আইআইডি র্যান্ডম ভেরিয়েবলের যোগফলগুলির বর্গমূলের জন্য কেন্দ্রীয় সীমাবদ্ধ তত্ত্ব ore

গণিত.স্ট্যাকেক্সেক্সচেঞ্জের একটি প্রশ্নের দ্বারা উত্সাহিত , এবং এটি উত্সর্গীয়ভাবে অনুসন্ধান করে আমি আইড র্যান্ডম ভেরিয়েবলগুলির যোগফলের বর্গমূলের নীচের বিবৃতিটি সম্পর্কে ভাবছি।

ধরা যাক আইডি এলোমেলো ভেরিয়েবলের সাথে সীমাবদ্ধ নন-শূন্যের সাথে গড় এবং বৈকল্পিক , এবং । কেন্দ্রীয় সীমাবদ্ধ উপপাদ্যটি says বলে $X_1, X_2, \ldots, X_n$ $\mu$ $\sigma^2$ $\displaystyle Y=\sum_{i=1}^n X_i$ যেমনবাড়ে। $\displaystyle \dfrac{Y - n\mu}{\sqrt{n\sigma^2}} \ \xrightarrow{d}\ N(0,1)$ $n$

তাহলে , আমি কি like এর মতো কিছু বলতে পারি $Z=\sqrt{|Y|}$ যেমনবৃদ্ধির? $\displaystyle \dfrac{Z - \sqrt{n |\mu|-\tfrac{\sigma^2}{4|\mu|}}}{\sqrt{\tfrac{\sigma^2}{4|\mu|}}}\ \xrightarrow{d}\ N(0,1)$ $n$

উদাহরণস্বরূপ, ধরুন হ'ল গড় এবং ভেরিয়েন্স বার্নুলি , তারপরে দ্বিপদী এবং আমি এটি আর-তে অনুকরণ করতে পারি, দিয়ে বলুন $X_i$ $p$ $p(1-p)$ $Y$ : $p=\frac13$

set.seed(1)
cases <- 100000
n <- 1000
p <- 1/3
Y <- rbinom(cases, size=n, prob=p)
Z <- sqrt(abs(Y))

যা জন্য প্রায় প্রত্যাশিত গড় এবং বৈচিত্র্য দেয় $Z$

> c(mean(Z), sqrt(n*p - (1-p)/4))
[1] 18.25229 18.25285
> c(var(Z), (1-p)/4)
[1] 0.1680012 0.1666667

এবং একটি কিউকিউ প্লট যা গাউসির কাছাকাছি দেখায়

qqnorm(Z)

normal-distribution central-limit-theorem sum

— হেনরি
সূত্র

@ মিশেলএম: এই মন্তব্যগুলির জন্য ধন্যবাদ। আমি শুরু করেছে

অ নেতিবাচক, কিন্তু আমি স্বজ্ঞাত মধ্যে asymptotic আচরণ আপনি আরো ডিস্ট্রিবিউশন করার জন্য একটি সাধারণীকরণ অনুমতি বর্ণনা চিন্তা। আমার আশ্চর্যগুলি হ'ল (ক) যোগফলের বর্গমূলের ভিন্নতা আপাতদৃষ্টিতে ধ্রুবককে

উপর নির্ভর করে না এবং (খ) গসিয়ার খুব কাছাকাছি মনে হয় এমন একটি বন্টনের উপস্থিতি প্রদর্শিত হয়। জবাবী-উদাহরণস্বরূপ স্বাগত হবে, কিন্তু আমি অন্যান্য ক্ষেত্রে যা প্রাথমিকভাবে করলো অ গসিয়ান চেষ্টা করলে বৃদ্ধি

আরও একটি CLT-টাইপ ফলাফলের বিতরণের ফিরিয়ে আনতে করলো।

X_{i}

$X_i$

n

$n$

n

$n$

— হেনরি

এর একটি তাত্পর্যপূর্ণ আইড র্যান্ডম ভেরিয়েবলের মূল-গড়-বর্গক্ষেত্র (বা চতুষ্কোণ গড়) যথাযথভাবে পরিমাপযোগ্য (

দ্বারা গুণিত)

