সংজ্ঞা জন্য প্রাকৃতিক ঘন স্প্লিংস

Question

আমি হাসতি এট আল-র "স্ট্যাটিসটিকাল লার্নিং ডেটা মাইনিং, ইনফারেন্স এবং প্রেডিকশন" বইটি থেকে স্প্লাই সম্পর্কে শিখছি। আমি 145 পৃষ্ঠায় পেয়েছি যে প্রাকৃতিক ঘন স্প্লাইনগুলি সীমানা নটগুলির বাইরে লিনিয়ার। আছে $K$ , নট $\xi_1, \xi_2, ... \xi_K$ splines এবং নিম্নলিখিত গ্রন্থে যেমন একটি স্প্লাইন সম্পর্কে দেওয়া হয়।

প্রশ্ন 1: 4 ডিগ্রি মুক্ত হয় কীভাবে? আমি এই অংশ না।

প্রশ্ন 2 : সংজ্ঞাতে যখন কে = কে তখন ডি কে ( এক্স ) = $d_k(X)$$k=K$ । লেখক এই সূত্রে কী করার চেষ্টা করছেন? স্প্লিংস সীমানা নট ছাড়িয়ে লিনিয়ার কিনা তা নিশ্চিত করতে এটি কীভাবে সহায়তা করে?$d_K(X) = \frac 0 0$

Answer 1

1. আসুন সাধারণ ঘনক্ষেত্রের স্প্লাইনগুলি বিবেচনা করে শুরু করা যাক। এগুলি প্রতিটি জোড় নট এবং সীমানার নটের বাইরে ঘন ঘন হয়। আমরা প্রথম কিউবিকের জন্য 4 ডিএফ দিয়ে শুরু করব (প্রথম সীমানার গিঁটের বাম দিকে) এবং প্রতিটি নট একটি নতুন প্যারামিটার যুক্ত করে (কারণ ঘন স্প্লিনস এবং ডেরিভেটিভস এবং দ্বিতীয় ডেরিভেটিভসের ধারাবাহিকতা তিনটি বাধা যুক্ত করে, একটি ফ্রি প্যারামিটার রেখে) মোট জন্য পরামিতি কে নট।$K+4$$K$

   একটি প্রাকৃতিক কিউবিক স্প্লাইন উভয় প্রান্তে রৈখিক। ঘন এবং দ্বিঘাত অংশের সেখানে 0 এই constrains, প্রতিটি 1. বক্ররেখা দুই প্রান্তে প্রতিটি 2 df প্রয়োগ, হ্রাস যে করে df -র হ্রাস থেকে কে ।$K+4$$K$

   ভাবুন আপনি সিদ্ধান্ত নিয়েছেন যে আপনি আপনার অ-প্যারাম্যাট্রিক বক্ররেখার উপর মোটামুটি ডিগ্রি অফ ডিগ্রি ( , বলুন) ব্যয় করতে পারেন । যেহেতু একটি প্রাকৃতিক স্প্লাইন চাপায় সাধারণ ঘনক্ষেতের স্প্লাইন (একই নট একই সংখ্যার জন্য) এর চেয়ে কম 4 ডিগ্রি স্বাধীনতা ব্যবহৃত হয়, সেই পি প্যারামিটারগুলির সাথে আপনার সীমানা নটগুলির মধ্যে বক্ররেখাটি মডেল করতে আরও 4 টি নট (এবং আরও 4 টি পরামিতি) থাকতে পারে ।$p$$p$

2. নোট যে জন্য সংজ্ঞা জন্য ট = 1 , 2 , । । । , কে - 2 (যেহেতু সবগুলিতে কে ভিত্তি ফাংশন রয়েছে)। সুতরাং সেই তালিকার শেষ ভিত্তিক ফাংশন, এন কে = ডি কে - 2 - ডি কে - 1 । সর্বোচ্চ তাই ট সংজ্ঞা জন্য প্রয়োজনীয় ঘ ট জন্য ট = কে - $N_{k+2}$$k=1,2,...,K-2$$K$$N_{K}=d_{K-2}-d_{K-1}$$k$$d_k$$k=K-1$। (এটি হ'ল আমাদের কিছু করতে পারে তা জানার চেষ্টা করার দরকার নেই, কারণ আমরা এটি ব্যবহার করি না don't)$d_K$

Answer 2

আমি দৃ as়তার সাথে বিবরণ দিয়েছি: "এটি চারটি ডিগ্রি মুক্ত করে (উভয় সীমানা অঞ্চলে দুটি বাধা)" উদাহরণটিতে নট ξ 1 , ξ 2 দিয়ে । সংশ্লিষ্ট অন্তর হয় ] - ∞ , ξ 1 [ , ] ξ 1 , ξ 2 [ এবং ] ξ 2 , + + ∞ [ (তাই আছে | আমি | = 3 অন্তরাল ও | আমি | - 1 = $2$$\xi_1, \xi_2$$]-\infty, \xi_1[$$]\xi_1, \xi_2[$$]\xi_2, +\infty[$$|I|=3$$|I|-1=2$ নট)।

(সাধারণ) ঘন স্প্লাইজের জন্য

নিয়মিত সীমাবদ্ধতা ছাড়াই আমাদের সমীকরণ:$4|I|=12$

1 ( ξ 1 ≤ এক্স < ξ 2 ) ; 1 ( ξ 1 ≤ এক্স < ξ 2 ) এক্স ;

$$\mathbf{1}(X < \xi_1)~~;~~\mathbf{1}(X < \xi_1)X~~;~~\mathbf{1}(X < \xi_1)X^2~~;~~\mathbf{1}(X < \xi_1)X^3~~;$$ $$\mathbf{1}(\xi_1 \leq X < \xi_2)~~;~~\mathbf{1}(\xi_1 \leq X < \xi_2)X~~;~~\mathbf{1}(\xi_1 \leq X < \xi_2)X^2~~;~~\mathbf{1}(\xi_1 \leq X < \xi_2)X^3~~;$$ $$\mathbf{1}(\xi_2 \leq X)~~;~~\mathbf{1}(\xi_2 \leq X)X~~;~~\mathbf{1}(\xi_2 \leq X)X^2~~;~~\mathbf{1}(\xi_2 \leq X)X^3.$$

$\mathcal{C}^r$$r=2$$(r+1)\times(|I|-1) = 3\times(|I|-1) = 6$

$12-6=6$

প্রাকৃতিক ঘন splines জন্য

"একটি প্রাকৃতিক কিউবিক স্প্লাইস অতিরিক্ত বাধা যুক্ত করে, যথা ফাংশনটি সীমানা নট ছাড়িয়ে লিনিয়ার।"

$4|I|-4=12-4$$4$$2$

$$\mathbf{1}(X < \xi_1)~~;~~\mathbf{1}(X < \xi_1)X~~;~~$$ $$\mathbf{1}(\xi_1 \leq X < \xi_2)~~;~~\mathbf{1}(\xi_1 \leq X < \xi_2)X~~;~~\mathbf{1}(\xi_1 \leq X < \xi_2)X^2~~;~~\mathbf{1}(\xi_1 \leq X < \xi_2)X^3~~;$$ $$\mathbf{1}(\xi_2 \leq X)~~;~~\mathbf{1}(\xi_2 \leq X)X.$$

$3\times(|I|-1) = 6$

$8-6=2$