কেউ কি বিনা বিড়ম্বনার বিতরণের উদাহরণ উপস্থাপন করতে পারে যার শূন্যের ঘনত্ব আছে তবে যা প্রতিসম নয়?

Question

২০১০ সালের মে মাসে উইকিপিডিয়া ব্যবহারকারী ম্যাকোরাজাও স্কিউনেস নিবন্ধে একটি বাক্য যুক্ত করেছিলেন যে "একটি শূন্য মান ইঙ্গিত দেয় যে মানগুলি উভয় দিকে তুলনামূলকভাবে সমানভাবে বিতরণ করা হয়, সাধারণত তবে প্রয়োজনীয়ভাবে প্রতিসাম্যিক বিতরণকে বোঝায় না।" তবে উইকি পৃষ্ঠায় বিতরণের কোনও প্রকৃত উদাহরণ নেই যা এই নিয়মটি ভঙ্গ করে। গুগলিং "উদাহরণ শূন্য স্কিউনেস সহ অসামান্য বিতরণ" এছাড়াও কমপক্ষে প্রথম 20 টি ফলাফলের কোনও বাস্তব উদাহরণ দেয় না।

Definition অপেরাটর্নাম , এবং আর দ্বারা স্কিউ গণনা করা হয় এমন সংজ্ঞাটি ব্যবহার করে সূত্র$\operatorname{E}\Big[\big(\tfrac{X-\mu}{\sigma}\big)^{\!3}\, \Big]$

sum((x-mean(x))^3)/(length(x) * sd(x)^3)

ঘাটতি কম করার জন্য আমি একটি ছোট, নির্বিচারে বিতরণ তৈরি করতে পারি। উদাহরণস্বরূপ, বিতরণ

x = c(1, 3.122, 5, 4, 1.1) 

একটি স্কিউ উৎপাদ । তবে এটি একটি ছোট নমুনা এবং তদতিরিক্ত প্রতিসাম্য থেকে বিচ্যুতি বড় নয়। সুতরাং, এমন এক শিখর দিয়ে একটি বৃহত্তর বিতরণ তৈরি করা সম্ভব যা অত্যন্ত অসামান্য তবে এখনও প্রায় শূন্যের সঙ্কোচ রয়েছে?$-5.64947\cdot10^{-5}$

Comments

আপনি কি বিতরণটি সর্বমোট হতে চান না? শিরোনামটি তাই বলেছে, তবে পাঠ্যটিতে সবেমাত্র এই বিষয়টির উল্লেখ রয়েছে।

— দিলিপ সরোতে

@ দিলিপ হ্যাঁ, বিতরণটি অবিচ্ছিন্ন ছিল, কেননা কেন্দ্রীয় মুহুর্ত হিসাবে স্কিউনেস সত্যই অন্যথায় তা বোঝায় না I'd

— অ্যান্ডি ম্যাকেনজি

Answer 1

পৃথক বিতরণ বিবেচনা করুন। যে সমর্থিত ওয়ান মান এক্স 1 , x 2 , ... , x এর ট অ নেতিবাচক সম্ভাব্যতা দ্বারা নির্ধারিত হয় পি 1 , পি 2 , ... , পৃঃ ট শর্ত সাপেক্ষে যে (ক) তারা 1 এবং যোগ করে (খ) skewness সহগ 0 সমান (যা তৃতীয় কেন্দ্রীয় মুহুর্তের সমান শূন্য)। এটি কে - 2 ডিগ্রি স্বাধীনতার (সমীকরণ-সমাধানের অর্থে, কোনও পরিসংখ্যানের নয়!) ছেড়ে দেয়। আমরা সর্বজনীন যে সমাধানগুলি খুঁজে পেতে আশা করতে পারি।$k$$x_1, x_2,\ldots, x_k$$p_1, p_2,\ldots, p_k$$k-2$

উদাহরণগুলির জন্য অনুসন্ধান আরও সহজ করার জন্য, আমি একটি ছোট প্রতিসাম্য ভেক্টর সাথে 0 , শূন্য গড় এবং শূন্য সঙ্কুচিত একটি অনন্য মোড সহ সমাধানগুলি সন্ধান করেছি । এরকম একটি সমাধান হ'ল ( পি 1 , … , পি 7 ) = ( 1396 , 3286 , 9586 , 47386 , 8781 , 3930 $\mathbf{x}=(-3,-2,-1,0,1,2,3)$$0$ ।$(p_1, \ldots, p_7) = (1396, 3286, 9586, 47386, 8781, 3930, 1235)/75600$