পাটিগণিত গড় হিসাবে

) এছাড়াও গাউসীয় বিতরণে রূপান্তর করে তবে শর্ত থাকে যেঅন্তর্নিহিত বিতরণের

র্থ মুহূর্ত সীমাবদ্ধ।

\sqrt{n}

$\sqrt{n}$

4

$4$

— হেনরি

একটি সংক্ষিপ্ত মন্তব্য: দাবিটি ডেল্টা পদ্ধতির একটি বিশেষ ঘটনা, কেসেলা এবং বার্গারের "পরিসংখ্যানগত অনুক্রম" বইয়ের উপপাদ্যটি 5.5.24 দেখুন।

— মাইকেল এম

@ মিশেল: সম্ভবত আপনি এমন কিছু দেখতে পেয়েছেন যা আমি এই মুহূর্তে নেই, তবে আমি মনে করি না যে এই বিশেষ সমস্যাটি ক্লাসিকাল ডেল্টা পদ্ধতির অনুমানের মধ্যে খাপ খায় (যেমন আপনার তাত্ত্বিক হিসাবে উল্লেখ করা হয়েছে) within মনে রাখবেন যে

বিতরণে রূপান্তরিত হয় না (

তে অনানুষ্ঠানিকভাবে ) এবং তাই "

দিয়ে ডেল্টা পদ্ধতি প্রয়োগ করে

Y

$Y$

R

$\mathbb R$

", প্রয়োজনীয় প্রয়োজনীয়তা সন্তুষ্ট না কিন্তু যখন এস Catterall এর উত্তর প্রমান, এটি একটি দরকারী অনুসন্ধানমূলক সঠিক উত্তর যা বাড়ে প্রদান

g (y) = \sqrt{| y |}

$g(y) = \sqrt{|y|}$

— অঙ্কবাচক

(আমি বিশ্বাস করি যে পূর্ববর্তী বর্ণিত ধর্মশাস্ত্রকে পুরোপুরি কঠোর করার জন্য আপনি ডেল্টা পদ্ধতির প্রমাণকে উপরের মতো মামলাগুলির সাথে মানিয়ে নিতে পারেন।)

— কার্ডিনাল

গাউসিতে রূপান্তরটি আসলে একটি সাধারণ ঘটনা।

ধরুন যে আইআইডি র‌্যান্ডম ভেরিয়েবলগুলি গড় এবং বৈকল্পিক এবং যোগফলগুলি সংজ্ঞায়িত করে । একটি সংখ্যা ঠিক করুন । সাধারণ কেন্দ্রীয় সীমাবদ্ধ উপপাদ্য আমাদের বলে যে $X_1,X_2,X_3,...$ $\mu\gt 0$ $\sigma^2$ $Y_n=\sum_{i=1}^n X_i$ $\alpha$ হিসাবে, যেখানেহ'ল মানক সিডিএফ। তবে, সিডিএফ সীমিত করার ধারাবাহিকতা বোঝায় যে আমাদের কাছে $P(\frac{Y_n-n\mu}{\sigma\sqrt n}\leq \alpha)\to\Phi(\alpha)$ $n\to\infty$ $\Phi$ কারণ বৈষম্যের ডানদিকে অতিরিক্ত শব্দটি শূন্য থাকে। এই অভিব্যক্তিটি পুনরায় সাজানোর ফলেবাড়ে

P (\frac{Y_{n} - n μ}{σ \sqrt{n}} \leq α + \frac{α^{2} σ^{2}}{4 μ σ \sqrt{n}}) \to Φ (α)

$P\Big(\frac{Y_n-n\mu}{\sigma\sqrt n}\leq \alpha+\frac{\alpha^2 \sigma^2}{4\mu\sigma\sqrt n}\Big)\to\Phi(\alpha)$

পি ({ওয়াই}_{এন} \leq (\frac{α σ}{2 \sqrt{μ}} + + \sqrt{এন μ})^{2}) \to Φ (α)

$P\Big(Y_n\leq (\frac{\alpha\sigma}{2\sqrt \mu}+\sqrt{n\mu})^2\Big)\to\Phi(\alpha)$

বর্গক্ষেত্রের শিকড়গুলি গ্রহণ করা এবং বোঝা যাচ্ছে যে , আমরা পেয়েছি $\mu\gt 0$ $P(Y_n\lt 0)\to 0$ অন্য কথায়,

