সাধারণ লোকের পদগুলিতে আপনি মোমেন্ট জেনারেটিং ফাংশন (এমজিএফ) কীভাবে ব্যাখ্যা করবেন?

মোমেন্ট জেনারেটিং ফাংশন (এমজিএফ) কী?

আপনি সাধারণ ব্যক্তির শর্তাবলী এবং একটি সহজ এবং সহজ উদাহরণ সহ ব্যাখ্যা করতে পারেন?

দয়া করে যথাসম্ভব আনুষ্ঠানিক গণিত স্বরলিপি ব্যবহার করে সীমাবদ্ধ করুন।

moments intuition mgf

আপনি একটি সহজ, সহজ উদাহরণ চান ... তবে গাণিতিক স্বরলিপি ছাড়া? আমি নিশ্চিত নই যে এ জাতীয় জিনিসটি করা খুব সহজ হবে - আপনি কী কী আচরণ করছেন তার একটি বিভ্রান্তিকর ছাপ দেওয়ার ঝুঁকি ছাড়াই নয়। আমি মনে করি যে একটি ডিজিটেনরেট ভেরিয়েবলের এমজিএফএফ দিতে পারে যা সর্বদা গাণিতিক স্বরলিপির পথে খুব বেশি প্রয়োজন ছাড়াই হয়, তবে আপনি যদি এমজিএফএস বুঝতে চান তবে এটি আলোকপাতকারী হতে চলেছে।

0

$0$

— গ্লেন_বি -রিনস্টেট মনিকা

আমি নিশ্চিত নই যে এটি বোঝার কোনও স্বজ্ঞাত উপায় আছে কিনা, আপনি কেবল এটিকে একটি বিতরণ "এনকোডিং" করার উপায় হিসাবে মনে করতে পারেন (অন্তত এটি উপস্থিত থাকলে, বৈশিষ্ট্যযুক্ত ফাংশনগুলির সাথে এই ধারণাটি কিছুটা আরও ভাল কাজ করে)।

— ডিএসএকস্টন

একটি মুহুর্ত তৈরি করার ফাংশন - এটি উপস্থিত থাকলে - একটি এলোমেলো পরিবর্তনকের সমস্ত অ-নেতিবাচক-পূর্ণসংখ্যার মুহুর্তগুলিকে কোনও ফাংশনে এনকোড করার একটি উপায় এবং সেগুলি থেকে সেগুলি আবার বের করা যায়; এমজিএফএস নির্দিষ্ট গণনাগুলি করতে ব্যবহার করা যেতে পারে যা কখনও কখনও অন্যান্য উপায়ে করা এত সহজ নয়। আমি এতটা সাহায্য আশা করি না।

— গ্লেন_বি -রিনস্টেট মনিকা

আমি নিশ্চিত যে আপনি কো ব্লজারের অভিন্ন প্রশ্নের

— আন্তনি পরেল্লদা

উত্তর:

আসুন ধরে নেওয়া যাক যে কোনও সমীকরণ-মুক্ত অন্তর্নিহিত সম্ভব নয়, এবং এখনও কী চলছে তা সম্পর্কে ধারণা পেতে গণিতকে খুব প্রয়োজনীয় দিকে ফুটিয়ে তুলতে জোর দিন: আমরা পরিসংখ্যান মুহুর্তগুলি পাওয়ার চেষ্টা করছি , যা পদার্থবিদ্যার বাধ্যতামূলক রেফারেন্সের পরে , আমরা একটি এলোমেলো ভেরিয়েবলের পাওয়ারের প্রত্যাশিত মান হিসাবে সংজ্ঞায়িত করি । অবিচ্ছিন্ন র্যান্ডম ভেরিয়েবলের জন্য কাঁচা মূহুর্তটি লোটাসের দ্বারা : $k$

\begin{aligned} (1) & E [X^{k}] & = \int_{- \infty}^{\infty} X^{k} pdf d x \end{aligned}

$\begin{align}\large \color{red}{\mathbb{E}\left[{X^k}\right]} &= \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\color{blue}{X^k}\,\,\color{green}{\text{pdf}}\,\,\,dx\tag{1}\end{align}$

মুহূর্ত উৎপাদিত ফাংশন , একটি হল এই অবিচ্ছেদ্য (Eq.1) চারপাশে পায়চারি পথে দ্বারা, পরিবর্তে, নির্বাহ:

M_{X} (t) := E [e^{t X}],

$M_X(t):=\mathbb E\big[e^{tX}\big],$

\begin{aligned} (2) & E [e^{t X}] & = \int_{- \infty}^{\infty} e^{t X} pdf d x \end{aligned}