আপনি দেখতে পাচ্ছেন এটি অসম্পূর্ণ।

এখানে (যা অসমনীয়) এবং পি = ( 1 , 18 , 72 , 13 , 4 ) / 108 এর সাথে আরও স্পষ্টতই অসম্পূর্ণ সমাধান রয়েছে :$\mathbf{x} = (-3,-1,0,1,2)$$p = (1,18, 72, 13, 4)/108$

এখন যা চলছে তা স্পষ্ট: কারণ গড় সমান , নেতিবাচক মানগুলি অবদান করে ( - 3 ) 3 = - 27 এবং 18 × ( - 1 ) 3 = - 18 তৃতীয় মুহূর্তে এবং ইতিবাচক মানগুলি 4 × 2 3 = অবদান রাখে 32 এবং 13 × 1 3 = 13 , একেবারে নেতিবাচক অবদানগুলিকে ভারসাম্যপূর্ণ করে। আমরা প্রায় 0 টির মতো প্রতিসাম্য বিতরণ করতে পারি , যেমন x$0$$(-3)^3=-27$$18 \times (-1)^3=-18$$4\times 2^3 = 32$$13 \times 1^3 = 13$$0$ সঙ্গে পি = ( 1 , 4 , 1 ) / 6 , এবং থেকে সামান্য ভর নামান + + 1 থেকে + + 2 থেকে, একটু ভর + + 1 নেমে - 1 , এবং ভরের সামান্য পরিমাণ নিচে - 3 এ গড় পালন 0 এবং বক্রতা$\mathbf{x}=(-1,0,1)$$\mathbf{p}=(1,4,1)/6$$+1$$+2$$+1$$-1$$-3$$0$$0$পাশাপাশি, একটি অসম্পূর্ণতা তৈরি করার সময়। একই দৃষ্টিভঙ্গি অসম্পূর্ণ করার সময় একটি অবিচ্ছিন্ন বিতরণের শূন্য গড় এবং শূন্য ঘনত্ব বজায় রাখতে কাজ করবে; যদি আমরা গণ-স্থানান্তর নিয়ে খুব বেশি আক্রমণাত্মক না হয়ে থাকি তবে তা সর্বজনীন থাকবে।

---

সম্পাদনা করুন: ধারাবাহিক বিতরণ

যেহেতু সমস্যাটি সামনে আসছে, আসুন ক্রমাগত বিতরণ সহ একটি সুস্পষ্ট উদাহরণ দিন। পিটার ফ্লমের একটি ভাল ধারণা ছিল: নরমালদের মিশ্রণটি দেখুন। দুটি স্বাভাবিকের মিশ্রণটি করবে না: যখন এর স্নিগ্ধতা অদৃশ্য হয়ে যায়, তখন এটি একসম্মত হবে। পরবর্তী সহজ কেসটি তিনটি স্বাভাবিকের মিশ্রণ।

তিনটি স্বাভাবিকের মিশ্রণগুলি, অবস্থান এবং স্কেলের উপযুক্ত পছন্দের পরে, ছয়টি বাস্তব পরামিতিগুলির উপর নির্ভর করে এবং তাই একটি অসম্পূর্ণ, শূন্য-স্কিউনেস সমাধান উত্পাদন করার জন্য যথেষ্ট নমনীয়তার চেয়ে বেশি হওয়া উচিত। কিছু সন্ধানের জন্য, আমাদের জেনে রাখা উচিত যে কীভাবে নরমালদের মিশ্রণের স্কিউনিগুলি গণনা করা যায়। এর মধ্যে আমরা সর্বজনীন (যে কোনওটিই সম্ভব নয়) অনুসন্ধান করব will

