ম্যানুয়ালি এলোমেলো সংখ্যা তৈরি করা

Question

আমি কীভাবে ম্যানুয়ালি কোনও প্রদত্ত বিতরণ থেকে একটি এলোমেলো সংখ্যা তৈরি করতে পারি, উদাহরণস্বরূপ, স্ট্যান্ডার্ড সাধারণ বিতরণ থেকে 10 আদায়?

Comments

আপনি কেন এটি করতে চান এবং কী কী অন্যান্য বাধা আপনার উপরে রয়েছে তা আপনি ব্যাখ্যা করতে পারেন?

— mdewey

আপনি এলোমেলো সংখ্যার একটি টেবিল পেতে পারেন (অন্যদের মধ্যে প্রকাশের জন্য র্যান্ড ব্যবহৃত হয়)।

— ব্যাটম্যান

@ ব্যাটম্যান: হ্যাঁ এবং 10⁶ এলোমেলো সংখ্যার RAND বইটি অ্যামাজনে 655 টি মন্তব্য পেয়েছে। অবশ্যই সব অনুমানযোগ্য।

— শি'ন

(আমি অবাক হয়েছি যে এর আগে কেউ এ সম্পর্কে কোনও মন্তব্য করেনি) যদি তা একেবারে মূলত না হয় তবে এলোমেলো সংখ্যা তৈরির জন্য কাস্টম বাস্তবায়ন ব্যবহার করার চেষ্টা করা উচিত নয়। হ্যাঁ, এটি কীভাবে করবেন তা জেনে রাখা দুর্দান্ত এবং সম্ভবত এটিই প্রথম জিনিস যা আপনাকে একটি " এমসি পদ্ধতি " শ্রেণিতে দেখানো হবে (এবং এটি দুর্দান্ত!) তবে বাস্তব জীবনের কোনও প্রকল্পে এটি করবেন না । বিশেষ কারণে এলোমেলো সংখ্যা জেনারেশন রুটিনগুলি একটি কারণে বিদ্যমান, স্ক্র্যাচ থেকে একটি মূল অ্যালগরিদম প্রয়োগ করা সময় হ্রাস, বাগের উত্স এবং দুর্বল ক্ষেত্র সচেতনতার প্রচেষ্টা।

— usεr11852

@ শিয়ান: হ্যাঁ, আমি সম্মতি জানাই এটি একটি নিরাপদ অনুমান। যেমনটি উল্লিখিত হয়েছে এটি আরএনজি ডিজাইন অত্যন্ত গুরুতর ব্যবসা যে বুঝতে না পেরে লোকেরা তাদের নিজস্ব আরএনজি ব্যবহার থেকে সতর্ক করার জন্য কেবল একটি মন্তব্য comment ভন নিউমানকে উদ্ধৃত করার জন্য : "যে কেউ এলোমেলো অঙ্ক তৈরির পাটিগণিত পদ্ধতি বিবেচনা করে সে অবশ্যই পাপের অবস্থায় রয়েছে।"

— usεr11852

Answer 1

যদি "ম্যানুয়ালি" তে "মেকানিকাল" অন্তর্ভুক্ত থাকে তবে আপনার কাছে অনেক বিকল্প উপলব্ধ। সম্ভাব্যতা অর্ধের সাথে একটি বার্নোল্লি ভেরিয়েবল অনুকরণ করতে, আমরা একটি কয়েন টস করতে পারি: লেজগুলির জন্য, মাথার জন্য । জ্যামিতিক বিতরণ অনুকরণ করার জন্য আমরা মাথা পাওয়ার আগে কয়টি কয়েন টস প্রয়োজন তা গণনা করতে পারি। দ্বিপদী বিতরণ অনুকরণ করতে, আমরা আমাদের কয়েন বার (বা সহজভাবে কয়েন টস ) টস এবং মাথা গণনা করতে পারেন। "Quincunx" বা "শিম মেশিন" বা "Galton বাক্স" কেন না - আরো একটি গতিসম্পর্কিত বিকল্প নেই কর্মের মধ্যে এক সেট এবং নিজের জন্য দেখুন ? দেখে মনে হচ্ছে "ওজনযুক্ত মুদ্রা" বলে কোনও জিনিস নেই1 এন এন পি = 0.5 { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 } { 1 , 2 , 3 , 4 $0$$1$$n$$n$তবে আমরা যদি আমাদের বার্নোল্লি বা দ্বিপদী ভেরিয়েবলের সম্ভাব্যতা প্যারামিটারকে ব্যতীত অন্য মানগুলিতে আলাদা করতে চাই , জর্জেস-লুই ল্যাক্লার্কের সুই , কম্টে ডি বাফন আমাদের এটি করার অনুমতি দেবে। Uniform on disc এ আলাদা ইউনিফর্ম বিতরণ অনুকরণ করতে আমরা একটি ছয় পক্ষের ডাই রোল করি। রোল-প্লেয়িং গেমগুলির ভক্তরা আরও বহিরাগত ডাইসের মুখোমুখি হবেন , উদাহরণস্বরূপ, টেট্রহেড্রাল ডাইস 2 uniform থেকে অভিন্নভাবে নমুনা দেওয়ার জন্য , যখন একজন স্পিনার বা রুলেট হুইল সহ আরও কিছু যেতে পারে। ( চিত্র ক্রেডিট )$p = 0.5$$\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$$\{1,2,3,4\}$

