আর-তে গণনা করা মাল্টিভিয়ারেট অরথোগোনাল বহুভুজ কী কী?

Question

অবিচ্ছিন্ন পয়েন্টের অরথোগোনাল বহুবৈচিত্রগুলি হ'ল বহুবচন যা এই বিন্দুতে এমন মান তৈরি করে যে এর বিন্দু পণ্য এবং জোড়াওয়ালা পারস্পরিক সম্পর্কটি শূন্য। আর ফাংশন পলির সাথে অরথোগোনাল বহুপদী তৈরি করতে পারে ।

একই ফাংশনে একটি বৈকল্পিক পলিম রয়েছে যা মাল্টিভারিয়েট পয়েন্টস সেটগুলিতে অরথোগোনাল বহুবচন তৈরি করে। যাইহোক, ফলস্বরূপ বহুভুজগুলি যুগলভাবে শূন্য সম্পর্ক স্থাপনের অর্থে অর্থেগোনাল নয়। প্রকৃতপক্ষে, যেহেতু প্রথম ক্রমের বহুত্বগুলি কেবলমাত্র মূল ভেরিয়েবল হিসাবে বিবেচিত হয়, তাই প্রথম ক্রমের বহুত্বগুলি মূল পরিবর্তনকগুলি অসংলগ্ন না হলে অরথগোনাল হবে না।

তারপরে, আমার প্রশ্নগুলি হ'ল:

• আরে পলিম দ্বারা গণনা করা মাল্টিভিয়ারেট অরথোগোনাল বহুবচনগুলি কী কী? এগুলি কি কেবল অখণ্ডিত অরথোগোনাল বহুবর্ষের পণ্য? তারা কি জন্য ব্যবহার করা হয়?
• সত্য মাল্টিভারিয়েট অরথোগোনাল বহুবর্ষের অস্তিত্ব থাকতে পারে? তাদের উত্পাদন করার কোন সহজ উপায় আছে? আর? এগুলি কি আসলে রিগ্রেশনে ব্যবহৃত হয়?

হালনাগাদ

সুপারপ্রোনকারের মন্তব্যের প্রতিক্রিয়ায়, আমি নিরবিচ্ছিন্ন বহুবর্ষের সাথে আমি কী বোঝাতে চাই তার একটি উদাহরণ দিচ্ছি:

> x<-rnorm(10000)
> cor(cbind(poly(x,degree=3)))
              1             2             3
1  1.000000e+00 -6.809725e-17  2.253577e-18
2 -6.809725e-17  1.000000e+00 -2.765115e-17
3  2.253577e-18 -2.765115e-17  1.000000e+00

পলি ফাংশনটি x বিন্দুতে মূল্যায়িত অরথোগোনাল বহুবচনগুলি (প্রতিটি বহুত্বের জন্য এখানে 10,000 পয়েন্ট) প্রদান করে। বিভিন্ন বহুভুজের মানগুলির মধ্যে সম্পর্কটি শূন্য (কিছু সংখ্যাসূচক ত্রুটি সহ) is

মাল্টিভারিয়েট বহুপদী ব্যবহার করার সময়, পারস্পরিক সম্পর্কগুলি শূন্যের চেয়ে পৃথক:

> x<-rnorm(1000)
> y<-rnorm(1000)
> cor(cbind(polym(x,y,degree=2)))
              1.0           2.0           0.1         1.1           0.2
1.0  1.000000e+00  2.351107e-17  2.803716e-02 -0.02838553  3.802363e-02
2.0  2.351107e-17  1.000000e+00 -1.899282e-02  0.10336693 -8.205039e-04
0.1  2.803716e-02 -1.899282e-02  1.000000e+00  0.05426440  5.974827e-17
1.1 -2.838553e-02  1.033669e-01  5.426440e-02  1.00000000  8.415630e-02
0.2  3.802363e-02 -8.205039e-04  5.974827e-17  0.08415630  1.000000e+00