$\begin{align} \large \color{blue}{\mathbb{E}\left[e^{\,tX}\right]}&=\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}\color{blue}{e^{tX}}\,\color{green}{\text{pdf}}\, dx\tag{2}\end{align}$

কেন? কারণ এটি সহজ এবং এমজিএফের একটি দুর্দান্ত সম্পত্তি রয়েছে যা ম্যাক্লাউরিন সিরিজের of এর সম্প্রসারণ করে দেখা যায় $\color{blue}{e^{\,tX}}$

e^{t X} = 1 + \frac{X}{1!} t + \frac{X^{2}}{2!} t^{2} + \frac{X^{3}}{3!} t^{3} + \dots

$e^{tX}=1+\frac{ X }{1!}\, t +\frac{ X^{2} }{2!}t^{2} +\frac{ X^{3} }{3!} t^{3} +\cdots$

এই পাওয়ার সিরিজের উভয় পক্ষের প্রত্যাশা নেওয়া:

\begin{aligned} M_{X} (t) & = E [e^{t X}] \\ (3) & = 1 + \frac{E [X]}{1!} t + \frac{E [X^{2}]}{2!} t^{2} + \frac{E [X^{3}]}{3!} t^{3} + \dots \end{aligned}

$\begin{align} M_X(t) &= \color{blue}{\mathbb{E}\left[e^{\,tX}\right]} \\[1.5ex] &=1 + \frac{\color{red}{\mathbb{E} \left[X\right]}}{1!} \, t \, + \frac{\color{red}{\mathbb{E} \left[X^2\right]}}{2!} \, t^2 \, + \frac{\color{red}{\mathbb{E} \left[X^3\right]}}{3!} \, t^3 \, + \cdots\tag{3} \end{align}$

মুহুর্তগুলি এই বহুবর্ষীয় "কাপড়ের পাতায়" উপস্থিত হয়, কেবলমাত্র বার পার্থক্য করে এবং শূন্যের সাথে মূল্যায়ন করে একবার সহজ ইন্টিগ্রেশন (একা (2)) এর মধ্যে একবার গেলে সমস্ত মুহুর্তের জন্য একবার হয়ে যায়! পিডিএফ ক্ষতিকারক হলে এটি একটি সহজ সংহত হওয়ার বিষয়টি সর্বাধিক স্পষ্ট হয়। $k$

-th মুহুর্তটি পুনরুদ্ধার করতে : $k$

M_{X}^{(k)} (0) = \frac{d^{k}}{d t^{k}} M_{X} (t) |_{t = 0}

$M_X^{(k)}(0)=\frac{d^k}{dt^k}M_X(t)\Bigr|_{t=0}$

অবশেষে যে পার্থক্য করার প্রয়োজন আছে তা এটিকে একটি নিখরচায় মধ্যাহ্নভোজ হিসাবে পরিণত করে - শেষ পর্যন্ত এটি খালিটিতে পরিবর্তিত চিহ্ন সহ পিডিএফের দ্বিমুখী ল্যাপ্লেস রূপান্তর :

L {pdf (x)} (s) = \int_{- \infty}^{\infty} e^{- s x} pdf (x) d x

$\mathcal L \{\text{pdf}(x)\}(s) =\int_{-\infty}^{\infty}e^{-sx}\text{pdf}(x) dx$

যেমন

\begin{matrix} (4) & M_{X} (t) = L {pdf (x)} (- s) . \end{matrix}

$M_X(t)=\mathcal L\{\text{pdf}(x)\}(-s)\tag 4.$

এটি, বাস্তবে, আমাদের স্বজ্ঞাতকে একটি পদার্থবিজ্ঞানের সুযোগ দেয়। ল্যাপ্লেস রূপান্তরটি on এ অভিনয় করছে এবং এটিকে মুহুর্তগুলিতে দ্রবীভূত করছে। ফুরিয়ার রুপান্তর একটি থেকে আদল অবশ্যম্ভাবী হয় : একটি ফুলটাইম বাস্তব লাইন-এ একটি নতুন ফাংশন একটি ফাংশন মানচিত্র, এবং Laplace জটিল প্লেনে একটি নতুন ফাংশন একটি ফাংশন মানচিত্র তৈরী করে। ফুরিয়ার রূপান্তর একটি ক্রিয়াকলাপ বা সংকেতকে ফ্রিকোয়েন্সিগুলির একটি সিরিজ হিসাবে প্রকাশ করে, যখন ল্যাপ্লেস রূপান্তরটি একটি মুহুর্তে কোনও ক্রিয়াকে সমাধান করে । প্রকৃতপক্ষে, মুহুর্তগুলি পাওয়ার আলাদা উপায় হ'ল ফুরিয়ার ট্রান্সফর্ম ( চরিত্রগত ফাংশন ) এর মাধ্যমে। ল্যাপ্লেস ট্রান্সফর্মের ক্ষতিকারক শব্দটি সাধারণত ফর্মের সাথে হয় $\color{green}{\text{pdf}}$ $e^{-st}$ $s=\sigma + i\,\omega$ , সংশ্লিষ্ট বাস্তব exponentials এবং কাল্পনিক sinusoidals যেমন, এবং ফলনশীল প্লট এই :