একটি কম্পিউটার কনসোল থেকে যখন কেবল একটি কমান্ড দূরে রয়েছে - বা, আমাদের কাছে যদি এলোমেলো সংখ্যার উপযুক্ত টেবিল থাকে তবে বুক শেলফের অলস কোণগুলিতে একটি উত্সাহিত হতে পারে? ভাল, সম্ভবত একটি শারীরিক পরীক্ষা সম্পর্কে আনন্দদায়ক স্পর্শকাতর কিছু আছে। কিন্তু কম্পিউটার যুগে কাজ করার জন্য, প্রকৃতপক্ষে বৃহত আকারে র্যান্ডম সংখ্যার সারণীগুলির আগে (যার মধ্যে আরও পরে), র্যান্ডম ভেরিয়েবলগুলি ম্যানুয়ালি অনুকরণ করার ক্ষেত্রে আরও ব্যবহারিক গুরুত্ব ছিল। বুফান যখন সেন্ট পিটার্সবার্গের প্যারাডক্সটি তদন্ত করেছিলেন- বিখ্যাত মুদ্রা-টসিং গেম যেখানে খেলোয়াড় প্রতিবার মাথা ছুঁড়ে ফেলার সময় দ্বিগুণ হয়, প্লেয়ারটি প্রথম লেজগুলি হারায় এবং যার প্রত্যাশিত বেতনটি অফ-স্বতঃস্ফূর্তভাবে অসীম - তাকে জ্যামিতিক বিতরণকে দিয়ে অনুকরণ করার দরকার ছিল । এটি করার জন্য, দেখে মনে হয় সে সেন্ট পিটার্সবার্গে গেমের 2048 নাটক অনুকরণ করার জন্য একটি শিশুকে টোকা দেওয়ার জন্য ভাড়া করেছে, খেলা শেষ হওয়ার আগে কত টস রেকর্ড করেছিল। এই সিমুলেটেড জ্যামিতিক বিতরণ স্টিলার (1991) এ পুনরুত্পাদন করা হয় :$p=0.5$

Tosses Frequency
1      1061
2      494
3      232
4      137
5      56
6      29
7      25
8      8
9      6

সেন্ট পিটার্সবার্গের প্যারাডক্সে তিনি এই গবেষণামূলক গবেষণামূলক প্রবন্ধটি যেখানে প্রকাশ করেছিলেন, সেখানে বুফন বিখ্যাত " বাফনের সুচ " প্রবর্তন করেছিলেন । একটি প্লেনে দূরত্বে সমান্তরাল রেখা দ্বারা রেখাচিত্রমালা বিভক্ত করা হয় তাহলে পৃথক্, এবং দৈর্ঘ্য একটি সুচ এটা সম্মুখের নেমে সম্ভাব্যতা সুই লাইনের এক দিয়ে নির্মিত হয় ।l ≤ d 2 $d$$l \leq d$$\frac{2l}{\pi d}$

বাফনের সুচ, সুতরাং, এলোমেলো পরিবর্তনশীল বা অনুকরণ করতে ব্যবহার করা যেতে পারে , এবং আমরা আমাদের সূঁচগুলির দৈর্ঘ্য পরিবর্তন করে বা (সম্ভবত আরও স্বাচ্ছন্দ্যে) আমরা যে রেখাগুলিতে নিয়ন্ত্রন করি তার দ্বারা সাফল্যের সম্ভাব্যতা সামঞ্জস্য করতে পারি। বাফনের সূঁচের বিকল্প ব্যবহার জন্য সম্ভাব্য প্রায় সন্ধানের ভয়ঙ্করভাবে অদক্ষ উপায় । চিত্র ( ক্রেডিট ) 17 টি ম্যাচস্টিক দেখায়, যার মধ্যে 11 একটি লাইন অতিক্রম করে। শাসিত রেখার মধ্যবর্তী দূরত্বটি ম্যাচস্টিকের দৈর্ঘ্যের সমান হয়ে গেলে, এখানে যেমন ম্যাচস্টিকগুলি অতিক্রম করার অনুমিত অনুপাত এবং তাই আমরা অনুমান করতে পারিএক্স∼দ্বিপদী(এন,2$X \sim \text{Bernoulli}(\frac{2l}{\pi d})$π$X \sim \text{Binomial}(n,\frac{2l}{\pi d})$$\pi$$\frac{2}{\pi}$$\hat \pi$পর্যবেক্ষণ ভগ্নাংশের দ্বিগুণ হিসাবে: এখানে আমরা । ১৯০১ সালে মারিও লাজারিনি দাবি করেছিলেন যে ৩.৫ সেমি আলাদা করে রেখাগুলি সহ ২.৫ সেন্টিমিটার সূঁচ ব্যবহার করে পরীক্ষা করা হয়েছে এবং ৩৪০৮ টসস পরে । এটি পক্ষে সুপরিচিত একটি যুক্তিযুক্ত , ছয় দশমিক দশকের জন্য সঠিক। ব্যাজার (1994) দৃ conv়প্রত্যয়ী প্রমাণ দেয় যে এটি প্রতারণামূলক ছিল , লাজারিনিয়ের যন্ত্রপাতি ব্যবহার করে ছয় দশমিক যথাযথতার 95% আত্মবিশ্বাসী হওয়ার জন্য, ধৈর্যশীলতার জন্য 134 ট্রিলিয়ন সূঁচ নিক্ষেপ করতে হবে! নিশ্চয়ই বাফনের সুই ting অনুমান করার পদ্ধতি হিসাবে এটি এলোমেলো সংখ্যা জেনারেটর হিসাবে বেশি কার্যকর ।$\hat \pi = 2 \cdot \frac{17}{11} \approx 3.1$$\hat \pi = \frac{355}{113}$$\pi$$\pi$

---

আমাদের জেনারেটর এখনও অবধি হতাশাজনকভাবে বিযুক্ত হয়েছে। আমরা যদি একটি সাধারণ বন্টন অনুকরণ করতে চাই? একটি বিকল্প হল এলোমেলো অঙ্কগুলি অর্জন এবং সেগুলি অভিন্ন বিতরণে ভাল বিচ্ছিন্ন অনুমানগুলি তৈরি করতে ব্যবহার করুন , তারপরে এগুলিকে এলোমেলো স্বাভাবিক বিচ্যুতির মধ্যে রূপান্তর করতে কিছু গণনা সম্পাদন করুন। কোনও স্পিনার বা রুলেট হুইল দশমিক অঙ্ক শূন্য থেকে নয় পর্যন্ত দিতে পারে; একটি পাশা বাইনারি অঙ্ক উত্পন্ন করতে পারে; যদি আমাদের গাণিতিক দক্ষতা ফানকিয়ার বেসের সাথে মানিয়ে নিতে পারে তবে ডাইসের একটি মানক সেটও করতে পারে। অন্যান্য উত্তরগুলি আরও বিশদে এই ধরণের রূপান্তর-ভিত্তিক পদ্ধতির অন্তর্ভুক্ত করেছে; আমি শেষ পর্যন্ত এটি নিয়ে আর কোনও আলোচনা স্থগিত করি।$[0,1]$