অতএব, আমি বুঝতে পারি না যে এই দ্বিবিভক্ত বহুবচনগুলি অর্থেগোনাল।

আপডেট 2

আমি রিগ্রেশন ব্যবস্থায় ব্যবহৃত "অরথোগোনাল বহুবর্ষ" এর অর্থ পরিষ্কার করতে চাই কারণ সংযুক্ত বিরতিতে অर्थোগোনাল বহুবর্ষ থেকে ধারণাগুলি প্রয়োগ করার সময় এই প্রসঙ্গটি কোনওভাবেই বিভ্রান্তিমূলক হতে পারে - যেমনটি গত সুপারপ্রোনকারের মন্তব্যে।

জুলিয়ান জে ফারাওয়ের প্র্যাক্টিকাল রিগ্রেশন এবং আনোভা 101 পৃষ্ঠা এবং 102 ব্যবহার করে উদ্ধৃত করেছি :

অরথোগোনাল বহুবর্ষগুলি

$$z_1=a_1+b_1x$$ $$z_2= a_2+b_2x+c_2x^2$$ $$z_3= a_3+b_3x+c_3x^2+d_3x^3$$ সংজ্ঞায়িত করে এই সমস্যাটি ঘিরে ফেলবে ইত্যাদি যেখানে সহগের a, b, c ... বেছে নেওয়া হয় যাতে $z_i^T·z_j=0$যখন $i \neq j$ । জেডকে অরথোগোনাল বহুপদী বলা হয়।

ভাষার সামান্য অপব্যবহারের মাধ্যমে, এখানে লেখক উভয়ই বহুবচন (একটি ফাংশন হিসাবে) এবং বহির্মুখী সেট পয়েন্টগুলিতে বহন করে এমন মানগুলির ভেক্টরের জন্য ব্যবহার করেন । অথবা এটি একেবারেই ভাষার অপব্যবহারও নয় কারণ বইয়ের শুরু থেকেই ভবিষ্যদ্বাণী হয়ে গেছে (উদাহরণস্বরূপ ভবিষ্যদ্বাণীকারীর দ্বারা নেওয়া মূল্যবোধের সেট)।$z_i$$x$$x$

অরথোগোনাল পলিনোমিয়ালের এই অর্থটি কোনও বিরতিতে অর্থোগোনাল বহুবচন থেকে আসলে আলাদা নয়। আমরা কোনও পরিমাপের ক্রিয়াকলাপ সহ কোনও পরিমাপযোগ্য সেটের তুলনায় orthogonal বহুভুজকে স্বাভাবিক উপায়ে (ইন্টিগ্রালগুলি ব্যবহার করে) সংজ্ঞায়িত করতে পারি। এখানে আমাদের একটি সীমাবদ্ধ সেট রয়েছে ( ) এবং আমরা ইন্টিগ্রালের পরিবর্তে ডট পণ্য ব্যবহার করছি তবে এটি এখনও অরথোগোনাল বহুপদী আছে যদি আমরা আমাদের সীমাবদ্ধ সেটটির পয়েন্টগুলিতে ডাইরাক ডেল্টা হিসাবে আমাদের পরিমাপের কাজটি গ্রহণ করি।$x$

এবং পারস্পরিক সম্পর্কের ক্ষেত্রে: in এ অর্থোগোনাল ভেক্টরগুলির ডট পণ্য (একটি সীমাবদ্ধ সংস্থায় অর্থোগোনাল ভেক্টরের চিত্র হিসাবে)। যদি দুটি ভেক্টরের ডট পণ্য শূন্য হয় তবে কোভেরিয়েন্স শূন্য হয়, এবং সমবায়ু যদি শূন্য হয় তবে শূন্য হয়। লিনিয়ার মডেলগুলির প্রসঙ্গে "অরথোগোনাল" এবং "অসংরক্ষিত" সম্পর্কিত হিসাবে "পরীক্ষাগুলির অরথোগোনাল ডিজাইন" সম্পর্কিত খুব দরকারী।$R^n$

Comments

আপনি যখন বলছেন যে একটি বিন্দুতে বহুভুজগুলি অসামঞ্জস্যিত? স্টোকাস্টিক ভেরিয়েবলগুলি অসংরক্ষিত হতে পারে; ভেক্টরগুলির শূন্যের সমান বিন্দুর পণ্য থাকতে পারে।

