কেন ইডিডিএফ একটি লিনিয়ার ইন্টারপোলেশন নয় একটি পদক্ষেপ ফাংশন ব্যবহার করে?

এমিরিকাল সিডিএফ ফাংশনগুলি সাধারণত একটি পদক্ষেপ ফাংশন দ্বারা অনুমান করা হয়। লিনিয়ার ইন্টারপোলেশন ব্যবহার না করে এমনভাবে এবং কেন এমন করার কোনও কারণ আছে? পদক্ষেপের কার্যক্রমে কি কোনও আকর্ষণীয় তাত্ত্বিক বৈশিষ্ট্য রয়েছে যা আমাদের এটি পছন্দ করে?

এখানে দু'জনের উদাহরণ:

ecdf2 <- function (x) {
  x <- sort(x)
  n <- length(x)
  if (n < 1) 
    stop("'x' must have 1 or more non-missing values")
  vals <- unique(x)
  rval <- approxfun(vals, cumsum(tabulate(match(x, vals)))/n, 
                    method = "linear", yleft = 0, yright = 1, f = 0, ties = "ordered")
  class(rval) <- c("ecdf", class(rval))
  assign("nobs", n, envir = environment(rval))
  attr(rval, "call") <- sys.call()
  rval
}


set.seed(2016-08-18)
a <- rnorm(10)
a2 <- ecdf(a)
a3 <- ecdf2(a)

par(mfrow = c(1,2))
curve(a2, -2,2, main = "step function ecdf")
curve(a3, -2,2, main = "linear interpolation function ecdf")

r distributions ecdf

— তাল গালিলি
সূত্র

সম্পর্কিত ...................................

"... একটি পদক্ষেপ ফাংশন দ্বারা অনুমান" একটি সূক্ষ্ম ভুল ধারণাটিকে বোঝায়: ইসিডিএফ কেবল একটি পদক্ষেপের দ্বারা অনুমান করা হয় না ; এটা হল সংজ্ঞা দ্বারা যেমন একটি ফাংশন। এটি একটি এলোমেলো ভেরিয়েবলের সিডিএফ এর অনুরূপ। বিশেষ করে, সংখ্যার কোনো সসীম ক্রম দেওয়া , একটি সম্ভাব্যতা স্থান নির্ধারণ সঙ্গে , পৃথক, এবং অভিন্ন। যাক দৈব চলক বরাদ্দ হতে করতে । ইসিডিএফ হ'ল এর সিডিএফ ।

x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}

$x_1, x_2, \ldots, x_n$

(Ω, S, P)

$(\Omega,\mathfrak{S},\mathbb{P})$

Ω = {1, 2, \dots, n}

$\Omega=\{1,2,\ldots, n\}$

S

$\mathfrak{S}$

P

$\mathbb{P}$

X

$X$

x_{i}

$x_i$

i

$i$ $X$ এই বিশাল ধারণাগত সরলকরণ সংজ্ঞাটির জন্য একটি বাধ্যতামূলক যুক্তি।

— হোবার

এটি সংজ্ঞা অনুসারে

পর্যবেক্ষণের একটি সেট এর অভিজ্ঞতা অভিজ্ঞতা বিতরণ দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে $(X_n)$

F_{e} (t) = \frac{# {X_{n} ∣ X_{n} \leq t}}{n}

$F_e(t) = \frac{\#\{X_n \mid X_n \le t\}}n$

যেখানে সেট কার্ডিনালিটি ity এটি প্রকৃতির দ্বারা, একটি পদক্ষেপ ফাংশন। এটি প্রায় অবশ্যই আসল সিডিএফ রূপান্তরিত করে । $\#$

আরও মনে রাখবেন যে সাথে কোনও বিতরণের জন্য কমপক্ষে দুটি (বিশেষত ননডিজেনারেটেড বিচ্ছিন্ন বিতরণ) এর জন্য আপনার ইসিডিএফটির বৈকল্পিক প্রকৃত সিডিএফ রূপান্তরিত করে না । উদাহরণস্বরূপ সিডিএফ সহ একটি বার্নোল্লি বিতরণ বিবেচনা করুন $P(X = x) \ne 0$ $x$

F_{X} (x) = p χ_{x \geq 0} + (1 - p) χ_{x \geq 1}

$F_X(x) = p \chi_{x \ge 0} + (1-p) \chi_{x \ge 1}$ এটি একটি পদক্ষেপ ফাংশন যেখানে ecdf2 রূপান্তরিত হবে (একটি অংশবিশেষ লিনিয়ার ফাংশন সংযুক্ত হচ্ছে এবং ।

χ_{x \geq 0} \cdot (p + (1 - p) min (x, 1))

$\chi_{x\ge 0} \cdot (p + (1-p)\min(x, 1))$

(0, p)

$(0,p)$

(1, 1)

$(1,1)$

— AlexR
সূত্র

ধন্যবাদ অ্যালেক্স সুতরাং আমি লিখে ফাংশন অন্য নাম আছে? (কারণ আমি অনুমান করব যে এটি আসল সিডিএফ-তে রূপান্তরিতও হবে)

— তাল গ্যালিলি

পছন্দ করুন একটি বার্নোল্লি বিতরণ বিবেচনা করুন। আপনার ecdf2 এক্ষেত্রে রূপান্তর করবে না। আপনি এটিকে একটি স্মুথড ইসিডিএফ বলতে পারেন। আমি সন্দেহ করি যে এটি যদি আসল সিডিএফের চূড়ান্ত পয়েন্টগুলি (যেখানে আপনি মসৃণ করেন না) ব্যতীত

— নানজারো

@ অ্যালেক্সআর আপনি এই মন্তব্য যুক্ত করার জন্য আপনার উত্তরটি সম্পাদনা করতে পারেন যেহেতু বিচ্ছিন্ন বিতরণগুলি এইরকম সুনির্দিষ্ট কারণ - তাই এটি "কেন" প্রশ্নের উত্তর দেয়।

— টিম

@ টিম সম্পন্ন

${}{}$

— অ্যালেক্সআর

ধন্যবাদ। একটি ধ্রুবক অভিজ্ঞতামূলক ফাংশন সংজ্ঞায়িত করার কোনও উপায় আছে যা পদক্ষেপ ফাংশনে রূপান্তরিত করবে তবে পুরো একঘেয়ে হয়ে যাবে (অর্থাত্: কোনও তীক্ষ্ণ "লাফালাফি" ছাড়াই)?

— তাল গালিলি