স্ট্রিং-দৈর্ঘ্য এবং সম্ভাব্য অক্ষরের উপর ভিত্তি করে সাধারণ সংমিশ্রণ / সম্ভাব্যতা প্রশ্ন

"সম্পূর্ণ র্যান্ডমনেস" ধরে নেওয়া এবং 20 টি অক্ষরের দৈর্ঘ্যের স্ট্রিং দেওয়া যেখানে প্রতিটি অক্ষর সম্ভাব্য 62 টির মধ্যে একটি হতে পারে:

সংমিশ্রণের মোট সংখ্যা কত? (62 এর পাওয়ারের অনুমান 20)
এছাড়াও, যদি নতুন স্ট্রিংগুলি একের পর এক এলোমেলোভাবে নির্বাচিত হয় এবং এখনও অবধি নির্বাচিত স্ট্রিংগুলির তালিকায় যুক্ত হয়, ইতিমধ্যে নির্বাচিত একটি স্ট্রিং নির্বাচনের সম্ভাবনার আগে কতগুলি স্ট্রিং নির্বাচন করতে হবে তা 1-ইন-100000 ( )? $10^{-5}$

দ্রষ্টব্য: 62 টি এসেছে: সংখ্যার অঙ্কগুলি (0-9), বড় হাতের অক্ষর (এজেড) এবং ছোট হাতের অক্ষর (আজ)।

probability combinatorics

— সাঙ্ঘাতিক ভুল
সূত্র

আপনার দ্বিতীয় বুলেট পয়েন্টটি সম্ভাব্য দুটি উপায়ে (কমপক্ষে) পড়া যেতে পারে। আমি ভাবছি করছি যা আপনি করতে আগ্রহী হন। ( 1 ) সম্ভাব্যতা যে ম স্ট্রিং পূর্ববর্তী স্ট্রিং এক বা (সাথে মেলে 2 ) সম্ভাব্যতা যে সময় দ্বারা ম স্ট্রিং নির্বাচন করা হয় অস্তিত্ব আছে কিছু সংগ্রহ মধ্যে ডুপ্লিকেট স্ট্রিং এ পর্যন্ত টানা। এই দুটি প্রশ্নের উত্তর খুব আলাদা হবে। :)

n

$n$

n

$n$

— কার্ডিনাল

সম্ভবত একটি দ্বি-চরিত্রের বর্ণমালা বিবেচনা করলে পার্থক্য পরিষ্কার হয়ে যাবে। বর্ণগুলি এবং । আমরা জিজ্ঞাসা করতে পারেন: ( 1 ) কি জন্য না আমরা অন্তত একটি 99% সুযোগ আছে ম স্ট্রিং একটি পূর্ববর্তী স্ট্রিং এর একটি ডুপ্লিকেট হচ্ছে? এখানে 8 থেকে যদি আমাদের ক্রম পারেন শুধুমাত্র আমরা যেভাবে ব্যর্থ হয় বা , যা মোট সম্ভাবনা আছে । বা, আমরা জিজ্ঞাসা করি ( ২ ) কোন জন্য আমাদের কিছু নকল দেখার কমপক্ষে 99% সুযোগ আছে? এই ক্ষেত্রে সাল থেকে আমরা তিনটি স্ট্রিং

H

$H$

T

$T$

n

$n$

n

$n$

n

$n$

T T T \dots T H

$TTT \cdots TH$

H H H \dots H T

$HHH\cdots HT$

2^{- (n - 1)}

$2^{-(n-1)}$

n

$n$

n = 3

$n = 3$

H

$H$ অথবা কমপক্ষে একবার পুনরাবৃত্তি হয়েছে।

T

$T$

— কার্ডিনাল

ম্যাট এর উত্তরগুলি হ্যান্ডল করে ( 1 ), যা "আমার" স্ট্রিং অন্য কারও সাথে মেলে কিনা এই প্রশ্নের উত্তর দেয়। কিন্তু, যদি আপনি কিছু অন্য দুটি মানুষের স্ট্রিং নিয়ে চিন্তিত আছেন এছাড়াও সম্ভাব্য মিলে, তাহলে আপনি (আগ্রহী 2 )। আপনার আগ্রহের একটি নির্দিষ্ট স্ট্রিং রয়েছে যা আপনি অন্য সকলের সাথে তুলনা করছেন বা আপনি সমস্ত স্ট্রিং একে অপরের সাথে তুলনা করছেন কিনা তা নীচে নেমে আসে। যদিও আমি যে কোনও পরিষ্কার করে দিচ্ছি তা নিশ্চিত না। (আপনার সমস্যা বিখ্যাত তথাকথিত "জন্মদিনের সমস্যা" এর দুটি রূপের মধ্যে একটিতে