— সুপারপ্রোনকার

পয়েন্টের একটি সীমাবদ্ধ মূল্যায়িত যখন মূল্যায়ন করা হয়, আমরা প্রতিটি বহুপদী জন্য মান একটি সেট পেতে। আমরা সেই মানগুলির সেটগুলির মধ্যে এবং অরথোগোনাল বহুপদীগুলির জন্য পারস্পরিক সম্পর্ক গণনা করতে পারি zero যেহেতু পারস্পরিক সম্পর্ক কোভারিয়েন্সের সাথে সম্পর্কিত এবং covariance ডট পণ্য সম্পর্কিত, তাই আমি ধরে নিই যে শূন্য পরস্পর সম্পর্ক এবং শূন্য ডট পণ্য সমতুল্য।

— পেরে

দুঃখিত যদি আমি ভুল বুঝি তবে আমি এখনও তা অনুসরণ করি না। সম্পর্ক আপনার কাছে দুটি ভেক্টরের মধ্যে রয়েছে যেখানে বলুন যে, প্রত্যেকটির এন পর্যবেক্ষণ। আপনার অর্থ কি প্রথম এবং দ্বিতীয় আদেশের মেয়াদটি অসংরক্ষিত হওয়া উচিত? তারপরে এটি নির্ভর করে আপনি যে পয়েন্টগুলি মূল্যায়ন করেন তার উপর। [-1; 1] এ তারা কিন্তু [0; 1] এ নয়। আমি মনে করি অরথোগোনালিটি এবং অসামঞ্জস্যতার মধ্যে সম্পর্কের জন্য আপনার স্বজ্ঞাততাটি সুনির্দিষ্ট নয়।

— সুপারপ্রোনকার

আমি এইটি দিয়ে প্রশ্নটি আপডেট করেছি, যদিও রিগ্রেশন অরথোগোনালটির প্রসঙ্গে এবং অসামঞ্জস্যতা প্রায় সমার্থক শব্দ। আমি একটি উত্স যুক্ত। এবং হ্যাঁ, এটি আমাদের পর্যালোচনা করা পয়েন্টগুলির উপর নির্ভর করে। অর্ডার পলির প্রথম যুক্তি হ'ল আমরা যে পয়েন্টগুলির মূল্যায়ন করছি তার ভেক্টর এবং আমার উদাহরণগুলির প্রথম ধাপটি মূল্যায়নের জন্য পয়েন্টগুলির একটি ভেক্টরের প্রজন্ম। রিগ্রেশনে আমরা আমাদের পূর্বাভাসকের মানগুলিতে গোঁড়া ভেক্টরগুলিতে আগ্রহী।

— পেরে

আমি মনে করি নোটেশনের অপব্যবহার যতটা মনে হচ্ছে তত বেশি সমস্যাযুক্ত; দুটি পলিনোমিয়ালের অরথোগোনালিটিকে সংজ্ঞায়িত করা হয় না যে বিন্দুজাতীয় পণ্যটি শূন্য হিসাবে আপনি পলিনমিকগুলি যেখানেই মূল্যায়ন করেন। বরং এটি হ'ল দুটি বহুপদী শর্তগুলির (বিভিন্ন আদেশের) একটি "ফাংশন অর্থে" জিরো ডট পণ্য থাকা উচিত; এবং ফাংশনগুলির জন্য ডট পণ্যগুলি সাধারণত কিছু পরিমাপের (যেমন ওজন ফাংশন) সংহত হয়। En.m.wikedia.org/wiki/Orthogonal_polynomials দেখুন । আমি সঠিক হলে এটি বিভ্রান্তির ব্যাখ্যা দেয়। তবে উইকিতে মুহুর্তের সম্পর্কের বিষয়ে একটি মন্তব্য রয়েছে।