Distributionনবিংশ শতাব্দীর শেষের দিকে সাধারণ বন্টনের উপযোগিতা সুপরিচিত ছিল এবং তাই সেখানে পরিসংখ্যানবিদরা এলোমেলো স্বাভাবিক বিচ্যুতির অনুকরণ করতে আগ্রহী ছিল। বলা বাহুল্য, প্রথম স্থানে সিমুলেটিং প্রক্রিয়াটি স্থাপন করা ছাড়া দীর্ঘ হাতের গণনাগুলি উপযুক্ত হত না। এটি একবার প্রতিষ্ঠিত হয়ে গেলে, এলোমেলো সংখ্যার প্রজন্ম তুলনামূলকভাবে দ্রুত এবং সহজ হতে হয়েছিল। স্টিলার (1991) এই যুগের তিনটি পরিসংখ্যানবিদ দ্বারা নিযুক্ত পদ্ধতিগুলি তালিকাভুক্ত করে। সকলেই স্মুথ টেকনিকগুলি নিয়ে গবেষণা করছিলেন: এলোমেলো স্বাভাবিক বিচ্যুত ব্যক্তিদের সুস্পষ্ট আগ্রহ ছিল, যেমন পরিমাপের ত্রুটির সিমুলেশন করা দরকার যা দ্রুত গতিতে হবে।

উল্লেখযোগ্য আমেরিকান পরিসংখ্যানবিদ এরস্তাস লিমেন ডি ফরেস্ট জীবনের টেবিলগুলি মসৃণ করতে আগ্রহী ছিলেন এবং এমন একটি সমস্যার মুখোমুখি হন যা সাধারণ বিচ্যুতির পরম মূল্যগুলির অনুকরণ প্রয়োজন required চলমান থিমটি কী প্রমাণ করবে, ডি ফরেস্ট অর্ধ-স্বাভাবিক বিতরণ থেকে সত্যই নমুনা নিচ্ছিল । তদুপরি, একটির স্ট্যান্ডার্ড বিচ্যুতি ব্যবহার না করে ( আমরা "স্ট্যান্ডার্ড" কল করতে অভ্যস্ত), ডি ফরেস্ট একটির একটি "সম্ভাব্য ত্রুটি" (মধ্যম বিচ্যুতি) চেয়েছিলেন। এটি উইলিয়াম চৌভেনেটের "এ ম্যানুয়াল অফ গোল্লিকাল অ্যান্ড প্র্যাকটিকাল অ্যাস্ট্রোনমি, দ্বিতীয় খণ্ড" এর পরিশিষ্টগুলিতে "প্রব্যাবিলিটি অব এরিজ" সারণীতে দেওয়া ফর্মটি ছিল$Z \sim N(0, 1^2)$। এই টেবিল থেকে ডি ফরেস্ট, থেকে পর্যন্ত অর্ধ-স্বাভাবিক বিতরণের , যা তিনি "সমান ফ্রিকোয়েন্সি এর ত্রুটি" বলে মনে করেছিলেন।$p=0.005$$p=0.995$

ডি ফরেস্টের অনুসরণ করে আপনি যদি সাধারণ বিতরণ অনুকরণ করতে চান তবে আপনি এই টেবিলটি মুদ্রণ করে এটি কেটে ফেলতে পারেন। ডি ফরেস্ট (১৮76।) লিখেছেন যে ত্রুটিগুলি "সমান আকারের কার্ড-বোর্ডের 100 বিটগুলিতে লেখা হয়েছে, যা একটি বাক্সে ঝাঁকিয়ে পড়েছিল এবং সবগুলি একে একে একে বের করা হয়েছিল"।

জ্যোতির্বিজ্ঞানী এবং আবহাওয়াবিদ স্যার জর্জ হাওয়ার্ড ডারউইন (প্রকৃতিবিদ চার্লসের পুত্র) এলোমেলো স্বাভাবিক বিচ্যুতি তৈরির জন্য "রাউলেট" বলে অভিহিত করে তিনি বিষয়গুলিতে আলাদা স্পিন রেখেছিলেন। ডারউইন (1877) কীভাবে বর্ণনা করে:

কার্ডের একটি বিজ্ঞপ্তি টুকরোটি রেডিয়ালভাবে স্নাতক করা হয়েছিল, যাতে একটি স্নাতক চিহ্নিত ছিল ডিগ্রি একটি নির্দিষ্ট ব্যাসার্ধ থেকে দূরে। কার্ডটি একটি নির্দিষ্ট সূচকের কাছাকাছি অবস্থিত তার কেন্দ্রের চারদিকে ঘুরতে তৈরি করা হয়েছিল। এরপরে এটি বেশ কয়েকবার কাটানো হয়েছিল এবং এটি থামানোর পরে সূচকের বিপরীতে সংখ্যাটি পাঠ করা হয়েছিল। [ডারউইন একটি পাদটীকাতে যোগ করেছেন: ডিস্কটি এত তাড়াতাড়ি স্পিন করার সময় বন্ধ করা ভাল যে স্নাতক অদৃশ্য হয়, বরং এটি চালানোর অনুমতি দেয় না।] স্নাতকের প্রকৃতি থেকে এইভাবে প্রাপ্ত সংখ্যাগুলি ঠিক ঘটবে বাস্তবে পর্যবেক্ষণের ত্রুটিগুলি যেমন ঘটে থাকে; তবে এগুলির সংজ্ঞা বা বিয়োগের উপসর্গের কোনও চিহ্ন নেই। তারপরে বার বার একটি মুদ্রা ফেলে এবং মাথা এবং লেজ কল করে$x$$\frac{720}{\sqrt \pi} \int_0^x e^{-x^2} dx$$+$$-$ , লক্ষণগুলি বা ত্রুটিগুলির এই সিরিজটিতে সুযোগ দ্বারা নির্ধারিত হয়।$+$$-$