[ থেকে দ্য সায়েন্টিস্ট ও স্টিভেন ডব্লিউ স্মিথ ইঞ্জিনিয়ার নির্দেশিকা সিগন্যাল প্রসেসিং করার জন্য ]

সুতরাং ফাংশন function কোনওভাবে তার "উপাদান ফ্রিকোয়েন্সি" এ বিভক্ত করেএকা থেকে। (4): $M_X(t)$ $\text{pdf}$ $\sigma=0.$

\begin{aligned} M_{X} (t) & = E [e^{- s X}] \\ = \int_{- \infty}^{\infty} e^{- s x} pdf (x) d x \\ = \int_{- \infty}^{\infty} e^{- (σ + i ω) x} pdf (x) d x \\ = \int_{- \infty}^{\infty} e^{- σ x} e^{- i ω x} pdf (x) d x \end{aligned}

$\begin{align}\require{cancel} M_X(t)&=\mathbb E\big[e^{-sX}\big]\\[2ex] &=\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}{e^{-sx}}\,\text{pdf}(x)\, dx\\[2ex] &=\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}{e^{-(\sigma+i\omega)x}}\,\text{pdf}(x)\, dx\\[2ex] &=\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}\cancel{e^{-\sigma x}}\,\color{red}{e^{-i\omega x}\,\text{pdf}(x)\, dx} \end{align}$

যা আমাদের পিডিএফের ফুরিয়ার ট্রান্সফর্মের সাথে মিলিয়ে লাল বর্ণের অভিব্যক্তির অংশের অযৌক্তিক অবিচ্ছেদ্য সাথে ছেড়ে দেয়।

সাধারণভাবে, কোনও ফাংশনের ল্যাপ্লেস রূপান্তরকারী খুঁটির অন্তর্নিহিততাটি হ'ল তারা ক্রিয়াকলাপের ক্ষতিকারক (ক্ষয়) এবং ফ্রিকোয়েন্সি উপাদানগুলির (এই ক্ষেত্রে, পিডিএফ) তথ্য সরবরাহ করে।

থেকে স্যুইচিং সম্পর্কে মন্তব্যগুলির অধীনে প্রশ্নের জবাবে, এটি সম্পূর্ণ কৌশলগত পদক্ষেপ: একটি এক্সপ্রেশন অপরটির কাছ থেকে অনুসরণ করে না। এখানে একটি সাদৃশ্য রয়েছে: আমাদের নিজস্ব একটি গাড়ি আছে এবং আমরা যখনই কোনও ব্যবসায়ের যত্ন নেওয়ার দরকার পড়েছি তখনই আমরা শহরে গাড়ি চালাতে পারি (পড়ুন, একিউ সংহত করে প্রতিটি পৃথক, একক মুহুর্তের জন্য যতই কঠিন হোক) । পরিবর্তে, আমরা সম্পূর্ণ আলাদা কিছু করতে পারি: আমরা নিকটস্থ সাবওয়ে স্টেশন চালিয়ে যেতে পারি (পড়ুন, একা সমাধান করুন একবারে), এবং সেখান থেকে আমাদের যাতায়াত করতে হবে এমন প্রতিটি জায়গায় পৌঁছানোর জন্য পাবলিক ট্রান্সপোর্ট ব্যবহার করুন (পড়ুন, কোনও EQ যে কোনও উত্তোলনের জন্য অবিচ্ছেদ্য এর ডেরিভেটিভ $X^k$ $e^{tx}$ $(1)$ $(2)$ $k$ $(2)$ $k$ আমাদের অষ্টম মুহুর্তটি জানতে হবে (একিউ ধন্যবাদ জানাই ) যে সমস্ত মুহুর্ত সেখানে "লুকিয়ে" রয়েছে এবং এ মূল্যায়ন করে বিচ্ছিন্ন হয়ে পড়ে )। $(3)$ $0$

— আন্তোনি পরেল্লদা
সূত্র

কীভাবে প্রতিস্থাপন করবেন ? (নীল রঙের বাইরে?)