— সুপারপ্রোকার

Answer 1

আসুন কী ঘটছে তা ঘুরে দেখি। আমি নিশ্চিত যে আপনি ইতিমধ্যে নিম্নলিখিত উপাদানগুলির বেশিরভাগটি জানেন তবে নোটেশন এবং সংজ্ঞা প্রতিষ্ঠা করতে এবং ধারণাগুলি পরিষ্কার করার জন্য, আমি প্রশ্নের উত্তর দেওয়ার আগে বহুবর্ষীয় রিগ্রেশনের মূল বিষয়গুলি আবরণ করব। আপনি যদি চান Rতবে এই পোস্টের দুই-তৃতীয়াংশ পথটি "কী করে" শিরোনামে লাফিয়ে যান এবং তারপরে আপনার যে কোনও সংজ্ঞা প্রয়োজন হতে পারে সে জন্য ফিরে যান।

সেটিং

আমরা কোনও ধরণের রিগ্রেশনে সম্ভাব্য বর্ণনামূলক ভেরিয়েবলগুলির একটি $n\times k$ মডেল ম্যাট্রিক্স $\mathbb X$ বিবেচনা করছি । এর অর্থ আমরা $\mathbb X$ এর কলামগুলি $n$ ভেক্টর $X_1, X_2, \ldots, X_k$ হিসাবে ভাবছি এবং আমরা সেগুলির রৈখিক সংমিশ্রণগুলি তৈরি করব, $\beta_1 X_1 + \beta_2 X_2 + \cdots + \beta_k X_k,$ একটি প্রতিক্রিয়ার পূর্বাভাস বা অনুমান করতে।

কখনও কখনও $X$ বিভিন্ন কলামকে একে অপরের দ্বারা গুণিত করে সহগের দ্বারা গুণন করে অতিরিক্ত কলাম প্রবর্তন করে একটি রিগ্রেশন উন্নত করা যায় । এই জাতীয় পণ্যগুলিকে "মনোমিয়ালস" বলা হয় এবং এটি লিখতেও পারে

$$X_1^{d_1} X_2^{d_2} \cdots X_k^{d_k}$$

যেখানে প্রতিটি "পাওয়ার" $d_i$ শূন্য বা তার চেয়ে বড়, প্রতিটি $X_1$ পণ্যটিতে কতবার উপস্থিত হয় তা উপস্থাপন করে। লক্ষ করুন যে $X^0$ হ'ল ধ্রুবক সহগ ( 1 ) এবং এক্স 1 = এক্স নিজেই একটি $n$ ভেক্টর । সুতরাং, মনোমিয়ালগুলি (ভেক্টর হিসাবে) একটি ভেক্টর স্পেস উত্পন্ন করে যা এক্সের মূল কলাম স্থান অন্তর্ভুক্ত করে । এটি বৃহত্তর ভেক্টর স্পেস হতে পারে এমন সম্ভাবনা লিনিয়ার সংমিশ্রণগুলির সাথে প্রতিক্রিয়াটি মডেল করার জন্য এই পদ্ধতিটিকে বৃহত্তর সুযোগ দেয়।$1$$X^1=X$$\mathbb X.$

আমরা মনোমালির সংগ্রহ রৈখিক সংমিশ্রণ দ্বারা মূল মডেল ম্যাট্রিক্স $\mathbb X$ প্রতিস্থাপন করতে চাইছি। যখন এই মনোমালিন্যের মধ্যে কমপক্ষে একটির ডিগ্রি $1,$ ছাড়িয়ে যায় , তখন এটিকে বহুতোষ রিগ্রেশন বলে।

বহুবর্ষের গ্রেডিং

ডিগ্রী একটি monomial তার ক্ষমতা সমষ্টি হল $d_1+d_2+\ldots+d_k.$ মোমোমিয়ালগুলির একটি লিনিয়ার সংমিশ্রণের ডিগ্রি (একটি "বহুভিত্তিক") ননজারো সহগের সাথে একচেটিয়া পদগুলির মধ্যে বৃহত্তম ডিগ্রি। ডিগ্রির একটি অন্তর্নিহিত অর্থ রয়েছে, কারণ আপনি যখন আসল ভেক্টরের জায়গার ভিত্তি পরিবর্তন করেন, প্রতিটি ভেক্টর $X_i$ নতুনভাবে সমস্ত ভেক্টরগুলির একটি রৈখিক সংমিশ্রণ দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা হয়; monomials $X_1^{d_1} X_2^{d_2} \cdots X_k^{d_k}$এর ফলে একই ডিগ্রির বহুবর্ষে পরিণত হয়; এবং ফলস্বরূপ যে কোনও বহুপদী ডিগ্রি অপরিবর্তিত হয়।