"সূচক" এখানে "পয়েন্টার" বা "সূচক" (সিএফ "সূচক আঙুল") হিসাবে পড়তে হবে। স্টিলার বলেছেন যে ডি ফরেস্টের মতো ডারউইনও ডিস্কের চারপাশে অর্ধ-সাধারণ ক্রমবর্ধমান বিতরণ ব্যবহার করছিলেন। পরবর্তী সময়ে এলোমেলোভাবে একটি সাইন সংযুক্ত করতে একটি মুদ্রা ব্যবহার করে এটি একটি সম্পূর্ণ সাধারণ বিতরণকে রেন্ডার করে। স্টিলার নোট করেছেন যে স্কেলটি কতটা সূক্ষ্মভাবে স্নাতক হয়েছিল তা অস্পষ্ট নয়, তবে অনুমান করেছেন যে ডিস্কের মিড-স্পিনকে ম্যানুয়ালি গ্রেপ্তার করার নির্দেশটি ছিল "ডিস্কের একটি অংশের দিকে সম্ভাব্য পক্ষপাত হ্রাস করা এবং প্রক্রিয়াটি দ্রুত করা"।

চার্লস ডারউইনের ঘটনাক্রমে দেড় চাচাতো ভাই স্যার ফ্রান্সিস গ্যাল্টনের ইতিমধ্যে তাঁর কুইঙ্কুনসের সাথে জড়িত থাকার কথা উল্লেখ করা হয়েছে। যদিও এই যান্ত্রিকভাবে দ্বি দ্বি বিতরণকে সিমুলেট করে যা ডি মাইভ্রে – লাপলেস উপপাদ্য দ্বারাসাধারণ বন্টনের সাথে আকর্ষণীয় সাদৃশ্য রাখে (এবং মাঝে মাঝে topic বিষয়টির জন্য শিক্ষাদান হিসাবে ব্যবহৃত হয়), গ্যালটন যখন ইচ্ছা তখনই আরও অনেক বিস্তৃত পরিকল্পনা তৈরি করেছিলেন একটি সাধারণ বিতরণ থেকে নমুনা। এই উত্তরের শীর্ষে অপ্রচলিত উদাহরণগুলির চেয়েও অসাধারণ, গ্যাল্টন সাধারণত বিতরণ করা ডাইস বিকাশ করেছিলেন- বা আরও নির্ভুলভাবে, ডাইসের একটি সেট যা মধ্যযুগীয় বিচ্যুতিগুলির সাথে একটি সাধারণ বিতরণে একটি দুর্দান্ত আলাদা আলাদা সন্নিকট উত্পাদন করে। এই ডাইস, 1890 থেকে ডেট, বিশ্ববিদ্যালয় কলেজ লন্ডনের গ্যাল্টন সংগ্রহে সংরক্ষিত আছে।

নেচার গ্যাল্টনের একটি 1890 নিবন্ধে লিখেছেন যে:

এলোমেলোভাবে নির্বাচনের জন্য একটি সরঞ্জাম হিসাবে, আমি পাইসের চেয়ে সেরা কিছুই পাইনি। প্রতিটি ক্রমাগত ড্রয়ের মধ্যে কার্ডগুলি পুরোপুরি বদলানো সবচেয়ে ক্লান্তিকর এবং একটি ব্যাগে চিহ্নিত বলগুলি মিশ্রণ এবং নাড়াচাড়া করার পদ্ধতিটি এখনও আরও ক্লান্তিকর। একটি টিটোটাম বা রোলিটের কিছু ফর্ম এগুলির চেয়ে ভাল তবে ডাইস সবার চেয়ে ভাল। যখন তাদের ঝাঁকুনি দেওয়া হয় এবং ঝুড়িতে ফেলে দেওয়া হয়, তারা একে অপরের বিরুদ্ধে এবং ঝুড়ির কাজগুলির পাঁজরের বিরুদ্ধে এতগুলি মারাত্মকভাবে আঘাত করে যে তারা খুব ভয়ঙ্করভাবে কাঁপছে এবং শুরুতে তাদের অবস্থানগুলি এমনকি তাদের পরে কী হবে তা অনুধাবন করার মতো কোনও ক্লু নেই afford একক ভাল শেক এবং টস মৃত্যুর সম্ভাবনা যা সাধারণভাবে ধরা হয় তার চেয়ে অনেক বেশি; 24 টি সমান সম্ভাবনা রয়েছে, এবং কেবল 6 নয়, কারণ প্রতিটি মুখের চারটি প্রান্ত রয়েছে যা ব্যবহার করা যেতে পারে, যেমনটি আমি দেখাব।