এখন, সাধারণভাবে, একটি প্রমিত স্বাভাবিক বিতরণের (অ-সেন্ট্রাল) মুহূর্ত শূন্য হয় যখন দ বিজোড় এবং অন্যথায় সমান 2 R / 2 Γ ( 1 - $r^\text{th}$$r$ । আমরা যখন যে আদর্শ সাধারন বন্টনের rescale একটি স্ট্যানডার্ড ডেভিয়েশন আছেσ,দমমুহূর্ত দ্বারা গুন করা হয়σদ। আমরা যখন যে কোনো বন্টন নামানμ, নতুনদমমুহূর্ত মুহূর্ত পর্যন্ত সহ পদ প্রকাশ করা যেতে পারেদ। বিতরণের মিশ্রণের মুহুর্তটি (এটির একটি ওজনযুক্ত গড়) পৃথক মুহুর্তগুলির একই ওজনযুক্ত গড়। অবশেষে, তৃতীয় কেন্দ্রীয় মুহুর্তটি শূন্য হলে স্নিগ্ধতা শূন্য হয় এবং প্রথম তিনটি মুহুর্তের ক্ষেত্রে এটি সহজেই গণনা করা হয়।$2^{r/2}\Gamma\left(\frac{1-r}{2}\right)/\sqrt{\pi}$$\sigma$$r^\text{th}$$\sigma^r$$\mu$$r^\text{th}$$r$

এটি আমাদের সমস্যার উপর একটি বীজগণিত আক্রমণ দেয়। ওয়ান সমাধান আমি দেখেছি পরামিতি সঙ্গে তিন লম্ব একটি সমান মিশ্রণ থেকে সমান ( 0 , 1 ) , ( 1 / 2 , 1 ) , এবং ( 0 , $(\mu, \sigma)$$(0,1)$$(1/2,1)$। তার গড় সমান(0+ +1/2+ +0)/3=1/6। এই চিত্রটি পিডিএফটিকে নীল রঙে দেখায় এবং বিতরণের পিডিএফতার গড়পড়তালালসম্পর্কে উল্টিয়ে দেয়। তারা পৃথক যে দেখায় যে তারা উভয়ই অসম্পূর্ণ। (মোড আনুমানিক0,0519216, গড় অসম1/6।) তারা উভয় নির্মাণ দ্বারা শূন্য বক্রতা আছে।$(0, \sqrt{127/18}) \approx (0, 2.65623)$$(0 + 1/2 + 0)/3 = 1/6$$0.0519216$$1/6$

প্লটগুলি এগুলি সর্বজনীন বলে নির্দেশ করে। (আপনি স্থানীয় ম্যাক্সিমা খুঁজতে ক্যালকুলাস ব্যবহার করে পরীক্ষা করতে পারেন))

Comments

(+1) খুব চটজলদি উত্তর। এটি কি অবিচ্ছিন্ন বিতরণ সহকারে কাজ করবে? স্থানান্তর সম্ভাব্য ছোট ছোট মোড তৈরি করতে হবে না? আমি হয়তো ভাবছি না ...

— ম্যাক্রো

আপনি বেশ ভালভাবে চিন্তা করছেন, ম্যাক্রো: আমাদের সকলকে এত সংশয়যুক্ত হওয়া উচিত। কৌশলটি হ'ল প্রশস্ত পরিসীমা জুড়ে ছড়িয়ে থাকা ক্ষুদ্র পরিমাণগুলি স্থানান্তরিত করা। প্রথম-ডেরাইভেটিভ পরীক্ষা আপনাকে সম্ভাব্য মোডগুলি পরীক্ষা করতে সক্ষম করে এবং এই ফর্মের পর্যাপ্ত ক্ষুদ্র শিফটগুলি নতুন মোড তৈরি করবে না এমন প্রমাণের ভিত্তি সরবরাহ করে ।

— whuber

উত্তর করার জন্য ধন্যবাদ! এটি আমি স্বজ্ঞাতভাবে যা ভাবছিলাম তার অনুরূপ, যদিও আমি এটি কথায় ভাল বলতে পারি না - আপনাকে বিতরণের প্রতিটি পক্ষের ভরকে "ভারসাম্য" বজায় রাখতে হবে। আমাকে বিস্মিত করে তোলে যে স্টেরিওটাইপড উপায়গুলি রয়েছে যাতে কেউ এই ভারসাম্য রক্ষা করতে পারে।