ডিগ্রিটি এই বহুবর্ষীয় বীজগণিতকে একটি প্রাকৃতিক "গ্রেডিং" সরবরাহ করে: $X$ ডিগ্রি পর্যন্ত এবং $d+1,$ সহ সমস্ত লিনিম সংমিশ্রণ দ্বারা উত্পাদিত ভেক্টর স্পেস , "[বা উচ্চতর] ডিগ্রি $d+1$ এর বহুবর্ষ বলে $X,$ "ডিগ্রী পর্যন্ত polynomials এর ভেক্টর স্থান প্রসারিত $d$ মধ্যে $X.$

বহুবর্ষীয় রিগ্রেশন ব্যবহার

প্রায়শই, বহুবর্ষীয় রিগ্রেশনটি অনুসন্ধানে এমন অর্থে হয় যে আমরা শুরুতে জানি না যে কোন মনোমালিকাগুলি অন্তর্ভুক্ত করা উচিত। মনোমালিকাগুলির বাইরে নতুন মডেল ম্যাট্রিক তৈরি করার পদ্ধতি এবং রিগ্রেশনটিকে পুনরায় ফিট করার প্রক্রিয়াটি বেশ কয়েকবার পুনরাবৃত্তি করতে হতে পারে, সম্ভবত কিছু মেশিন লার্নিং সেটিংসে জ্যোতির্বিজ্ঞানসংখ্যক বার।

এই পদ্ধতির সাথে প্রধান সমস্যাগুলি হ'ল

1. মোমোমিয়ালগুলি প্রায়শই নতুন মডেল ম্যাট্রিক্সে সমস্যাযুক্ত পরিমাণ "মাল্টিকলাইনারিটি" প্রবর্তন করে, মূলত কারণ একটি একক ভেরিয়েবলের শক্তিগুলি অত্যন্ত কোলাইনারি হতে থাকে। (দুটি পৃথক ভেরিয়েবলের ক্ষমতার মধ্যে সহৈক্য অনির্দেশ্য, কারণ এটি কীভাবে সেই পরিবর্তনশীলগুলির সাথে সম্পর্কিত এবং তার ফলে এটি কম অনুমানযোগ্য তা নির্ভর করে))

2. মডেল ম্যাট্রিক্সের কেবল একটি একক কলাম পরিবর্তন করা, বা একটি নতুন প্রবর্তন করা, বা একটি মুছে ফেলার ক্ষেত্রে রিগ্রেশন প্রক্রিয়াটির "কোল্ড পুনরায় চালু" হতে পারে, সম্ভবত গণনার জন্য দীর্ঘ সময় নিবে।

বহুবচনীয় বীজগণিতগুলির গ্রেডিং উভয় সমস্যা কাটিয়ে উঠার একটি উপায় সরবরাহ করে।

একটি পরিবর্তনশীলে অরথোগোনাল বহুবচন

প্রদত্ত একক কলাম ভেক্টর $X,$ জন্য "লম্ব polynomials" একটি সেট $X$ হয় কলাম ভেক্টর একটা ক্রম $p_0(X), p_1(X), p_2(X),\ldots$ মধ্যে monomials রৈখিক সমন্বয় হিসাবে গঠিত $X$ একা - এটি $X$ শক্তি হিসাবে - নীচের বৈশিষ্ট্যগুলির সাথে:

1. প্রতিটি ডিগ্রি $d=0, 1, 2, \ldots,$ ভেক্টর $p_0(X), p_1(X), \ldots, p_d(X)$$X^0, X^1, \ldots, X^d.$ মতো একই ভেক্টর স্পেস তৈরি করে । (লক্ষ্য করুন যে $X^0$ হ'ল $n$ ভেক্টর এবং $X^1$ কেবল $X$ নিজেই।)