গালটনের পক্ষে স্বাভাবিক বিচ্যুতির একটি ক্রম দ্রুত তৈরি করতে সক্ষম হওয়া গুরুত্বপূর্ণ ছিল । প্রতিটি রোল গ্যাল্টন একা স্পর্শ করে পাশা লাইন হবে, তারপরে তাদের সামনের প্রান্ত বরাবর স্কোর রেকর্ড। তিনি প্রথমে বেশ কয়েকটি ধরণের আই টাইপ রোল করতেন, যার প্রান্তগুলি অর্ধ-স্বাভাবিক বিচ্যুত ছিল, অনেকটা ডি ফরেস্টের কার্ডের মতো তবে 24 নয় 100 কোয়ান্টাইল ব্যবহার করেছিল। বৃহত্তম বিচ্যুতির জন্য (প্রথম ধরণের টাইপের ফাঁকা হিসাবে চিহ্নিত) তিনি তার ক্রমটি শূন্যস্থান পূরণ করার জন্য প্রয়োজনীয় সংবেদনশীল প্রকারের দ্বিতীয় ডাইস হিসাবে রোল করবেন (যা কেবল বৃহত্তর স্নাতকোত্তর দেখানো হয়েছিল) । অর্ধ-স্বাভাবিক থেকে সাধারণ বিচ্যুতে রূপান্তরিত করতে, তিনি ডাই III রোল করবেন, যা বা$+$$-$একবারে তিন বা চারটি বিচ্যুত হওয়ার ব্লকে তার ক্রমের লক্ষণ। পাশা নিজেরাই মেহগনি ছিল, পাশের ইঞ্চি, এবং চিহ্নিত করার জন্য চিহ্নিত করার জন্য পাতলা সাদা কাগজ দিয়ে আটকানো হয়েছিল। গাল্টন প্রথম ধরণের তিনটি পাশা, II এর দুটি এবং III এর একটি প্রস্তুত করার জন্য সুপারিশ করেছিলেন।$1 \frac 1 4$

রায়েশ সাইনুডিনের গাণিতিক পরিসংখ্যান পরীক্ষার জন্য পরীক্ষাগারটিতে ক্যানটারবেরি বিশ্ববিদ্যালয়, এনজেডের একটি শিক্ষার্থী প্রকল্প অন্তর্ভুক্ত রয়েছে, যা গ্যাল্টনের ডাইস পুনরুত্পাদন করে । এই প্রকল্পের মধ্যে বহুবার ডাইস গড়িয়ে পড়া থেকে গবেষণামূলক তদন্ত অন্তর্ভুক্ত রয়েছে (এমন একটি এমিরিকাল সিডিএফ যা আশ্বাসজনকভাবে "সাধারণ" দেখায়) এবং পাশা স্কোরগুলির অভিযোজন যাতে তারা মানক সাধারণ বিতরণকে অনুসরণ করে। গালটনের আসল স্কোরগুলি ব্যবহার করে, পাশা স্কোরগুলি আসলে অনুসরণ করে এমন বিযুক্ত সাধারণ বিতরণের একটি গ্রাফও রয়েছে।

---

বিশাল আকারে, আপনি যদি বৈদ্যুতিন দিকে "মেকানিকাল" প্রসারিত করতে প্রস্তুত হন, তবে লক্ষ করুন যে র্যান্ডের মহাকাব্য 100 মিলিয়ন নরমাল ডিভিয়েটসের সাথে মিলিয়ন র‌্যান্ডম অঙ্কগুলি একটি রুলেট হুইলের এক ধরণের বৈদ্যুতিন সিমুলেশন ভিত্তিক ছিল। থেকে প্রযুক্তিগত প্রতিবেদন (জর্জ ডব্লিউ ব্রাউন, মূলত জুন 1949 দ্বারা) আমরা খুঁজে পেয়েছেন:

এইভাবে অনুপ্রাণিত হয়ে, র‌্যান্ড লোকেরা ডগলাস এয়ারক্রাফ্ট কোম্পানির ইঞ্জিনিয়ারিং কর্মীদের সহায়তায় সিসিল হেস্টিংসের প্রস্তাবিত বৈকল্পিকতার ভিত্তিতে একটি বৈদ্যুতিন রুলেট হুইল ডিজাইন করেছিল। এই আলাপের উদ্দেশ্যে একটি সংক্ষিপ্ত বিবরণ যথেষ্ট হবে। একটি এলোমেলো ফ্রিকোয়েন্সি পালসের উত্সটি একটি ধ্রুবক ফ্রিকোয়েন্সি ডাল দ্বারা সজ্জিত হয়েছিল, প্রায় এক সেকেন্ডে, এক সেকেন্ডে গড়ে প্রায় 100,000 ডাল সরবরাহ করে। পালস মানীকরণের সার্কিটগুলি ডালগুলিকে পাঁচটি স্থানে বাইনারি কাউন্টারে স্থানান্তরিত করে, যাতে নীতিগতভাবে মেশিনটি 32 টি পজিশনের সাথে রুলেট হুইলের মতো হয়, প্রতিটি ঘুরে গড়ে প্রায় 3000 বিপ্লব তৈরি করে। একটি বাইনারি থেকে দশমিক রূপান্তর ব্যবহৃত হয়েছিল, 32 টির মধ্যে 12 টি অবস্থান ছুঁড়ে ফেলেছে এবং ফলস্বরূপ এলোমেলো অঙ্কটি একটি আইবিএম পাঞ্চে খাওয়ানো হয়েছিল, এলোমেলো অঙ্কের পাঞ্চ কার্ড টেবিল দেয়।

তবে, আপনিও ইলেক্ট্রো রুলেট হুইল একত্রিত করার জন্য প্রলুব্ধ হওয়ার আগে, বাকি প্রতিবেদনটি পড়া ভাল ধারণা হবে! এটি পরিবর্তিত হয়েছিল যে এই প্রকল্পটি "কাউন্টার পজিশনের মধ্যে প্রাকৃতিক পছন্দগুলি কাটিয়ে উঠার জন্য আদর্শ নাড়ির মানককরণের ধারণার উপর প্রচুর ঝোঁক ফেলেছিল; পরবর্তী অভিজ্ঞতা থেকে প্রমাণিত হয়েছিল যে এই অনুমানটি একটি দুর্বল বিন্দু ছিল এবং পরবর্তীকালে মেশিনের সাথে কোন্দল করার ফলে উদ্বেগগুলি উদ্বেগের সাথে উদ্বিগ্ন ছিল এই কেন্দ্রে". বিশদ পরিসংখ্যান বিশ্লেষণ আউটপুট নিয়ে কিছু সমস্যা প্রকাশ করেছে: উদাহরণস্বরূপ$\chi^2$বিজোড় এবং এমনকি অঙ্কের ফ্রিকোয়েন্সিগুলির পরীক্ষাগুলিতে প্রকাশিত হয়েছিল যে কিছু ব্যাচে কিছুটা ভারসাম্যহীনতা ছিল। এটি অন্য ব্যাচের তুলনায় কিছু ব্যাচে খারাপ ছিল, যা পরামর্শ দিয়েছিল যে "মাসটি শেষ হওয়ার পরে থেকেই মেশিনটি চালু ছিল ... ইঙ্গিতগুলি এই মেশিনটিতে টিপ-শীর্ষের আকারে রাখার জন্য অতিরিক্ত রক্ষণাবেক্ষণের প্রয়োজন ছিল"। তবে এই সমস্যাগুলি সমাধান করার একটি পরিসংখ্যানিক উপায় পাওয়া গেছে:

এই মুহুর্তে, আমাদের পরিসংখ্যানগত বিশ্লেষণ দ্বারা প্রকাশিত ক্ষুদ্র তবে বোধগম্য বিজোড়-এমনকি পক্ষপাত সহ 50 টি সংখ্যার সাথে আমাদের আসল মিলিয়ন সংখ্যা, 20,000 আইবিএম কার্ড ছিল। বিজোড়-পক্ষপাতদুষ্টতা দূর করার জন্য, এখন টেবিলটিকে পুনরায় বানানো বা কমপক্ষে এটির সাথে সামান্য রুলেট খেলার সিদ্ধান্ত নেওয়া হয়েছিল। আমরা প্রতিটি কার্ডের অঙ্কগুলি (মডড 10) পূর্ববর্তী কার্ডের সংশ্লিষ্ট অঙ্কগুলিতে অঙ্ক করে অঙ্ক করেছিলাম। এক মিলিয়ন অঙ্কের উত্সযুক্ত টেবিলটি তখন বিভিন্ন স্ট্যান্ডার্ড টেস্ট, ফ্রিকোয়েন্সি পরীক্ষা, সিরিয়াল পরীক্ষা, জুজু পরীক্ষা ইত্যাদির শিকার হয়েছিল These

অবশ্যই যুক্তিসঙ্গতটি কিছুটা ভাল করবে তা বিশ্বাস করার ভাল কারণ ছিল। একটি সাধারণ উপায়ে, অন্তর্নিহিত প্রক্রিয়াটি হ'ল এলোমেলো বিতরণে ইউনিট ব্যবধানটি এলোমেলো ভেরিয়েবলের অঙ্কের সীমাবদ্ধ পদ্ধতির, একইভাবে র্যান্ডম ভেরিয়েবলগুলির অনিয়ন্ত্রিত পরিমাণগুলি স্বাভাবিকতার দিকে যায়। এই পদ্ধতিটি ইন্টারস্টেট কমার্স কমিশনের হর্টন এবং স্মিথ ব্যবহার করেছেন, খারাপভাবে অ-র্যান্ডম সংখ্যার বৃহত্তর ব্যাচগুলি থেকে আপাতদৃষ্টিতে এলোমেলো সংখ্যার কিছু ভাল ব্যাচ প্রাপ্ত করার জন্য।

$[0,1]$$u$$[0,1]$$F$$F^{-1}(u)$

তথ্যসূত্র

• ব্যাজার, এল। (1994)। " লাজারিনি এর ভাগ্যবান Appro " গণিত পত্রিকা । গাণিতিক সমিতি আমেরিকা। 67 (2): 83–91।

• $(*)$

• ডারউইন, জিএইচ (1877)। " পরিবর্তনশীল পরিমাণের হ্রাসযোগ্য পদক্ষেপে এবং আবহাওয়া সম্পর্কিত পর্যবেক্ষণের চিকিত্সার বিষয়ে। " দার্শনিক ম্যাগাজিন , 4 (22), 1-14

• ডি ফরেস্ট, EL (1876)। বিরক্তি এবং সিরিজের সামঞ্জস্য । টটল, মোরহাউস এবং টেলর, নিউ হ্যাভেন, কন।

• গ্যালটন, এফ (1890)। "পরিসংখ্যান পরীক্ষার জন্য ডাইস"। প্রকৃতি , 42 , 13-14

• স্টিলার, এসএম (1991)। "উনিশ শতকে স্টোকাস্টিক সিমুলেশন"। পরিসংখ্যান বিজ্ঞান , 6 (1), 89-97।

---

$(*)$"যে কেউ এলোমেলো অঙ্কগুলি উত্পাদন করার জন্য পাটিগণিত পদ্ধতি বিবেচনা করে তা অবশ্যই পাপ অবস্থায় রয়েছে For কারণ বেশ কয়েকবার বলা হয়েছে যে এলোমেলো সংখ্যার মতো কোনও জিনিস নেই - এলোমেলো সংখ্যা তৈরির একমাত্র পদ্ধতি রয়েছে , এবং অবশ্যই একটি কঠোর পাটিগণিত পদ্ধতি এই জাতীয় পদ্ধতি নয় ""

Comments

আপনি নিশ্চয়ই মজা করছেন ... (তবে, হ্যাঁ, এটি সত্যই ম্যানুয়ালি +1)

— নলজোক

এতে আর কত কাজ!

— রিচার্ড হার্ডি

লক্ষ্য করুন যে নন-স্ট্যান্ডার্ড পাশা অন্যায় হতে পারে, তাই প্রথমে তাদের পরীক্ষা করা ভাল, উদাহরণস্বরূপ youtube.com/watch?v=VI3N4Qg-JZM

— টিম

@ রিচার্ড হার্দি বিদ্বেষমূলকভাবে বলতে গেলে, আমার সামনে থাকা এই সমস্ত জিনিসপত্র লেখার পক্ষে আমার পক্ষে পক্ষে সহজ এবং কমপক্ষে অস্থায়ীভাবে আমার স্মৃতিতে জমা করে রাখা, আমার মাথায় এগুলি পুরোপুরি বহন করার চেষ্টা করার চেয়ে!

