11

বলুন যে $Y$ হ'ল একটানা এলোমেলো পরিবর্তনশীল এবং $X$ একটি বিচ্ছিন্ন।

Pr (X = x | Y = y) = \frac{Pr (X = x) Pr (Y = y | X = x)}{Pr (Y = y)}

$\Pr(X=x|Y=y) = \frac{\Pr(X=x)\Pr(Y=y|X=x)}{\Pr(Y=y)}$

যেমনটি আমরা জানি, $\Pr(Y=y) = 0$ কারণ $Y$ হল একটানা এলোমেলো পরিবর্তনশীল। এবং এর ভিত্তিতে, আমি এই সিদ্ধান্তে প্ররোচিত হয়েছি যে সম্ভাবনা $\Pr(X=x|Y=y)$ ।

তবে উইকিপিডিয়া এখানে দাবি করেছে যে এটি প্রকৃতপক্ষে নিম্নলিখিত হিসাবে সংজ্ঞায়িত হয়েছে:

Pr (X = x | Y = y) = \frac{Pr (X = x) f_{Y | X = x} (y)}{f_{Y} (y)}

$\Pr(X=x|Y=y) = \frac{\Pr(X=x) f_{Y|X=x}(y)}{f_Y(y)}$

প্রশ্ন: উইকিপিডিয়া কীভাবে সেই সম্ভাবনাটি সংজ্ঞায়িত করতে পারে?

আমার চেষ্টা

সীমাবদ্ধতার পরিপ্রেক্ষিতে উইকিপিডিয়ায় ফলাফল পাওয়ার জন্য এখানে আমার প্রচেষ্টাটি রয়েছে:

\begin{aligned} Pr (X = x | Y = y) & = \frac{Pr (X = x) Pr (Y = y | X = x)}{Pr (Y = y)} \\ = lim_{d \to 0} \frac{Pr (X = x) (d \times f_{Y | X = x} (y))}{(d \times f_{Y} (y))} \\ = lim_{d \to 0} \frac{Pr (X = x) (d \times f_{Y | X = x} (y))}{(d \times f_{Y} (y))} \\ = \frac{Pr (X = x) f_{Y | X = x} (y)}{f_{Y} (y)} \end{aligned}

$\begin{split}\require{cancel} \Pr(X=x|Y=y) &= \frac{\Pr(X=x)\Pr(Y=y|X=x)}{\Pr(Y=y)}\\ &= \lim_{d \rightarrow 0}\frac{\Pr(X=x) \big(d \times f_{Y|X=x}(y)\big)}{\big(d \times f_Y(y)\big)}\\ &= \lim_{d \rightarrow 0}\frac{\Pr(X=x) \big(\cancel{d} \times f_{Y|X=x}(y)\big)}{\big(\cancel{d} \times f_Y(y)\big)}\\ &= \frac{\Pr(X=x) f_{Y|X=x}(y)}{f_Y(y)}\\ \end{split}$

এখন, $\Pr(X=x|Y=y)$ হতে সংজ্ঞায়িত করা বলে মনে হয় $\frac{\Pr(X=x) f_{Y|X=x}(y)}{f_Y(y)}$ , যা ম্যাচ যে উইকিপিডিয়া দাবি।

উইকিপিডিয়া কীভাবে এটি করেছে?

তবে আমি এখনও অনুভব করছি যে আমি এখানে ক্যালকুলাস গালি দিচ্ছি। সুতরাং আমি মনে করি যে $\Pr(X=x|Y=y)$ , তবে সীমাতে আমরা যতটা সম্ভব close $\Pr(Y=y)$ এবং $\Pr(Y=y|X=x)$ , তবে সার্থকভাবে নয়, তবে $\Pr(X=x|Y=y)$ সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে।

তবে আমি সেখানে সীমাবদ্ধতার কৌশল সহ অনেকগুলি বিষয় সম্পর্কে অনেকাংশে অনিশ্চিত হয়েছি, আমার মনে হয় যে আমি কী করেছি তার অর্থ পুরোপুরি বুঝতে পারছি না।

conditional-probability pdf

— গুহা-মানব
সূত্র

1

প্রকৃতপক্ষে, PR (X = x) = 0 তবে xf (x) এ X এর ঘনত্ব 0 এর সমান নাও হতে পারে আপনি কি 'স্ব-অধ্যয়ন' লেবেল ব্যবহার করবেন না ??

