাখ্যাতে প্রযোজ্য এবং অন্যটির সাথে প্রযোজ্য না?

না। সম্ভাবনার বিধি দুটি গ্রুপের মধ্যে ঠিক একই থাকে।

২) বায়েশিয়ানরা এবং ফ্রিকোয়ালিস্টরা কি ডেটা বিশ্লেষণ করতে একই গাণিতিক মডেল ব্যবহার করেন?

সাধারণত বলছি, না। এটি কারণ দুটি পৃথক ব্যাখ্যার পরামর্শ দেয় যে একজন গবেষক বিভিন্ন উত্স থেকে অন্তর্দৃষ্টি অর্জন করতে পারেন। বিশেষত, ফ্রিকোসিস্টিস্ট কাঠামোটি প্রায়শই পরামর্শ দেওয়া হয় যে কেউ কেবলমাত্র পর্যবেক্ষণ করা তথ্য থেকে আগ্রহের পরামিতিগুলির উপর দৃষ্টিভঙ্গি তৈরি করতে পারে, অন্যদিকে একটি বায়সিয়ান দৃষ্টিকোণ থেকে পরামর্শ দেওয়া হয় যে বিষয়টির বিষয়ে স্বতন্ত্র বিশেষজ্ঞ জ্ঞানও অন্তর্ভুক্ত করা উচিত। বিভিন্ন ডেটা উত্স অর্থ বিশ্লেষণের জন্য বিভিন্ন গাণিতিক মডেল ব্যবহার করা হবে।

এটা তোলে নোট হয় দুই শিবিরে যে কি আরো সম্পর্কযুক্ত দ্বারা ব্যবহৃত মডেলের মধ্যে প্রচুর ভাগ আছে করেছে চেয়ে কি সম্পন্ন হয়েছে যা করতে পারেনসম্পন্ন করা (অর্থাত্ অনেকগুলি মডেল যা campতিহ্যগতভাবে একটি শিবির দ্বারা ব্যবহৃত হয় অন্য শিবির দ্বারা ন্যায়সঙ্গত হতে পারে)। উদাহরণস্বরূপ, বিইউজি মডেলগুলি (গাইবস স্যাম্পলিং ব্যবহার করে বায়েসিয়ান ইনফারেন্স, একটি নাম যা অনেকগুলি কারণে মডেলগুলির সেটকে সঠিকভাবে বর্ণনা করে না) বায়েশিয়ান পদ্ধতিগুলির সাথে traditionতিহ্যগতভাবে বিশ্লেষণ করা হয়, বেশিরভাগ ক্ষেত্রে এটি করার জন্য দুর্দান্ত সফ্টওয়্যার প্যাকেজগুলির উপলব্ধতার কারণে (জেজিএস, উদাহরণস্বরূপ স্ট্যান)। তবে, এমন কিছু নেই যা বলছে এই মডেলগুলি অবশ্যই কঠোরভাবে বায়েশিয়ান হতে হবে। প্রকৃতপক্ষে, আমি নিমব্লে প্রকল্পে কাজ করেছি যা এই মডেলগুলি BUGs ফ্রেমওয়ার্কে তৈরি করে, তবে ব্যবহারকারীকে কীভাবে তাদের উপর অনুমান করা যায় সে সম্পর্কে আরও বেশি স্বাধীনতার অনুমতি দেয়। আমরা যে সরঞ্জামগুলির সরবরাহ করেছি তার বেশিরভাগ অংশ হ'ল কাস্টমাইজযোগ্য বায়েশিয়ান এমসিমিসি পদ্ধতিগুলি, তবে এই মডেলগুলির জন্য কেউ সর্বোচ্চ সম্ভাবনার প্রাক্কলন, একটি traditionতিহ্যগতভাবে ফ্রুসিওনালিস্ট পদ্ধতিও ব্যবহার করতে পারেন। একইভাবে, প্রিয়ারদের প্রায়শই ভাবা হয় যে আপনি বায়েশিয়ানকে কী করতে পারেন যা আপনি ফ্রিকোয়ালিস্ট মডেলগুলির সাথে করতে পারবেন না। যাইহোক, দন্ডিত অনুমান নিয়মিতকরণের প্যারামিটারের অনুমানগুলি ব্যবহার করে একই মডেলগুলির জন্য সরবরাহ করতে পারে (যদিও বায়েসিয়ান কাঠামো নিয়মিতকরণের পরামিতিগুলিকে ন্যায়সঙ্গতকরণ এবং চয়ন করার একটি সহজ উপায় সরবরাহ করে, যখন ফ্রিকোয়েন্সিস্টরা প্রচুর উপাত্তের একটি সর্বোত্তম ক্ষেত্রে দৃশ্যে থাকে), " এই নিয়মিতকরণের পরামিতিগুলি কারণ বিপুল সংখ্যক ক্রস-বৈধ যাচাই করা নমুনাগুলি, তারা নমুনা ত্রুটির বাইরে আনুমানিককে কমিয়ে দিয়েছে "... আরও ভাল বা আরও খারাপের জন্য)।

