রৈখিক মিশ্র মডেলের জন্য ম্যানুয়ালি এলোমেলো প্রভাবের পূর্বাভাস গণনা করুন

আমি হাত দিয়ে রৈখিক মিশ্র মডেল থেকে এলোমেলো প্রভাবের পূর্বাভাস গণনা করার চেষ্টা করছি, এবং জেনারালাইজড অ্যাডেটিভ মডেলগুলিতে কাঠের দ্বারা প্রদত্ত স্বরলিপি ব্যবহার করে : আর (পিপি 294 / পিডিএফ এর 307 পি 30) এর সাথে পরিচয় করিয়ে দিয়েছি, প্রতিটি পরামিতি সম্পর্কে আমি বিভ্রান্ত হচ্ছি প্রতিনিধিত্ব করে।

নীচে উড থেকে সংক্ষিপ্তসার দেওয়া হল।

রৈখিক মিশ্র মডেল সংজ্ঞা দিন

Y = X β + Z b + ϵ

$Y = X\beta + Zb + \epsilon$

যেখানে বি এন (0, ), এবং এন (0, ) $\sim$ $\psi$ $\epsilon \sim$ $\sigma^{2}$

বি এবং y যদি যৌথ সাধারণ বিতরণের সাথে র্যান্ডম ভেরিয়েবল হয়

\begin{aligned} [\begin{matrix} b \\ y \end{matrix}] & \sim N [\begin{matrix} [\begin{matrix} 0 \\ X β \end{matrix}], & [\begin{matrix} ψ & Σ_{b y} \\ Σ_{y b} & Σ_{θ} σ^{2} \end{matrix}] \end{matrix}] \end{aligned}

$\begin{align*} \begin{bmatrix} b\\ y \end{bmatrix} &\sim N \begin{bmatrix} \begin{bmatrix} 0\\ X\beta \end{bmatrix}\!\!,& \begin{bmatrix} \psi & \Sigma_{by} \\ \Sigma_{yb}& \Sigma_{\theta}\sigma^{2} \end{bmatrix} \end{bmatrix}\\ \end{align*}$

আরআর পূর্বাভাসগুলি গণনা করা হয়

\begin{aligned} E [b ∣ y] & = Σ_{b y} Σ_{y y}^{- 1} (y - x β) \\ = Σ_{b y} Σ_{θ}^{- 1} (y - x β) / σ^{2} \\ = ψ z^{T} Σ_{θ}^{- 1} (y - x β) / σ^{2} \end{aligned}

$\begin{align*} E[b \mid y] &= \Sigma_{by} \Sigma_{yy}^{-1} (y - x\beta)\\ &= \Sigma_{by}\Sigma_{\theta}^{-1}(y - x \beta) / \sigma^{2}\\ &= \psi z^{T}\Sigma_{\theta}^{-1} (y - x \beta) / \sigma^{2} \end{align*}$

যেখানে $\Sigma_{\theta} = Z\psi Z^{T} /\sigma^{2} + I_{n}$

lme4আর প্যাকেজ থেকে র্যান্ডম ইন্টারসেপ্ট মডেলের উদাহরণ ব্যবহার করে আমি আউটপুট পাই

library(lme4)
m = lmer(angle ~ temp + (1 | replicate), data=cake)
summary(m)

% Linear mixed model fit by REML ['lmerMod']
% Formula: angle ~ temp + (1 | replicate)
%    Data: cake
% 
% REML criterion at convergence: 1671.7
% 
% Scaled residuals: 
%      Min       1Q   Median       3Q      Max 
% -2.83605 -0.56741 -0.02306  0.54519  2.95841 
% 
% Random effects:
%  Groups    Name        Variance Std.Dev.
%  replicate (Intercept) 39.19    6.260   
%  Residual              23.51    4.849   
% Number of obs: 270, groups:  replicate, 15
% 
% Fixed effects:
%             Estimate Std. Error t value
% (Intercept)  0.51587    3.82650   0.135
% temp         0.15803    0.01728   9.146
% 
% Correlation of Fixed Effects:
%      (Intr)
% temp -0.903

সুতরাং এ থেকে আমার ধারণা = ২৩.৫১, এবং জনসংখ্যা স্তরের অবশিষ্টাংশগুলির বর্গ থেকে অনুমান করা যায় । $\psi$ $(y-X\beta)$ cake$angle - predict(m, re.form=NA)sigma

th = 23.51
zt = getME(m, "Zt") 
res = cake$angle - predict(m, re.form=NA)
sig = sum(res^2) / (length(res)-1)

এগুলিকে একসাথে দেয়

th * zt %*% res / sig
         [,1]
1  103.524878
2   94.532914
3   33.934892
4    8.131864
---

যা তুলনা করার সময় সঠিক নয়

> ranef(m)
$replicate
   (Intercept)
1   14.2365633
2   13.0000038
3    4.6666680
4    1.1182799
---

কেন?

mixed-model lme4-nlme

— user2957945
সূত্র

দুটি সমস্যা (আমি স্বীকার করি যে এটি দ্বিতীয়টি দেখাতে আমার 40 মিনিটের মতো লেগেছে):