— অ্যান্ডি ম্যাককেঞ্জি 16

অ্যান্ডি এর একটি উপায় হ'ল একটি বিচ্ছিন্ন সমাধান দিয়ে শুরু করা এবং তারপরে এটি একটি সাধারণ বিতরণ দিয়ে সমাধান করা। এই ক্ষেত্রে, অবিশ্বাস্যতা প্রয়োজনীয়তা সেই স্বাভাবিক বন্টনকে একটি বৃহত্তর স্ট্যান্ডার্ড বিচ্যুতিতে বাধ্য করবে। তবুও, যদি কনভোলশনটি প্রয়োজনীয় বৈশিষ্ট্যগুলি (যেমন শূন্য স্কিউনেস) প্রশংসাপূর্ণভাবে পরিবর্তন না করে বা এটি এটি পূর্বাভাসযোগ্য উপায়ে পরিবর্তন করে তবে আপনার সমস্যার গাণিতিক হ্যান্ডেল রয়েছে। কিছুটা অর্থে আমার সাম্প্রতিক সম্পাদনাটিকে এ জাতীয় আক্রমণ হিসাবে দেখা যেতে পারে, যদিও এটি কঠোরভাবে বিশ্বাসযোগ্য নয় (কারণ তিনটি সাধারণের আলাদা আলাদা স্ট্যান্ডার্ড বিচ্যুতি রয়েছে)।

— হোবার

আমি পরীক্ষা করে দেখেছি, অ্যান্ডি: সাধারণ বিতরণের মাধ্যমে পৃথক দ্রবীভূত দ্রবণটি সঙ্কোচ পরিবর্তন করে না। আপনি যখন এই সাধারণ বন্টনকে 0.57 বা ততোধিক মানের কাছাকাছি একটি স্ট্যান্ডার্ড বিচ্যুতি দেন, ফলাফল সর্বসম্মত। অন্তর্নিহিত পৃথক বিতরণগুলির মতো, এটির শূন্য গড়, শূন্য ঘনত্ব এবং অসম্পূর্ণ হতে থাকে। এটিকে একটি আদর্শ সাধারণ বিতরণের সাথে মিশ্রিত করা সাধারণ স্ট্যান্ডার্ড এবং বিচ্ছিন্ন বিতরণের মধ্যে একটি গণ নিয়ন্ত্রণের আন্দোলনের পরিমাণ: এটি "স্টেরিওটাইপড" পদ্ধতির জন্য আপনার অনুরোধটি পূরণ করতে পারে।

— হোবার

Answer 2

Https://www.qualitydigest.com/inside/quality-insider-article/problems-skewness-and-kurtosis-part-one.html# এ আমি খুঁজে পেয়েছি যা আর-তে একটি চমৎকার এবং পুনরুত্পাদন দেখতে পেয়েছি : একটি বিপরীতমুখী বার বা আকারের পরামিতিগুলির সাথে ডগুম বিতরণ এবং সি = 18.1484 :$k=0.0629$$c=18.1484$

$$g(x) = ckx^{-(c+1)}[1+x^{-c}]^{-(k+1)}$$

এর অর্থ 0.5387, স্ট্যান্ডার্ড বিচ্যুতি 0.2907, স্কিউনেস 0.0000 এবং কুরটোসিস 2.0000 mean উত্স এটিকে "হাতির বিতরণ" নামেও অভিহিত করেছে:

আর-এ আমার প্রজননটি তৈরি হয়েছিল

library(actuar)
library(knotR)

# a nonsymmetric distribution with zero skewness
# see https://www.qualitydigest.com/inside/quality-insider-article/problems-skewness-and-kurtosis-part-one.html#

c <- 18.1484
k <- 0.0629

x <- seq(0,1.5,by=.0001)

elephant.density <- dinvburr(x, k, c)
plot(x,elephant.density, type="l")
polygon(c(min(x),x),c(min(elephant.density),elephant.density), col="grey")
points(0.8,0.8, pch=19, cex=2)

# "ears" created via https://www.desmos.com/calculator/cahqdxeshd
ear.x <- c(0.686, 0.501, 0.42, 0.68)
ear.y <- c(0.698, 0.315, 1.095, 0.983)

myseg(bezier(cbind(ear.x, ear.y)), type="l")

EX <- gamma(k+1/c)*gamma(1-1/c)/gamma(k) # see p6 of https://wwz.unibas.ch/uploads/tx_x4epublication/23_07.pdf
EX2 <- gamma(k+2/c)*gamma(1-2/c)/gamma(k)
EX3 <- gamma(k+3/c)*gamma(1-3/c)/gamma(k)
(skewness <- (EX3 - 3*EX*(EX2-EX^2)-EX^3)/(EX2-EX^2)^(3/2)) # zero to three digits: 0.0003756196

যেমন এই আউটপুটটি দেখায়, skewness এই পরামিতি মানগুলির জন্য পুরো শূন্য থেকে চার অঙ্ক নয়। এবং সি এর জন্য এখানে একটি সামান্য অপ্টিমাইজার রয়েছে :$k$$c$

