কেন্দ্রীয় সীমা তাত্ত্বিক প্রমাণ বৈশিষ্ট্যযুক্ত ফাংশন ব্যবহার না করে

সিএলটি এর কোনও প্রমাণ আছে যে বৈশিষ্ট্যযুক্ত ফাংশন, সহজ পদ্ধতি ব্যবহার না করে?

হতে পারে টিখোমিরভ বা স্টেইনের পদ্ধতিগুলি?

কিছু কিছু স্বয়ংসম্পূর্ণ আপনি কোনও বিশ্ববিদ্যালয়ের শিক্ষার্থীকে (গণিত বা পদার্থবিজ্ঞানের প্রথম বর্ষ) ব্যাখ্যা করতে পারেন এবং এক পৃষ্ঠার চেয়ে কম নিচ্ছেন?

mathematical-statistics central-limit-theorem characteristic-function

— skan
সূত্র

আমি stats.stackexchange.com/a/3904/919 এ এই জাতীয় প্রাথমিক দৃষ্টিভঙ্গিটি স্কেচ করেছি । যুক্তিযুক্তভাবে, কুল্যান্ট জেনারেশন ফাংশনগুলি ব্যবহার করা সহজতম পদ্ধতি: আপনার "সরল" সম্ভবত "আরও প্রাথমিক" পড়ার উদ্দেশ্য।

— whuber

বৈশিষ্ট্যযুক্ত ফাংশনগুলি ব্যবহার করার চেয়ে আপনি আরও বাধাজনক অবস্থার অধীনে মুহূর্ত তৈরির ফাংশনগুলি ব্যবহার করতে পারেন (প্রকৃতপক্ষে প্রথম সিএলটি আমি এই ফর্মটি দেখেছি) - তবে প্রকাশটি বেশ একই রকম quite

— গ্লেন_বি -মিনিকা

@ গ্লেেন_বি আমিও ভেবেছিলাম মুহুর্তের সাথে আরও সহজ হতে পারে। যাইহোক আমি অন্য কেউ যদি অন্যরকম বিক্ষোভ পোস্ট করে তবে প্রশ্নটি খুলব।

— স্ক্যান 5'16

একটি প্রমাণ হিসাবে, এটি আসলে কোনও সহজ নয় (সিএফএস সহ প্রমাণটি এমজিএফএসের সাথে প্রমাণ হিসাবে একই আকারে লেখা যেতে পারে), তবে যেসব শিক্ষার্থীদের সাথে জড়িত ফাংশনগুলির কোনও পটভূমি নাও থাকতে পারে তাদের পক্ষে এটি পছন্দনীয় হতে পারে । এটি হ'ল, আপনি নতুন ধারণাগুলি প্রবর্তন করতে বাঁচাতে পারেন, তবে তাদের কাছে যদি এই ধারণাগুলি ইতিমধ্যে সিএফএসের সাথে সম্পর্কিত বিবৃতিটির প্রমাণ থাকে তবে এটি করা আরও কঠিন নয় (যদিও এটি আরও সাধারণ)। এটি আরও ভাল কিনা তা আপনি নির্ভর করছেন এমন শিক্ষার্থীদের উপর নির্ভর করে।

i

$i$

— গ্লেন_বি -রিনস্টেট মনিকা

আমি মনে করি আমার প্রথম বছরের স্নাতক পরিসংখ্যান প্রফেসর বিভিন্ন সম্ভাব্যতা মডেলের অধীনে দিয়ে গড়ের নমুনা বিতরণ দেখিয়ে সিএলটিটির একটি ভিজ্যুয়াল "প্রমাণ" সরবরাহ করেছিলেন provided সাধারণ, অবশ্যই কোনও প্রবণতা দেখায় নি, তবে ঘৃণ্য, বার্নৌল্লি এবং বিভিন্ন ভারী লেজযুক্ত বিতরণগুলি প্রতিটি বৃদ্ধি হিসাবে দৃশ্যমানভাবে পরিচিত আকারের "বৃত্তাকার" হয়ে থাকে ।

n = 10, 100, 1000

$n=10, 100, 1000$

n

$n$

— অ্যাডামো

উত্তর:

