সম্ভাবনার ঘনঘনবাদী সংজ্ঞা; একটি আনুষ্ঠানিক সংজ্ঞা আছে?

Question

ঘনত্ববিদরা '' সম্ভাবনা '' এর অধীনে কী বোঝেন তার কোনও আনুষ্ঠানিক (গাণিতিক) সংজ্ঞা আছে? আমি পড়েছি এটি দীর্ঘমেয়াদে '' ঘটনার আপেক্ষিক ফ্রিকোয়েন্সি '' তবে এটি সংজ্ঞায়নের কোনও আনুষ্ঠানিক উপায় আছে কি? এমন কোনও উল্লেখ আছে যেখানে আমি সেই সংজ্ঞাটি পেতে পারি?

সম্পাদনা করুন:

ঘন ঘন বিশেষজ্ঞের সাথে (@ ভোবারের মন্তব্য এবং আমার উত্তর @ কোডিওলজিস্ট এবং সেই উত্তরের নীচে @ গ্রামী ওয়ালশ সম্পর্কে আমার মন্তব্য দেখুন) আমি তাদের বোঝাতে চাইছি যারা এই 'দীর্ঘস্থায়ী আপেক্ষিক ফ্রিকোয়েন্সি' বিদ্যমান বলে বিশ্বাস করেন। হতে পারে এটি (আংশিকভাবে) @ টিমের প্রশ্নেরও উত্তর দেয়

Comments

"ফ্রিকোয়েন্সিস্ট" দ্বারা আপনি কী বোঝাতে চান তা দয়া করে ব্যাখ্যা করুন। অন্যান্য থ্রেডে আমি যে ব্যবহারগুলি দেখেছি তা বোঝায় যে এই শব্দটির অর্থ কী হতে পারে তার অনেকেরই কোনও সুসংগত বা স্পষ্ট ধারণা নেই। একটি সংজ্ঞা তাই কোনও উত্তর প্রাসঙ্গিক রাখতে সাহায্য করবে।

— হোবার

@ তবে আমি অনুমান করি যে ঘন ঘনবাদীর সংজ্ঞাটি "নন বেইশিয়ান" এবং বেশিরভাগ ক্ষেত্রে বায়সিয়ান "নন ঘনঘনবাদী":

— টিম

নিবিড়ভাবে সম্পর্কিত: en.wikedia.org/wiki/Empirical_probability

— সিলভারফিশ

আমি বলতে যাচ্ছিলাম যে এই পরিসংখ্যানগুলি। Stackexchange.com/a/230943/113090 সম্ভবত আপনার পক্ষে আগ্রহী হবে তবে আমি বুঝতে পেরেছিলাম যে আপনি সেই উত্তরটি পোস্ট করেছেন, তাই কিছু মনে করবেন না। যাইহোক আপনার চিন্তার প্রক্রিয়াটি অন্যদের জন্যও আগ্রহী হতে পারে যাদের

— আপনারও

আমি নিজেই উত্তরটি লেখার শক্তি পাব কিনা তা আমি নিশ্চিত নই, তবে আমি সম্পর্কিত থ্রেডে আপনার উত্তরের অধীনে পোস্ট করা সম্ভাবনার ব্যাখ্যায় স্ট্যানফোর্ড এনসাইক্লোপিডিয়া অফ দর্শন দর্শনে একই লিঙ্কটি এখানে রেখে যেতে চাই । ঘনঘনবাদী ব্যাখ্যা / সংজ্ঞা বিভাগটি একটি ভাল পঠিত। সম্ভাব্যতার ঘনবাদী সংজ্ঞা দেওয়ার চেষ্টা সহ এটি বিভিন্ন ধারণাগত সমস্যা নিয়ে ব্যাপক আলোচনা করে।

— অ্যামিবা

Answer 1

টিএল; ডিআর এটি দেখে মনে হয় না যে কোলমোগোরভ কাঠামোর সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ সম্ভাবনার ঘনত্ববাদী সংজ্ঞাটি সংজ্ঞায়িত করা সম্ভব যা সম্পূর্ণ বিজ্ঞপ্তি নয় (অর্থাত্ বিজ্ঞপ্তি যুক্তির অর্থে))