— সিলভারফিশ

যাই হোক না কেন, আমি এটি চিত্তাকর্ষক!

— রিচার্ড হার্ডি

Answer 2

$$X=\sqrt{-2\log U_1}\,\cos(2\pi U_2)$$ $Y=\sqrt{-2\log U_1}\,\sin(2\pi U_2)$$X$

উদাহরণস্বরূপ, আমার লিনাক্স ওএসে, আমি চেক করতে পারি

$ date +%s.%N
1479733744.077762986
$ date +%s.%N
1479733980.615056616

$$U_1=.077762986,\ U_2=.615056616$$ $X$

> sqrt(-2*log(.077762986))*cos(2*pi*.615056616)
[1] -1.694815

সংযোজন: যেহেতু লগারিদম এবং কোসাইনগুলিকে গণ্য করা যথেষ্ট ম্যানুয়াল হিসাবে বিবেচনা করা যায় না , তাই বক্স-মলারের একটি রূপ রয়েছে যা এই ট্রান্সসেন্টালাল ফাংশনগুলি ব্যবহার করা এড়িয়ে চলে (আমাদের গ্রন্থ মন্টে কার্লো স্ট্যাটিস্টিকাল পদ্ধতিতে অনুশীলন ২.৯ দেখুন ):

এক্সপেনশিয়াল পার্থক্যের কারণে এখন কেউ এই সংস্করণটির বিরুদ্ধে তর্ক করতে পারে। তবে লন দেব্রয়ের অ-ইউনিফর্ম র‌্যান্ডম ভেরিয়েটস থেকে পুনরুত্পাদন করা এই অ্যালগরিদমে সংক্ষিপ্তসার হিসাবে ভন নিউম্যানের কারণে, স্বতন্ত্র ক্রিয়াকলাপের জন্য আহ্বান ছাড়াই ates রূপগুলি অনুকরণের খুব চতুর উপায়ও রয়েছে :

স্বীকৃত, এটির জন্য 1 / e এর গণনা প্রয়োজন তবে কেবল একবার।

$(0,1)^2$$(0,1)$$(0,2\pi)$

আনুমানিক স্বাভাবিকতার জন্য সিএলটি ব্যবহার করা অবশ্যই কোনও পদ্ধতি নয় যা আমি কখনই পরামর্শ দেব (1) আপনার এখনও গড় খাওয়ানোর জন্য অন্যান্য ধরণের প্রয়োজন, তাই বক্স-মেলার অ্যালগরিদমে ইউনিফর্মও ব্যবহার করতে পারে এবং (২) নির্ভুলতা বেশ বেড়ে যায় সিমুলেশন সংখ্যা সহ ধীরে ধীরে। বিশেষত যদি ছাইয়েরও বেশি মুখের সাথে ডাইসের ফলাফলের মতো একটি বিচ্ছিন্ন র্যান্ডম ভেরিয়েবল ব্যবহার করে । টমাস এট থেকে উদ্ধৃতি । (২০০)), গাউসিয়ান এলোমেলো জেনারেটরগুলির পক্ষে ও বিপরীতে একটি সমীক্ষা:

কেন্দ্রীয় সীমাবদ্ধ তাত্ত্বিক অবশ্যই একটি "আনুমানিক" পদ্ধতির উদাহরণ is এমনকি নিখুঁত গাণিতিক ব্যবহার করা হলেও সীমাবদ্ধ কে জন্য আউটপুট গাউসিয়ান হবে না।

সমস্যাটি চিত্রিত করার জন্য এখানে একটি দ্রুত পরীক্ষা করা হয়েছে: আমি 30 টি ডাই ফলাফলের গড় 100 গুণ উত্পাদন করেছি:

dies=apply(matrix(sample(1:6,30*100,rep=TRUE),ncol=30),1,mean)

তারপরে সেই গড়গুলিকে গড় শূন্য - বৈকল্পিক একের পরিবর্তনে গড়ায়

stdies=(dies-3.5)/sqrt(35/12/30)

এবং এই নমুনার স্বাভাবিক ফিট [বা এর অভাব] এর দিকে নজর দিয়েছেন:

dies76/30122/30$D_i$

$$U=\sum_{i=1}^k \dfrac{D_i-1}{6^i}$$ $k=15$

dies=matrix(apply(matrix(sample(0:5,15*200,rep=TRUE),nrow=15)/6^(1:15),2,sum),ncol=2) 
norma=sqrt(-2*log(dies[,1]))*c(cos(2*pi*dies[,2]),sin(2*pi*dies[,2]))

ফিট 200 মাপের সাধারণ নমুনার জন্য যেমন আশা করা যায় ঠিক ততটাই উপযুক্ত (সত্যিকারের সাধারণ নমুনার জন্য কেবল অন্য একটি প্লট করুন norma=rnorm(100)):

কোলমোগোরভ-স্মারনভ পরীক্ষায় আরও দেখানো হয়েছে:

> ks.test(norma,pnorm)

        One-sample Kolmogorov-Smirnov test

data:  norma
D = 0.06439, p-value = 0.3783
alternative hypothesis: two-sided

Answer 3

এটি একেবারে এলোমেলো নয়, তবে এটি যথেষ্ট কাছাকাছি হওয়া উচিত, কারণ আপনার মনে হয় মোটামুটি পরীক্ষা নিতে চান।

