স্বতন্ত্র লগনারমাল এলোমেলো ভেরিয়েবলগুলির যোগফল লগনারমাল প্রদর্শিত হয়?

Question

আমি পর্যবেক্ষণের সংখ্যা বৃদ্ধি করার সাথে সাথে কেন দুটি (বা আরও বেশি) লগনরমাল এলোমেলো ভেরিয়েবলের যোগফল লগনরমাল বিতরণে পৌঁছায় তা বোঝার চেষ্টা করছি। আমি অনলাইনে দেখেছি এবং এ সম্পর্কিত কোনও ফলাফল পাইনি।

স্পষ্টতই যদি এবং স্বতন্ত্র লগনরমাল ভেরিয়েবল হয় তবে এক্সপোশন এবং গাউসিয়ান এলোমেলো ভেরিয়েবলের বৈশিষ্ট্য অনুসারে লগমনরমালও হয়। যাইহোক, ওয়াইটিও লগনরমাল বলে দেওয়ার কোনও কারণ নেই ।ওয়াই এক্স × ওয়াই এক্স + $X$$Y$$X \times Y$$X+Y$

যাহোক

আপনি যদি দুটি স্বতন্ত্র লগমনরমাল এলোমেলো ভেরিয়েবল এবং এবং এবং এই প্রক্রিয়াটিকে বহুবার পুনরাবৃত্তি করেন তবে বিতরণ লগমনরমাল প্রদর্শিত হবে। এমনকি আপনি পর্যবেক্ষণের সংখ্যা বাড়ানোর সাথে সাথে এটি কোনও লগমনরমাল বিতরণের আরও কাছাকাছি এসে গেছে বলে মনে হয়।ওয়াই জেড = এক্স + ওয়াই $X$$Y$$Z=X+Y$$Z$

উদাহরণস্বরূপ: 1 মিলিয়ন জোড়া উত্পাদন করার পরে , জেডের প্রাকৃতিক লগের বিতরণ নীচে হিস্টোগ্রামে দেওয়া হয়েছে। এটি খুব স্পষ্টভাবে একটি সাধারণ বন্টনের সাথে সাদৃশ্যযুক্ত, প্রকৃতপক্ষে লঘনামের পরামর্শ দিচ্ছে ।$Z$

এটি বোঝার জন্য কারও কাছে গ্রন্থের কোনও অন্তর্দৃষ্টি বা রেফারেন্স রয়েছে?

Comments

আপনি কি এবং জন্য সমান রূপগুলি ধরে নিচ্ছেন ? যদি আপনি অনুকরণ করেন , তবে যোগফলটি লগটিকে আর খুব সাধারণ দেখাচ্ছে না। $X$$Y$xx <- rlnorm(1e6,0,3); yy <- rlnorm(1e6,0,1)

— স্টিফান কোলাসা

আমি সমান বৈচিত্রগুলি ধরে নিয়েছি - আমি অসম বৈকল্পিকতার সাথে আরও একটি চেষ্টা করব এবং আমি কী শেষ করব তা দেখব।

— প্যাটি 8

2 এবং 3 এর বৈচিত্র সহ, আমি এমন কিছু পেয়েছি যা এখনও খানিকটা স্বাভাবিক দেখায়, একটি ক্ষুদ্র ক্ষুদ্র স্কুয়ের মতো দেখতে আলবাইট।

— প্যাটি 8

মাধ্যমে দেখার জন্যে পূর্ববর্তী প্রশ্ন সহায়ক হতে পারে। এখানে এবং এখানে সম্ভাব্য দরকারী কাগজপত্র রয়েছে। ভাল দেখাচ্ছে!