2. $p_i(X)$ পারস্পরিক হয় লম্ব অর্থে যে জন্য $i\ne j,$

   $$p_i(X)^\prime p_j(X) = 0.$$

সাধারণত, প্রতিস্থাপন মডেল ম্যাট্রিক্স

$$\mathbb{P} = \pmatrix{p_0(X) & p_1(X) & \cdots & p_d(X)}$$ এই monomials থেকে গঠিত হতে নির্বাচিত orthonormal ইউনিট দৈর্ঘ্য তার কলাম স্বাভাবিক দ্বারা: $$\mathbb{P}^\prime \mathbb{P} = \mathbb{I}_{d+1}.$$ বিপরীত কারণ $\mathbb{P}^\prime \mathbb{P}$ সবচেয়ে রিগ্রেশন সমীকরণ উপস্থিত হয় এবং পরিচয় ম্যাট্রিক্সের বিপরীত $\mathbb{I}_{d+1}$ এটি নিজেই, এটি একটি বিশাল গণনার লাভের প্রতিনিধিত্ব করে।

অরথনোরালাইটি খুব প্রায় $p_i(X).$ নির্ধারণ করে । আপনি এটি নির্মাণ করে দেখতে পারেন:

• প্রথম বহুপদী, $p_0(X),$ এর গুণিতক হতে হবে $n$ -vector $\mathbf{1}=(1,1,\ldots,1)^\prime$ ইউনিট দৈর্ঘ্যের। মাত্র দুটি বিকল্প আছে, $\pm \sqrt{1/n}\mathbf{1}.$ এটি ইতিবাচক বর্গমূল বেছে নেওয়ার প্রথাগত।

• দ্বিতীয় বহুপদী, $p_1(X),$ অরথোগোনাল হতে হবে $\mathbf{1}.$ এটা তোলে regressing পাওয়া যেতে পারে $X$ বিরুদ্ধে $\mathbf{1},$ যেগুলোর সমাধান মধ্যবর্তি মাপটা বাহক এক্স = ˉ এক্স 1 । তাহলে অবশিষ্টাংশ ε = এক্স - এক্স না অভিন্নরুপে শূন্য, তারা মাত্র দুটি সম্ভাব্য সমাধান দিতে পি 1 ( এক্স ) = ± ( 1 / | | ε | |$\hat X = \bar{X}\mathbf{1}.$$\epsilon = X - \hat X$$p_1(X) = \pm \left(1/||\epsilon||\right)\,\epsilon.$

...

• সাধারণত, $p_{d+1}(X)$ regressing দ্বারা প্রাপ্ত হয় $X^{d+1}$ বিরুদ্ধে $p_0(X), p_1(X), \ldots, p_d(X)$ এবং অবশিষ্টাংশ rescaling ইউনিট দৈর্ঘ্যের একটি ভেক্টর যাবে। যখন বাকী সমস্ত শূন্য হয় না তখন দুটি চিহ্নের বিকল্প থাকে। অন্যথায়, প্রক্রিয়াটি শেষ হয়: $X.$ উচ্চতর শক্তির দিকে তাকানো ফলদায়ক হবে । (এটি একটি দুর্দান্ত উপপাদ্য তবে এর প্রমাণ আমাদের এখানে বিভ্রান্ত করার দরকার নেই))

এটি গ্রাম-শ্মিট প্রক্রিয়াটি ভেক্টর $X^0, X^1, \ldots, X_d, \ldots.$ এর অভ্যন্তরীণ সিকোয়েন্সে প্রয়োগ করা হয় । সাধারণত এটি QR পচন ব্যবহার করে গণনা করা হয় , যা প্রায় একই জিনিস তবে একটি সংখ্যাগত স্থিতিশীল পদ্ধতিতে গণনা করা হয়।

এই নির্মাণটি মডেল ম্যাট্রিক্স অন্তর্ভুক্ত বিবেচনা করতে অতিরিক্ত কলামের ক্রম লাভ করে। বহুভৌত রিগ্রেশন একটি ভেরিয়েবলের ফলে সাধারণত ক্রমটির ক্রমগুলির ক্রমগুলির আরও এক যোগ না হওয়া অবধি একের পর এক ক্রমটির উপাদান যুক্ত করে এগিয়ে যায়। কারণ প্রতিটি নতুন কলাম পূর্ববর্তীগুলির সাথে অর্থেগোনাল, এটি সহ পূর্ববর্তী সহগের প্রাক্কলনগুলির কোনও পরিবর্তন করে না। এটি একটি দক্ষ এবং সহজেই ব্যাখ্যাযোগ্য পদ্ধতি তৈরি করে।