না অত্যন্ত দীর্ঘ, তাই আমি পড়তে হয়নি: আমি ঠিকানা চাই কি আমি সম্ভাবনা প্রার্থী frequentist সংজ্ঞা সঙ্গে কিছু সম্ভাব্য সমস্যার হিসেবে দেখতে প্রথমত, কেবল যুক্তিসঙ্গতভাবে একটি এলোমেলো পরিবর্তনশীল হিসাবে ব্যাখ্যা করা যেতে পারে, সুতরাং উপরের অভিব্যক্তিটি কঠোর অর্থে যথাযথভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়নি। আমাদের এই এলোমেলো ভেরিয়েবলের জন্য কনভার্জারের মোড নির্দিষ্ট করতে হবে, এটি প্রায় অবশ্যই, সম্ভাবনার ক্ষেত্রে, বিতরণে, গড় হিসাবে বা গড় স্কোয়ারে হোক।

$$\underset{n \to \infty}{\lim} \frac{n_A}{n}$$ $n_A$

তবে এই সমস্ত অভিব্যক্তির ধারণাকে অর্থবোধক হিসাবে সংজ্ঞায়িত করার জন্য সম্ভাবনার জায়গার একটি পরিমাপ প্রয়োজন। স্বজ্ঞাত পছন্দটি অবশ্যই হ'ল প্রায় অবশ্যই কনভার্শনটি বেছে নেবে। এটিতে বৈশিষ্ট্যটি রয়েছে শূন্য পরিমাপের ইভেন্ট ব্যতীত সীমাটির পয়েন্টওয়াইজ থাকা দরকার। শূন্যের পরিমাপের সেটটি যে কোনও ব্যবস্থার সাথে একে অপরের প্রতি সম্মানের সাথে একটানা অব্যাহত রয়েছে তার সাথে মিলিত হবে - এটি আমাদের উপরের সীমাটিকে কঠোর করে তুলতে প্রায় নিশ্চিত রূপান্তরটির একটি ধারণা সংজ্ঞায়িত করতে সহায়তা করে যখন এখনও অন্তর্নিহিত কি সম্পর্কে কিছুটা অজ্ঞেয় রয়েছেন ইভেন্টগুলির পরিমাপযোগ্য স্থানের জন্য পরিমাপ হ'ল (অর্থাত্ এটি কোনও নির্বাচিত পরিমাপের ক্ষেত্রে একেবারে ধারাবাহিকভাবে কোনও পরিমাপ হতে পারে)। এটি এমন সংজ্ঞাতে বিজ্ঞপ্তি রোধ করবে যা প্রদত্ত পরিমাপটি আগে থেকেই ঠিক করা থেকে উদ্ভূত হবে,

তবে, আমরা যদি প্রায় নিশ্চিত রূপান্তর ব্যবহার করে থাকি তবে এর অর্থ আমরা নিজেকে বৃহত সংখ্যক (আজকের এসএলএলএন) এর শক্তিশালী আইনের পরিস্থিতিতে সীমাবদ্ধ করছি। আমাকে উল্লেখ করতে দিন যে প্রপঞ্চটি (চুং এর ১৩৩৩ পৃষ্ঠাতে দেওয়া হয়েছে) এখানে রেফারেন্সের জন্য:

যাক স্বাধীন, অভিন্নরুপে বিতরণ র্যান্ডম ভেরিয়েবল একটা ক্রম হও। তারপরে আমাদের যেখানে ।$\{X_n\}$

$$\mathbb{E}|X_1| < \infty \implies \frac{S_n}{n} \to \mathbb{E}(X_1)\quad a.s.$$ $$\mathbb{E}|X_1| = \infty \implies \underset{n \to \infty}{\lim\sup}\frac{|S_n|}{n} = + \infty \quad a.s.$$ $S_n:= X_1 + X_2 + \dots + X_n$