আপনি অবশ্যই id এর অবশিষ্টাংশের বর্গক্ষেত্রের সাথে গণনা করবেন না , এটি আরএমএল হিসাবে অনুমান করা হয় , এবং বিএলইউপিএসগুলির একই বৈকল্পিকতা থাকবে এমন কোনও গ্যারান্টি নেই। $\sigma^2$ 23.51
```
sig <- 23.51
```
এবং এটি ! যা হিসাবে অনুমান করা হয় $\psi$ 39.19
```
psi <- 39.19
```
অবশিষ্টাংশগুলি cake$angle - predict(m, re.form=NA)কিন্তু সাথে পাওয়া যায় না residuals(m)।

একসাথে রেখে:

> psi/sig * zt %*% residuals(m)
15 x 1 Matrix of class "dgeMatrix"
         [,1]
1  14.2388572
2  13.0020985
3   4.6674200
4   1.1184601
5   0.2581062
6  -3.2908537
7  -4.6351567
8  -4.5813846
9  -4.6351567
10 -3.1833095
11 -2.1616392
12 -1.1399689
13 -0.2258429
14 -4.0974355
15 -5.3341942

যা অনুরূপ ranef(m)।

আমি আসলে কি predictগণনা পাই না ।

পুনশ্চ. আপনার শেষ মন্তব্যের জবাব দেওয়ার জন্য, বক্তব্যটি হ'ল আমরা "রেসিডুয়ালস" ভেক্টর পাওয়ার উপায় হিসাবে ব্যবহার করি যেখানে । এই ম্যাট্রিক্সটি আরইএমএল অ্যালগরিদমের সময় গণনা করা হয়। এটি ps এপসিলন এবং দ্বারা এলোমেলো পদগুলির BLUPs এর সাথে সম্পর্কিত $\hat\epsilon$ $PY$ $P = V^{-1} - V^{-1} X \left(X' V^{-1} X\right)^{-1} X' V^{-1}$

\hat{ϵ} = σ^{2} P Y

$\hat\epsilon = \sigma^2 PY$

\hat{b} = ψ Z^{t} P Y .

$\hat b = \psi Z^t PY.$

এইভাবে । $\hat b = \psi / \sigma^2 Z^t \hat\epsilon$

— এলভিস
সূত্র

ধন্যবাদ এলভিস উপরের সমীকরণগুলিতে আপনি যে মানগুলি ব্যবহার করেছেন সেগুলি আবার সারিবদ্ধ করার জন্য আমি একদম লড়াই করছি, তবে মনে হচ্ছে বিড়ালের চামড়ার অনেক উপায় রয়েছে। রেসিডুয়ালগুলি আমি কিছুটা অবাক করে দিয়েছি কারণ আমি ভেবেছিলাম এটি বোঝানো হয়েছে (স্থির প্রভাব) যেখানে অবশিষ্টাংশগুলি এলোমেলো প্রভাব ব্যবহার করে গণনা করা হয়। (এর মধ্যে পার্থক্য দেখুন )।

y - x β

$y-x\beta$ plot(residuals(m), cake$angle-predict(m, re.form=NULL)) ; plot(residuals(m), cake$angle-predict(m, re.form=NA))

— ব্যবহারকারী 2957945

একটি উপায় নির্ধারণ প্রভাব ব্যবহার করে, ও ই তৃতীয় সংস্করণ [খ | y] এর উপরে:

z = getME(m, "Z")  ; big_sig = solve(((z * psi) %*% zt ) / sig + diag(270)) ;  psi/sig * zt %*% big_sig %*% (cake$angle-predict(m, re.form=NA))

। সঠিক আইটেম দেখানোর জন্য ধন্যবাদ।

— ব্যবহারকারী 2957945

একটি চূড়ান্ত প্রশ্ন যদি আমি করতে পারি তবে আমি কি আউটপুট থেকে সরাসরি অথবা পেতে পারি ?

Σ_{b y}

$\Sigma_{by}$

Σ_{y y}

$\Sigma_{yy}$

— ব্যবহারকারী 2957945

নয় থেকে সমান ?

Σ_{y b}

$\Sigma_{yb}$

ψ Z

$\psi Z$

— এলভিস

এলভিস, আমি এই নিয়ে আরও একবার ভাবলাম (আমি জানি আমি ধীর)। আমি মনে করি এটির মতো অবশিষ্টাংশগুলি ব্যবহার করা সত্যিই বোধগম্য নয় কারণ এটি গণনা করার জন্য আরআর স্তরে পূর্বাভাসিত মানগুলি (এবং তাই অবশিষ্টাংশগুলি) ব্যবহার করে, তাই আমরা এটি আপনার সমীকরণের উভয় পক্ষেই ব্যবহার করছি। (সুতরাং এটি ভবিষ্যদ্বাণীগুলির (E [b | y]) ব্যবহার করে অবশিষ্টাংশের পূর্বাভাসগুলি তৈরি করার জন্য যদিও এটি শর্তগুলি আমরা পূর্বাভাস দেওয়ার চেষ্টা করছি))

— ব্যবহারকারী 2957945