— কার্ডিনাল

কার্ডিনাল যথারীতি সঠিক। আমি ধরে নিয়েছি আপনার কাছে একটি "টার্গেট" স্ট্রিং রয়েছে, যার জন্য আপনি অনুমানের একটি তালিকা তৈরি করছেন। যদি এর পরিবর্তে, আপনি এলোমেলোভাবে স্ট্রিং তৈরি করছেন এবং কোনও দুটি স্ট্রিং মিলের আগে এটি যে নম্বরটি তৈরি করা নিরাপদ তা জানতে চান, তবে উত্তরটি অবশ্যই খুব আলাদা। আমি আমার উত্তরটি সংশোধন করব সেই মামলার সমাধান করার জন্য, যদি এটি আপনার সাথে ঠিক থাকে।

— ম্যাট ক্রাউস

আমি আমার আগের উদাহরণটি পুরোপুরি পরিষ্কার করিনি। এর জন্যে দুঃখিত. আমি একটি দ্বি-বর্ণ বর্ণমালা এবং একটি দৈর্ঘ্যের স্ট্রিং আঁকছিলাম । অতএব, আমি যখন লিখেছি , সেটি , , ..., , ।

{H, T}

$\{H,T\}$

H H H \dots H T

$HHH\cdots HT$

s_{1} = H

$s_1 = H$

s_{2} = H

$s_2 = H$

s_{n - 1} = H

$s_{n-1} = H$

s_{n} = T

$s_n = T$

— কার্ডিনাল

সম্ভাবনার মোট সংখ্যা

1) বন্ধ! আপনি যাতে আপনি দিয়ে শেষ প্রথম অক্ষর, 2nd জন্য 62, ইত্যাদি জন্য 62 পছন্দ পেয়েছেন , যা একটি অদ্ভূত বিশাল সংখ্যা। $62 \cdot 62 \cdot 62 \cdot \cdots 62 = 62^{20}$

একটি "টার্গেট" স্ট্রিংয়ের সাথে সংঘর্ষ

2) আমরা উপরে প্রতিষ্ঠিত হিসাবে, সম্ভাব্য স্ট্রিং আছে। আপনি "টার্গেট" স্ট্রিংটি অনুমান করার 100,000 মতামতগুলির মধ্যে 1 টির চেয়ে ভাল হওয়ার জন্য আপনার কতজনকে অনুমান করতে হবে তা আপনি জানতে চান। মূলত, আপনি কি জিজ্ঞাসা করছেন এটিকে স্পট করতে, আপনাকে এক্স গোল করতে হবে (বা একটি যোগ করতে হবে, যদি সেগুলি যথাযথভাবে সমান হয়) তবে আপনি যেমনটি এক সেকেন্ডে দেখতে পাবেন তা আসলে কোনও ব্যাপার নয়। $62^{20}$

\frac{x}{62^{20}} \geq \frac{1}{10^{5}}

$\frac{x}{62^{20}} \ge \frac{1}{10^5}$

মৌলিক বীজগণিতের মাধ্যমে, আমরা এটিকে পুনরায় সাজিয়ে তুলতে পারি

\begin{aligned} 10^{5} x & \geq 62^{20} \\ 10^{5} x & \geq (6.2 \cdot 10)^{20} \\ 10^{5} x & \geq {6.2}^{20} \cdot 10^{20} \\ x & \geq {6.2}^{20} \cdot 10^{15} \end{aligned}

$\begin{aligned} 10^5x &\ge 62^{20}\\ 10^5{x} &\ge (6.2 \cdot 10)^{20}\\ 10^5x &\ge 6.2^{20} \cdot 10^{20}\\ x &\ge 6.2^{20} \cdot 10^{15} \end{aligned}$

গণিতটি করা, about প্রায় , সুতরাং আসুন পুরো জিনিসটি বা আরও সংশ্লেষপূর্ণভাবে বলা যায়, অনেকগুলি পুরো হেক। $6.2^{20}$ $7 \cdot 10^{15}$ $7 \cdot 10^{30}$

এটি অবশ্যই, কেন দীর্ঘ পাসওয়ার্ডগুলি সত্যই ভাল কাজ করে :-) সত্যিকারের পাসওয়ার্ডগুলির জন্য অবশ্যই আপনাকে বিশ এর চেয়ে কম বা সমান দৈর্ঘ্যের স্ট্রিংগুলির বিষয়ে চিন্তা করতে হবে, যা সম্ভাবনার সংখ্যা আরও বাড়িয়ে তোলে।