সুতরাং আসুন আমরা আমাদের পরিমাপযোগ্য স্থান এবং পারস্পরিক একেবারে একটানা সম্ভাব্যতা ব্যবস্থা গ্রহণের কিছু পরিবার সাথে কিছু পরিবার এর কিছু সম্ভাবনার সংজ্ঞা দিতে চাই । তারপরে কোলমোগোরভ এক্সটেনশন উপপাদ্য বা আইনেস্কু তুলসিয়া এক্সটেনশন উপপাদ্য (আমার মনে হয় উভয় কাজ), আমরা পণ্যের জায়গার একটি পরিবার তৈরি করতে পারি each, প্রত্যেকের জন্য একটি । (নোট করুন যে কোলমোগোরভের উপপাদ্যটির উপসংহার হিসাবে সীমাহীন পণ্যের স্থানের অস্তিত্বের জন্য প্রতিটি স্থানের পরিমাপ , সুতরাং আমি এখন স্বেচ্ছাসেবীর পরিবর্তে ব্যবস্থা গ্রহণের পরিবর্তে সম্ভাবনার সীমাবদ্ধ করছি কেন)। তারপরে সংজ্ঞা দিন$(X, \mathscr{F})$$A \in \mathscr{F}$$\{\mu_i\}_{i \in I}$$\{(\prod_{j=1}^{\infty} X_j)_i\}_{i \in I}$$\mu_i$$1$$\mathbb{1}_{A_j}$ সূচকটি দৈব চলক, অর্থাত্ যা সমান হতে যদি ঘটে তম কপি এবং যদি না করে, অন্য কথায়তারপরে পরিষ্কারভাবে (যেখানে সাথে সম্মানের সাথে প্রত্যাশাকে বোঝায় ), সুতরাং প্রচুর সংখ্যক শক্তিশালী আইন বাস্তবে কার্যকর হবে প্রযোজ্য (কারণ নির্মাণ দ্বারা$1$$A$$j$$0$

$$n_A = \mathbb{1}_{A_1} + \mathbb{1}_{A_2} + \dots + \mathbb{1}_{A_n}.$$ $0 \le \mathbb{E}_i \mathbb{1}_{A_j} \le 1$$\mathbb{E}_i$$\mu_i$$(\prod_{j=1}^{\infty} X_j)_i$$\mathbb{1}_{A_j}$অভিন্ন এবং স্বতন্ত্রভাবে বিতরণ করা হয়েছে - নোট করুন যে স্বাধীনভাবে বিতরণ করা মানে পণ্য স্থানের পরিমাপের স্থানাঙ্কের ব্যবস্থাগুলির ক্ষেত্রে গুণগত হয়) সুতরাং আমরা পাই এবং এইভাবে সম্ভাবনা জন্য আমাদের সংজ্ঞা সম্মান সঙ্গে স্বাভাবিকভাবেই হওয়া উচিত । $$\frac{n_A}{n} \to \mathbb{E}_i \mathbb{1}_{A_1} \quad a.s.$$ $A$$\mu_i$$\mathbb{E}_1 \mathbb{1}_{A}$

তবে আমি কেবল বুঝতে পেরেছি যে যদিও এলোমেলো ভেরিয়েবলের ক্রম almost প্রায় নিশ্চিতভাবেই to এর সাথে তবে এবং যদি এটি প্রায় নিশ্চিতভাবে with এর সাথে , ( যেখানে ) এর অর্থ এই নয় যে এটি একই মানকে রূপান্তর করবে ; আসলে, এসএলএলএন গ্যারান্টি দেয় যে এটি unless যা সাধারণভাবে সত্য নয়।$\frac{n_A}{n}$$\mu_{i_1}$$\mu_{i_2}$$i_1, i_2 \in I$$\mathbb{E}_{i_1} \mathbb{1}_A = \mathbb{E}_{i_2} \mathbb{1}_A$

যদি কোনওভাবে "প্রচলিত পর্যাপ্ত" হয় তবে একটি সীমাবদ্ধ সেটটির জন্য অভিন্ন বিতরণের মতো বলুন, তবে এটি সম্ভবত দুর্দান্তভাবে কাজ করে তবে সত্যিকার অর্থে কোনও নতুন অন্তর্দৃষ্টি দেয় না। বিশেষত, অভিন্ন বিতরণের জন্য, , অর্থাৎ এর সম্ভাবনা হ'ল এর বিন্দু বা প্রাথমিক ঘটনার অনুপাত যা অন্তর্গত , আবার আমার কাছে কিছুটা বৃত্তাকার মনে হয়। অবিচ্ছিন্ন এলোমেলো ভেরিয়েবলের জন্য আমি দেখতে পাচ্ছি না যে আমরা কীভাবে "ক্যানোনিকাল" পছন্দকে সম্মত করতে পারি ।$\mu$$\mathbb{E}\mathbb{1}_A = \frac{|A|}{|X|}$$A$$X$$A$$\mu$