— লিল 'লবস্টার

2

@ লিল যতদূর আমি জানি, হোম ওয়ার্ক সমাধানের সময় 'স্ব-অধ্যয়ন' ট্যাগ। আমি এটা করছি না।

— ক্যাভম্যান

1

: উইকিপিডিয়া পৃষ্ঠা আসলে শিক্ষাদীক্ষা বোঝায় en.wikipedia.org/wiki/Bayes'_theorem#Derivation

— Ytsen ডি বোয়ার

3

আমি আশঙ্কা করছি যে আপনার ডাইরিভিশনের কোনও গাণিতিক ন্যায়সঙ্গততা নেই সমস্ত for এর জন্য যখন অবিচ্ছিন্ন থাকে।

P (Y = y) = 0

$\mathbb{P}(Y=y)=0$

y \in Y

$y\in\mathcal{Y}$

Y

$Y$

— শি'য়ান

10

শর্তসাপেক্ষ সম্ভাবনা বন্টন , , , আনুষ্ঠানিকভাবে সংশ্লেষ হিসাবে সমাধান করা হয় যেখানে উল্লেখ করে -algebra বিতরণের সঙ্গে যুক্ত । যেমন নির্দেশিত ঐ সমাধান এক বায়েসের '(1763) সূত্র দ্বারা প্রদান করা হয় উইকিপিডিয়া : $\mathbb{P}(X=x|Y=y)$ $x\in\mathcal{X}$ $y\in\mathcal{Y}$

P (X = x, Y \in A) = \int_{A} P (X = x | Y = y) f_{Y} (y) d y \forall A \in σ (Y)

$\mathbb{P}(X=x,Y\in A)=\int_{A}\mathbb{P}(X=x|Y=y)f_Y(y)\text{d}y\quad\forall A\in\sigma(\mathcal{Y})$

σ (Y)

$\sigma(\mathcal{Y})$

σ

$\sigma$

Y

$Y$

P (X = x | Y = y) = \frac{P (X = x) f_{Y | X = x} (y)}{f_{Y} (y)} \forall x \in X, y \in Y

$\mathbb{P}(X=x|Y=y) = \dfrac{\mathbb{P}(X=x) f_{Y|X=x}(y)}{f_Y(y)}\qquad\forall x\in\mathcal{X},\ y\in\mathcal{Y}$ যদিও versions এ একটি মাপ-শূন্য সেট উপর নির্বিচারে সংজ্ঞায়িত সংস্করণগুলি বৈধ।

σ (Y)

$\sigma(\mathcal{Y})$

বিচ্ছিন্ন অনুমানের ক্ষেত্রে শর্তযুক্ত সম্ভাবনার ধারণা যার সম্ভাবনা 0 সমান হয় তা অগ্রহণযোগ্য 0 কারণ আমরা মেরিডিয়ান সার্কেলের উপর [অক্ষাংশ] এর সম্ভাব্যতা বন্টন পেতে পারি কেবলমাত্র যদি আমরা এই বৃত্তটিকে প্রদত্ত মেরুগুলির সাথে মেরিডিয়ান বৃত্তগুলিতে পুরো গোলাকার পৃষ্ঠের পচনের উপাদান হিসাবে বিবেচনা করি - আন্ড্রেই কোলমোগোরভ

যেমনটি বোরেল- প্যারাডক্স দেখিয়েছে , সম্ভাব্যভাবে নেওয়া নির্দিষ্ট মান দেওয়া হয়েছে , শর্তসাপেক্ষ সম্ভাবনা বন্টন এর কোনও সুনির্দিষ্ট অর্থ নেই, কেবলমাত্র ঘটনার কারণেই নয় পরিমাপ শূন্য, তবে কারণ এই ইভেন্টটি আলজেব্রাসের সীমাহীন সীমার বিরুদ্ধে পরিমাপযোগ্য হিসাবে ব্যাখ্যা করা যেতে পারে । $y_0$ $Y$ $\mathbb{P}(X=x|Y=y_0)$ $\{\omega;\,Y(\omega)=y_0\}$ $\sigma$