— স্টিফান কোলাসা

Answer 1

লগনারমের সংখ্যার এই আনুমানিক লগন্যরালটিটি থাম্বের একটি সুপরিচিত নিয়ম; এটি অসংখ্য কাগজপত্রে - এবং সাইটে বেশ কয়েকটি পোস্টে উল্লিখিত হয়েছে।

প্রথম দুটি মুহুর্তের সাথে মিল রেখে লগনরমালের যোগফলের জন্য প্রায়শই একটি ফেনটন-উইলকিনসনকে প্রায় অনুমান বলে।

আপনি ডুফ্রেসন দ্বারা এই দস্তাবেজ দরকারী ( এখানে , বা এখানে উপলব্ধ ) পেতে পারেন।

আমি অতীতেও মাঝে মাঝে মিশেল এর কাগজগুলিতে লোকদের নির্দেশ করেছিলাম

মিশেল, আরএল (1968),
"লগ-সাধারণ বিতরণের স্থায়ীত্ব" "
আমেরিকা জে অপটিক্যাল সোসাইটি । 58: 1267-1272।

তবে এটি এখন ডুফ্রেসনের রেফারেন্সগুলিতে আচ্ছাদিত।

তবে এটি খুব বেশি-স্কু-মামলার ক্ষেত্রে মোটামুটি প্রশস্ত আকার ধারণ করে, এটি সাধারণভাবে ধারণ করে না, এমনকি আইড লগমনর্মালদের জন্যও নয়, এমনকি বেশ বড় আকারের হয়ে ওঠে ।$n$

এখানে 1000 সিমুলেটেড মানগুলির একটি হিস্টগ্রাম রয়েছে, প্রতিটি পঞ্চাশ-হাজার আইআইডি লগনারমালের যোগফল :

যেমন আপনি দেখতে পাচ্ছেন ... লগটি বেশ স্কিউ, সুতরাং যোগফল খুব সাধারণের খুব কাছের নয়।

বস্তুত, এই উদাহরণে এছাড়াও (কেন্দ্রীয় সীমা উপপাদ্য কারণে) যে কিছু চিন্তা মানুষের জন্য একটি দরকারী উদাহরণ হিসাবে গণনা করা হবে শত শত বা হাজার হাজার খুব স্বাভাবিক গড় পাসে দেব | এটি একটি এতটাই স্কিউ যে এটির লগটি যথেষ্ট সঠিক স্কিউ, তবে কেন্দ্রীয় সীমাবদ্ধ তত্ত্বটি তবুও এখানে প্রয়োগ হয়; প্রতি লক্ষণের কাছাকাছি কোথাও দেখতে শুরু করার আগে অনেক মিলিয়ন * এর প্রয়োজন হবে।$n$এন$n$

* আমি কয়টি তা বের করার চেষ্টা করিনি তবে, যে পরিমাণ অঙ্কের সঙ্কুলতা (সমতুল্য, গড়) আচরণ করে, কয়েক মিলিয়ন পরিষ্কারভাবে অপর্যাপ্ত হবে

---

যেহেতু মন্তব্যে আরও বিশদে অনুরোধ করা হয়েছিল, আপনি নীচের কোডটির সাথে উদাহরণের অনুরূপ অনুরূপ ফলাফল পেতে পারেন যা স্কেল প্যারামিটার এবং আকার প্যারামিটার সহ 50,000 লগনারম এলোমেলো ভেরিয়েবলের যোগফলের 1000 প্রতিলিপি তৈরি করে :$\mu=0$$\sigma=4$

res <- replicate(1000,sum(rlnorm(50000,0,4)))
hist(log(res),n=100)

(আমি তখন থেকে চেষ্টা করেছি Its এটির লগ এখনও ভারী ডান স্কিউ)$n=10^6$

Comments

আপনি কি চিত্রটিতে হিস্টোগ্রাম তৈরি করতে ব্যবহৃত প্যারামিটারগুলি (বা কোড স্নিপেট) যুক্ত করতে পারেন?

— ওলট্রোয়ার করুন

এটি দু'বছর আগে, লগনরমাল প্যারামিটারগুলি কী ছিল তা আমি মনে করি না। তবে আসুন আমরা সাধারণ যুক্তি প্রয়োগ করি। আপনাকে প্যারামিটার সম্পর্কে চিন্তা করার দরকার নেই , যেহেতু এটি কেবলমাত্র এক্স-অক্ষ স্কেলের মানগুলিকে প্রভাবিত করে, আকারটি নয় (convenient মতো সুবিধাজনক কিছু ব্যবহার করা হবে)। সুতরাং এটি প্যারামিটারটিকে আকৃতিতে কোনও প্রভাব সহ একমাত্র হিসাবে ফেলে দেয়। ধরে নেওয়া এবং উপরের হিস্টোগ্রামের স্কেল থেকে মোটামুটিভাবে কাজ করে আমরা পেয়েছি যে অবশ্যই বা তার বলপ থাকতে হবে (এনবি সাবধান যে এটি কীভাবে স্কু হয়)। এবং কেবল চেষ্টা করে উপরের দিক থেকে একটি বেশ অনুরূপ চেহারা দেয়। μ = 0 σ μ = 0 σ 4 $\mu$$\mu=0$$\sigma$$\mu=0$$\sigma$$4$$4$