একাধিক ভেরিয়েবলগুলিতে বহুবচন

অনুসন্ধানের রিগ্রেশন (পাশাপাশি মডেল ফিটিং) প্রথমে বিবেচনা করে এগিয়ে যায় কোন (মূল) ভেরিয়েবলগুলিকে কোনও মডেল অন্তর্ভুক্ত করতে হবে; তারপরে মূল্যায়ণগুলি those ভেরিয়েবলগুলির বিভিন্ন রূপান্তরগুলি যেমন মনোমিয়ালগুলি অন্তর্ভুক্ত করে বাড়ানো যায় কিনা; এবং তারপরে এই ভেরিয়েবলগুলির পণ্য এবং তাদের পুনঃপ্রকাশের দ্বারা গঠিত "মিথস্ক্রিয়া" প্রবর্তন করা।

যেমন একটি প্রোগ্রাম পূরণকল্পে, তারপর, বিরচন দিয়ে শুরু করতেন univariate লম্ব polynomials এর কলামে $\mathbb X$ আলাদাভাবে। প্রতিটি কলামের জন্য উপযুক্ত ডিগ্রি নির্বাচনের পরে আপনি ইন্টারঅ্যাকশনগুলি প্রবর্তন করবেন।

এই সময়ে, অবিচ্ছিন্ন প্রোগ্রামের অংশগুলি ভেঙে যায়। উপযুক্ত মডেল সনাক্ত না হওয়া অবধি আপনি একের পর এক ইন্টারঅ্যাকশনগুলির কী অনুক্রম প্রয়োগ করবেন? তদুপরি, এখন যেহেতু আমরা সত্যিকার অর্থে বহুবিধ পরিবর্তনযোগ্য বিশ্লেষণের রাজ্যে প্রবেশ করেছি, উপলব্ধ বিকল্পগুলির সংখ্যা এবং তাদের ক্রমবর্ধমান জটিলতা বোঝায় যে মাল্টিভারিয়েট অরথোগোনাল বহুবর্ষের ক্রম নির্মানের ক্ষেত্রে কমমানের আয় হতে পারে । তবে, যদি আপনার মনে এই জাতীয় ক্রম থাকে তবে আপনি QR পচন ব্যবহার করে এটি গণনা করতে পারেন।

---

কি Rকরে

বহুবর্ষীয় সংমিশ্রণের জন্য সফ্টওয়্যার অতএব অবিচ্ছিন্ন অরথোগোনাল বহুবর্ষীয় অনুক্রমগুলি গণনা করার দিকে মনোনিবেশ করে । Rঅবিবাহিত বহুবর্ষের গোষ্ঠীতে স্বয়ংক্রিয়ভাবে যথাসময়ে এই ধরনের সমর্থন বাড়ানোর বৈশিষ্ট্য । এটি কি polyকরে। (এর সঙ্গী polymমূলত কয়েকটি ঘণ্টা এবং সিঁড়ি সহ একই কোড; দুটি ফাংশন একই কাজ করে))

বিশেষ করে, polyunivariate লম্ব polynomials একটা ক্রম গনা যখন একটি একক ভেক্টর দেওয়া হবে $X,$ একটি নির্দিষ্ট ডিগ্রী এ বাঁধন $d.$ (যদি $d$ অত্যন্ত বড় - এবং এটা কঠিন ভবিষ্যদ্বাণী করা কত বড় অত্যন্ত বড় হতে পারে -। এটা দুর্ভাগ্যবশত একটি ত্রুটি ছোঁড়া) যখন একটি প্রদত্ত সেট ভেক্টর $X_1, \ldots, X_k$ একটি ম্যাট্রিক্স আকারে $\mathbb X,$ এটা ফিরে আসবে