আপনি স্টেইনের পদ্ধতিতে এটি প্রমাণ করতে পারেন, তবে প্রমাণটি প্রাথমিক যদি এটি বিতর্কযোগ্য হয়। স্টেইনের পদ্ধতির প্লাস সাইডটি হ'ল আপনি মূলত বিনা মূল্যে বেরি এসিন সীমানার কিছুটা দুর্বল রূপ পান। এছাড়াও, স্টেইনের পদ্ধতিটি কালো জাদুতে কম নয়! আপনি এই লিঙ্কের 6 সেকশনে প্রমাণের একটি বিবরণ পেতে পারেন । আপনি লিঙ্কে সিএলটি-র অন্যান্য প্রমাণও খুঁজে পাবেন।

এখানে একটি সংক্ষিপ্ত রূপরেখা:

1) প্রমাণ করুন, অংশগুলির দ্বারা সাধারণ সংহতকরণ এবং সাধারণ বিতরণ ঘনত্ব ব্যবহার করে, সমস্ত ধারাবাহিকভাবে পার্থক্যযোগ্য iff এর বিতরণ করা হয়। এটি দেখানো আরও সহজ সাধারণ ফলাফলকে বোঝায় এবং কথোপকথনটি দেখানো কিছুটা কঠিন, তবে সম্ভবত এটি বিশ্বাসের ভিত্তিতে নেওয়া যেতে পারে। $Ef'(A)-Xf(A)=0$ $A$ $N(0,1)$ $A$

2) আরো সাধারণভাবে, যদি জন্য প্রতি ক্রমাগত differentiable সঙ্গে বেষ্টিত, তারপর -র দিকে এগোয় বিতরণে। এখানে প্রমাণগুলি আবার কিছু কৌশল দ্বারা অংশগুলির দ্বারা একীকরণ দ্বারা। বিশেষ করে, আমরা জানতে বিতরণে যে অভিসৃতি সমতূল্য প্রয়োজন সব বেষ্টিত একটানা কাজকর্মের জন্য । ফিক্সিং , এটি সংশোধন করতে ব্যবহৃত হয়: $Ef(X_n)-X_nf(X_n)\rightarrow 0$ $f$ $f,f'$ $X_n$ $N(0,1)$ $Eg(X_n)\rightarrow E g(A)$ $g$ $g$

E g (X_{n}) - E g (A) = E f^{'} (X_{n}) - X_{n} f (X_{n}),

$Eg(X_n)-Eg(A)=Ef'(X_n)-X_nf(X_n),$

যেখানে এক সমাধান মৌলিক ODE তত্ত্ব ব্যবহার করে, এবং তারপর শো চমৎকার। সুতরাং আমরা যদি এইরকম একটি সুন্দর খুঁজে পাই তবে অনুমান করে আরএইচএস 0 হয় এবং তাই বাম পাশটি করে। $f$ $f$ $f$

3) অবশেষে, for এর জন্য কেন্দ্রীয় সীমাবদ্ধ উপপাদ্যটি প্রমাণ করুন যেখানে এর গড় 0 এবং বৈকল্পিক 1 রয়েছে This এটি আবার পদক্ষেপ 2 তে কৌশলটি কাজে লাগায়, যেখানে প্রতিটি আমরা এমন একটি খুঁজে পাই যে: $Y_n:=\frac{X_1+\cdots+X_n}{\sqrt{n}}$ $X_i$ $g$ $f$

E g (X_{n}) - E g (A) = E f^{'} (X_{n}) - X_{n} f (X_{n}) .

$Eg(X_n)-Eg(A)=Ef'(X_n)-X_nf(X_n).$

— অ্যালেক্স আর।
সূত্র

আমি এখানে উচ্চ বিদ্যালয়ে থাকলে কীভাবে করব তা এখানে।

ঘনত্বের দিয়ে যে কোনও সম্ভাব্যতা বন্টন নিন , এর গড় এবং । এর পরে, এটা দৈব চলক দিয়ে আনুমানিক নিম্নলিখিত ফর্ম আছে: যেখানে হয় বের্নুলির দৈব চলক পরামিতি সঙ্গে । আপনি দেখতে পাচ্ছেন যে এবং । $f(x)$ $\mu_x,\sigma_x^2$ $z$