— গ্লেন_বি -রিনস্টেট মনিকা

সুতরাং: res <- replicate(1000,sum(rlnorm(50000,0,4))); hist(log(res),n=100)... আপনি কয়েকবার চেষ্টা করে দেখলে স্কেলটি কিছুটা লাফিয়ে উঠবে তবে সাধারণ চিত্রটি প্রায় সঠিক is নোট করুন যে উপাদান লগনরমালগুলির জনসংখ্যার মুহুর্তের সঙ্কোচনের পরিমাণ বিলিয়ন - জনসংখ্যার গড় অর্থ আপনার বেশিরভাগ নমুনায় প্রায় প্রতিটি উত্পন্ন মানকে ছাড়িয়ে যাবে। $26.5$

— Glen_b- পুনরায় ইনস্টল করুন মনিকা

Answer 2

এটি সম্ভবত খুব দেরী হয়ে গেছে, তবে আমি লগনিকাল বিতরণের পরিমাণগুলিতে নীচের কাগজটি পেয়েছি , যা বিষয়টি covers েকে দিয়েছে। এটি লগইনরমাল নয়, তবে এর সাথে কাজ করা বেশ আলাদা এবং জটিল difficult

Answer 3

২০০৯-এর ডুফ্রেসনের পরামর্শযুক্ত কাগজ এবং ২০০৪ সালের এই একটি কার্যকর কাগজটি লগ-সাধারণ বিতরণের যোগফলের সমষ্টি সম্পর্কিত ইতিহাসকে কভার করে এবং অঙ্কের গাণিতিক ফলাফল দেয়।

সমস্যাটি হ'ল সেখানে উদ্ধৃত সমস্ত অনুমানগুলি প্রস্থান থেকে ধরে আপনি যে কোনও ক্ষেত্রে লগ-সাধারণ বিতরণের যোগফল এখনও লগ-স্বাভাবিক রয়েছেন তা অনুমান করে পাওয়া যায়। তারপরে আপনি কিছুটা আনুমানিক উপায়ে গ্লোবাল যোগফলের এবং গণনা করতে পারেন । তবে এটি আপনাকে যে শর্তগুলি পূরণ করতে হবে তা দেয় না যদি আপনি চান যে যোগফলটি এখনও লগ-স্বাভাবিক থাকে।$\mu$$\sigma$

হতে পারে [এই কাগজ] ( http://ieeexplore.ieee.org/stamp/stamp.jsp?arnumber=6029348 ) আপনাকে একটি বিশেষ ক্ষেত্রে লগ-নরমালসের যোগফলের জন্য একধরণের কেন্দ্রীয় সীমাবদ্ধতা উপপাদ্য দেয় তবে এখনও রয়েছে একটি সাধারণতার অভাব যাইহোক Glen_b দ্বারা প্রদত্ত উদাহরণটি সত্যই উপযুক্ত নয়, কারণ এটি এমন একটি ক্ষেত্রে যেখানে আপনি সহজেই ক্লাসিক কেন্দ্রীয় সীমাবদ্ধতা উপপাদ্য প্রয়োগ করতে পারেন, এবং অবশ্যই সেই ক্ষেত্রে লগ-সাধারণের যোগফলটি গাউসিয়ান।

তবে ঠিক ঠিক উপরে উল্লিখিত কাগজে বলা হয়েছে যে that আপনি লগ-সাধারণ যোগফল পেতে পারেন (উদাহরণস্বরূপ যদি ভেরিয়েবলগুলি সম্পর্কযুক্ত বা যথেষ্ট পরিমাণে আইআইডি না হয় ) $n\to \infty$