Comments

কিছুটা হলেও আমি এই উদ্ধৃতিটির প্রতি আপত্তি জানাই: "বিশেষত, ফ্রিকোয়ালিস্ট কাঠামোটি প্রায়শই পর্যবেক্ষণ করা ডেটা থেকে আগ্রহের পরামিতিগুলির উপর দৃষ্টিভঙ্গি তৈরি করতে পারে বলে মনে করা হয়, অন্যদিকে বাইসিয়ান দৃষ্টিভঙ্গি থেকে জানা যায় যে স্বতন্ত্র বিশেষজ্ঞ জ্ঞানও অন্তর্ভুক্ত করা উচিত বিষয় সম্পর্কে "। মূলত যে কারণে যে কোনও কারণে, ঘন ঘনবাদীরা এই প্রচ্ছন্নতার জন্য বিষয় সম্পর্কে স্বতন্ত্র বিশেষজ্ঞ জ্ঞানে আগ্রহী নয়। ঘন ঘন এবং বায়েশীয়দের মধ্যে পার্থক্যটি এমন নয় যে পূর্বের জেদীভাবে পূর্বের জ্ঞান বা প্রসঙ্গটি ব্যবহার করতে অস্বীকার করেছিল ... (1/2)

— রায়ান সিমন্স

... তবে বরং এই যে দুটি বিদ্যালয়ই সেই পূর্ব জ্ঞান / প্রসঙ্গটি বিভিন্ন উপায়ে ব্যবহার করে। আপনি তর্ক করতে পারেন যে বায়েসীয় দৃষ্টিভঙ্গি সরাসরি এই মডেলটিতে পূর্ববর্তী জ্ঞানকে অন্তর্ভুক্ত করার দিকে আরও নীতিগত দৃষ্টিভঙ্গি গ্রহণ করে (যদিও আমি অ-তথ্যমূলক প্রিরিয়ারদের বিস্তৃত ব্যবহারের পরিবর্তে এই যুক্তিটিকে ম্লান করে দিই)। তবে আমি মনে করি না যে এটি ঘন ঘনবাদীদের সেই তথ্যটি ব্যবহার না করা হিসাবে চিহ্নিত করা উপযুক্ত হিসাবে বিবেচিত হবে। (2/2)

— রায়ান সিমন্স

@ রায়ানসিমনস: ঠিক, এ কারণেই আমি বলেছি "প্রায়শই পরামর্শ দেওয়া হয় ..." বলে মনে করা হয়। উদাহরণস্বরূপ, যদি কোনও গবেষক পর্যবেক্ষণ করেন যে কোনও বিশেষজ্ঞের মতামতের চারপাশে নিয়মিত প্যারামিটারের অনুমানগুলি নিজেকে দীর্ঘমেয়াদে আরও ভাল ভবিষ্যদ্বাণী হিসাবে নিয়ে যায়, তবে এটি একটি ফ্রিকোয়েনসিস্ট কাঠামোয় অন্তর্ভুক্ত করার কোনও সমস্যা নেই ("ফ্রিকোয়ালিস্ট ব্যবস্থাগুলির উপর ভিত্তি করে, এই বর্ধিত অনুমানটি আরও ভাল হয়েছে) কেবলমাত্র ডেটা-এস্টিমেটারের তুলনায় দীর্ঘকালীন অপারেটিং বৈশিষ্ট্যগুলি ")। তবে এটি বায়েশিয়ার কাঠামোর মতো সোজা নয়।

— ক্লিফ এবি

যথেষ্ট ফর্সা! আমি একমত.

— রায়ান সিমন্স

Answer 7

বায়েশিয়ান এবং ফ্রিকোয়ালিস্টরা মনে করেন সম্ভাবনাগুলি বিভিন্ন জিনিসকে উপস্থাপন করে। ঘন ঘন বিশেষজ্ঞরা মনে করেন যে তারা ফ্রিকোয়েন্সিগুলির সাথে সম্পর্কিত এবং কেবলমাত্র এমন প্রসঙ্গে উপলব্ধি করতে পারেন যেখানে ফ্রিকোয়েন্সিগুলি সম্ভব। বায়েশিয়ানরা এগুলি অনিশ্চয়তার প্রতিনিধিত্ব করার উপায় হিসাবে দেখে। যেহেতু কোনও সত্যই অনিশ্চিত হতে পারে, তাই আপনি যে কোনও কিছুর সম্ভাবনা সম্পর্কে কথা বলতে পারেন।

গাণিতিক পরিণতি হ'ল ফ্রিকোয়েন্সিস্টরা মনে করেন সম্ভাবনার প্রাথমিক সমীকরণগুলি কেবলমাত্র কখনও কখনও প্রয়োগ হয়, এবং বায়িশিয়ানরা মনে করেন যে তারা সর্বদা প্রয়োগ হয়। সুতরাং তারা একই সমীকরণকে সঠিক হিসাবে দেখায় তবে তারা কতটা সাধারণ তা fer

এর নিম্নলিখিত ব্যবহারিক পরিণতি রয়েছে:

(১) বায়েসিয়ানরা তাদের সম্ভাবনা তত্ত্বের প্রাথমিক সমীকরণগুলি থেকে উদ্ভূত হবে (যার মধ্যে বয়েস উপপাদ্য একটি উদাহরণ), এবং ফ্রিকোয়েন্সিস্টরা প্রতিটি সমস্যা সমাধানের জন্য একের পর এক স্বজ্ঞাত অ্যাড-হক পদ্ধতির উদ্ভাবন করেন।