দ্রষ্টব্য: এখানে আরও একটি আনুষ্ঠানিক ভূমিকা দেওয়া হয়েছে, টেরি টোর ব্লগে সম্ভাব্যতা তত্ত্বের পর্যালোচনা থেকে নিন :

সংজ্ঞা 9 (বিভেদ) আসুন পরিসীমা সঙ্গে একটি দৈব চলক হতে । একটি বিভেদ অন্তর্নিহিত নমুনা স্থান সম্মান সঙ্গে একটি উপসেট এর পূর্ণ পরিমাপ (সুতরাং প্রায় নিশ্চয়), একসঙ্গে একটি সম্ভাব্যতা পরিমাপ নিয়োগ দিয়ে subspace উপর এর আর এর জন্য প্রতিটি for এর জন্য যা মাপা যায় সেই অর্থে যে মানচিত্র $Y$ $R$ $(R', (\mu_y)_{y \in R'})$ $\Omega$ $Y$ $R'$ $R$ $\mu_Y$ $Y \in R'$ ${\bf P}(|Y=y)$ $\Omega_y := \{ \omega \in \Omega: Y(\omega)=y\}$ $\Omega$ $y \in R$ $y \mapsto {\bf P}(F|Y=y)$ প্রতিটি ইভেন্ট , এবং যেমন জন্য সমস্ত ইভেন্টের জন্য পরিমাপযোগ্য যেখানে হ'ল (প্রায় অবশ্যই সংজ্ঞায়িত) এলোমেলো পরিবর্তনশীল defined equal সংজ্ঞায়িত যখনই । $F$
$P (F) = E P (F | Y)$ $\displaystyle {\bf P}(F) = {\bf E} {\bf P}(F|Y)$ ${\bf P}(F|Y)$ ${\bf P}(F|Y=y)$ $Y=y$
যেমন একটি বিভেদ দেওয়া, অনুমতি দেয় ইভেন্টে শর্ত কোন প্রতিস্থাপন subspace সঙ্গে (প্ররোচক সঙ্গে কিন্তু অন্তর্নিহিত সম্ভাবনা পরিমাপ প্রতিস্থাপন -algebra) সাথে । কন্ডিশনড স্পেসে ইভেন্ট এবং এলোমেলো ভেরিয়েবল তৈরি করতে আমরা এই পরিস্থিতিতে এবং র্যান্ডম ভেরিয়েবল ইভেন্টের শর্তযুক্ত করতে পারি condition $Y=y$ $y \in R'$ $\Omega$ $\Omega_y$ $\sigma$ ${\bf P}$ ${\bf P}(|Y=y)$ $F$ $X$ $(F|Y=y)$ $(X|Y=y)$ ${\bf P}(F|Y=y)$ (যা এই অভিব্যক্তির জন্য বিদ্যমান স্বরলিপিটির সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ) এবং শর্তসাপেক্ষ প্রত্যাশা (এই শর্তাধীন স্থানে নিখুঁত একীকরণযোগ্যতা অনুমান করে)। তারপরে আমরা যখনই তখন কে (প্রায় অবশ্যই সংজ্ঞায়িত) এলোমেলো পরিবর্তনশীল হিসাবে নির্ধারিত হতে হবে । ${\bf E}(X|Y=y)$ ${\bf E}(X|Y)$ ${\bf E}(X|Y=y)$ $Y=y$

— সিয়ান
সূত্র

1

ইতিমধ্যে +1 'করা হয়েছে, তবে ... সম্ভবত এটি নিটপিকিং, তবে বেয়েস / ল্যাপলেসের সূত্র হিসাবে বায়েস উপপাদ্যটি উল্লেখ করা কি আরও সঠিক হবে না ..?

