দুটি মান সাধারণ র্যান্ডম ভেরিয়েবল কি সর্বদা স্বতন্ত্র?

Question

আমি শিখেছি যে স্ট্যান্ডার্ড স্বাভাবিক বিতরণ অনন্য কারণ কারণ গড় এবং বৈকল্পিক যথাক্রমে 0 এবং 1 এ স্থির করা হয়। এই সত্য দ্বারা, আমি অবাক হই যে কোনও দুটি স্ট্যান্ডার্ড এলোমেলো ভেরিয়েবলগুলি অবশ্যই স্বাধীন হতে হবে।

Comments

তাদের কেন হবে ..? স্বাধীনতার সাথে বিতরণের কিছু নেই।

— টিম

$X$ এবং বিবেচনা করুন $X$। তারা স্বতন্ত্র নয়।

— djechlin

আপনি ব্যবহারিক দৃষ্টিকোণ থেকে এটি সহায়ক খুঁজে পেতে পারেন। stats.stackexchange.com/questions/15011/…

— জাস্টগেটিন স্টারটেড

প্রদত্ত চমৎকার উদাহরণগুলি ছাড়াও সাধারণত এন (0,!) প্রান্তিক বিতরণ সহ দ্বিবিভক্ত সাধারণ বিতরণ বিবেচনা করুন। -1 এবং 1 এর মধ্যে কোনও সম্পর্ক থাকতে পারে নীচের উদাহরণগুলি সমস্ত বিশেষ ক্ষেত্রে রয়েছে। একদিকে যেমন দুটি স্ট্যান্ডার্ড সাধারণ ভেরিয়েবল নির্ভরশীল তবে দ্বিবিভক্ত ডিস্ট্রিবিউশন না থাকা সম্ভব।

— মাইকেল আর। চেরনিক

আমি লক্ষ্য করেছি ব্যাটম্যান একটি সাধারণ ফলাফল দেয় যা আমি প্রস্তাব দিচ্ছি একই রকম হতে পারে। ওয়াই =-এক্স ক্ষেত্রে পারস্পরিক সম্পর্ক রয়েছে -1 এবং তাই দ্বিপরিচালিত স্বাভাবিকের একটি হ্রাসপ্রাপ্ত রূপ। আমি এখানে (এই পোস্টে) এমন কোনও উদাহরণ দেখিনি যেটি এমন একটি ক্ষেত্রে চিত্রিত করে যা দ্বিভাগরিত স্বাভাবিক নয়।

— মাইকেল আর। চেরনিক

Answer 1

উত্তর না হয়। উদাহরণস্বরূপ, যদি একটি স্ট্যান্ডার্ড এলোমেলো পরিবর্তনশীল হয় তবে Y = - X একই পরিসংখ্যান অনুসরণ করে তবে এক্স এবং ওয়াই স্পষ্টভাবে নির্ভরশীল।$X$$Y=-X$$X$$Y$

Answer 2

না, বিশ্বাস করার কোনও কারণ নেই যে কোনও দুটি মানক গাউসিয়ান স্বাধীন।

এখানে একটি সাধারণ গাণিতিক নির্মাণ। ধরুন যে এবং ওয়াই হয় দুটি স্বাধীন আদর্শ স্বাভাবিক ভেরিয়েবল। তারপরে এই জুটি$X$$Y$

$$X, \frac{X + Y}{\sqrt{2}}$$

দুটি নির্ভরশীল স্ট্যান্ডার্ড সাধারণ ভেরিয়েবল। সুতরাং, যতক্ষণ না এগুলি দুটি স্বতন্ত্র স্বাভাবিক পরিবর্তনশীল হয় ততক্ষণ দুটি অবশ্যই থাকতে হবে নির্ভরশীল ।

দ্বিতীয় পরিবর্তনশীলটি স্বাভাবিক কারণ স্বতন্ত্র স্বাভাবিক ভেরিয়েবলগুলির কোনও লিনিয়ার সংমিশ্রণ আবার স্বাভাবিক is এর ভেরিয়েন্সটি1 এরসমান করতে হবে।$\sqrt{2}$$1$

$$V \left(\frac{X + Y}{\sqrt{2}} \right) = \frac{1}{\sqrt{2}^2} (V(X) + V(Y)) = 1$$

স্বজ্ঞাতভাবে, এগুলি নির্ভরশীল কারণ এর মান জানার ফলে আপনি দ্বিতীয় ভেরিয়েবলের মানটি পূর্বাভাস দিতে ব্যবহার করতে পারেন এমন অতিরিক্ত তথ্য দেয়। উদাহরণস্বরূপ, যদি আপনি জানেন যে এক্স = এক্স , তবে দ্বিতীয় ভেরিয়েবলের শর্তসাপেক্ষ প্রত্যাশা$X$$X = x$

$$E \left[\frac{X + Y}{\sqrt{2}} \mid X = x \right] = \frac{x}{\sqrt{2}}$$

Answer 3

এখানে মোটামুটি প্রশস্ত উত্তর:

$X,Y$$a,b$$a X + bY$$X$$Y$$E[(X-E[X])(Y-E[Y])]=0$

$\Sigma=\begin{bmatrix} 1 & p \\ p & 1 \end{bmatrix}$$(\lambda-1)^2 - p^2$$\lambda$$\Sigma= R R^T$$U,V$$R \begin{bmatrix} U \\ V \end{bmatrix}$ সাধারণ স্ট্যান্ডার্ড উপাদান রয়েছে, তবে উপাদানগুলি স্বাধীন এবং যদি কেবলমাত্র থাকে $p=0$.

Answer 4

A non-bivariate normal example (as Michael Chernick suggests in the comments):

Let $f_{X,Y}(x,y) = \begin{cases} \frac{1}{\pi} e^{-\frac{x^2+y^2}{2}} & xy\geq 0 \\ 0 & o.w. \end{cases}$.

This is not a bivariate normal distribution, but a simple integral shows that both marginals are standard normal. They're obviously not independent since $f_{X,Y}(x,y) \neq f_X(x) f_Y(y)$.