E [e^{t X}]

$E[e^{tX}]$

E [X^{k}]

$E[X^k]$

— ব্যবহারকারী 366312

আমি এই উত্তরটি বুঝতে পারে এমন সাধারণ লোকেরা আমার শিক্ষার্থী

— হ'ল

সর্বাধিক সাধারণের ভাষায় এটি সম্ভাব্যতা বিতরণের সমস্ত বৈশিষ্ট্যকে একটি ছোট বাক্যাংশে এনকোড করার একটি উপায়। উদাহরণস্বরূপ, যদি আমি জানতে পারি যে এমজিএফ ডিস্ট্রিবিউশনটি distribution আমি টেলর সম্প্রসারণের প্রথম মেয়াদ গ্রহণ করে এই জানতে পারি : আপনি যদি জানেন যে আপনি কী করছেন এটি প্রত্যাশা নেওয়ার চেয়ে অনেক দ্রুত সম্ভাব্যতা ফাংশন।

M (t) = e^{t μ + 1 / 2 σ^{2} t^{2}}

$M(t)=e^{t\mu+1/2\sigma^2t^2}$

\frac{d}{d t} M (t) |_{t = 0} = μ + σ^{2} t |_{t = 0} = μ

$\frac d {dt}M(t)|_{t=0}=\mu+\sigma^2t|_{t=0}=\mu$

তদুপরি, এই এমজিএফটি বিতরণ সম্পর্কে সমস্ত কিছু এনকোড করে, যদি আপনি কীভাবে ফাংশনটি পরিচালনা করতে জানেন তবে আপনি বিতরণের সমস্ত বৈশিষ্ট্যগুলিতে একবারে অপারেশন প্রয়োগ করতে পারেন! কেন আমরা সবসময় এমজিএফ ব্যবহার করি না? প্রথমত, এটি প্রতিটি পরিস্থিতিতে নয় এমজিএফ হ'ল সহজতম সরঞ্জাম। দ্বিতীয়ত, এমজিএফ সর্বদা বিদ্যমান থাকে না।

সাধারণ মানুষ উপরে

মনে করুন আপনার একটি সাধারণ বন্টন রয়েছে। আপনি তার সম্পর্কে যা কিছু জানেন তার PDF হিসাবে উল্লেখ করে প্রকাশ করতে পারেন:

f (x) = \frac{1}{\sqrt{2 π}} e^{- x^{2} / 2}

$f(x)=\frac 1 {\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}$

আপনি এর মুহুর্তগুলি যেমন গড় এবং স্ট্যান্ডার্ড বিচ্যুতি গণনা করতে পারেন এবং এটিকে রূপান্তরিত ভেরিয়েবল এবং এলোমেলো স্বাভাবিকগুলি ইত্যাদিতে ব্যবহার করতে পারেন etc.

আপনি পিডিএফের বিকল্প হিসাবে সাধারণ বিতরণের এমজিএফটিকে ভাবতে পারেন। এটিতে একই পরিমাণের তথ্য রয়েছে। আমি ইতিমধ্যে দেখিয়েছি কীভাবে গড়টি অর্জন করতে হয়।

কেন আমাদের বিকল্প উপায় দরকার? আমি যেমন লিখেছি, কখনও কখনও এটি আরও বেশি সুবিধাজনক। উদাহরণস্বরূপ, পিডিএফ থেকে স্ট্যান্ডার্ড স্বাভাবিকের প্রকরণটি গণনা করে দেখুন: এটি ততটা কঠিন নয়, তবে এমজিএফ :

σ^{2} = \int_{- \infty}^{\infty} x^{2} \frac{1}{\sqrt{2 π}} e^{- x^{2} / 2} d x = ?

$\sigma^2=\int_{-\infty}^\infty x^2\frac 1 {\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2} dx=?$

M (t) = e^{t^{2} / 2}

$M(t)=e^{t^2/2}$

σ^{2} = \frac{d^{2}}{d t^{2}} M (t) |_{t = 0} = \frac{d}{d t} t |_{t = 0} = 1

$\sigma^2=\frac {d^2} {dt^2}M(t)|_{t=0}=\frac d {dt} t |_{t=0}=1$

— Aksakal
সূত্র

আপনি দয়া করে বিতরণ সম্পর্কে এনকোড করে থাকা "সবকিছু" তে প্রসারিত করতে পারেন?

— কালার স্ট্যাটিস্টিকস

@ কালার স্ট্যাটিসটিক্স দ্বারা তৈরি পয়েন্টটি প্রশংসা করতে, দয়া করে stats.stackexchange.com/questions/25010 দেখুন ।

— whuber

@ শুভঃ: শুভ আমি এই রেফারেন্স অধ্যয়ন করব। এটি এমন একটি বিষয় যা আমি আরও ভাল করে বুঝতে চাই।

— কালার স্ট্যাটিস্টিকস

আমরা কীভাবে প্রমাণ করতে পারি যে এমজিএফ এবং পিডিএফ একই পরিমাণে তথ্য রয়েছে?

— এরিন