একটি ক্রোনোমিটার সেটআপ করতে আপনার ফোনটি ব্যবহার করুন। একটি ভাল 10 সেকেন্ড পরে, এটি বন্ধ করুন (আপনি যত বেশি অপেক্ষা করবেন, তত বেশি আপনি সত্যিকারের "এলোমেলো" ফলাফলের দিকে এগিয়ে যাবেন, তবে 10 সেকেন্ড ঠিক আছে)। শেষ সংখ্যাগুলি ধরুন (উদাহরণস্বরূপ, 10.67 সেকেন্ড আপনাকে 67 দিবে)। সাধারণ বিতরণের জন্য শতকরা টেবিল প্রয়োগ করুন। এই উদাহরণে, আপনাকে কেবল 0.67 অনুসন্ধান করতে হবে এবং আপনি সংখ্যাটি খুঁজে পাবেন। এই ক্ষেত্রে, আপনার মান প্রায় 0.45। এটি পুরোপুরি সুনির্দিষ্ট নয়, তবে এটি আপনাকে একটি শক্ত অনুমান দেবে।

আপনি যদি 50 এর নিচে রোল করেন তবে কেবল 100- [আপনার ফলাফল] করুন এবং টেবিলটি ব্যবহার করুন। আপনার ফলাফলটি এক বিয়োগ চিহ্ন সহ একই হবে, এন এর প্রতিসাম্যের কারণে (0,1)।

Answer 4

$n$$+1$$-1$$n$$\sqrt n$$n$$N (0,1)$

---

কেন? দিন

$$X_k := \begin{cases} +1 & \text{ if } k \text{-th coin flip is heads}\\ -1 & \text{ if } k \text{-th coin flip is tails}\end{cases}$$

$\mathbb P (X_k = \pm 1) = \frac 12$

$$\mathbb E (X_k) = 0 \qquad\qquad \mbox{Var} (X_k) = 1$$

$Y := X_1 + X_2 + \cdots + X_n$

$$\mathbb E (Y) = 0 \qquad\qquad \mbox{Var} (Y) = n$$

স্বাভাবিক,

$$Z := \frac{Y}{\sqrt n}$$

আমরা ইউনিট বৈকল্পিকের সাথে একটি এলোমেলো ভেরিয়েবল পাই

$$\mathbb E (Z) = 0 \qquad\qquad \mbox{Var} (Z) = 1$$

Comments

আমার উত্তরে যেমন আলোচনা করা হয়েছে, আমি আশঙ্কা করছি যে সিএলটি মুদ্রার এলোমেলোতার কার্যকর ব্যবহার নয়: সাধারণ বা দ্বিগুণ নির্ভুলতার সাথে সিউডো-এলোমেলো ইউ (0,1) ভেরিয়েন্টের বাইনারি ডিজিট হিসাবে তাদের আরও ভাল ব্যবহার করা হবে।

— শি'য়ান

@ শিয়ান আমি আমার উত্তর পোস্ট করার আগে আপনার উত্তরটি পড়েছিলাম এবং সিএলটি-তে আপনার আপত্তিটি ধীর অভিবাসনের উপর ভিত্তি করে বলে মনে হয়েছে। যেহেতু এটি একটি চিন্তার পরীক্ষা, তাই 10 বিলিয়ন বার একটি মুদ্রা উল্টানো কোনও দামই লাগে না। এবং এটি সত্যই একটি ম্যানুয়াল প্রক্রিয়া যার জন্য কম্পিউটারের প্রয়োজন নেই, লগারিদম, বর্গক্ষেত্রের শিকড় বা কোসাইনগুলির গণনা প্রয়োজন। অবশ্যই, কেউ স্লাইড নিয়ম ব্যবহার করতে পারে তবে এটি খুব বেশিদূর যেতে পারে।

— রডরিগো ডি আজেভেদো

:}}: 10 বিলিয়ন মুদ্রা উল্টানো আমার পক্ষে খুব ম্যানুয়াল শোনায় না ...!

— শি'য়ান

ম্যানুয়াল = হাতে হাতে। লোগারিদম এবং কোসাইন হাতে হাতে গণনা করতেও সময় লাগে।

— রডরিগো ডি আজেভেদো

Answer 5

এটি লক্ষণীয় যে আপনি একবার ইউনিফর্ম তৈরি করতে পারলে (0,1), আপনি এমন কোনও র্যান্ডম ভেরিয়েবল তৈরি করতে পারেন যার জন্য বিপরীত সিডিএফ কেবল বিপরীত সিডিএফটিতে ইউনিফর্ম র্যান্ডম ভেরিয়েবলটি প্লাগ করে গণনযোগ্য able

তাহলে কীভাবে একজন স্বয়ংক্রিয়ভাবে একটি ইউনিফর্ম (0,1) গণনা করতে পারে? ঠিক আছে, @ সিলভারফিশের হিসাবে যেমন উল্লেখ করা হয়েছে, প্রচলিত আরপিজি প্লেয়াররা বিভিন্ন ধরণের ডাইস ব্যবহার করেন। যার মধ্যে একটি দশতরফা মারা যায়। ধরে নিলাম এটি একটি উপযুক্ত মর, আমরা এখন একটি পৃথক ইউনিফর্ম তৈরি করতে পারি (0, 9)।

আমরা এলোমেলো ভেরিয়েবলের একক অঙ্ক উপস্থাপন করতে এই ইউনিফর্মটি (0,9) ব্যবহার করতে পারি। সুতরাং আমরা যদি দুটি পাশা ব্যবহার করি তবে আমরা একটি অভিন্ন র্যান্ডম ভেরিয়েবল পাই যা মানগুলি নিতে পারে$0.01, 0.02, ..., 0.99, 1.00$। তিনটি পাশা সহ, আমরা একসাথে বিতরণ পেতে পারি$0.001, 0.002, ..., 0.999, 1.000$।

সুতরাং আমরা কয়েকটি 10 ​​পার্শ্বযুক্ত পাশা দিয়ে একটি সূক্ষ্মভাবে গ্রিডড বিচ্ছিন্ন ইউনিফর্ম বিতরণ দিয়ে এটি প্রায় কাছাকাছি করে একটি অবিচ্ছিন্ন ইউনিফর্মের (0,1) খুব কাছাকাছি যেতে পারি। এর পরে এলোমেলো সিডিএফ-এ প্লাগ ইন করা যায় আগ্রহের এলোমেলো পরিবর্তনশীল produce