   # optimize skewness a bit further
    skewval <- 1

while (skewval > 10^(-10)){
  optskew.k <- uniroot(skewness.fun, lower = k*.95, upper = k*1.1, tol=skewval^2, c=c)
  skewval <- optskew.k$f.root
  k <- optskew.k$root

  optskew.c <- uniroot(skewness.fun, lower = c*.95, upper = c*1.1, tol=skewval^2, k=k)
  skewval <- optskew.c$f.root
  c <- optskew.c$root
}

প্রদায়ক

> print(c)
[1] 18.89306

> print(k)
[1] 0.05975542

> print(skewval)
[1] -1.131464e-15

Comments

সম্পাদনার জন্য আপনাকে ধন্যবাদ। এটি বলেছিল, আমি 0.0000 থেকে চার অঙ্কের স্নিগ্ধতা পুনরুত্পাদন করতে পারি না, পরিবর্তে 0.0001245138 পেয়েছি (আর কোডে পরবর্তী সম্পাদনা দেখুন)।

— ক্রিস্টোফ হ্যাঙ্ক

এবং কে এর মানগুলি খুঁজে পেতে সম্ভবত একটি সাধারণ অপটিমাইজার চালানো যায় যে সঙ্কুলতা যতটা সম্ভব শূন্যের কাছাকাছি। এটি বেশ কয়েকটি অতিরিক্ত লাইন বা এক হতে পারে। আপনার ইতিমধ্যে আপনার শেষ লাইনে বিশ্লেষণের সাথে ক্ষতির ফাংশনটি গণনা করা হয়েছে, আর কি কোনও উপযুক্ত জেনেরিক অপটিমাইজার রয়েছে? $c$$k$

— অ্যামিবা বলেছেন মোনিকা

আসলে, 0.0003756196। 0.0001245138 কিছু প্রাথমিক অপ্টিমাইজেশনের পরে ইতিমধ্যে ছিল, এখানে ভুল করে দেওয়া হয়েছে। আমি একটি চেহারা আছে।

— ক্রিস্টোফ হ্যাঙ্ক

@ আমেবা, আমি কিছুটা অপ্টিমাইজ করার চেষ্টা করেছি, তবে আমি চতুরতার সাথে এটি করার কোনও দাবি করি না, অপ্টিমাইজেশনের অভিজ্ঞতা আমার খুব কম।

— ক্রিস্টোফ হ্যাঙ্ক

শূন্যতা যে তিন থেকে তিন অঙ্ক (প্রায় চার) আমার মনে যথেষ্ট ছিল; এটি কোনও সুনির্দিষ্ট মানের মতো নয় যা এটিকে অন্যরকম দেখায়। যদি আশেপাশের জায়গাগুলিতে skewness শূন্যকে অতিক্রম করবে এবং যদি আরও সঠিকতার প্রয়োজন হয় তবে মানগুলি কীভাবে চিহ্নিত করতে হবে সে সম্পর্কে কোন দিকনির্দেশ স্পষ্ট হয়েছে, আমি যথেষ্ট বলে মনে করি। তবে অতিরিক্ত পরিশ্রমের জন্য কুডোস। (এটি একটি সুন্দর উদাহরণ,

— যাইহোক

Answer 3

বাস্তব লাইনের ইতিবাচক অর্ধেকের একটি বিতরণ বিবেচনা করুন যা 0 থেকে মোডে রৈখিকভাবে বৃদ্ধি পায় এবং তারপরে মোডের ডানদিকে ঘনিষ্ঠ হয়, তবে মোডে অবিচ্ছিন্ন।

এটিকে ত্রিভুজাকার-সূচকীয় বিতরণ বলা যেতে পারে (যদিও এটি প্রায়শই একটি হাঙর ফিনের মতো লাগে)।

আসুন মোডের অবস্থান এবং on ঘনিষ্ঠতার হারের প্যারামিটার হন।$\theta$$\lambda$

হিসাবে বৃদ্ধির বন্টন কার্যক্রমে কম স্কিউ হয়ে যায়। হিসাবে λ θ গত বৃদ্ধির ≈ 6.15 ইতিবাচক থেকে নেতিবাচক তৃতীয় মুহূর্ত ক্রস:$\lambda\theta$$\lambda\theta$$\approx 6.15$