Comments

আপনি বলেছেন যে আমার উদাহরণে "আপনি ক্লাসিক কেন্দ্রীয় সীমাবদ্ধতা উপপাদাকে সহজেই প্রয়োগ করতে পারেন" তবে আপনি যদি হিস্টোগ্রামটি কী দেখায় তা বুঝতে পারছেন তবে আপনি স্পষ্টতই সিএলটি ব্যবহার করতে পারবেন না যে এই ঘটনার জন্য একটি সাধারণ অনুমানের প্রয়োগ n = 50000; যোগফলটি এতটাই সঠিক স্কিউ যে এর লগ এখনও ভারী ডান স্কিউ w উদাহরণের বিষয়টি হ'ল এটি কোনও লঘনরমাল দ্বারা আনুমানিক পরিমাণেও খুব বেশি স্কু (বা hist হিস্টগ্রামটি প্রতিসমের খুব কাছাকাছি মনে হবে)। কম স্কিউ আনুমানিকতা (যেমন সাধারণ) হতে পারে * আরও খারাপ * /

— গ্লেন_বি -রিনস্টেট মনিকা

আমি সম্মত, তবে সম্ভবত আপনার উদাহরণে হয় নমুনার সংখ্যাসূচক রূপান্তরটি পৌঁছায় না (1000 ট্রায়ালগুলি খুব কম হয়) বা পরিসংখ্যানগত রূপান্তর হয় না, (50 000 সংযোজন খুব কম হয়) তবে অনন্তর সীমাবদ্ধতার জন্য বিতরণ হওয়া উচিত গাউসিয়ান হোন, যেহেতু আমরা সিএলটি অবস্থায় আছি, তাই না?

— মিমি

যোগফলের বিতরণের আকারটি সনাক্ত করার জন্য 1000 টি নমুনা পর্যাপ্ত পরিমাণের চেয়ে বেশি - আমরা যে নমুনাগুলি গ্রহণ করি সেগুলি আকারটি পরিবর্তন করে না, কেবল "স্পষ্টভাবে" আমরা এটি কীভাবে দেখি। আমরা যদি আরও বড় নমুনা নিই তবে স্পষ্ট স্কিউনেস চলে যাবে না, এটি কেবল মসৃণ চেহারা পেতে চলেছে। হ্যাঁ, যোগফলটি দেখতে সাধারণ হিসাবে 50,000 খুব কম - এটি এতই সঠিক স্কু যে লগটি এখনও খুব স্কিউ দেখায়। এটি যুক্তিসঙ্গতভাবে স্বাভাবিক দেখানোর আগে এটির জন্য অনেক মিলিয়নের প্রয়োজন হতে পারে। হ্যাঁ, সিএলটি অবশ্যই প্রয়োগ করে; এটি আইড এবং বৈকল্পিক সীমাবদ্ধ, সুতরাং মানকযুক্ত উপায়গুলি অবশেষে স্বাভাবিকতার কাছে যেতে হবে।

— গ্লেন_বি -রিনস্টেট মনিকা

Answer 4

লগনরমাল আইন শারীরিক ঘটনায় ব্যাপকভাবে উপস্থিত থাকে, উদাহরণস্বরূপ কোনও সিস্টেমের কোনও স্কেলিং আচরণ অধ্যয়ন করার জন্য এই ধরণের পরিবর্তনশীল বিতরণগুলির পরিমাণের প্রয়োজন হয়। আমি এই নিবন্ধটি জানি (খুব দীর্ঘ এবং খুব শক্তিশালী, আপনি যদি অনুশীলনকারী না হন তবে শুরুটি বিবেচনা করা যেতে পারে!), 2003 সালে প্রকাশিত "লগন্যরমাল এলোমেলো ভেরিয়েবলের পরিমাণে বিস্তৃত বিতরণ প্রভাব", (ইউরোপীয় ফিজিকাল জার্নাল বি-কনডেন্সড ম্যাটার অ্যান্ড কমপ্লেক্স) সিস্টেম 32, 513) এবং https://arxiv.org/pdf/physics/0211065.pdf উপলভ্য ।