এআর (1) এর ওএলএস এর প্রাক্কলনকারী সহকারী পক্ষপাতদুষ্ট কেন?

Question

আমি বুঝতে চেষ্টা করছি যে ওএলএস কেন একটি এআর (1) প্রক্রিয়াটির পক্ষপাতদুষ্ট অনুমানকারী দেয়। বিবেচনা করুন this এই মডেলটিতে, কঠোর লঙ্ঘন করা হয়, যথা এবং পারস্পরিক সম্পর্কযুক্ত তবে এবং । তবে এটি যদি সত্য হয় তবে নীচের সাধারণ ব্যয়টি কেন ধরে না?

$$\begin{aligned} y_{t} &= \alpha + \beta y_{t-1} + \epsilon_{t}, \\ \epsilon_{t} &\stackrel{iid}{\sim} N(0,1). \end{aligned}$$ $y_t$$\epsilon_t$$y_{t-1}$$\epsilon_t$ $$\begin{aligned} \text{plim} \ \hat{\beta} &= \frac{\text{Cov}(y_{t},y_{t-1})}{\text{Var}(y_{t-1})} \\ &=\frac{\text{Cov}(\alpha + \beta y_{t-1}+\epsilon_{t}, y_{t-1})}{\text{Var}(y_{t-1})} \\ &= \beta+ \frac{\text{Cov}(\epsilon_{t}, y_{t-1})}{\text{Var}(y_{t-1})} \\ &=\beta. \end{aligned}$$

Comments

ক্রস ভ্যালিডেটে সম্পর্কিত কয়েকটি প্রশ্ন রয়েছে। এগুলি সন্ধান করে আপনি উপকৃত হতে পারেন।

— রিচার্ড হার্ডি

আমি তাদের দেখেছি, কিন্তু তারা সত্যই আমাকে সাহায্য করেনি। আমি একটি প্রমাণ এবং সিমুলেশন পেয়েছি যা এই ফলাফলটি দেখায়। আমি যে বিষয়ে আগ্রহী তা হ'ল উপরের আমার যুক্তিতে ভুল।

— ফ্লোরস্তান

আপনি যখন ব্যবহার করছেন, আপনি কি পরিবর্তে ধারাবাহিকতার দিকে নজর দিচ্ছেন না? (আন) পক্ষপাতদুষ্টতার জন্য আপনার প্রত্যাশা ব্যবহার করা উচিত। $\text{plim}$

— রিচার্ড হার্ডি

আপনি সম্পূর্ণরূপে সঠিক, যে ধাঁধা সমাধান করতে পারে। সুতরাং উপরের সমীকরণটি যদি প্লেম ছাড়াই ধরে না রাখে তবে এটি ছোট নমুনায় ওএলএসের পক্ষপাতিত্বের বিরোধিতা করবে না এবং একই সাথে ওএলএসের ধারাবাহিকতা প্রদর্শন করবে। যদিও আমি কিছুটা অনিশ্চিত: ভেরিয়েন্স সূত্রের চেয়ে এই ovক্যটি কি সত্যিই কেবল প্লেমের জন্য ধারণ করে এবং প্রত্যাশায় নয়? ইতিমধ্যে অনেক ধন্যবাদ!

— ফ্লোরস্তান

ওএলএসের অনুমানকারী নিজেই কোনও জড়িত না , আপনার সীমাবদ্ধ নমুনাগুলির প্রত্যাশাটি দেখে নেওয়া উচিত। $\text{plim}$

— রিচার্ড হার্ডি

Answer 1

মন্তব্যে মূলত আলোচিত হিসাবে, নিরপেক্ষতা একটি সীমাবদ্ধ সম্পত্তি, এবং যদি এটি ধারণ করে তবে তা হিসাবে প্রকাশ করা হবে

$$E (\hat \beta ) = \beta$$

(যেখানে প্রত্যাশিত মান সীমাবদ্ধ-নমুনা বিতরণের প্রথম মুহূর্ত)

যখন ধারাবাহিকতা হিসাবে প্রদর্শিত একটি অসম্পূর্ণ সম্পত্তি

$$\text{plim} \hat \beta = \beta$$

ওপি দেখায় যে এই প্রসঙ্গে ওএলএস পক্ষপাতদুষ্ট হলেও এটি এখনও সামঞ্জস্যপূর্ণ।

$$E (\hat \beta ) \neq \beta\;\;\; \text{but}\;\;\; \text{plim} \hat \beta = \beta$$