z = μ_{x} - σ_{x} + 2 σ_{x} ξ,

$z=\mu_x-\sigma_x+2\sigma_x\xi,$

ξ

$\xi$

p = 1 / 2

$p=1/2$

μ_{z} = μ_{x}

$\mu_z=\mu_x$

σ_{z}^{2} = σ_{x}^{2}

$\sigma_z^2=\sigma_x^2$

এখন আমরা সমষ্টি

S_{n} = \sum_{i = 1}^{n} z_{i}

$S_n=\sum_{i=1}^n z_i$

= n (μ_{x} - σ_{x}) + 2 σ_{x} \sum_{i = 1}^{n} ξ_{i}

$=n(\mu_x-\sigma_x)+2\sigma_x\sum_{i=1}^n\xi_i$

আপনি এখানে দ্বিপদী বিতরণ সনাক্ত করতে পারেন: , যেখানে । এটি স্বাভাবিক বিতরণের আকারে রূপান্তরিত হয় তা দেখতে আপনার চারিত্রিক ক্রিয়াকলাপের প্রয়োজন নেই । $\eta=\sum_{i=1}^n\xi_i$ $\eta\sim B(n,1/2)$

সুতরাং, কিছু ক্ষেত্রে আপনি বলতে পারেন যে কোনও বিতরণের জন্য বার্নোল্লি হ'ল সর্বাধিক সুনির্দিষ্ট সমীকরণ এবং এমনকি এটি স্বাভাবিক রূপান্তরিত করে।

উদাহরণস্বরূপ, আপনি দেখাতে পারেন যে মুহুর্তগুলি স্বাভাবিকের সাথে মেলে। সংজ্ঞায়িত করা যাক: $y=(S_n/n-\mu_x)\sqrt n$

y = σ_{x} (- 1 + 2 η / n) \sqrt{n}

$y=\sigma_x(-1+2\eta/n)\sqrt n$

আসুন দেখি এর অর্থ এবং কী:

μ_{y} = σ_{x} (- 1 + 2 (n / 2) / n) \sqrt{n} = 0

$\mu_y=\sigma_x(-1+2(n/2)/n)\sqrt n=0$

V a r [y] = σ_{x}^{2} V a r [2 η / n] n = 4 σ_{x}^{2} / n n (1 / 4) = σ_{x}^{2}

$Var[y]=\sigma_x^2Var[2\eta/n] n=4\sigma_x^2/nn(1/4)=\sigma_x^2$

স্কিউনেস এবং অতিরিক্ত কুর্তোসিস দিয়ে শূন্যে রূপান্তরিত হয় , দ্বিপদী জন্য পরিচিত সূত্রগুলি প্লাগ করে এটি দেখানো সহজ। $n\to\infty$

— Aksakal
সূত্র

মজাদার. একটি সম্পূর্ণ প্রমাণ হিসাবে এই ধারণা চালু করা সম্ভব?

— এলভিস

@ এলভিস, আমি অনেক বছর আগে নিজের মতো করে চিন্তা করার চেষ্টা করছিলাম এবং আমি এতটা প্রমাণের মধ্যেও ছিলাম না। একটি জিনিস যা আমি ভেবেছিলাম তা হল বার্নিউলিসের সংমিশ্রণ হিসাবে অবিচ্ছিন্ন বিতরণকে প্রতিনিধিত্ব করা, তবে এটি সম্ভব কিনা তা নিশ্চিত নয়

— আকসাকাল

আপনি উপরে যা লিখেছেন তা আরও ভাল হতে পারে। ডিস্ট্রিবিউশনটি কাছাকাছিভাবে ঘনিষ্ঠ হওয়ার দরকার নেই: একটি ভেরিয়েবলের দ্বারা মোটামুটি দুটি পৃথক মান গ্রহণের কাজটি করতে হবে।

— এলভিস

এটি যদি সম্ভব হয় তবে সাধারণ আনুমানিকতার যথার্থতার সাথে কিছুটা আবদ্ধ হওয়া পাওয়া যায়। পছন্দ করুন, সাধারণ আনুমানিকটি মূল বন্টনের জন্য কমপক্ষে তত ভাল যেমন এটি স্কেল করা বার্নোলির পক্ষে। বা আরও সম্ভবত দুর্বল কিছু হলেও তবুও উপসংহারের অনুমতি দেয়।

— এলভিস