পি (\sqrt{| {ওয়াই}_{এন} |} \leq \frac{α σ}{2 \sqrt{μ}} + + \sqrt{এন μ}) \to Φ (α)

$P\Big(\sqrt{|Y_n|}\leq \frac{\alpha\sigma}{2\sqrt \mu}+\sqrt{n\mu}\Big)\to\Phi(\alpha)$

। এই ফলে সীমা একটি গসিয়ান করার অভিসৃতি প্রমান

।

\frac{\sqrt{| Y_{n} |} - \sqrt{n μ}}{σ / 2 \sqrt{μ}} \overset{d}{\to} N (0, 1)

$\frac{\sqrt{|Y_n|}-\sqrt{n\mu}}{\sigma/{2\sqrt\mu}}\xrightarrow{d}N(0,1)$

n \to \infty

$n\to\infty$

এর অর্থ কি একটি ভাল পড়তা হয় $\sqrt{n\mu}$ $E[\sqrt{|Y_n|}]$ $n$ $E[\sqrt{Y_n}]=\sqrt{E[Y_n]-\text{Var}(\sqrt{Y_n})}$ $E[Y_n]=n\mu$ $\text{Var}(\sqrt{Y_n})\approx \frac{\sigma^2}{4\mu}$ $E[\sqrt{|Y_n|}]\approx\sqrt{n\mu- \dfrac{\sigma^2}{4\mu}}$

\frac{\sqrt{| Y_{n} |} - \sqrt{n μ - \frac{σ^{2}}{4 μ}}}{σ / 2 \sqrt{μ}} \overset{d}{\to} N (0, 1)

$\frac{\sqrt{|Y_n|}-\sqrt{n\mu-\frac{\sigma^2}{4\mu}}}{\sigma/{2\sqrt\mu}}\xrightarrow{d}N(0,1)$

\sqrt{n μ - \frac{σ^{2}}{4 μ}} - \sqrt{n μ} \to 0

$\sqrt{n\mu-\frac{\sigma^2}{4\mu}}-\sqrt{n\mu}\to 0$

n \to \infty

$n\to\infty$

— এস ক্যাটারলর পুনর্নির্মাণ মনিকা
সূত্র

\sqrt{n μ} - \sqrt{n μ - \frac{σ^{2}}{4 μ}} \to 0

$\sqrt{n \mu}-\sqrt{n \mu-\tfrac{\sigma^2}{4\mu}} \to 0$

n \to \infty

${n \to \infty}$

\sqrt{n μ}

$\sqrt{n\mu}$

\sqrt{n μ - k}

$\sqrt{n\mu-k}$

k

$k$

\frac{\sqrt{| Y_{n} |} - \sqrt{n μ - k}}{σ / 2 \sqrt{μ}}

$\frac{\sqrt{|Y_n|}-\sqrt{n\mu-k}}{\sigma/{2\sqrt\mu}}$

N (0, 1)

$N(0,1)$

n

$n$

\sqrt{n μ - \frac{σ^{2}}{4 μ}}

$\sqrt{n \mu-\tfrac{\sigma^2}{4\mu}}$

Var (Z) = E [Z^{2}] - (E [Z])^{2}

$\text{Var}(Z)=E[Z^2]-(E[Z])^2$

E [Z] = \sqrt{E [Z^{2}] - Var (Z)}

$E[Z]=\sqrt{E[Z^2]-\text{Var}(Z)}$

E [Z^{2}] = E [Y] = n μ

$E[Z^2]=E[Y]=n\mu$

\frac{\sqrt{| Y_{n} |} - \sqrt{n μ}}{σ / 2 \sqrt{μ}}

$\frac{\sqrt{|Y_n|}-\sqrt{n\mu}}{\sigma/{2\sqrt\mu}}$

Var (Z) \approx \frac{σ^{2}}{4 μ}

$\text{Var}(Z) \approx \dfrac{\sigma^2}{4\mu}$

E [Z] \approx \sqrt{n μ - \frac{σ^{2}}{4 μ}}

$E[Z] \approx \sqrt{n\mu- \dfrac{\sigma^2}{4\mu}}$

ঠিক আছে, ধন্যবাদ, আমি এখন আমার উত্তরে এটি কভার করার চেষ্টা করেছি।

— এস ক্যাটারলাল মনিকা