$^{[1]}$$^{[2]}$

শূন্যের স্কিউনেস এবং শূন্য অতিরিক্ত কুর্তোসিস সহ সাধারণ থ্রেডটি ? একটি সামান্য বিচ্ছিন্ন উদাহরণ এবং আরও একটি অবিচ্ছিন্ন অবিমোহিত উদাহরণ সহ কয়েকটি অসম্পূর্ণ উদাহরণ রয়েছে:

বড় আকারের ছোট আকারের, বা সমানভাবে, নমুনাগুলি - শূন্যের স্কিউনেস সহ বিচ্ছিন্ন ইউনিমোডাল বিতরণগুলি নির্মাণ করা বেশ সহজ।

এখানে একটি উদাহরণ রয়েছে, যা আপনি নমুনা হিসাবে বা (কাঁচা ফ্রিকোয়েন্সি 3000 দ্বারা বিভাজন করে) পিএমএফ হিসাবে ব্যবহার করতে পারেন ('x' মানগুলি নেওয়া মানগুলি, 'এন' নমুনায় যে পরিমাণ হয় তার সংখ্যা ):

x:  -2   -1    0    1    2    3    4    5    6    7    8    9   10
n: 496  498  562 1434    2    1    1    1    1    1    1    1    1

এই উদাহরণটি 3-পয়েন্ট বিতরণ থেকে তৈরি করা হয়েছে:

x:          -2              1                  c
n:   c(c-1)(c+1)/6     c(c-1)(c+1)/3 - c       1

বিভিন্ন মান জুড়ে $c$ 3 এবং 10 এর মধ্যে। এই প্যারামিটারাইজড (দ্বারা $c$) 3-পয়েন্ট "পরমাণু" আছে $\sum_i n_ix_i =0$ এবং $\sum_i n_ix_i^3 =0$, যার পরিবর্তে এর অর্থ বিভিন্ন পছন্দ জুড়ে মিশ্রণ $c$জিরো স্কিউনেস আছে (আপনি অসামান্য এবং তৃতীয় কেন্দ্রীয় মুহুর্তের শূন্য তিনটি পয়েন্ট জুড়ে বিতরণের চেয়ে ছোট কিছু করতে পারবেন না only মাত্র কয়েকটি পয়েন্টের উপর সরল টুকরোগুলির সংগ্রহ যেমন এগুলি ঝরঝরে বিল্ডিং ব্লকগুলি তৈরি করে যেখানে বড় স্ট্রাকচারগুলি তৈরি করা যেতে পারে))

এই জাতীয় "পরমাণু" তৈরির মতো সমস্ত পদ্ধতি রয়েছে তবে এই উদাহরণটি কেবল এই এক ধরণের ব্যবহার করে। এগুলির মতো কিছু পরমাণুর সংমিশ্রণে এগুলিতে কয়েকটি গলিত মান যুক্ত করা হয় যা অবশিষ্ট গর্তগুলি পূরণ করতে পারে এবং গড় এবং তৃতীয় মুহুর্তের কাঠামোটি বিনষ্ট না করে সর্বাত্মকতার গ্যারান্টি দেয়।

$[1]$ব্রিজি, এম। (2006),
" ত্রিভুজাকার এবং তাত্পর্যপূর্ণ বৈশিষ্ট্যগুলির সংমিশ্রণে একটি স্কিউড মডেল: দ্বি- মুখী বিতরণ এবং এর পরিসংখ্যানগত বৈশিষ্ট্য"
অস্ট্রিয়ান জার্নাল অফ স্ট্যাটিস্টিকস , 35 : 4, p455–462
http: //www.stat.tugraz। এ / AJS / ausg064 /

$[2]$ভন হিপ্পেল, পিটি (২০০)),
"মিডিন, মিডিয়ান এবং স্কিউ: পাঠ্যপুস্তকের বিধি সংশোধন"
পরিসংখ্যান শিক্ষার খণ্ড ১৩, সংখ্যা ২,
http://ww2.amstat.org/publications/jse/v13n2/vonhippel.html

Comments

এটিকে সম্ভবত "শার্ক-ফিন" বলতে পারেন?