(২) এমন উপপাদাগুলি ইঙ্গিত করছে যে আপনি যদি অসম্পূর্ণ তথ্য থেকে যুক্তি দেখান তবে আপনার সম্ভাবনা তত্ত্বের প্রাথমিক সমীকরণগুলি ধারাবাহিকভাবে ব্যবহার করা বা আপনি সমস্যার মধ্যে পড়বেন। এই ধরনের উপপাদাগুলি কতটা অর্থবহ তা নিয়ে প্রচুর লোকের সন্দেহ রয়েছে, তবুও আমরা বাস্তবে এটি দেখতে পাচ্ছি।

উদাহরণস্বরূপ, বাস্তব বিশ্বের নিরীহ দেখার পক্ষে 95% আত্মবিশ্বাসের অন্তরগুলি সম্পূর্ণরূপে এমন মূল্যবোধের সমন্বিত হতে পারে যা প্রমাণযোগ্যভাবে অসম্ভব (আত্মবিশ্বাসের অন্তর্বর্তীকরণের জন্য ব্যবহৃত একই তথ্য থেকে)। অন্য কথায়, ফ্রিকোয়েন্সিস্ট পদ্ধতিগুলি সাধারণ অনুদানমূলক যুক্তির বিরোধিতা করতে পারে। সম্ভাবনা তত্ত্বের প্রাথমিক সমীকরণগুলি থেকে সম্পূর্ণ উত্পন্ন ব্যয়েসিয়ান পদ্ধতিতে এই সমস্যা নেই।

(৩) বায়েশিয়ান ফ্রিকোয়েন্সিস্টের চেয়ে কঠোরভাবে সাধারণ। যেহেতু যে কোনও সত্যতা সম্পর্কে অনিশ্চয়তা থাকতে পারে, যে কোনও সত্যকে সম্ভাবনা দেওয়া যেতে পারে। বিশেষত, আপনি যে বিষয়গুলি নিয়ে কাজ করছেন তা যদি সত্যিকারের বিশ্ব ফ্রিকোয়েন্সিগুলির সাথে সম্পর্কিত হয় (তবে আপনি যে কোনও কিছু ভবিষ্যদ্বাণী করছেন বা তথ্যগুলির অংশ হিসাবে) তবে বায়েশিয়ান পদ্ধতিগুলি এগুলি অন্য যে কোনও বাস্তব বিশ্বের সত্য হিসাবে বিবেচনা করতে ও ব্যবহার করতে পারে।

ফলস্বরূপ যে কোনও সমস্যা ফ্রিকোয়েন্সিস্ট মনে করেন যে তাদের পদ্ধতিগুলি বয়েশিয়ানদের ক্ষেত্রে প্রযোজ্য তা প্রাকৃতিকভাবেও কাজ করতে পারে। বিপরীতটি যদিও প্রায়শই সত্য হয় না যদি না ফ্রিকোয়েনসিস্টরা তাদের সম্ভাব্যতাকে "ফ্রিকোয়েন্সি" হিসাবে ব্যাখ্যা করতে উদ্ভাবন করে না যেমন উদাহরণস্বরূপ, একাধিক মহাবিশ্বের কল্পনা করা, বা অনন্তের মধ্যে অনুমানমূলক পুনরাবৃত্তিগুলি আবিষ্কার করা হয় যা কখনও সম্পাদিত হয় না এবং প্রায়শই নীতিগতভাবে হতে পারে না ।

Comments

আপনি যে সাহসী বক্তব্য দিয়েছেন তার জন্য কিছু উল্লেখ সরবরাহ করতে পারেন? উদাহরণস্বরূপ "ফ্রিকোয়েন্সিস্টরা মনে করেন সম্ভাবনার প্রাথমিক সমীকরণ কেবল কখনও কখনও প্রয়োগ হয়"? এবং সম্ভাবনার প্রাথমিক সমীকরণগুলি কী কী?

— এমপিক্টাস

বি বনাম এফ বিতর্কর চেয়ে অনেক বেশি আকর্ষণীয় হ'ল আপনার পক্ষে অসম্ভব মান সহ কনফিডেন্স ইন্টারভেল সম্পর্কে মন্তব্য। আপনি কি 95% সিআইয়ের নির্দিষ্ট উদাহরণটিতে কেবল অসম্ভব মানগুলি যুক্ত করতে বা লিঙ্ক করতে পারেন? প্রতিটি পরিসংখ্যানবিদদের তাদের জীবনে কমপক্ষে একবার (সতর্কতার কাহিনী হিসাবে) একবার দেখা উচিত ছিল এটিগুলির মধ্যে এটি হতে পারে I

— ভিনসেন্ট

যে কোনও সিআই-তে সমস্ত "অসম্ভব" মান থাকতে পারে তা "সাধারণ ডিডুকটিভ লজিকের মোটেও বিরোধিতা করে না"। এটি একটি সিআই এর সংজ্ঞা - বা সম্ভবত সিআই এর ব্যাখ্যা এবং বিশ্বাসযোগ্য ব্যবধানগুলির মধ্যে একটি বিভ্রান্তির মত ভুল বোঝাবুঝির মত শোনাচ্ছে।