তালিকায় নকল

এখন, অন্যান্য পরিস্থিতি বিবেচনা করা যাক। স্ট্রিংগুলি এলোমেলোভাবে উত্পাদিত হয় এবং আমরা নির্ধারণ করতে চাই যে কোনও দুটি স্ট্রিংয়ের মিলের সম্ভাবনা 1: 100,000 হওয়ার আগে কতটি উত্পন্ন হতে পারে। এই সমস্যার ক্লাসিক সংস্করণটিকে জন্মদিনের সমস্যা (বা 'প্যারাডক্স') বলা হয় এবং জিজ্ঞাসা করেন যে দু'জন ব্যক্তির একই জন্মদিনের সম্ভাবনা কী। উইকিপিডিয়া নিবন্ধ [1] দেখতে শালীন দেখায় এবং এমন কয়েকটি সারণী রয়েছে যা আপনি দরকারী হিসাবে দেখতে পারেন। তবুও, আমি এখানেও উত্তরটির স্বাদ দেওয়ার চেষ্টা করব।

কিছু বিষয় মনে রাখতে হবে:

- ম্যাচের সম্ভাবনা এবং ম্যাচ না হওয়ার সম্ভাবনাটি 1 এর সমষ্টি হতে হবে, সুতরাং এবং তদ্বিপরীত। $P(\textrm{match}) = 1 - P(\textrm{no match})$

-For দুটি স্বাধীন ঘটনা এবং , সম্ভাব্যতা । $A$ $B$ $P(A \& B) = P(A) \cdot P(B)$

উত্তর পেতে, আমরা স্ট্রিং একটি নির্দিষ্ট সংখ্যার জন্য একটি ম্যাচ না এইজন্য সম্ভাব্যতা গণনা করে শুরু করতে যাচ্ছেন । এটি কীভাবে করা যায় তা জানার পরে আমরা সেই সমীকরণটি প্রান্তিকের সমান (1 / 100,000) সেট করতে এবং জন্য সমাধান করতে পারি । সুবিধার্থে, আসুন কে সম্ভাব্য স্ট্রিংয়ের নম্বর ( ) বলুন। $k$ $k$ $N$ $62^{20}$

আমরা তালিকার নীচে 'হাঁটাচলা' করতে যাচ্ছি এবং সম্ভাব্যতা গণনা করছি যে তালিকার "উপরে" স্ট্রিংয়ের সাথে ^ {থ} স্ট্রিং এর সাথে মেলে। প্রথম স্ট্রিংয়ের জন্য, আমরা টি মোট স্ট্রিং পেয়েছি এবং তালিকায় কিছুই নেই, সুতরাং । দ্বিতীয় স্ট্রিংয়ের জন্য, এখনও মোট সম্ভাবনা রয়েছে, তবে এর মধ্যে একটি প্রথম স্ট্রিং দ্বারা "ব্যবহৃত" হয়েছে, সুতরাং এই স্ট্রিংয়ের ম্যাচের সম্ভাবনা the তৃতীয় স্ট্রিংয়ের জন্য, এটির দুটি ম্যাচ ম্যাচ এবং সুতরাং উপায়গুলি না , সুতরাং ইত্যাদি। সাধারণভাবে, সম্ভাবনা $k$ $N$ $P_{k=1}(\textrm{no match}) = \frac{N}{N} = 1$ $N$ $P_{k=2}(\textrm{no match}) = \frac{N-1}{N}$ $N-2$ $P_{k=3}(\textrm{no match}) = \frac{N-2}{N}$ $k$ স্ট্রিং অন্যের সাথে মেলে না তা হল

P_{k} (no match) = \frac{N - k + 1}{N}

$P_{k}(\textrm{no match})= \frac{N-k+1}{N}$

তবে, আমরা চাই যে কোনও স্ট্রিং এর মধ্যে কোনও মিলের সম্ভাবনা নেই । যেহেতু সমস্ত ইভেন্ট স্বতন্ত্র (প্রশ্ন অনুসারে), আমরা কেবলমাত্র এই সম্ভাবনাগুলি একসাথে গুন করতে পারি: এটিকে কিছুটা সহজ করা যায়: প্রথম পদক্ষেপটি ভগ্নাংশকে একসাথে বহুগুণ করে, দ্বিতীয়টি ফ্যাকটোরিয়াল ( ) এর পণ্যগুলি প্রতিস্থাপন করতে $k$

P (No Matches) = \frac{N}{N} \cdot \frac{N - 1}{N} \cdot \frac{N - 2}{N} \dots \frac{N - k + 1}{N}