— টিম

2

@ টিম: আপনাকে ধন্যবাদ, তবে আমি অত্যধিক শাওনবাদী শব্দ শুনতে চাই না! এবং এটি একটি সত্য যে বেয়েসের ডিস্রিট (দ্বিপদী) এবং অবিচ্ছিন্ন (বিটা) জন্য সূত্রটি বয়েস (1763) কাগজে উপস্থিত হয়েছিল। অবশ্যই, ল্যাপ্লেস আরও বিস্তৃত সাধারণতার ফলাফল নির্ধারণ করেছে।

X

$X$

Y

$Y$

— শি'য়ান

4

অবিচ্ছিন্ন এবং বিচ্ছিন্ন হলে টুকরাগুলি কীভাবে একসাথে ফিট করতে পারে তার একটি স্কেচ দেব । $Y$ $X$

মিশ্রিত যৌথ ঘনত্ব:

f_{X Y} (x, y)

$f_{XY}(x,y)$

প্রান্তিক ঘনত্ব এবং সম্ভাবনা:

f_{Y} (y) = \sum_{x \in X} f_{X Y} (x, y)

$f_Y(y) = \sum_{x \in X} f_{XY}(x, y)$

P (X = x) = \int f_{X Y} (x, y) d y

$P(X = x) = \int f_{XY}(x, y) \;dy$

শর্তাধীন ঘনত্ব এবং সম্ভাবনা:

f_{Y ∣ X} (y ∣ X = x) = \frac{f_{X Y} (x, y)}{P (X = x)}

$f_{Y\mid X}(y \mid X = x) = \frac{f_{XY}(x, y)}{P(X=x)}$

P (X = x ∣ Y = y) = \frac{f_{X Y} (x, y)}{f_{Y} (y)}

$P(X=x \mid Y = y) = \frac{f_{XY}(x, y)}{f_Y(y)}$

বেইস বিধি:

f_{Y ∣ X} (y ∣ X = x) = \frac{P (X = x ∣ Y = y) f_{Y} (y)}{P (X = x)}

$f_{Y\mid X}(y \mid X = x) = \frac{P(X=x \mid Y = y) f_Y(y)}{P(X=x)}$

P (X = x ∣ Y = y) = \frac{f_{Y ∣ X} (y ∣ X = x) P (X = x)}{f_{Y} (y)}

$P(X=x \mid Y = y) = \frac{f_{Y\mid X}(y \mid X = x)P(X=x)}{f_Y(y)}$

অবশ্যই, সম্ভাব্যতার মোকাবেলার জন্য আধুনিক, কঠোর উপায়টি পরিমাপ তত্ত্বের মাধ্যমে। সুনির্দিষ্ট সংজ্ঞা জন্য, শি'ানের উত্তর দেখুন।

— ম্যাথু গন
সূত্র

2

নোট করুন যে উইকিপিডিয়া নিবন্ধটি আসলে নিম্নলিখিত সংজ্ঞাটি ব্যবহার করে: এটি, এটি ফলাফলটিকে ঘনত্ব হিসাবে বিবেচনা করে, আপনার কাছে যেমন সম্ভাবনা রয়েছে তেমন নয়। সুতরাং আমি বলব যে আপনি ঠিক বলেছেন যে যখন অবিচ্ছিন্ন এবং বিযুক্ত থাকে তখন অপরিবর্তিত থাকে, এজন্য আমরা সেই ক্ষেত্রে এর চেয়ে বেশি সম্ভাবনার ঘনত্ব বিবেচনা করি ।

f_{X} (x | Y = y) = \frac{P (Y = y | X = x) f_{X} (x)}{p (Y = y)}

$f_X(x|Y=y) = \frac{P(Y=y|X=x)f_X(x)}{p(Y=y)}$

P (X = x | Y = y)

$P(X=x|Y=y)$

X

$X$

Y

$Y$

X

$X$

সম্পাদনা: স্বরলিপি সম্পর্কে বিভ্রান্তির কারণে (মন্তব্যগুলি দেখুন) উপরেরটি প্রকৃতপক্ষে বিপরীত পরিস্থিতিটিকে বোঝায় যা ক্যাভম্যান সম্পর্কে জিজ্ঞাসা করেছিল।

— রুবেন ভ্যান বার্গেন
সূত্র

কেমন আছে সংজ্ঞায়িত যখন

আমার চেষ্টা