— হোবার

এটি ওপি-র প্রশ্নের (যা দর্শনের বিষয়ে কঠোরভাবে ছিল না ) উত্তরের চেয়ে দার্শনিক বেদনার মতো বলে মনে হয় ।

— ক্লিফ এবি

"প্রতিটি পরিসংখ্যানবিদ সিআই (যে সিআইয়ের বাস্তব ব্যবহারের সাথে কোন বাস্তব উদ্দেশ্য বা যোগাযোগ নেই) থেকে একই প্রমাণ থেকে যে পরিমাণ সিদ্ধান্ত নেওয়া যায় তার বিরোধিতা করার পক্ষে এটি সম্ভব হয়েছে"। এটি এখনও কোনওভাবেই আপনার দাবির পিছনে নেই যে ফ্রিকোয়েন্সিস্টরা সম্ভাবনার নিয়মগুলি উপেক্ষা করে। এবং আমি আশঙ্কা করছি যে এটি "বয়েস বনাম ফ্রিকোয়ালিস্ট: লড়াই করুন!" এর ভাল পথে চলবে! যা এখানকার বেশিরভাগ পাঠক এড়াতে পছন্দ করবেন।

— ক্লিফ এবি

Answer 8

প্রশ্ন: তাহলে আমরা যদি গাণিতিকভাবে সঠিক হতে চাই তবে আমাদের সম্ভাবনার কোনও ব্যাখ্যা বাতিল করা উচিত নয়? অর্থাৎ, বয়েশিয়ান এবং ঘনত্ব উভয়ই গণিতগতভাবে ভুল?

হ্যাঁ, এবং বিজ্ঞান দর্শন এবং গণিতে উভয়ই ঠিক এইভাবেই করেন।

1. দার্শনিক পদ্ধতির। উইকিপিডিয়া সম্ভাব্যতার ব্যাখ্যা / সংজ্ঞা একটি সংমিশ্রণ সরবরাহ করে ।

2. গণিতবিদরা নিরাপদ নন। অতীতে কোলমোগোরোভিয়ান বিদ্যালয়ের সম্ভাবনার একচেটিয়া ব্যবস্থা ছিল: একটি সম্ভাব্যতা একটি সীমাবদ্ধ পরিমাপ হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয় যা পুরো স্থানকে 1 প্রদান করে ... কোয়ান্টাম সম্ভাব্যতার মতো নির্দিষ্ট সম্ভাবনার উপর নতুন প্রবণতা থাকায় এই আধিপত্য আর বৈধ নয় and বিনামূল্যে সম্ভাবনা ।

Comments

এলোমেলো ভেরিয়েবলের পরিবহণের অনুমানগুলি শিথিল করার অর্থ কী বোঝেন? (নিখরচায় সম্ভাবনার ক্ষেত্রে - কোয়ান্টাম সম্ভাবনার পিছনে ধারণাগুলি বুঝতে আমি পর্যাপ্ত কিউএম জানি না) এর অর্থ কি বা ? আমার ধারণা অনুমান নিউমন বীজগণিত এবং বীজগণিতগুলির আলোচনাটি পরবর্তীকালে বোঝায়। এক্স ওয়াই ≠ ওয়াই এক্স সি $X + Y \not= Y+X$$XY \not= YX$$C^*$

— চিল 2ম্যাচট

@ উইলিয়াম বীজগণিতগুলি পরিসংখ্যানগুলিতে প্রয়োগ করা হয় তার বেশিরভাগই সঠিকভাবে মডেল করে না। (সাদৃশ্য অনুসারে, জটিল সংখ্যার উদ্ভাবন কোনওভাবেই প্রাকৃতিক সংখ্যার প্রয়োগের ক্ষেত্রে প্রভাব ফেলেনি prob সম্ভাবনার গাণিতিক ধারণার কোনও সম্ভাব্য বর্ধন কখনই সম্ভাব্যতা - যেমনটি বোঝা যায় - প্রয়োগ হয় না, তা কখনই পরিবর্তিত হতে পারে।) টিম , এই উত্তর বিরক্তিকর: শুধুমাত্র বিশুদ্ধরূপে গাণিতিক সমস্যাটি সম্ভাবনা কোনো অ্যাপ্লিকেশন বিষয়ে কিনা তার উপপাদ্য ব্যবহার সামঞ্জস্যপূর্ণ হয়, এবং যে সহজে সহজ মডেলের সঙ্গে প্রমাণিত হয়। $C^{*}$

— whuber

Answer 9

বেইস / ঘন ঘন বিতর্ক অসংখ্য ভিত্তিতে ভিত্তি করে। আপনি যদি গাণিতিক ভিত্তির কথা বলছেন তবে আমার মনে হয় না অনেক কিছুই আছে।

উভয়কেই জটিল সমস্যার জন্য বিভিন্ন আনুমানিক পদ্ধতি প্রয়োগ করা দরকার। দুটি উদাহরণ হ'ল ঘন ঘন বিশেষজ্ঞের জন্য "বুটস্ট্র্যাপ" এবং বায়েসিয়ানদের জন্য "এমসিএমসি"।