অর্থাত্ ঘটনার সম্ভাব্যতা হিসাবে কোনও ইভেন্টের ফ্রিকোয়েন্সি সংজ্ঞায়িত করা বোধগম্য বলে মনে হয়, তবে ঘটনাটির ফ্রিকোয়েন্সি হওয়ার সম্ভাবনা (কমপক্ষে বৃত্তাকার না হয়ে) সংজ্ঞায়িত করা বোধগম্য বলে মনে হয় না। এটি বিশেষত সমস্যাযুক্ত, যেহেতু বাস্তব জীবনে আমরা সম্ভাব্যতা আসলে জানি না; আমাদের এটি অনুমান করতে হবে।

এছাড়াও লক্ষ করুন যে পরিমাপযোগ্য স্থানের উপসেটের জন্য ফ্রিকোয়েন্সিটির এই সংজ্ঞাটি নির্বাচিত পরিমাপের সম্ভাবনার স্থান হওয়ার উপর নির্ভর করে; উদাহরণস্বরূপ, b থেকে যেহেতু লেবেসগু পরিমাপের সাথে of এর অনেকগুলি অনুলিপির জন্য কোনও পণ্য পরিমাপ নেই । অনুরূপভাবে, পণ্য পরিমাপটি ব্যবহার করে পরিমাপ হ'ল , যা হয় বা উড়ে যায় বা যদি শূন্য হয় তবে , অর্থাৎ কোলমোগোরভ এবং তুলসির এক্সটেনশন তত্ত্বগুলি সম্ভাব্যতা ব্যবস্থার খুব বিশেষ ফলাফল ।$\mathbb{R}$$\mu(\mathbb{R})=\infty$$\prod_{j=1}^n X$$(\mu(X))^n$$\mu(X) >1$$\mu(X) <1$

Comments

সুন্দর উত্তর (+1) জন্য ধন্যবাদ। আমি একমত যে দীর্ঘমেয়াদী আপেক্ষিক ফ্রিকোয়েন্সি এর সংজ্ঞা অনুসারে '' সমস্যা '' রয়েছে, সম্ভবত কোলমোগোরভ তার গ্রুন্ডবেগ্রিফকে বিকাশ করার কারণেই সম্ভবত এটিই ছিল। তবে আমরা যখন ঘন ঘনবাদীদের কথা বলি তখন কোলমোগোরভের তত্ত্বটি আমার মনে হয় তার আগে সময়সীমায় নিজেকে দাঁড়াতে হবে?

@ এফসিওপি আমি সত্যই অনুমান করি আমার কোনও ধারণা নেই। আমি অনুমান করি আমি যা বলতে চাইছি তা হ'ল আমি দেখিনা যে সম্ভাবনার ঘনত্ববাদী বোঝার জন্য কোনও কঠোর ন্যায্যতা কার্যকর / অ-বৃত্তাকার সংজ্ঞাতে পারে কি করে।

— চিল 2 ম্যাচ

@fcop আমি উদার অনুগ্রহের সত্যই প্রশংসা করি - এটি পাওয়ার আগে আমি আজ সত্যিই খুব খারাপ মেজাজে ছিলাম। এটি সত্যই আমাকে কিছুটা মেঝেতে রেখে দিয়েছে (ভাল উপায়ে)। আবার, আমি এটির সত্যই প্রশংসা করি