এখানে কোনও বৈপরীত্য নেই।

Answer 2

@ অ্যালোকোস সুন্দরভাবে ব্যাখ্যা করেছেন যে সঠিক পাতলা এবং নিরপেক্ষতা কেন একই নয়। অনুমানকারক পক্ষপাতদুষ্ট না হওয়ার অন্তর্নিহিত কারণ হিসাবে, মনে রাখবেন যে কোনও অনুমানকারকের পক্ষপাতহীনতার জন্য প্রয়োজন যে সমস্ত ত্রুটি শর্তগুলি সমস্ত রেজিস্ট্রার মানগুলির চেয়ে পৃথক, ।$E(\epsilon|X)=0$

বর্তমান ক্ষেত্রে, ম্যাট্রিক্সে মানগুলি যাতে - এমপিটাসের মন্তব্য দেখুন - শর্তটি সমস্ত ।$y_1,\ldots,y_{T-1}$$E(\epsilon_s|y_1,\ldots,y_{T-1})=0$$s=2,\ldots,T$

এখানে, আমরা আছে

$$\begin{equation*} y_{t}=\beta y_{t-1}+\epsilon _{t}, \end{equation*}$$ এমনকি অনুমান অধীনে আমাদের কাছে তবে, এছাড়াও এআর মডেলের ভবিষ্যতের মানগুলির জন্য একটি রেজিস্টার, যেমন ।$E(\epsilon_{t}y_{t-1})=0$ $$\begin{equation*} E(\epsilon_ty_{t})=E(\epsilon_t(\beta y_{t-1}+\epsilon _{t}))=E(\epsilon _{t}^{2})\neq 0. \end{equation*}$$ $y_t$$y_{t+1}=\beta y_{t}+\epsilon_{t+1}$

Comments

আমি স্পষ্টতা যোগ করব $E(\varepsilon | X)$ এই ক্ষেত্রে অনুবাদ করে $E(\varepsilon_s|y_{1},...,y_T)$ প্রতিটির জন্য, প্রত্যেকটির জন্য $s$। তারপরে আরও আলোচনা কিছুটা পরিষ্কার হয়ে যায়।

— এমপিটিকাস

ভাল কথা, আমি একটি সম্পাদনা করেছি

— ক্রিস্টোফ হ্যাঙ্ক

Answer 3

দুটি ভাল উত্তরের উপর সম্প্রসারণ করা। ওএলএস অনুমানকারী লিখুন:

$$\hat\beta =\beta + \frac{\sum_{t=2}^Ty_{t-1}\varepsilon_t}{\sum_{t=2}^Ty_{t-1}^2}$$

নিরপেক্ষতার জন্য আমাদের দরকার

$$E\left[\frac{\sum_{t=2}^Ty_{t-1}\varepsilon_t}{\sum_{t=2}^Ty_{t-1}^2}\right]=0.$$

তবে তার জন্য আমাদের এটি দরকার $E(\varepsilon_t|y_{1},...,y_{T-1})=0,$ প্রতিটির জন্য, প্রত্যেকটির জন্য $t$। এআর (1) মডেলের ক্ষেত্রে এটি পরিষ্কারভাবে ব্যর্থ হয়$\varepsilon_t$ ভবিষ্যতের মান সম্পর্কিত $y_{t},y_{t+1},...,y_{T}$।

Comments

আমি ঠিক পেয়েছি কিনা তা খতিয়ে দেখার জন্য: সমস্যাটি প্রতিটি টিয়ের জন্য অঙ্কের নয় $y_{t-1}$ এবং $\epsilon_{t}$অসম্পর্কিত হয়। সমস্যাটি হ'ল ডোনোমিনিটারের উচ্চতর বৈশিষ্ট্য যেমন সংখ্যার এবং ডিনোমিনেটরের মধ্যে পারস্পরিক সম্পর্ক রয়েছে যাতে আমি সংখ্যার যোগফলের মধ্যে প্রত্যাশা নিতে পারি না (কঠোরভাবে উত্সাহিত্বে আমি এটি করতে পারি ?!)। এটি কি সঠিক গাণিতিক অন্তর্নিহিত?

— Florestan

হ্যাঁ এটি সঠিক স্বজ্ঞাত। মনে রাখবেন যে এক্ষেত্রে কঠোর অযৌক্তিকতা সম্ভব নয়, তবে পক্ষপাতহীনতার জন্য কঠোর অযৌক্তিকতা একটি প্রয়োজনীয়তা হয়ে ওঠে।

— এমপিক্টাস