এগুলি উভয়ই কীভাবে ব্যবহার করতে হয় তার জন্য আচার / পদ্ধতি নিয়ে আসে। একটি ঘনত্ববাদী উদাহরণ হ'ল "কোনও কিছুর একটি অনুমানকারী প্রস্তাব এবং পুনরাবৃত্ত নমুনার অধীনে এর বৈশিষ্ট্যগুলি মূল্যায়ন" যখন একটি বায়সিয়ান উদাহরণ "আপনি যা জানেন না তার শর্তসাপেক্ষে কী জানেন না তার জন্য সম্ভাবনা বন্টন গণনা করুন"। এইভাবে সম্ভাব্যতা ব্যবহারের জন্য কোনও গাণিতিক ভিত্তি নেই।

বিতর্কটি প্রয়োগ, ব্যাখ্যা এবং বাস্তব বিশ্বের সমস্যাগুলি সমাধান করার ক্ষমতা সম্পর্কে আরও বেশি।

প্রকৃতপক্ষে, এটি প্রায়শই "তাদের পক্ষে" তর্ক করে লোকেরা ব্যবহার করে যেখানে তারা "নির্দিষ্ট পক্ষ" দ্বারা ব্যবহৃত একটি নির্দিষ্ট "রীতি / পদ্ধতি" ব্যবহার করবে যে তর্ক করার জন্য পুরো তত্ত্বটি তাদের জন্য ফেলে দেওয়া উচিত। কিছু উদাহরণ অন্তর্ভুক্ত ...

• বোকা priors ব্যবহার (এবং তাদের পরীক্ষা না)
• বোকা সিআই ব্যবহার করে (এবং সেগুলি পরীক্ষা না করে)
• তত্ত্বের সাথে একটি গণনামূলক কৌশলকে বিভ্রান্ত করে তোলা (বেয়েস এমএমসিসি নয়! একইভাবে মেশিন লার্নিংয়ের সাথে ক্রস বৈধকরণের সমান হয়)
• একটি তত্ত্বের সাথে একটি নির্দিষ্ট অ্যাপ্লিকেশন নিয়ে সমস্যা সম্পর্কে কথা বলা এবং অন্য তত্ত্বটি কীভাবে নির্দিষ্ট সমস্যাটিকে "আরও ভাল" সমাধান করবে তা নয়

Comments

হাহা হ্যাঁ আমি খুব সত্য মনে করি। আধিকারিকের জন্য অধ্যাপককে শুনতে হয়েছিল যে কীভাবে বায়সিয়ানিজম ভয়ঙ্কর, কারণ কারাগারের সাথে বিচারিকভাবে আসা বিষয়টি বোধগম্য নয় এবং পুরো সময়টিতে আমি "ভাল, দুহ, তাই আপনি কেন বেছে নেবেন না?" আগে যে উপায় "। আমার বক্তব্য, আমি একমত যে স্ট্রোম্যান যুক্তি প্রচুর আছে।

— চিল

Answer 10

তাহলে তা কি পরিসংখ্যানগুলির একমাত্র গাণিতিকভাবে সঠিক সংস্করণটি অনুসরণ করবে না যা বেইসিয়ানিজম এবং ঘনত্বের প্রতি সম্মানজনকভাবে সম্পূর্ণ অজ্ঞাত ব্যতীত কিছু হতে অস্বীকার করে? উভয় শ্রেণিবদ্ধকরণের পদ্ধতিগুলি যদি গাণিতিকভাবে সঠিক হয়, তবে অন্যের চেয়ে কিছুকে পছন্দ করা কি অনুচিত অনুশীলন নয়, কারণ এটি সঠিক, সু-সংজ্ঞায়িত গণিতের তুলনায় অস্পষ্ট, অশুভ-সংজ্ঞায়িত দর্শনের পক্ষে অগ্রাধিকার দেবে?

না এটি অনুসরণ করে না। যে ব্যক্তিরা তাদের আবেগ অনুভব করতে অক্ষম তারা জৈবিকভাবে সিদ্ধান্ত নিতে অক্ষম, যার মধ্যে সিদ্ধান্তের একটিমাত্র উদ্দেশ্যগত সমাধান রয়েছে including কারণ হ'ল যৌক্তিক সিদ্ধান্ত গ্রহণ আমাদের সংবেদনশীল ক্ষমতা এবং আমাদের পছন্দগুলি জ্ঞানীয় এবং সংবেদনশীল উভয়ের উপর নির্ভর করে। যদিও এটি ভীতিজনক, যদিও এটি অভিজ্ঞতাजनিত বাস্তবতা।

গুপ্ত আর, কোসিক টিআর, বেচারা এ, ট্রানেল ডি অ্যামিগডালা এবং সিদ্ধান্ত গ্রহণ। Neuropsychologia। 2011; 49 (4): 760-766। ডোই: 10,1016 / j.neuropsychologia.2010.09.029।

কমলাতে আপেল পছন্দ করা কোনও ব্যক্তি এটি পছন্দ হিসাবে এটি রক্ষা করতে পারে না। বিপরীতভাবে, কোনও ব্যক্তি যিনি আপেলগুলিতে কমলা পছন্দ করেন এটি যুক্তিযুক্তভাবে এটি রক্ষা করতে পারেন না। আপেল পছন্দ করেন এমন লোকেরা প্রায়শই কমলালেবু খাবেন কারণ কমলার ব্যয়ের তুলনায় আপেলের দাম খুব বেশি।