— গ্লেন_বি -রিনস্টেট মনিকা

@ গ্লেন_বি প্রকৃতপক্ষে পুরোপুরি শার্ক-ফিন।

— অ্যালেকোস পাপাদোপল্লোস

Answer 4

অবশ্যই। এটা চেষ্টা কর:

skew= function (x, na.rm = FALSE) 
 {
    if (na.rm)    x <- x[!is.na(x)]             #remove missing values
    sum((x - mean(x))^3)/(length(x) * sd(x)^3)  #calculate skew   
 }

set.seed(12929883) 
x = c(rnorm(100, 1, .1), rnorm(100, 3.122, .1), rnorm(100,5, .1), rnorm(100, 4, .1), rnorm(100,1.1, .1))

 skew(x)
 plot(density(x))

(আপনি ইতিমধ্যে হার্ড স্টাফ করেছেন!)

Comments

দারূন আমার এটা ভালো লেগেছে. +1

— গাং - মনিকা পুনরায়

এটি বিমোডাল নয় ... এটি মারাত্মকভাবে বহু- মডেল। ঘনত্বের চক্রান্ত করার চেষ্টা করুন; curve(0.2*(dnorm(x, 1, .1) + dnorm(x, 3.122, .1) + dnorm(x, 5, .1) + dnorm(x, 4, .1) + dnorm(x, 1.1, .1)), 0,10)

— অতিথি

এই উপায়ে উত্পন্ন ডেটা অবশ্যই সর্বজনীন নয়। আপনার কোডটি ভার্ব্যাটিম কেটে কেটে পেস্ট করা হয়েছে তা দেখতে আপনাকে যা করতে হবে তা সবই। প্রকৃতপক্ষে, সাধারণত বিতরণযোগ্য ভেরিয়েবলগুলির মিশ্রণটি সর্বদা বিন্দুবিহীন হবে না (অবশ্যই যদি না, মিশ্রণের অনুপাতগুলির মধ্যে একটি হ'ল)।

— ম্যাক্রো

@ ম্যাক্রো, এটি সঠিক নয়। উদাহরণস্বরূপ, সুপরিচিত ফলাফলের জন্য রোডার 1994 (জাসা) এর বিমূর্ততাটি দেখুন যে "দুটি মিশ্র নরমালগুলির ঘনত্ব বিমোডাল নয় যদি না উপায়গুলি কমপক্ষে 2 স্ট্যান্ডার্ড বিচ্যুতি দ্বারা পৃথক না করা হয়"। যদি এগুলির চেয়ে কম দ্বারা পৃথক করা হয় তবে মিশ্রণটি সর্বমোচনীয়।

— অতিথি

You're right @guest. I'd forgotten about that possibility when I made my post

— Macro

Answer 5

For zero skewness, we need

$$\operatorname{E}\Big[\big(\tfrac{X-\mu}{\sigma}\big)^{\!3}\, \Big] = 0$$ or, equivalently, $$\operatorname{E}\Big[\big(\tfrac{X-\mu}{\sigma}\big)^{\!3}\, \Big | X \leq \mu \Big] + \operatorname{E}\Big[\big(\tfrac{X-\mu}{\sigma}\big)^{\!3}\, \Big | X \gt \mu \Big] = 0.$$

Now, for given mean and variance, pick any two distributions $Y$ and $Z$ with zero mass on the right side of $\mu$ and

$$\operatorname{E}\Big[\big(\tfrac{Y-\mu}{\sigma}\big)^{\!3}\, \Big] = \operatorname{E}\Big[\big(\tfrac{Z-\mu}{\sigma}\big)^{\!3}\, \Big]$$ and define $X$ to match $Y$ if left of $\mu$ and $(\mu - Z)$ otherwise. (Don't know the exact notation for this, anyone care to help?)

The resulting distribution will be unimodal if the PDFs of $Y$ and $Z$ are increasing at the left of $\mu$ (in addition to being zero at the right of $\mu$).

Comments

How do you guarantee that the distribution is unimodal?

— Dilip Sarwate

Thanks for pointing this out. The PDFs of $Y$ and $Z$ will have to be strictly increasing until $\mu$, and then drop to zero.

— krlmlr

This is the right idea but it still needs some work, because $\sigma$ can change when combining $Y$ and $Z$.

— whuber

@whuber: Damn. I knew there had to be some pitfall... :-)

— krlmlr

Answer 6

The following discrete distribution is asymmetric and has null skewness: Prob(-4)=1/3, Prob(1)=1/2, Prob(5)=1/6. I found it in the paper of Doric et al., Qual Quant (2009) 43:481-493; DOI 10.1007/s11135-007-9128-9

Comments

+1 It checks out and it's unimodal. That's the simplest possible example.

— whuber