1. $p_1(X_j), p_2(X_j), \ldots, p_d(X_j)$$j$$d.$$p_0(X_i)$R

2. $d.$

$d.$$2$$d=2,$ R

$$p_1(X_1),\quad p_2(X_1),\quad p_1(X_2),\quad p_1(X_1)p_1(X_2),\quad p_2(X_2).$$

R $p_2(X_1)p_1(X_2),$ $p_1(X_1)p_2(X_2)$$p_1(X_2)p_2(X_2)$formula

$p_1(X_1)p_1(X_2).$$p_1(X_1)$$p_1(X_2)$

একটি উদাহরণ

$$\mathbb{X} = \pmatrix{1 & 3 \\ 5 & 6 \\ 2 & 4}.$$

$X_1 = (1,5,2)^\prime$$X_1^0= (1,1,1)^\prime$$p_0(X_1) = (1,1,1)^\prime/\sqrt{3} \approx(0.58,0.58,0.58)^\prime.$$X_1^1 = X_1$$p_0(X_1),$$X_1$$p_0(X_1)$$p_1(X_1)$$X_1$$p_1(X_1) = (-0.57,0.79,-0.23)^\prime.$$X_1^2 = (1,25,4)$$p_0(X_1)$$p_1(X_1)$$X_1$$n=3$$X_1,$$(t-1)(t-5)(t-4),$$3,$$3$ বা বৃহত্তর হ'ল নিম্ন শক্তিগুলির রৈখিক সংমিশ্রণগুলি এবং সেই নিম্ন শক্তিগুলি রৈখিকভাবে স্বাধীন))

$X_1$

$$\mathbb{P_1} = \pmatrix{0.58 & -0.57 & 0.59 \\ 0.58 & 0.79 & 0.20 \\ 0.58 & -0.23 & -0.78}$$

(দুটি উল্লেখযোগ্য পরিসংখ্যান)।

$X_2$

$$\mathbb{P_2} = \pmatrix{0.58 & -0.62 & 0.53 \\ 0.58 & 0.77 & 0.27 \\ 0.58 & -0.15 & -0.80}.$$

$(0.35, 0.61, 0.035)^\prime.$polypolym

$$\mathbb{P} = \pmatrix{-0.57 & 0.59 & -0.62 & 0.35 & 0.53 \\ 0.79 & 0.20&0.77& 0.61& 0.27 \\ -0.23 & -0.78 & -0.15 & 0.035 & -0.80}.$$

$X_1$$X_2$$\mathbb{P}^\prime\mathbb{P},$$(1,2), (2,1), (3,5),$$(5,3)$$(1,1), (2,2), (3,3),$$(5,5)$$(4,4)$

$$\mathbb{P}^\prime\,\mathbb{P} = \pmatrix{\color{blue}{\bf 1} & \color{red}{\bf 0} & 1 & 0.28 & 0.091 \\ \color{red}{\bf 0} & \color{blue}{\bf 1} & -0.091 & 0.3 & 1 \\ 1 & -0.091 & \color{blue}{\bf 1} & 0.25 & \color{red}{\bf 0} \\ 0.28 & 0.3 & 0.25 & 0.5 & 0.32 \\ 0.091 & 1 & \color{red}{\bf 0} & 0.32 & \color{blue}{\bf 1}}.$$

$\mathbb P$$10^{-17}$

Comments

R$p_1(X_1)p_{\color{red}{2}}(X_2)$$p_1(X_1)p_{\color{red}{1}}(X_2)$

@ শীতল ভাল ধরা - এখনই স্থির।

— whuber

মহান উত্তরের জন্য ধন্যবাদ। আমি উত্তরটি প্রত্যাশার আশা হারিয়ে ফেলার পরে উত্তরটি পৌঁছার পরে এটি একটি খুব উপভোগ্য আশ্চর্য হয়ে যায়।

— পেরে

$X_1=X$$X^1=X$

পুরোপুরি ঠিক। আমি কৃতজ্ঞ যে আপনি পাঠটি এত নিবিড়ভাবে পড়ছেন যে আপনি এই ত্রুটিগুলি খুঁজে পান!

— হোবার