বায়েশিয়ান এবং ফ্রিকোয়েন্সিবাদী বিতর্ক, পাশাপাশি সম্ভাবনাবাদী এবং ফ্রিকোয়ালিস্ট বিতর্ক বোঝার ভুলকে কেন্দ্র করেই ছিল। তবুও, যদি আমরা কল্পনা করি যে আমাদের মধ্যে এমন একজন ব্যক্তি আছেন যিনি কার্নাপিয়ান সম্ভাব্যতা বা বিশ্বাসঘাতক পরিসংখ্যানের মতো অপ্রাপ্তবয়স্ক বা আর ব্যবহার না করা পদ্ধতি সহ সমস্ত পদ্ধতিতে ভালভাবে প্রশিক্ষিত আছেন তবে তাদের পক্ষে অন্যান্য সরঞ্জামের চেয়ে কিছু সরঞ্জাম পছন্দ করা কেবল যুক্তিযুক্ত।

যুক্তিবাদীতা কেবলমাত্র পছন্দগুলির উপর নির্ভর করে; আচরণ পছন্দ এবং ব্যয় উপর নির্ভর করে।

এটি এমন ক্ষেত্রে হতে পারে যে খাঁটি গাণিতিক দৃষ্টিকোণ থেকে একটি সরঞ্জাম অন্যটির চেয়ে ভাল, যেখানে কিছু ব্যয় বা ইউটিলিটি ফাংশন ব্যবহার করে আরও ভাল সংজ্ঞায়িত করা হয়, তবে যদি কোনও অনন্য উত্তর না পাওয়া যায় যেখানে কেবলমাত্র একটি সরঞ্জাম কাজ করতে পারে তবে উভয়ই ব্যয় এবং পছন্দগুলি ওজন করতে হবে।

একটি জটিল বেটের প্রস্তাব বিবেচনা করে বুকের সমস্যা বিবেচনা করুন। স্পষ্টতই, বুকের এই ক্ষেত্রে বায়েসিয়ান পদ্ধতিগুলি ব্যবহার করা উচিত কারণ এগুলি সুসংগত এবং অন্যান্য দুর্দান্ত বৈশিষ্ট্য রয়েছে তবে এটিও কল্পনা করুন যে বুকির একটি ক্যালকুলেটর রয়েছে এমনকি একটি পেন্সিল এবং কাগজও নয়। এটি এমন ঘটনা হতে পারে যে বুকি তার ক্যালকুলেটরটি ব্যবহার করে এবং তার মাথায় জিনিস রাখে ফ্রিকোয়ালিস্ট সমাধানটি গণনা করতে পারে এবং বায়েশিয়ান গণনা করার পৃথিবীতে কোনও সুযোগ নেই। যদি তিনি "ডাচ বুকড" হওয়ার ঝুঁকি নিতে আগ্রহী হন এবং সম্ভাব্য ব্যয়টিও যথেষ্ট কম খুঁজে পান, তবে ফ্রিকোয়েন্সিবাদী পদ্ধতি ব্যবহার করে বেট দেওয়া তার পক্ষে যুক্তিযুক্ত।

এটা যৌক্তিক জন্য আপনি হতে অজ্ঞেয়বাদী কারণ আপনার মানসিক পছন্দগুলি খুঁজে এটাই তোমাদের জন্যে উত্তম হবে। এই ক্ষেত্রটি অজ্ঞেয়বাদী হওয়ার পক্ষে যুক্তিযুক্ত নয় যদি আপনি বিশ্বাস না করেন যে সমস্ত লোক আপনার সংবেদনশীল এবং জ্ঞানীয় পছন্দগুলি ভাগ করে নেয়, যা আমরা জানি এটি ক্ষেত্রে নয়।

সংক্ষেপে, আমি বুঝতে পারি না যে বায়সিয়ান বনাম ঘন ঘন বিতর্কটির জন্য গাণিতিক ভিত্তি কী, এবং যদি বিতর্কটির কোনও গাণিতিক ভিত্তি না থাকে (যা উইকিপিডিয়া দাবি করে) তবে কেন তা একেবারেই সহ্য করা হয় তা আমি বুঝতে পারি না একাডেমিক বক্তৃতা।

একাডেমিক বিতর্কের উদ্দেশ্য হ'ল পুরানো এবং নতুন ধারণার উভয়কেই আলোকিত করা। বায়েশিয়ান বনাম প্রায়শই সাম্প্রতিকবাদী বিতর্ক এবং সম্ভাবনাবাদী বনাম ফ্রিকোয়েন্সিবাদী বিতর্ক ভুল বোঝাবুঝি এবং চিন্তার opালুতা থেকেই আসে। কিছু তারা তাদের জন্য পছন্দগুলি কল করতে ব্যর্থ থেকে এসেছিল। কোনও অনুমানকারকের পক্ষপাতহীন এবং কোলাহলপূর্ণ বনাম এবং অনুমানকারী পক্ষপাতদুষ্ট এবং নির্ভুল হওয়ার গুণাবলী সম্পর্কে আলোচনা আবেগগত পছন্দগুলির আলোচনা, তবে কারও কাছে না আসা পর্যন্ত এটি সম্ভবত সম্ভাবনা যে পুরো ক্ষেত্রের মধ্যে আবদ্ধ থাকবে।