— চিল

এটি উল্লেখ করবেন না, আপনার উত্তরটি খুব ভাল বিকাশিত এবং গাণিতিকভাবে দুর্দান্ত।

Answer 2

আমি মনে করি না গাণিতিক সংজ্ঞা আছে, না। সম্ভাবনার বিভিন্ন ব্যাখ্যার মধ্যে পার্থক্য হ'ল সম্ভাবনাটি কীভাবে গাণিতিকভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয় তার মধ্যে পার্থক্য নয়। সম্ভাব্যতাটি গাণিতিকভাবে এইভাবে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে: যদি measure সহ একটি পরিমাপের স্থান হয় তবে কোনও ইভেন্ট সম্ভাবনা কেবলমাত্র । আমি আশা করি আপনি সম্মত হন যে এই সংজ্ঞাটি আমাদের ঘন ঘনবাদী বা বায়েশিয়ান ফ্যাশনে সম্ভাবনার ব্যাখ্যা করা উচিত কিনা এমন প্রশ্নের ক্ষেত্রে নিরপেক্ষ।$(Ω, Σ, μ)$$μ(Ω) = 1$$S ∈ Σ$$μ(S)$

Comments

এটি ঠিক আছে তবে কোলমোগোরভের স্বরলিপিগুলি পূরণ করে এমন হিসাবে সম্ভাবনার এই সংজ্ঞাটি খুব বিমূর্ত, এটি নির্দিষ্ট ক্ষেত্রে সংজ্ঞায়িত করা দরকার। এটি একই রকম 'বৃত্ত হ'ল পয়েন্টগুলির সেট যা নির্দিষ্ট বিন্দু থেকে নির্দিষ্ট দূরত্বে থাকে'। কোন মেট্রিক স্পেসে আপনি না বলছেন ততক্ষণ এর অর্থ কিছু হবে না: '' দূরত্ব '' এর সংজ্ঞা কী তা আপনার বলা উচিত। আমি মনে করি যে দীর্ঘমেয়াদে সম্পর্কিত frequency run def সংজ্ঞাটি কোলমোগোরভের স্বরূপ পরিপূরণ করে, আপনি কী মনে করেন? @ সিলভারফিশের মন্তব্যে পিএস সংজ্ঞায়িত করে এই অক্ষরগুলিও পূরণ করে। $\mu$$\mathbb{P}$

(অব্যাহত) তাই সংক্ষেপে, আমি সংজ্ঞা দিতে পারি ( সংজ্ঞাটি সঠিক শব্দটি), অনেক যারা কোলমোগোরভের স্বরূপ পরিপূরণ করেন এবং এগুলি অক্ষীয় তত্ত্ব অনুসারে সমস্ত বৈধ সম্ভাবনা। $\mu$

যুক্তিযুক্তভাবে, কোলমোগোরভের সিস্টেমটি একটি অ্যাকোজিমেটিক ভিত্তি সরবরাহ করে - যা অগত্যা কোনও ঘন ঘনবাদী বা বায়েশিয়ার ব্যাখ্যা দেয় না। ঘন ঘন দৃষ্টিভঙ্গির মূল বিবেচনায়, মূল ধারণাটি হ'ল পরীক্ষার সংখ্যা number n হিসাবে বৃদ্ধি পাওয়ার সাথে সাথে, অভিজ্ঞতাগত ফ্রিকোয়েন্সিটি কিছুটা মূল্য স্থির করে, বা রূপান্তরিত করে; ইভেন্টের সম্ভাবনা। যদিও ফ্রিকোয়েন্সি পদ্ধতির শাস্ত্রীয় পদ্ধতির উন্নতি ঘটেছে, কঠোরতার অভাব অ্যাক্সিয়োমেটিক ভিত্তির দিকে নিয়ে যায়। এটি কি সম্ভাব্যতা তত্ত্বের ইতিহাস সম্পর্কে আরও প্রশ্ন? $$\lim_{n\rightarrow \infty} \left(n_{A}/ n\right) = P_A = P(A).$$

— গ্রিম ওয়ালশ

@ গ্রেমে ওয়ালশ: আপনি কি উত্তরটি দিয়ে যেতে পারেন এবং যুক্তি দিয়ে এটি সম্পূর্ণ করতে পারেন কেন এমন সংজ্ঞা কোলমোগোরভের অক্ষের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ ? (অবশ্যই কেউ সীমা অস্তিত্ব নিয়ে প্রশ্ন $P(A)$

@fcop ওয়ালশ নোট হিসাবে, এই "সংজ্ঞা" কঠোর নয়।

— কোডিওলজিস্ট