এলোমেলো পরিবর্তনশীল যার জন্য মার্কভ, চেবিশেভ অসমত্বগুলি শক্ত

Question

আমি র্যান্ডম ভেরিয়েবলগুলি তৈরি করতে আগ্রহী যার জন্য মার্কভ বা চেবিশেভ বৈষম্যগুলি শক্ত are

একটি তুচ্ছ উদাহরণ নিম্নোক্ত র্যান্ডম ভেরিয়েবল।

$P(X=1)=P(X=-1) = 0.5$। এর গড়টি শূন্য, বৈকল্পিক 1 এবং$P(|X| \ge 1) = 1$। এই র্যান্ডম ভেরিয়েবলের জন্য চেবিশেভ আঁটসাঁট (সাম্যের সাথে ধরে)।

$$P(|X|\ge 1) \le \frac{\text{Var}(X)}{1^2} = 1$$

মার্কোভ এবং চেবিশেভ আঁটসাঁট পোশাকগুলির জন্য আরও কি আকর্ষণীয় (অ-ইউনিফর্ম) র্যান্ডম ভেরিয়েবল রয়েছে? কিছু উদাহরণ দুর্দান্ত হবে।

Answer 1

যে শ্রেণীর ডিস্ট্রিবিউশনগুলির জন্য চেবিশেভের সীমাবদ্ধ কেস রয়েছে তা সুপরিচিত (এবং কেবল অনুমান করা খুব কঠিন নয়)। অবস্থান এবং স্কেলের জন্য এটি সাধারণ

$$Z=\begin{cases}-k,&{\text{with probability }}{\:\frac {1}{2k^2}}\\\:0,&{\text{with probability }}1-\frac {1}{k^2}\\\:k,&{\text{with probability }}{\:\frac {1}{2k^2}}\end{cases}$$

এটি চেবিশেভ অসমতার জন্য উইকিপিডিয়া পৃষ্ঠায় প্রদত্ত সমাধান (স্কেল পর্যন্ত) ।

[আপনি বিতরণ ক্রম লিখতে পারেন (রেখে) $\epsilon>0$ কেন্দ্রের আরও সম্ভাবনা একই সাথে সমাপ্তি সমাপ্তিগুলি থেকে সমাপ্তি সমাপ্ত করে) যা কঠোরভাবে অসমতাকে সন্তুষ্ট করে এবং যে ক্ষেত্রে কেসকে পছন্দসইভাবে সীমাবদ্ধ করে দেয়।]

অন্য কোনও সমাধান এর অবস্থান এবং স্কেল শিফট দ্বারা প্রাপ্ত করা যেতে পারে: আসুন $X=\mu+\sigma Z$।

মার্কভ অসমতার জন্য, আসুন $Y=|Z|$ সুতরাং আপনার সম্ভাবনা আছে $1-1/k^2$ 0 এবং এ $1/k^2$ এ $k$। (কেউ এখানে স্কেল প্যারামিটারের পরিচয় দিতে পারে তবে কোনও অবস্থানের প্যারামিটারটি নয়)

মুহুর্তের বৈষম্য - এবং প্রকৃতপক্ষে অন্যান্য অনেক অনুরূপ বৈষম্য - তাদের সীমিত ক্ষেত্রে হিসাবে পৃথক বিতরণ করার ঝোঁক।

Answer 2

আমি বিশ্বাস করি যে চেবিশেভের হুবহু অনুসরণ করে পুরো বাস্তব অক্ষরে অবিচ্ছিন্ন বিতরণ পাওয়া অসম্ভব।

ধরে নিন যে একটি অবিচ্ছিন্ন বিতরণের গড় এবং মানক বিচ্যুতি 0 এবং 1, বা পুনরুদ্ধারের মাধ্যমে এটি করুন। তারপর প্রয়োজন$P(\mid X\mid >x)=1/x^2$। সরলতার জন্য বিবেচনা করুন$x>0$; নেতিবাচক মানগুলি প্রতিসম সংজ্ঞায়িত করা হবে। তারপরে বিতরণটির সিডিএফ$1-1/x^2$। এবং তাই পিডিএফ, সিডিএফ এর ডেরাইভেটিভ হয়$2/x^3$। অবশ্যই এটি অবশ্যই জন্য সংজ্ঞায়িত করা আবশ্যক$x>0$বিচ্ছিন্নতার কারণে আসলে, এটি এমনকি সর্বত্র সত্য হতে পারে না, বা পিডিএফ এর অবিচ্ছেদ্য সীমাবদ্ধ নয়। পরিবর্তে, যদি বিচ্ছিন্নতাগুলি এড়ানো যায় (যেমন পিডিএফ বিড়ালটি কেবল 0 এর জন্য হবে$\mid x \mid <\alpha$) পিডিএফ অবশ্যই অংশবিশিষ্ট, সমান $\mid x \mid^3$ জন্য $\mid x\mid \geq \alpha$।

তবে এই বিতরণটি অনুমানকে ব্যর্থ করে - এটির সসীম বৈকল্পিকতা নেই। সীমাবদ্ধ বৈকল্পিকের সাথে আসল অক্ষের উপর অবিচ্ছিন্ন বিতরণ পেতে এর প্রত্যাশিত মান$x$ এবং $x^2$সীমাবদ্ধ হতে হবে। বিপরীত বহুভুজ, লেজগুলি যা পছন্দ করে তা পরীক্ষা করে$x^{-3}$ সীমাবদ্ধ হতে $E[x]$তবে একটি অপরিজ্ঞাত $E[x^2]$ কারণ এতে অ্যাসিম্পোটোটিকভাবে লোগারিদম আচরণের সাথে একটি অবিচ্ছেদ্য জড়িত।

সুতরাং, চেবিচেভের গণ্ডি ঠিক সন্তুষ্ট হতে পারে না। আপনার প্রয়োজন হতে পারে$P(\mid X \mid > x ) = x^{-(2+\epsilon)}$ নির্বিচারে ছোট জন্য $\epsilon$, যাহোক. পিডিএফ এর লেজ লেগেছে$x^{-(3+\epsilon)}$ এর ক্রমটিতে একটি সংজ্ঞাযুক্ত বৈকল্পিক রয়েছে $1/\epsilon$।

আপনি যদি বিতরণটিকে সত্যিকারের লাইনের কেবলমাত্র অংশে থাকতে দিতে চান তবে তবুও ধারাবাহিকভাবে চলুন, তারপরে সংজ্ঞায়িত করুন $pdf(x) = 2/\mid x \mid^3$ জন্য $\epsilon < \mid x \mid < \Lambda$ জন্য কাজ করে

$$\epsilon = \sqrt{2 \left( 1 - \frac{1}{\sqrt{e}} \right) }$$ এবং $$\Lambda = \epsilon = \sqrt{2 \left( \sqrt{e} - 1 \right) }$$ বা এর যে কোনও লিনিয়ার স্কেলিং - তবে এটি মূলত $0.887 < |x| < 1.39$, যা খুব বেশি পরিসীমা নয়। এবং এই সীমাবদ্ধতা এখনও মূল প্রেরণার সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ কিনা তা সন্দেহজনক।

Comments

আমি মনে করি না যে কোনও অসীম-সমর্থন ধারাবাহিক চলক নিম্ন

— সীমাটি

@ মিশেলচিরিকো আমিও তাই মনে করি না; আমি চেষ্টা করে যেতে চাইনি।

— jwimberley