আমি দর্শন পছন্দ করি না, তবে আমি গণিত পছন্দ করি, এবং আমি কোলমোগোরভের স্বীকৃতির কাঠামোর মধ্যে একচেটিয়াভাবে কাজ করতে চাই।

কেন? কারণ আপনি কোলমোগোরভকে কক্সস, ডি ফিনেটি বা সেভেজের চেয়ে পছন্দ করেন? সেই পছন্দটি কি লুকিয়ে আছে? এছাড়াও, সম্ভাবনা এবং পরিসংখ্যান গণিত নয়, তারা গণিত ব্যবহার করে। এটি বক্তৃতা একটি শাখা। এটি আপনার বক্তব্যকে বিবেচনা করতে পারে কেন তা বোঝার জন্য:

যদি কোনও পদ্ধতি গাণিতিকভাবে সঠিক হয়, তবে অন্তর্নিহিত গণিতের অনুমানগুলি ধরে রাখলে সেই পদ্ধতিটি ব্যবহার করা বৈধ, অন্যথায়, যদি এটি গাণিতিকভাবে সঠিক না হয় বা অনুমানগুলি ধরে না রাখে, তবে এটি ব্যবহার করা অবৈধ।

এটি সত্য নয়। আত্মবিশ্বাসের ব্যবধান এবং তাদের অপব্যবহারের উপর একটি চমৎকার নিবন্ধ রয়েছে যা এর উদ্ধৃতি দেওয়া হ'ল:

মোরে, রিচার্ড; Hoekstra, রিঙ্ক; রাউডার, জেফ্রি; লি, মাইকেল; ওয়াগেনমেকারস, এরিক-জান, আত্মবিশ্বাসের অন্তরগুলিতে আস্থা রাখার ফাঁক, সাইকোনমিক বুলেটিন অ্যান্ড রিভিউ, ২০১,, খণ্ড ২৩ (১), পিপি। ১০০৩-২৩

আপনি যদি নিবন্ধে বিভিন্ন সম্ভাব্য আত্মবিশ্বাসের অন্তরগুলি পড়েন, তবে প্রত্যেকটি গাণিতিকভাবে বৈধ, তবে আপনি যদি তাদের বৈশিষ্ট্যগুলি মূল্যায়ন করেন তবে সেগুলি যথেষ্ট পরিমাণে পৃথক হয়। প্রকৃতপক্ষে, সরবরাহ করা কিছু আস্থা অন্তরগুলি "খারাপ" বৈশিষ্ট্য হিসাবে বিবেচনা করা যেতে পারে, যদিও তারা সমস্যার সমস্ত অনুমানকে পূরণ করে। আপনি যদি তালিকা থেকে বায়েশিয়ান অন্তরকে বাদ দেন এবং কেবলমাত্র চারটি ফ্রিকোসিস্টিস্ট অন্তরগুলিতে মনোনিবেশ করেন, তবে আপনি যদি অন্তরগুলি প্রশস্ত বা সংকীর্ণ বা ধ্রুবক হিসাবে গভীরতর বিশ্লেষণ করেন তবে আপনি দেখতে পাবেন যে অন্তরগুলি "সমান" হতে পারে না "যদিও প্রত্যেকটি অনুমান এবং প্রয়োজনীয়তা পূরণ করে।

এটি দরকারী বা বিকল্প হিসাবে, যতটা সম্ভব কার্যকর হিসাবে এটি গাণিতিকভাবে বৈধ হওয়া যথেষ্ট নয়। তেমনি, এটি গাণিতিকভাবে সত্য, তবে ক্ষতিকারকও হতে পারে। নিবন্ধে, একটি বিরতি রয়েছে যা একেবারে সংকীর্ণে যখন সঠিক অবস্থান সম্পর্কে সর্বনিম্ন পরিমাণ থাকে এবং প্রশস্ত হয় যখন পরামিতিটির অবস্থান সম্পর্কে নিখুঁত জ্ঞান বা নিখুঁত জ্ঞান উপস্থিত থাকে। নির্বিশেষে, এটি কভারেজের প্রয়োজনীয়তা পূরণ করে এবং অনুমানগুলি সন্তুষ্ট করে।

গণিত কখনই পর্যাপ্ত হতে পারে না।

Comments

আমি সত্যিই দ্বিতীয় নিবন্ধ পছন্দ। (প্রথম নিবন্ধের উপসংহারটি এমন কিছু যা আমি ইতিমধ্যে শুনেছিলাম যে আমি এমনভাবে যুক্তি দিয়েছিলাম যা আমাকে বোঝায়, তাই এটি পড়া আমার পক্ষে অপ্রয়োজনীয় বলে মনে হয়েছিল)) আপনি যা বলেন তার সাথে আমি বেশিরভাগই একমত। সত্যি কথা বলতে গেলে, যখন আমি গণিত বলি, তখন আমার "প্রয়োগিত গণিত" অর্থের পাশাপাশি আমি গাণিতিক গবেষণার বিষয়গুলি এবং দিকনির্দেশগুলি, পাশাপাশি গাণিতিক অক্ষগুলি বাছাই করার বিষয়গুলি বোঝার জন্য আরও বেশি মনে রেখেছিলাম model বাস্তব জগতে. এছাড়াও, আমি মনে করি না যে দ্বিতীয় নিবন্ধটি আমি যা বলছি তার সাথে বিরোধিতা করে - লেখকরা সাধারণ