$P(\textrm{No Matches}) = \frac{N}{N} \cdot \frac{N-1}{N} \cdot \frac{N-2}{N} \cdots \frac{N-k+1}{N}$

\begin{aligned} P (No Matches) & = \frac{N \cdot (N - 1) \cdot (N - 2) \dots (N - k + 1)}{N^{k}} \\ P (No Matches) & = \frac{N!}{N^{k} \cdot (N - k)!} \\ P (No Matches) & = \frac{k! \cdot (\binom{N}{k})}{N^{k}} \end{aligned}

$\begin{aligned} P(\textrm{No Matches}) &= \frac{N \cdot (N-1) \cdot (N-2) \cdots (N-k+1)}{N^k} \\ P(\textrm{No Matches}) &= \frac{N!}{N^k \cdot (N-k)!} \\ P(\textrm{No Matches}) &= \frac{k! \cdot \binom{N}{k}}{N^k} \\ \end{aligned}$

k! = (k) \cdot (k - 1) \cdot (k - 2) \dots 1

$k! = (k) \cdot (k-1) \cdot (k-2) \cdots 1$

N - k + 1 \dots N

$N-k+1 \cdots N$ সাথে আরও কিছুটা সামঞ্জস্যযোগ্য কিছু রয়েছে এবং চূড়ান্ত পদক্ষেপটি দ্বিপদী সহগের মধ্যে পরিবর্তিত হয়। এটি আমাদের স্ট্রিং উত্পন্ন করার পরে কোনও মিল নেই হওয়ার সম্ভাবনার জন্য একটি সমীকরণ দেয় । তত্ত্ব অনুসারে, আপনি equal এর সমান এবং জন্য সমাধান করতে পারেন । অনুশীলনে, এর উত্তর দেওয়া শক্ত হতে চলেছে যেহেতু আপনি বিপুল সংখ্যায় বিভাজন / ভাগ করবেন - ফ্যাকটোরিয়ালগুলি দ্রুত দ্রুত বৃদ্ধি পায় ( দীর্ঘ 150 ডিজিটের বেশি)।

k

$k$

\frac{1}{100, 000}

$\frac{1}{100,000}$

k

$k$

100!

$100!$

যাইহোক, কল্পিত এবং সম্পূর্ণ সমস্যার জন্য উভয়ই আনুমানিকতা রয়েছে। এই কাগজটি [2] যেখানে পি ম্যাচ না দেখার সম্ভাবনা। তাঁর পরীক্ষাগুলি সর্বাধিক এ বেরিয়ে গেছে তবে এটি এখনও সেখানে বেশ নির্ভুল। আপনার নম্বর প্লাগিং, আমি প্রায় পেতে ।

k = 0.5 + \sqrt{0.25 - 2 N \ln (p)}

$k = 0.5 + \sqrt{0.25 - 2N\ln(p)}$

N = 48, 000

$N=48,000$

3.7 \cdot 10^{15}

$3.7 \cdot 10^{15}$

তথ্যসূত্র

[1] http://en.wikedia.org/wiki/ জন্মদিন_প্রব্লেম

[2] ম্যাথিস, ফ্রাঙ্ক এইচ। (জুন 1991)। "একটি সাধারণ জন্মদিনের সমস্যা"। সিয়াম পর্যালোচনা (শিল্প ও প্রয়োগকৃত গণিতের সোসাইটি) 33 (2): 265–270। জেএসটিওর লিঙ্ক

— ম্যাট ক্রাউস
সূত্র

+1 আশ্চর্যজনক, আমার দুর্বল গণিত দক্ষতার স্পষ্টতই প্রশ্ন জিজ্ঞাসা করার ফলস্বরূপ, আমি প্রশ্নটি একদিনের জন্য উত্তর ছাড়াই রেখে দেব, তবে আমার কাছে ভাল লাগছে, এবং আমার প্রত্যাশার চেয়ে উত্তরটি আরও পরিষ্কার! ধন্যবাদ!

— 25:55

সাহায্য করে আনন্দ পেলাম! কিছু অস্পষ্ট কিনা তা আমাকে জানান Let কিকের জন্য, আমি সংখ্যাগুলি চালিয়েছি। আপনার 7044234255469980229683302646164 অনুমানের প্রয়োজন হবে; যেমন আমি বলেছি - অনেক!

— ম্যাট ক্রাউস 3

+1 @ ম্যাট ক্রাউস: উত্তরের নীচে আপনার মন্তব্যে +1; আপনার উত্তর এবং সম্ভাব্য সর্বোত্তম উত্তর দেওয়ার প্রতিশ্রুতিবদ্ধ উদাহরণ হ'ল অনুকরণীয়, লক্ষণীয়, এবং আপনার কঠোর পরিশ্রমের জন্য আপনাকে ধন্যবাদ!

— সাঙ্ঘাতিক ভুল