— ভুলগুলি

এগুলি গাণিতিকভাবে (অর্থাত্ নির্ভুলভাবে, কঠোরভাবে), এবং তারপরে এগুলি মিথ্যা বলে প্রমাণিত করে এমন জবাবদিহি সরবরাহ করে। আমি যা বলার চেষ্টা করছিলাম (যদি আমি অনেক মাস আগে আমার উদ্দেশ্যগুলি সম্পর্কে সঠিকভাবে মনে করি), তা হ'ল যদি আপনার "দর্শন" বা "দার্শনিক ধারণা" বা যা কিছু স্পষ্ট করে বলা যায় না বা সংক্ষিপ্ত বিবরণে সংকীর্ণ করা যায় না, যেমন নির্বিঘ্নে বলা হয়, তারপরে এটি চারপাশে নিক্ষেপ করা অকেজো। উদাহরণস্বরূপ যারা ঘন ঘন এমএলই (একটি ফ্ল্যাট পূর্বের সাথে এমএপি) এবং অস্পষ্ট কারণে অন্যান্য ধরণের উদ্দেশ্যমূলক প্রিয়ারগুলির মধ্যে পার্থক্য আঁকেন - যদি আপনার আপত্তিটি গাণিতিক

— অক্ষের

প্রথমে আপনার আপত্তি জানার কোনও ভাল কারণ নয়, কারণ আপনার আপত্তিটি মিথ্যা বলে প্রমাণযোগ্য নয় too আমার পরিসংখ্যানে পরিসংখ্যানগুলি "গণিত ব্যবহার করা" এর অর্থ এই নয় যে পরিসংখ্যানবিদরা গণিতবিদদের চেয়ে opালু চিন্তাবিদ হিসাবে যুক্তিযুক্ত। গণিতবিদরা সমস্ত সময়ই বিতর্ক করেন যে গাণিতিক অক্ষগুলি "সার্থক" বা "আকর্ষণীয়" বিবেচনা করার জন্য, যেমন আপনি উল্লেখ করেছেন, শেষ পর্যন্ত কেবল সংবেদনশীল পছন্দগুলির উপর ভিত্তি করে। তবে এই যুক্তিগুলি আসলে পদার্থ রাখতে এবং ক্ষেত্রগুলি এগিয়ে নিয়ে যেতে সক্ষম, কারণ প্রতিটি পক্ষের অবস্থানগুলি পরিষ্কার এবং দ্ব্যর্থহীন-

— Chill2Macht

ল্য বলেছেন - উদাহরণস্বরূপ যে কেউ স্বচ্ছতার সাথে বলতে পারেন যে অন্তর্দৃষ্টিবিদরা বাদ পড়েছেন মধ্যের আইনটি ব্যবহার করে প্রত্যাখ্যান করেছেন, অন্য গণিতবিদরা এটি ব্যবহারে সন্তুষ্ট রয়েছেন। অক্সিয়াম অফ চয়েজ সম্পর্কে তীব্র বিতর্কও নোট করুন। তবে বাদ দেওয়া মধ্যের আইন এবং চয়েস অফ অ্যাক্সিয়াম উভয়ই হুবহু বিবৃতি যা অন্যান্য যথাযথ অনুমানের ভিত্তিতে মিথ্যা বলা যায়, মিথ্যা প্রমাণিত, প্রমাণিত ইত্যাদি হতে পারে (অন্যান্য অনুমানের উপর নির্ভর করে)। অর্থাৎ আমি যে যুক্তিটি দেখানোর চেষ্টা করছিলাম তা হ'ল "দর্শন" / "আবেগ" কেবলমাত্র বিভিন্ন দ্ব্যর্থহীন / সুনির্দিষ্ট অক্ষের জন্য রাষ্ট্রীয় পছন্দগুলিতে খেলতে আসা উচিত । হিসাবে

— চিল

"প্রিরিয়াররা খারাপ" এমন কারও সাথে তুলনা করে, এবং গাণিতিক অ্যালকোমিকে না দেওয়া যা তারা বিশ্বাস করেন যে অনুগ্রহটি মেটানো উচিত, এবং কোনটি আগে নির্বাচন করা লঙ্ঘন করার জন্য যৌক্তিকভাবে দেখানো যেতে পারে। পূর্ববর্তীটি অকেজো, যদিও পরবর্তীটি গঠনমূলক, কারণ এটি বিরোধীদের সাথে কাজ করার জন্য কিছু কংক্রিট দেয়, উদাহরণস্বরূপ একটি বিকল্প স্বতন্ত্র প্রস্তাব দেওয়ার সুযোগ যা তাদের "এই সমস্যার জন্য ধরে নেওয়া আরও যুক্তিসঙ্গত বলে মনে হয়"। এই কারণেই আমি আপনার সাথে যুক্ত দ্বিতীয় নিবন্ধটি সত্যিই পছন্দ করি কারণ এটি ঠিক এটি করে-এটি সিআই এর মিথ্যা ব্যাখ্যাগুলি "গণিত" করে এবং প্রমাণ করে যে সেগুলি মিথ্যা।

— চিল